combinatória 3

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Análise Combinatória: uma sondagem através da 
contextualização 
 
 
Almir de Lima Serpa1 
 
Eduardo Ferreira Lima 
 
 
RESUMO 
 
A proposta deste artigo visou sondar por meio de atividades de Análise Combinatória com 
problemas contextualizados e não contextualizados apresentados em sala de aula com alunos do 
3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas distintas como parte da disciplina Tópicos no Ensino 
de Estatística e Probabilidades do Mestrado da UFPE. O objetivo visou, portanto, identificar 
quantitativamente os acertos e erros das soluções das questões nos textos das provas/atividades 
de combinação. Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de todos 
os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em muitos casos, o 
conjunto será demasiadamente grande para se fazer essa contagem direta dos seus elementos e, 
para isso, são necessários outros processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula 
genérica estes problemas foi desenvolvidos como método de análises. Concluiremos as análises 
com os dados obtidos com apresentação dos dados quantitativamente analisados. 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
De um ponto de vista investigativo, é importante saber se as estruturas e 
fórmulas matemáticas axiomáticas postuladas ao longo da construção dos 
alicerces do processo cognitivo negligenciam a contribuição do texto das 
questões, enquanto matriz de produção de autêntico significado, na compreensão 
dos signos e símbolos que podem e devem prestar um grande auxílio ao ensino 
da matemática contextualizada. Isso porque, encontrávamos frequentemente, a 
constituição de um método o qual considerava, tradicionalmente, que ensinar 
matemática era apresentar problemas e que aprender seria resolver problemas. 
Assim, esse método consistia em apresentar ao aluno problemas que 
estimulassem o pensamento reflexivo na busca de uma solução satisfatória. 
 
1
 Universidade Federal de Pernambuco – UFPE e-mail: serpa.serpa@ig.com.br 
eduardo03031982@hotmail.com 
Concordamos com o fato de os aspectos lógicos aplicados 
matematicamente serem organizados de acordo com os alicerces do saber 
anterior, como mediador do fazer matemático, dentre esses, nos apoiamos em 
Vergnaud (1996) quando o autor indica que cada conceito ampara-se em três 
dimensões fundamentais: as situações que dão significado (S); as relações 
invariantes (I) e as representações simbólicas (R). 
Assim sendo, procuramos em nossa pesquisa realizar um estudo de 
sondagem de caráter interpretativo, visando auxiliar o ensino de combinação em 
seu contexto aplicativo e norteador das condições de crescimento social, 
intelectual e tecnológico necessários ao desenvolvimento progressivo e real de 
nossa humanidade. Com vistas, no embasamento legal vigente em nosso país. 
Para tanto, este trabalho estuda com o apoio da Teoria dos Campos 
Conceituais, proposta por Vergnaud (1996) nas atividades dessa disciplina 
(combinação) nas Escolas Estaduais em turmas de 3º ano do Ensino Médio, as 
quais podem se envolverem na contextualização. Durante este estudo, teremos a 
oportunidade de esclarecer dúvidas que correlacionam o domínio das 
representações matemáticas pelo conceito de combinação à solução dos 
problemas nas questões de matemática contextualizadas e não contextualizadas. 
Nossa hipótese é que a apresentação dos textos contextualizados em 
questões de combinatória, nas avaliações apresentadas em duas turmas de 
alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escolas Estaduais da região metropolitana 
do Estado de Pernambuco, pouco contribui como recurso facilitador para a 
solução dessas, bem como não se apresentam como mediadores do conceito de 
combinação nas representações. 
Temos como objetivo geral, portanto, identificar quantitativamente os 
acertos e erros das soluções das questões contextualizadas e não 
contextualizadas nos textos das provas/atividades de combinatória nas turmas do 
Ensino Médio de Escolas Públicas da região metropolitana do Recife. Quanto a 
metodologia selecionaremos questões apropriadas ao contexto dos alunos 
adequando a realidade local de cada Escola para posteriormente apresentar 04 
(quatro) modelos de atividades com 08 (oito) questões, dentre elas 06 (seis) 
contextualizadas e 02 (duas) não contextualizadas em ordens diferentes em cada 
modelo de atividades segundo os componentes básicos fundamentais para o 
ensino de combinatória. 
A justificativa deste trabalho apóia-se na expectativa de que o instrumento 
didático avaliativo, no caso atividades com questões contextualizadas e não 
contextualizadas, atrelado ao conceito matemático, venha a se constituir num 
instrumento a ser utilizado em uma nova perspectiva de ensino-aprendizagem. A 
fim de que o contexto inserido na avaliação/prova de combinação não possua 
difícil interpretação e compreensão, mas deva ser idealizado para ser um texto 
lúdico, motivador e real passível de releituras e estimulador de novas criações, 
tanto para os alunos, como para os professores. 
Na conclusão, faremos reflexões sobre os resultados obtidos, procurando 
manter aspectos dentro de uma coerência com o referencial teórico e com as 
demais análises que nortearam o estudo. Nossa intenção é que o presente 
trabalho possa contribuir de forma significativa para que os professores de 
matemática reflitam sua prática docente, visando à organização de um trabalho 
que possa mediar entre a disciplina de combinatória e a possível realidade social 
de Escolas Públicas, favorecendo a compreensão dos conceitos envolvidos nessa 
disciplina. 
Por fim, analisaremos quantitativamente os acertos e erros em cada turma 
disponibilizando numa tabela descritiva para posteriores considerações sobre o 
corpus. 
 
