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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 10 2o Semestre de 2017 Prof. Moise´s Lima de Menezes Gabarito 1. Assuma que existem duas caixas de tal forma que na primeira caixa ha´ 3 bolas brancas e 7 pretas e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que ela e´ preta. Qual a probabilidade de que a caixa onde foi extra´ıda a bola seja a: (a) A primeira? (b) A segunda? 2. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro e´ de 3 4 , de um indiv´ıduo de classe B e´ 1 6 e um indiv´ıduo de classe C e´ 1 20 . A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro da marca D e´ 1 10 , do indiv´ıduo da classe B e´ 3 5 e de um indiv´ıduo da classe C e´ 3 10 . Em certa loja, um carro da marca D foi vendido. Qual a probabilidade de que o comprador tenha sido da classe B ? 3. Em certo cole´gio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais de de 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja uma mulher? 4. Treˆs ma´quinas ( A , B e C ) produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de pec¸as de uma fa´brica. As porcentagens de pec¸as defeituosas nas respectivas ma´quinas sa˜o 3%, 5% e 2%. Uma pec¸a e´ sorteada ao acaso e verifica-se que e´ defeituosa. Qual a probabilidade de que a pec¸a tenha vindo da ma´uina B . 5. Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma populac¸a˜o tem tuberculose. Das pessoas que tem tu- berculose, 80% reagem positivamente ao teste Y , enquanto que apenas 30% dos que na˜o tem tuberculose reagem positivamente ao teste Y . Uma pessoa da populac¸a˜o e´ selecionada ao acaso e o teste Y e´ aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se ela reagiu positivamente ao teste? 6. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construc¸a˜o. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, ha´ apenas 25% de chance de a sua firma ganhar a con- correˆncia. Se seu concorrente na˜o apresenta a proposta, ha´ 2 3 de chance de a sua firma ganhar a concorreˆncia. A chance de seu principal concorrente apresnetar proposta e´ de 50%. (a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorreˆncia? (b) Qual a probabilidade de seu principal concorrente ter apresentado a proposta, dado que a sua firma ganhou a concorreˆncia? 1 Soluc¸o˜es: 1. Sejam os eventos: 1 : “selecionar a caixa 1”; 2 : “selecionar a caixa 2”; B : “selecionar uma bola branca”; P : “selecionar uma bola preta”; (P |1) : “bola preta na caixa 1”; (P |2) : “bola preta na caixa 2”. Assim, temos as probabilidades: P (1) = P (2) = 1 2 . Pois temos duas caixas equiprova´veis. a) Estamos interessados em P (1|P ) . Pelo Teorema de Bayes: P (1|P ) = P (1)P (P |1) P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) . Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7 10 . Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5 6 . Assim: P (1|P ) = 1 2 × 7 10 1 2 × 7 10 + 1 2 × 5 6 = 7 10 7 10 + 5 6 = 7 10 21+25 30 = 21/30 46/30 = 21 46 . b) Estamos interessados em P (2|P ) . Pelo Teorema de Bayes: P (2|P ) = P (2)P (P |2) P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) . Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7 10 . Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5 6 . Assim: P (2|P ) = 1 2 × 5 6 1 2 × 7 10 + 1 2 × 5 6 = 5 6 7 10 + 5 6 = 5 6 21+25 30 = 25/30 46/30 = 25 46 . 2. Temos as seguintes probabilidades: P (A) = 3 4 ; P (B) = 1 6 ; P (C) = 1 20 ; P (D|A) = 1 10 ; P (D|B) = 3 5 ; P (D|C) = 3 10 . Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Teorema de Bayes: P (B|D) = P (B)P (D|B) P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) . 2 Logo: P (B|D) = 1 6 × 3 5 3 4 × 1 10 + 1 6 × 3 5 + 1 20 × 3 10 = 3/30 3 40 + 3 30 + 3 200 . (multiplicando por 10) P (B|D) = 3/3
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