ET79F cinematica inversa

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UTFPR 1
Prof. W E dos Santos
Dpto. de Eletrotécnica - UTFPR
Cinemática Inversa
de Robôs
ROBÓTICA
UTFPR 2
Problemática
• Dada uma posição (P) & 
orientação (R) desejadas 
para o efetuador final 
• Encontrar as variáveis de 
junta que trarão o robô para 
esta postura desejada
),,( 21 nqqqq 
x
y
z
UTFPR 3
Cinemática Inversa
• Mais trabalhosa
– Não existe uma sistemática 
para solução deste problema
– A solução pode não ser 
única
• Robôs redundantes
• Configuração do cotovelo 
Elbow-up/elbow-down
– Depende da cadeia 
cinemática de cada robô
(x , y)
UTFPR 4
Cinemática Inversa
6
5
4
3
2
1
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1000
TTTTTT
pasn
pasn
pasn
T
zzzz
yyyy
xxxx
•Matriz de transformação
Alguns casos especiais permitem uma 
solução puramente algébrica:
1. Interseção de três eixos de juntas 
adjacentes (PUMA, Stanford) 
2. Três eixos de juntas adjacentes 
paralelos entre si (MINIMOVER) 
UTFPR
• Braço Planar RR
• Braço 3D RR
• Braço Planar RRR
• Braço antropomórfico de 3 eixos
• Punho esférico
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Exemplos a serem analisados
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Braço Planar RR
UTFPR
• Cinemática direta:
• Elevando termos ao quadrado e somando:
• Que após refinamento algébrico resulta que:
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Braço Planar RR
UTFPR
• Considerando a seguinte 
relação trigonométrica:
e tomando:
• Resulta:
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Braço Planar RR
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Braço 3D RR
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• Partindo da cinemática direta:
• Obtem-se θ1 a partir dos termos px e py:
• E, θ2 pelos termos nz e sz:
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Braço 3D RR
UTFPR 11
Braço Planar RRR
UTFPR
• Neste braço observa-se que:
• Como Pw é o mesmo de RR2D:
• Então, elevando ao quadrado e somando traz:
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Braço Planar RRR
UTFPR
• Agora isolando S1 e C1 das
equações de pw (slide anterior):
então, por substituição é possível verificar que:
Logo:
Por fim:
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Braço Planar RRR
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Braço antropomórfico de 3 eixos
UTFPR
• Observe que de novo Pw é RR2D
• A cinemática direta deste braço é:
• Veja como θ1 é obtido diretamente de px e py:
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Braço antropomórfico de 3 eixos
UTFPR
• O ângulo θ3 é obtido pela soma
dos quadrados das coordenadas
(rearranjando LA em Pwz):
após sucessivas simplificações resulta que:
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Braço antropomórfico de 3 eixos
UTFPR
• Por fim para encontrar o ângulo θ2
deve-se resolver px, py e pz afim 
de extrair S2 e C2:
• E, então:
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Braço antropomórfico de 3 eixos
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Punho esférico
UTFPR
• O punho esférico, com relação ao 
ponto onde os três eixos se 
cruzam, tem a seguinte cinemática:
• E assim facilmente vê-se que:
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Punho esférico
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• E, observando que:
vem portanto:
• Como há duas soluções para θ5, e elas afetam θ4
e θ6 através dos termos nz, sz, ax e ay, vem com o 
uso do radical negativo acima as novas soluções:
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Punho esférico