A ANÁLISE COMBINATÓRIA E A CONTEXTUALIZAÇÃO 
 
Para o processo esclarecedor da análise combinatória faremos um breve 
relato diacrônico (histórico) o qual relata que a ação combinatória se ocupava na 
sua origem, com a resolução de problemas sempre vinculados aos jogos de azar, 
dentre os que especificamente manipulavam dados e roletas de apostas. Porém, 
na medida em que a necessidade de expansão econômica e territorial nas 
grandes cidades surge teorias e aplicabilidades em combinações específicas para 
o uso do cotidiano tais como: cálculos em probabilidades, nos problemas das 
redes ferroviárias e transportes urbanos, de grande circulação, na malha aérea 
usada pelas aeronaves durante as guerras em diversas partes do mundo pelas 
combinações dos vetores, dentre outros fatores que ocasionaram o crescimento 
dos estudos em análise combinatória. 
Segundo Trotta (1988) a análise combinatória, atua em diversos outros 
domínios e fornece fundamentação para a contagem de possibilidades de eventos 
do cotidiano. Distante dos relatos encontrados no livro do celebre matemático e 
jogador Girolamo Cardano (1501-1576) Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de 
azar), que ele sequer achava digno de publicação, porém inicia-se neste período 
a parte técnica da discussão em equiprobabilidade2. 
 Nesta linha, a pesquisadora do Grupo de Estudos em Raciocínio 
Combinatório do Centro de Educação (Geração) da Universidade Federal de 
Pernambuco – UFPE professora Cristiane Azevedo dos Santos Pessoa discute a 
importância em desenvolver o raciocínio combinatório, como uma forma de 
estratégia e pensamento que possa auxiliar no aprendizado matemático 
especificamente nos conteúdos dos quais se faça necessária a sistematização de 
informações e análise das atividades quanto aplicabilidade dos exercícios. 
Para o raciocínio da análise combinatória Pessoa (2009, p. 02) relata que: 
 
Portanto, a Combinatória nos permite quantificar conjuntos ou 
subconjuntos de objetos ou de situações, selecionados a partir de um 
conjunto dado, ou seja, a partir dedeterminadas estratégias ou de 
determinadas fórmulas, pode-se saber quantos elementos ou quantos 
eventos são possíveis numa dada situação, sem necessariamente ter 
que contá-los um a um (PESSOA, 2009, p 02). 
 
Baseado nas pesquisas realizadas no âmbito da análise combinatória, as 
quais foram desenvolvidas anteriormente, como a de Pessoa e Borba (2009), que 
orientam o professor quanto à importância do aprendizado da Combinatória nos 
anos iniciais de escolarização, podem ser mais facilmente compreendidas 
posteriormente quando retratadas através de formulas. Diferentemente em nossa 
pesquisa, estaremos adequando o estudo já realizado por Pessoa e Borba (2009) 
com o uso apenas da fórmula de combinação em turmas do Ensino Médio. 
Usando o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, 
denotado por pnC ou por p , nC ou por 





p
n
, é dado por: 
p)!(np!
n!
=Cpn
−
 visto a 
 
2
 Corresponde ao cálculo do montante correto da aposta a ser feita por um jogador o qual possui 
probabilidade p de ganhar a importância s. 
necessidade de adequação do tempo de intervenção e a disponibilidade do 
período nas turmas de Escolas Públicas. 
Contudo, ao relatamos sobre contexto neste trabalho de pesquisa, 
buscamos aproximar o termo aos sentidos defendidos pelos Parâmetros 
Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1999), pois neles encontramos que os 
contextos estão relacionados aos da vida prática. Como por exemplo: 
Encontre o número de combinações possíveis formados com os 05 (cinco) 
filmes disponibilizados abaixo tomados 03 (três) a 03 (três). Visto que estes 
filmes ainda são sucesso de bilheteria e locações em uma determinada 
Locadora do Bairro em Olinda, os quais chamaremos de termo binomial. 
 
