prova pré cálculo -UFF solução

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GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
GMA
SEGUNDA VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM
Pre´-Ca´lculo
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Nome leg´ıvel:
Assinatura:
[01] (a) (1.0) Quando uma func¸a˜o f : D → C e´ invers´ıvel? Deˆ a definic¸a˜o!
(b) (1.0) A func¸a˜o f : R− {0} → R− {0} definida por
f(x) = −2
x
e´ invers´ıvel? Em caso afirmativo, determine sua inversa. Justifique sua resposta!
Soluc¸a˜o.
(a) Dizemos que f : D → C e´ invers´ıvel se existe uma func¸a˜o g : C → D tal que
(f ◦ g)(x) = x para todo x ∈ C e (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ D.
(b) Observe que para todo x ∈ R− {0} temos
(f ◦ f)(x) = f (f(x)) = f (−2/x) = − 2−2/x = x
e
(g ◦ f)(x) = g (f(x)) = g (−2/x) = − 2−2/x = x.
Assim, f e´ invers´ıvel e sua inversa e´ a pro´pria func¸a˜o f .
[02] (2.0) O gra´fico da func¸a˜o
g(x) = 4 +
√
−x2 − 6 x− 7
e´ um semic´ırculo. Determine o raio e o centro deste semic´ırculo. Dica: use completa-
mento de quadrados!
Soluc¸a˜o. Observe que
−x2 − 6 x− 7 = −(x + 2 x 3 + 32) + 32 − 7 = −(x + 3)2 + 2.
Logo, g(x) = 4 +
√
2− (x + 3)2. Se f(x) = √2− x2, enta˜o g(x) = f(x + 3) + 4.
Como o gra´fico de f e´ o semic´ırculo superior de centro em (0, 0) e raio
√
2, segue-se
que o gra´fico de g e´ o semic´ırculo superior de centro em (−3, 4) e raio √2.
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[03] (2.0) Mostre que se m e n sa˜o inteiros ı´mpares positivos, enta˜o
n
√
m
√
x = n·m
√
x
para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o. Sejam a = n·m
√
x e b = n
√
m
√
x. Sabemos que a e´ o u´nico nu´mero real que
elevado a n · m e´ igual a x. Se mostrarmos que b elevado a n · m tambe´m e´ igual
a x, por unicidade, teremos que a = b. Agora, b = n
√
m
√
x e´ o u´nico nu´mero real que
elevado a n e´ igual a m
√
x. Deste modo, bn = m
√
x. Mas, por sua vez, c = m
√
x e´ o
u´nico nu´mero real que elevado a m e´ igual a x. Assim, (bn)m = x. Como (bn)m e´ igual
a bn·m, segue-se que bn·m = x.
[04] (2.0) Determine o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o
f(x) =
1√
3 x3 + 2 x2 + 2 x− 1 .
Soluc¸a˜o. Se x pertence ao domı´nio natural de f , enta˜o p(x) = 3 x3+2 x2+2 x−1 > 0.
Para estudar o sinal da func¸a˜o polinomial p, vamos precisar fatorar p e, para isto, e´
necessa´rio determinar suas ra´ızes reais. Note que 0 na˜o e´ raiz de p. Como os divisores
de a0 = −1 sa˜o −1 e 1 e os divisores de a3 = 3 sa˜o −3, −1, 1 e 3, segue-se que os
candidatos a raiz racional da func¸a˜o polinomial p sa˜o −1/3, −1, 1 e 1/3. Mas
p(−1/3) = −14/9, p(−1) = −4, p(1) = 6 e p(1/3) = 0.
Logo, α = 1/3 e´ a u´nica raiz racional de p. Usando o dispositivo de Horner,
3 2 2 − 1
1
3
1 1 1
3 3 3 0
,
conclu´ımos que p(x) = (x−1/3) (3 x2+3 x+3) = 3 (x−1/3)(x2+x+1). Como a func¸a˜o
quadra´tica q(x) = x2+x+1 na˜o possui ra´ızes reais (pois Δ = (1)2−4 (1) (1) = −3 < 0)
e q(0) = 1 > 0, segue-se que q(x) > 0 para todo x ∈ R. Sendo assim, p(x) > 0 se, e
somente se, x− 1/3 > 0, isto e´, se, e somente se, x > 1/3. Portanto, o domı´nio efeito
de f e´ o conjunto D = (1/3,+∞).
[05] (a) (1.0) Mostre que se f : R → R e´ uma func¸a˜o ı´mpar que e´ crescente no inter-
valo [0,+∞), enta˜o f tambe´m e´ crescente no intervalo (−∞, 0].
(b) (1.0) Verdadeiro ou falso? Se f : R → R e´ uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o f(0) = 0.
Apresente uma demonstrac¸a˜o caso a sentenc¸a seja verdadeira e um contraexemplo
caso ela seja falsa.
Soluc¸a˜o.
(a) Sejam x1, x2 ∈ (−∞, 0], com x1 < x2. Mas se x1 < x2, enta˜o −x1 > −x2 e, se
x1, x2 ∈ (−∞, 0], enta˜o −x1,−x2 ∈ [0,+∞). Como, por hipo´tese, f e´ crescente
no intervalo [0,+∞), segue-se que
f(−x1) > f(−x2).
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Sabemos que, por hipo´tese, f e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Logo, f(−x1) = −f(x1) e
f(−x2) = −f(x2). Assim,
f(−x1) > f(−x2)⇒ −f(x1) > −f(x2)⇒ f(x1) < f(x2).
Mostramos enta˜o que, para todo x1, x2 ∈ (−∞, 0], com x1 < x2, tem-se f(x1) <
f(x2). Logo, f e´ crescente no intervalo (−∞, 0].
(b) A sentenc¸a e´ verdadeira. De fato: se f : R → R e´ ı´mpar, enta˜o f(−x) = −f(x)
para todo x ∈ R. Em particular, f(−0) = −f(0), isto e´, f(0) = −f(0) e, portanto,
2 f(0) = 0. Logo, f(0) = 0.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 05/12/2010.
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