3º Avaliação de Teoria dos Números

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC¸A˜O INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
AFRO-BRASILEIRA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
LICENCIATURA EMMATEMA´TICA
3.o Avaliac¸a˜o de Teoria dos Nu´meros
Data: 22/12/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Joserlan
1. Mostrar que:
(a) 18! + 1 ≡ 0 mod 437
(b) 561|(3561 − 3)
(c) se (a, 15) = 1, enta˜o a8 ≡ 1 mod 15
(d) a37 ≡ a mod 13, para todo inteiro a.
2. Determine o inteiro n = 2x.3y.5z, sabendo que os produtos 3n, 4n e 5n teˆm respectiva-
mente 6, 12 e 9 divisores positivos a mais que n.
3. (a) Resolva a equac¸a˜o: s(x) = 56
(b) Usando o teorema de Euler, resolva a seguinte congrueˆncia linear: 7x ≡ 1 mod 10
4. Mostre que:
(a) φ(n) = n
2
se e somente se n = 2k, para algum k ≥ 1.
(b) Mostre que d(n)/4 ≤ φ(n) ≤ s(n) para todo inteiro positivo n.
5. Resolva o seguinte sistema de congrueˆncia linear:

5x ≡ 11 mod 17
3x ≡ 19 mod 32
11x ≡ 6 mod 37
”Bom Trabalho”