4 flexao (com exercicios ao final)

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Mecânica dos Sólidos II
Flexão
29/04/2007 - Colapso provocado pelo peso próprio após acidente envolvendo um caminhão tanque.
Uma estande de livros não deixa de ser uma viga em flexão: comprimento maior que a largura ou espessura e carga (livros) aplicada perpendicularmente ao seu eixo longitudinal.
Introdução
Cargas atuando sobre uma viga criam ações internas (ou tensões resultantes) na forma de forças de cisalhamento e de momentos fletores.
As cargas que atuam numa viga a fazem fletir (ou curvar), e assim deformar o seu eixo em uma curva.
O eixo que estava inicialmente reto é então flexionado em uma curva chamada de curva de deflexão da viga.
Flexão de uma viga em balanço: 
 Viga com carregamento;
 Curva de deflexão. v = deflexão (deslocamento de um ponto em relação à sua posição original, medida na direção de y.
Flexão pura:
Quando a viga está submetida a um momento fletor constante.
Ocorre somente em pontos da viga onde a força de cisalhamento é zero (V = 0).
Flexão não-uniforme:
É referente à flexão na presença de forças de cisalhamento. Nesse caso, o momento fletor varia quando se move ao longo da viga.
Viga simples em flexão pura
Viga engastada em flexão pura
Viga com região central em flexão pura e extremidades em flexão não-uniforme.
Deformação de vigas em flexão pura
Quando cargas são aplicadas em uma viga, seu eixo longitudinal é deformado em uma curva.
As tensões e deformações resultantes estão diretamente relacionadas à curvatura da curva de deflexão.
M
M
Hipóteses:
Mudanças dimensionais na direção y são significativamente menores que a flexão.
Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado.
As retas longitudinais tornam-se curvas e as retas transversais permanecem retas, mas sofrem rotação.
A seção transversal de uma viga reta permanece plana e perpendicular ao eixo longitudinal quando a viga se deforma por flexão.
A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.
A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo.
O eixo natural passa pelo centróide da área da seção transversal e não sofre mudança de comprimento.
ρ = raio de curvatura;
A curvatura (k) é uma medida de quão intensamente a viga é flexionada. É definida como o inverso do raio de curvatura.
As deflexões em vigas são usualmente muito pequenas quando comparadas aos seus comprimentos  ds ≈ dx
Antes da aplicação do momento: 
 AB = JK = DE = A’B’ = L
P/ M>0 
 AB encurta (σcompressão, εx < 0)
 A’B’ alonga (σtração, εx > 0)
 DE = superfície neutra (σ = ε = 0)
DE = ρ.θ  como DE ≈ L  L = ρ.θ 
Para uma superfície qualquer:
JK = (ρ – y).θ = L’ // L’ = compr. Final
δJK = L’ – L = (ρ – y).θ - ρ.θ = -y.θ 
Como εx = δ/L 
εx terá seu valor absoluto máximo quando y for máximo (na superfície superior ou inferior da viga)  ponto “c”.
ρ = raio de curvatura;
ab  linha neutra: 
εx = σx = 0;
Δxantes def = Δxdepois def
Entretanto, todas as outras linhas tanto acima quanto abaixo da linha neutra ou alongam ou encurtam, criando assim deformações normais específicas (εx)
Observa-se que a deformação evolui de forma linear ao longo da espessura da viga, onde εmax é a máxima deformação que ocorre no ponto mais distante da superfície neutra, c.
Tensão e deformação no regime elástico
Considerando o material homogêneo e dentro do regime elástico-linear,
 σ=E.ε
No regime elástico, a tensão normal varia linearmente com a distância da superfície neutra.
Tensões normais em uma viga de material elástico linear: (a) vista lateral da viga mostrando a distribuição das tensões normais e (b) seção transversal da viga mostrando o eixo z como a linha neutra da seção transversal.
Impondo o equilíbrio de forças na direção x, teremos:
Mas 
Como σmax e c são valores constantes e não nulos,
De acordo com a equação, e desde que as tensões permaneçam no regime elástico, conclui-se que o eixo neutro passará pelo centróide da seção transversal da viga.
Lembrando que o momento interno atuante na seção transversal é a soma dos momentos infinitesimais atuantes nas áreas dA, teremos:
I = momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que passa seu centróide
σmax = tensão normal máxima;
M = momento interno resultante;
I = momento de inércia
c = distância perpendicular do eixo neutro ao ponto onde ocorre tensão máxima.
Tensão normal para qualquer distância y da linha neutra
W = módulo de resistência (tabelado)
A relação I/c depende somente da geometria da seção transversal 
Calculo da curvatura
Resumindo ...
1. A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.
Exemplos
2. (Beer, 4.1) Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no ponto A e no ponto B.
3. (Beer, 4.3) Usando uma tensão admissível de 155 MPa, determine o maior momento fletor M que pode ser aplicado à viga de mesa larga mostrada.
4. (Beer, 4.8) Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga. 
5.
6.
 
Beer, 4ª ed.
Hibbeler, 5ª ed.
Vigas compostas
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas.
Exemplos:
Vigas de madeira reforçadas com placas de aço;
Vigas de concreto reforçado com barras de aço;
Concreto suporta forças de compressão
Aço suporta forças de tração.
A aplicação da fórmula da flexão requer que o material seja homogêneo e, desse modo, a seção transversal da viga deve ser transformada, de maneira que pareça feita de um único material. 
Estes cálculos deverão ser feitos utilizando o método da seção transformada.
A transformação de uma seção é conseguida alterando as dimensões de uma seção transversal paralela ao eixo neutro na relação dos módulos de elasticidade dos materiais.
Supomos que mesmo as vigas sendo de materiais compostos, as seções transversais permanecem planas durante a flexão.
Assim, a deformação específica pode ser calculada pelo método já visto nos slides anteriores, entretanto, as tensões serão diferentes pois E (módulo de Elasticidade) é diferente para os materiais utilizados na viga.
O fator de transformação, n, é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga.
 Se a seção equivalente é desejada no material 1, as dimensões correspondentes no material 1 não são alteradas. As dimensões horizontais no material 2 são alteradas pela relação n (fator de transformação): n = E2/E1
 Se a seção transformada é a do material 2, a dimensão horizontal do outro material é alterada pela relação n1 = E1/E2
 n1 = 1/n
n > 1 = alargamento
n < 1 = estreitamento
Seção transformada
Localização da linha neutra
Momento de inércia da seção transformada em relação ao seu eixo que passa pelo centróide da seção transformada
(a) Seção composta; (b) variação da deformação específica; (c) distribuição de tensão; (d) seção transformada
Exemplos
Considere a viga ao lado. Se ela suporta um momento fletor de 2800 kgf.m em relação ao eixo horizontal, quais as tensões máximas no aço e na madeira? Eaço = 20 x 105 kgf/cm2; Emadeira = 1 x 105 kgf/cm2.
Calcular o maior momento fletor admissível quando a barra composta é flexionada (a) em torno do eixo horizontal e (b) em torno do eixo vertical. Eal = 70 GPa; σal = 100 MPa; Elt = 105 GPa; σlt = 160 MPa
Sugestão de exercícios:
BEER, 4ª ed., Cap 4: 
4.2, 4.4, 4.5, 4.7, 4.9, 4.13, 4.14, 4.16, 4.17, 4.18, 4.33, 4.34, 4.36, 4.37, 4.39, 4.40.
Hibbeler, 5ª ed., Cap 6:
6.39, 6.47, 6.48, 6.77.
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