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Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 15 26 de novembro de 2010 Aula 15 Pré-Cálculo 1 A função quadrática Aula 15 Pré-Cálculo 2 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0 (1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. (2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y . (3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. (4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x . Aula 15 Pré-Cálculo 3 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0 (1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. (2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y . (3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. (4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x . Aula 15 Pré-Cálculo 4 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0 (1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. (2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y . (3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. (4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x . Aula 15 Pré-Cálculo 5 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0 (1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. (2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y . (3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. (4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x . Aula 15 Pré-Cálculo 6 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0 (1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. (2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y . (3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. (4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x . Aula 15 Pré-Cálculo 7 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c (5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x em dois pontos de abscissas: x1 = −b −√∆ 2 · a a x2 = −b +√∆ 2 · a . (6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x no ponto de abscissa: x1 = − b2 · a . Aula 15 Pré-Cálculo 8 A função quadrática y = f (x) = a · x2 + b · x + c (5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x em dois pontos de abscissas: x1 = −b −√∆ 2 · a a x2 = −b +√∆ 2 · a . (6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x no ponto de abscissa: x1 = − b2 · a . Aula 15 Pré-Cálculo 9 A função quadrática (Ir para o GeoGebra) Aula 15 Pré-Cálculo 10 Completamento de quadrados Aula 15 Pré-Cálculo 11 Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 − 8 x + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + ? ) − ? + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + 16 ) − 16 + 15 = ( x − 4 )2 − 1 Aula 15 Pré-Cálculo 12 Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 − 8 x + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + ? ) − ? + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + 16 ) − 16 + 15 = ( x − 4 )2 − 1 Aula 15 Pré-Cálculo 13 Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 − 8 x + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + ? ) − ? + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + 16 ) − 16 + 15 = ( x − 4 )2 − 1 Aula 15 Pré-Cálculo 14 Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 − 8 x + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + ? ) − ? + 15 = ( x2 − 2 (x) (4) + 16 ) − 16 + 15 = ( x − 4 )2 − 1 Aula 15 Pré-Cálculo 15 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 16 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 17 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 18 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 19 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 20 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 21 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0 ⇔ (x − 4)2 = 1 ⇔ √ (x − 4)2 = √ 1 ⇔ |x − 4| = 1 ⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1 ⇔ x = 3 ou x = 5. Aula 15 Pré-Cálculo 22 Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 3 x + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + ? ) − ? + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + 9 4 ) − 9 4 + 2 = ( x + 3 2 )2 − 1 4 . Aula 15 Pré-Cálculo 23 Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 3 x + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + ? ) − ? + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + 9 4 ) − 9 4 + 2 = ( x + 3 2 )2 − 1 4 . Aula 15 Pré-Cálculo 24 Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 3 x + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + ? ) − ? + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + 9 4 ) − 9 4 + 2 = ( x + 3 2 )2 − 1 4 . Aula 15 Pré-Cálculo 25 Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 3 x + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + ? ) − ? + 2 = ( x2 + 2 (x) ( 3 2 ) + 9 4 ) − 9 4 + 2 = ( x + 3 2 )2 − 1 4 . Aula 15 Pré-Cálculo 26 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 27 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 28 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 14 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 29 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 30 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 31 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 32 Completamento de quadrados: exemplo 2 Logo: x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 − 1 4 = 0 ⇔ ( x + 3 2 )2 = 1 4 ⇔ √( x + 3 2 )2 = √ 1 4 ⇔ ∣∣∣∣x + 32 ∣∣∣∣ = 12 ⇔ x + 3 2 = −1 2 ou x + 3 2 = 1 2 ⇔ x = −2 ou x = −1. Aula 15 Pré-Cálculo 33 Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. 2 x2 − 3 x + 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + ? ) − ? − 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + 9 16 ) − 9 8 − 1 = 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 Aula 15 Pré-Cálculo 34 Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. 2 x2 − 3 x + 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + ? ) − ? − 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + 9 16 ) − 9 8 − 1 = 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 Aula 15 Pré-Cálculo 35 Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. 2 x2 − 3 x + 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + ? ) − ? − 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + 9 16 ) − 9 8 − 1 = 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 Aula 15 Pré-Cálculo 36 Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. 2 x2 − 3 x + 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + ? ) − ? − 1 = 2 ( x2 − 2 (x) ( 3 4 ) + 9 16 ) − 9 8 − 1 = 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 Aula 15 Pré-Cálculo 37 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 38 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 39 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 40 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 41 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 42 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 43 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 ( x − 3 4 )2 − 1 8 = 0 ⇔ ( x − 3 4 )2 = 1 16 ⇔ √( x − 3 4 )2 = √ 1 16 ⇔ ∣∣∣∣x − 34 ∣∣∣∣ = 14 ⇔ x − 3 4 = −1 4 ou x − 3 4 = 1 4 ⇔ x = 1 ou x = 1 2 . Aula 15 Pré-Cálculo 44 Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. − x2 + 2 x − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + ? ) + ? − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + 1 ) + 1 − 1 = − ( x − 1 )2 Aula 15 Pré-Cálculo 45 Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. − x2 + 2 x − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + ? ) + ? − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + 1 ) + 1 − 1 = − ( x − 1 )2 Aula 15 Pré-Cálculo 46 Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. − x2 + 2 x − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + ? ) + ? − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + 1 ) + 1 − 1 = − ( x − 1 )2 Aula 15 Pré-Cálculo 47 Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. − x2 + 2 x − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + ? ) + ? − 1 = − ( x2 − 2 (x) (1) + 1 ) + 1 − 1 = − ( x − 1 )2 Aula 15 Pré-Cálculo 48 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 49 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 50 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 51 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 52 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 53 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 54 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ √ (x − 1)2 = √ 0 ⇔ |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Aula 15 Pré-Cálculo 55 Completamento de quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 2 x + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + ? ) − ? + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + 1 ) − 1 + 4 = ( x + 1 )2 + 3 Aula 15 Pré-Cálculo 56 Completamentode quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 2 x + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + ? ) − ? + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + 1 ) − 1 + 4 = ( x + 1 )2 + 3 Aula 15 Pré-Cálculo 57 Completamento de quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 2 x + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + ? ) − ? + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + 1 ) − 1 + 4 = ( x + 1 )2 + 3 Aula 15 Pré-Cálculo 58 Completamento de quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: (u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2. x2 + 2 x + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + ? ) − ? + 4 = ( x2 + 2 (x) (1) + 1 ) − 1 + 4 = ( x + 1 )2 + 3 Aula 15 Pré-Cálculo 59 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 60 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 61 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 62 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 63 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 64 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇔ (x + 1)2 = −3. Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 65 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 66 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 67 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 68 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 69 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 70 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 71 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + ? ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ? + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − b 2 4a + c = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 4a − c ) = a ( x2 + 2 (x) ( b 2a ) + b2 4a2 ) − ( b2 − 4ac 4a ) = a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 72 A forma canônica do trinômio Aula 15 Pré-Cálculo 73 A forma canônica do trinômio Forma canônica do trinômio: se a 6= 0, então a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) Aula 15 Pré-Cálculo 74 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Aula 15 Pré-Cálculo 75 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 76 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 77 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 78 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 79 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 80 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 81 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 82 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 83 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 − ( ∆ 4a ) = 0 ⇔ a ( x + b 2a )2 = ∆ 4a ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 . Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então ∆ 4a2 < 0 e ( x + b 2a )2 ≥ 0. Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui solução real. Aula 15 Pré-Cálculo 84 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 85 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 86 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 87 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 88 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 89 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 90 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 91 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 92 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. a x2 + b x + c = 0 ⇔ ( x + b 2a )2 = ∆ 4a2 ⇔ √( x + b 2a )2 = √ ∆ 4a2 ⇔ ∣∣∣∣x + b2a ∣∣∣∣ = √ ∆√ 4a2 = √ ∆ 2|a| = ∣∣∣∣∣ √ ∆ 2a ∣∣∣∣∣ ⇔ x + b 2a = − √ ∆ 2a ou x + b 2a = + √ ∆ 2a ⇔ x = − b 2a − √ ∆ 2a ou x = − b 2a + √ ∆ 2a ⇔ x = −b − √ ∆ 2a ou x = −b +√∆ 2a . Aula 15 Pré-Cálculo 93 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resoluçãoda equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 94 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 95 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 96 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 97 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 98 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 99 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 100 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundograu, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 101 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. Aula 15 Pré-Cálculo 102 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 103 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 104 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 105 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 106 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 107 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 108 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 109 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 110 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízesda equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 111 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 112 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual a s). Logo, o seu produto é igual a p = x(s − x) = s x − x2, de modo que x2 − s x + p = 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Aula 15 Pré-Cálculo 113 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Aula 15 Pré-Cálculo 114 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 115 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 116 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 117 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 118 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 119 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então g(x) = a f (x + r) + s, onde r = b 2a e s = −b 2 − 4ac 4a . Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2. Aula 15 Pré-Cálculo 120 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática (Ir para o GeoGebra) Aula 15 Pré-Cálculo 121 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f (x) = a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , têm coordenadas V = ( − b 2a ,−b 2 − 4ac 4a ) . Aula 15 Pré-Cálculo 122 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f (x) = a x2 + b x + c = a ( x + b 2a )2 − ( b2 − 4ac 4a ) , têm coordenadas V = ( − b 2a ,−b 2 − 4ac 4a ) . Aula 15 Pré-Cálculo 123 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática (http://www.uff.br/cdme/fqa/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/fqa/) Aula 15 Pré-Cálculo 124 A função quadrática Completamento de quadrados A forma canônica do trinômio Aplicação: raízes de uma equação quadrática Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
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