 
Atrelado ao contexto sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - 
PCN (BRASIL, 1999), encontramos a essência do ensino-aprendizagem 
matemática contextualizada em problemas nas atividades de combinação 
diluídas, no contexto para fazer da significação dos conteúdos matemáticos 
ensinados aos alunos uma relação de funcional e útil podendo ser aplicada ao 
cotidiano, tornando a aprendizagem significativa no campo do real. Minimizando 
as abstrações excessivas e traduzindo o valor da construção do pensamento 
matemático facilitador inserido na sociedade moderna. 
Segundo Sousa (2002), a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 
(LDB –nº 9.394/96), em seu art. 3º, inciso I, tem como um dos princípios do 
ensino garantir a igualdade de condições para o acesso e permanência na escola. 
Portanto, garantir formas de aprendizado que motivem o aluno e que facilitem a 
aquisição de conhecimento, de modo que ele obtenha um resultado satisfatório, é 
também uma maneira de garantir sua permanência na escola e, 
consequentemente, permitir-lhe dar continuidade a seus estudos, o que está 
contemplado na Lei de Diretrizes e Base - LDB, tanto no art. 22 como no art. 35, 
inciso I. 
Entendemos que adequar o material e instrumento didático (atividades) às 
especificações e às necessidades do aluno é uma forma de valorizar as 
experiências que ele traz de sua vida extra-escolar, viabilizando uma metodologia 
que estimule sua criatividade, o que é contemplado no art. 3º, inciso X e no art. 
36, inciso II. 
Outra possibilidade de justificar o atrelamento do texto contextualizado às 
questões de combinação em consonância ainda com a Lei de Diretrizes e Base - 
LDB — em seu art. 35, inciso II — é o oferecimento aos educandos, ao final de 
sua educação básica, de uma bagagem cultural e de compreensão das ciências 
exatas. Isso capacita sua adaptação crescente quanto às mudanças e exigências 
do mercado de trabalho, bem como garante a opção de um posterior 
aperfeiçoamento. 
Isso é reafirmado no art. 36, inciso I, da Lei de Diretrizes e Base - LDB, 
com destaque para a educação tecnológica básica, na qual incluímos as 
pesquisas em sites e outros manuseios informáticos como forma de exercício da 
cidadania. É ainda relevante destacar que o parágrafo 1º desse mesmo artigo 
indica que o aluno do Ensino Médio deverá dominar os princípios científicos e 
tecnológicos relacionados diretamente às ocupações pós-modernas. 
 
MÉTODO 
 
 Para a realização deste estudo, inicialmente verificamos a possibilidade de 
os alunos encontrarem ao longo do trajeto para Escola, elementos referenciais, os 
quais poderiam ser usados em atividades classificadas como contextualizadas. 
Na tentativa de mediar às questões a proximidade da realidade local de cada 
Escola investigada para isso verificou-se a existência de Locadoras, Lan House, 
Lojinhas de produtos importados e Shopping. 
 Em seguida foram elaboradas 08 (oito) questões (ver anexo) com os dados 
obtidos na investigação local das escolas, sendo que 06 (seis) dessas questões 
foram classificadas como sendo contextualizadas e, nelas atribuímos uma 
sequência de resolução em combinação. 
As 02 (duas) questões restantes foram dispostas num perfil de não 
contextualizadas por dois processos hipotéticos: primeiro pelo fato de alguns 
alunos não levarem em consideração a relação do contexto e apenas a 
aplicabilidade da fórmula de combinação com os dados obtidos nas questões 
apresentadas no livro didático usados por estas turmas; em segundo, pelo fato do 
uso do raciocínio lógico dedutivo por meio de outras possibilidades de solução 
das questões apresentadas, bem como o uso de árvores de possibilidades, ou a 
distribuição em listagens, desenhos e tabelas dentre outras formas de solução 
para a combinação de elementos. 
Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de 
todos os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em 
muitos casos, o conjunto foi apresentado demasiadamente grande para se fazer 
essa contagem direta dos seus elementos e, para isso, são necessários outros 
processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula genérica. 
Complementando nossa metodologia modificamos a ordem das questões 
quanto à distribuição das mesmas aplicadas em sala de aula, ou seja, não houve 
modificações das estruturas textuais das questões do corpus, apenas as 
modificações das posições numéricas quanto à ordem posicional. 
Aplicamos as atividades no mesmo dia e horário nas duas Escolas 
Públicas as quais estão em locais equidistantes aproximadamente 18 (dezoito) 
quilômetros. Em seguida, as atividades foram recolhidas para posterior análise 
das questões e distribuição em uma tabela descritiva como proposto nesta 
pesquisa. 
 
RESULTADOS E ANÁLISES 
 
Segue análise do Gráfico dos dados coletados do corpus (atividades), onde 
dispomos as questões contextualizadas contabilizadas em um total de 86 (oitenta 
e seis) questões das 120 (cento e vinte) para a Escola estadual de Olinda. A qual 
obteve um percentual correspondente a 71,6% das questões validadas, ou seja, 
corretamente resolvidas pelos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola 
Pública de Igarassu resultou da solução apenas e 19 (dezenove) questões 
corretas o que gerou um percentual de 15,8% do total de 120 (cento e vinte) 
questões perfazendo um universo de 240 (duzentos e quarenta) questões 
aplicadas nas duas escolas como mostra o gráfico abaixo. 
 
Banco de dados do pesquisador 
 
 Quanto à hipótese dos alunos resolverem as questões usando outros 
métodos deferentes da aplicação direta da fórmula algébrica, verificamos que em 
nenhum momento surgiu outra forma de solução nas questões na Escola 
Estadual de Olinda, ou seja, todos os alunos que responderam as questões, 
responderam usando a fórmula algébrica como mostrado abaixo. Diferentemente 
observado na Escola Estadual de Itapissuma, na qual verificamos a existência de 
tentativas de solução usando outras possibilidades diferentes da fórmula,para 
isso, os alunos tentaram usar o método de listagem. 
 
 Este foi o modelo de solução das questões para a maioria dos alunos 
sondados, desde as questões contextualizadas e não contextualizadas, apenas a 
decodificação da fórmula algébrica na substituição dos valores apresentados nas 
questões e superpostos na fórmula de combinação para todas as questões 
certas. 
 
 O perfil de solução visto em outro modelo de combinação com o mesmo 
procedimento para calcular o resultado solicitado na questão acima. 
Para a variável (eixo 2), referente às questões não contextualizadas, 
encontram-se na quantidade total de 80 (oitenta questões) as quais classificamos 
em quantidades menores, visando que são encontradas no livro didático numa 
quantidade maior. Para tanto, esse modelo de questões ainda é apresentado 
apenas no sentido de práticas repetitivas, não despertando a real potencialidade 
do decodificador em função das representações possíveis durante o processo de 
solução das questões. 
As questões não contextualizadas corresponderam a 32,5% das questões 
apresentadas aos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola Pública de 
Itapissuma resultou num percentual de 25% das mesmas questões do universo 
de 80 (oitenta) questões. Esses dados mostram que a quantidade de acertos das 
questões não contextualizadas foram maiores, pois o número de questões é 
menor que as contextualizadas de acordo com gráfico abaixo. 
 
Banco de dados do pesquisador 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A proposta desta pesquisa foi guiada na relação contextual dos problemas 
de combinatória nas turmas de 3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas de 
Olinda e Itapissuma, mediante a análise de acertos e erros dos alunos nos 
problemas contextualizados e não contextualizados. 
Devido à característica de sondagem presente neste trabalho, pudemos 
constatar através de análises algumas situações peculiares ao nosso objeto de 
estudo, dentre as quais umas positivas e outras negativas, baseado naquilo que 
nos propusemos analisar em combinatória. 
Dentre as positivas, destacamos as questões contextualizadas encontradas 
no corpus, as quais já estão inseridas, mesmo que em quantidade menor, no livro 
didático utilizado pelo Estado de Pernambuco em Escolas Públicas, oferecendo 
aos seus alunos atividades de combinatória diversificadas. Outro aspecto positivo 
observado foi à tentativa de solucionar questões utilizando o método de listagem 
pelos alunos da Escola Pública de Itapissuma sem ocorrem no devido sucesso da 
resposta. 
Todavia, dentre os aspectos negativos, podemos destacar, infelizmente, 
alguns fatores tais como: (i) a presença de questões plagiadas, ou seja, copiadas 
por outros alunos de mesma sala de aula; (ii) a inexistência de outras 
possibilidades de solução das questões corretas com uso de métodos por 
exemplo de árvores de possibilidades, distribuição em listagens, desenhos e 
tabelas dentre outras formas de solução para a combinação de elementos; (iii) um 
maior percentual de acertos nas questões não contextualizadas. 
Por fim, conscientes de que há ainda muito a ser observado, consideramos 
parcialmente essa etapa acreditando que as parciais a que chegamos até aqui 
nos mostram que há a necessidade de mais estudos dessa natureza, com este 
efetivo objeto: o de conhecer a realidade da educação matemática em 
combinatória e adequação da legalidade vigente em nosso país. Então, esses 
resultados parciais apresentados servirão de subsídios para os próximos passos 
que são, acima de tudo, diluir as informações aqui descritas para quem precisar, 
para quem dela possa se servir. 
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