04 - Matemática para Negócios

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Centro Universitário IESB | Superintendência de Educação a Distância | 
 
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PLANO DE ENSINO 
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
1. IDENTIFICAÇÃO: 
Disciplina: MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Carga Horária: 100h 
Conteudista: 
2. EMENTA: 
Intervalos e Inequações. Funções, Equação da Reta, Gráficos de Funções. Frações Parciais. Limites. Continuidade de 
Funções. Derivadas. Regras de Derivação. Operações financeiras. Juros simples e compostos. Taxas proporcionais e 
equivalentes. Descontos simples e composto. Taxa nominal versus taxa efetiva. Equivalência simples e composta de 
capitais. Anuidades. Sistemas de Amortização. 
3. COMPETÊNCIA E HABILIDADES: 
C1 Compreender os intervalos e inequações, funções, equação da reta, gráfico de funções, funções parciais, 
limites, continuidade de Funções 
 
C2 Identificar derivadas, regras de derivação, operações financeiras, juros simples e compostos, taxas 
proporcionais e equivalentes 
 
C3 Analisardescontos simples e composto, taxas nominal versus taxa efetiva, equivalência simples e composta 
de capitais, anuidades, sistemas de amortização 
 
4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: 
UNIDADE 1 | Conjuntos, Intervalos e Funções 
Aula 01 | Expressões Algébricas 
Aula 02 | Frações Agébricas, Racionalização e Frações Parciais 
Aula 03 | Funções 
Aula 04 |A Forma Analítica da Reta 
Aula 05 |Função do 1 Grau 
Aula 06 |Função do 2 Grau 
UNIDADE 2 | Regime Simples e Juros Compostos 
Aula 01 | Juros Simples 
Aula 02 | Juro Exato e Comercial 
Aula 03 | Desconto Simples 
Aula 04 |Equivalência Simples e Capitais 
Aula 05 |Juros Compostos (Parte 1) 
Aula 06 |Juros Compostos (Parte 2) 
 
UNIDADE 3 | Tipos de Rendas (Anuidades) e Análise de Investimentos 
Aula 01 |Desconto Composto 
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Aula 02 | Equivalência Composta de Capitais 
Aula 03 |Classificação de Rendas Certas ou Anuidades 
Aula 04 |Tipos de Anuidades 
Aula 05 |Análise de Investimento (Parte 1) 
Aula 06 |Análise de Investimentos (Parte 2) 
UNIDADE 4 |Sistema de Amortização 
Aula 01| Sistema de Amortização Constante 
Aula 02 | Sistema de Amortização Francês (Price) 
Aula 03 |Sistema de Amortização Misto 
Aula 04 |Sistema de Amortização Americano 
Aula 05 |Sistema de Amortização Variável 
Aula 06 |Depreciação, Inflação e Deflação 
 
5. DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO: 
Os materiais da disciplina ficam disponíveis on-line no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), 
organizados em mídias em formato de textos, imagens e vídeos, bem como em atividades estruturadas por 
meio recursos interativos síncronos e assíncronos. Os conteúdos são separados em quatro unidades, com as 
temáticas pautadas no desenvolvimento das competências necessárias para o desenvolvimento dos 
conhecimentos, habilidades e atitudes aderentes.O acompanhamento dos professores é feito pelo 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, as discussões são feitas através da mediação dos fóruns de discussão, 
via webconferências e pela ferramenta mensagem. 
6. SISTEMA DE AVALIAÇÃO: 
O processo de avaliação da disciplina é contínuo, por meio de atividades avaliativas integradas presenciais e 
a distância, cujo propósito é formativo. Deste modo, as atividades avaliativas são distribuídas para 
acompanhar o progresso do desempenho acadêmico do estudante durante toda a oferta da disciplina. As 
ações avaliativas a distância são realizadas on-line, exclusivamente através do Ambiente Virtual de 
Aprendizagem. Já as avaliações presenciais ocorrem estritamente nos campi ou polos do IESB que o aluno 
está matriculado. 
7. BIBLIOGRAFIA: 
B
ás
ic
a • MURAKAMI, C; IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. v. 1. 9. ed. São Paulo: 
Atual,2013. 
• GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
• THOMAS, G. B.; WEIR, M.; HASS, J.; GIORDANO, F. Cálculo. v. 1. 11. ed. São Paulo: 
Pearson, 2009. 
• MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1993. 
• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 
2002. 
• LAPPONI, J. C. Matemática Financeira Usando Excel: como medir criação de valor. São 
Paulo:Lapponi Treinamento e Editora, 2002. 
• BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática Financeira com HP 12C e excel. 5ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
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p
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m
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ta
r 
• LIMA, D. M.; GONZALEZ, L. E. F. Matemática aplicada à informática. [S.l.]: Bookman, 2015.(Série 
Tekne) VitalSource Bookshelf Online. 
• DANTE, L. R. Formulação e resolução de problemas da matemática: teoria e prática. [S.l.]:Ática. 196 
p. ISBN 9788508127306. Disponível 
em:<http://iesb.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788508127306>. 
• BONAFINI, F. C. Matemática. [S.l.]: Pearson. 139 p. ISBN 9788564574410. Disponível 
em:<http://iesb.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788564574410>. 
• RAMOS, L. F. Conversas sobre números, ações e operações: uma proposta criativa para oensino da 
matemática nos primeiros anos. [S.l.]: Ática. 158 p. ISBN 9788508125685. Disponívelem: 
<http://iesb.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788508125685>. 
• CHAMBERS, P.; TIMLIN, R. Ensinando matemática para adolescentes. 2. ed. Penso, 2015.VitalSource 
Bookshelf Online. 
• SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. [S.l.]: Pearson. 306 p. ISBN 9788576057994.Disponível 
em: <http://iesb.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576057994>. 
• MERCHEDE, A. Matemática financeira para usuários do excel e da calculadora HP 12C. SãoPaulo: 
Atlas, 2002. 
• CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira,engenharia 
econômica, tomada de decisão, estratégias empresarial. 9. ed. São Paulo: Atlas,2000. 9a Edição: 
Atlas, 2000. 
• ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 6 ª edição, São Paulo: Atlas, 2003. 
NOTA: O cronograma detalhado da realização das atividades da disciplina pode ser encontrado no menu 
“Cronograma de Atividades” na sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
UIA 1 | CONJUNTOS, INTERVALOS E FUNÇÕES 
 
 
! VERSÃO PARA IMPRESSÃO 
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Este material é destinado exclusivamente aos alunos e professores do Centro Universitário IESB, contém 
informações e conteúdos protegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução total ou 
parcial não autorizado deste conteúdo é proibido e está sujeito às penalidades cabíveis, civil e 
criminalmente. 
 
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SUMÁRIO 
 
Introdução ..................................................................................................................................... 5!
Aula 1 | Expressões Algébricas .................................................................................................... 6!
1.1. Representações ............................................................................................................................... 7!
1.2. Valor Numérico ................................................................................................................................ 7!
1.3. Monômios ........................................................................................................................................ 7!
1.4. Operações com monômios ............................................................................................................. 8!
1.5. Polinômios ....................................................................................................................................... 8!
1.6. Produtos Notáveis ........................................................................................................................10!
1.7. Fatoração ...................................................................................................................................... 12!
Aula 2 | Frações Algébricas, Racionalização e Frações Parciais ............................................. 14!
2.1. Frações Algébricas ........................................................................................................................ 14!
2.2. Simplificação de Frações Algébricas ........................................................................................... 14!
2.3. MMC de Polinômios ...................................................................................................................... 15!
2.4. Adição e Subtração de Frações Algébricas ................................................................................. 15!
2.5. Multiplicação e Divisão de Frações Algébricas .......................................................................... 16!
2.6. Racionalização .............................................................................................................................. 17!
2.7. Frações Parciais ............................................................................................................................ 18!
Aula 3 | Funções ......................................................................................................................... 21!
3.1. Relações entre grandezas ............................................................................................................ 21!
3.2. Funções ......................................................................................................................................... 22!
3.3. Domínio e Imagem ....................................................................................................................... 23!
3.4. Gráficos .......................................................................................................................................... 24!
3.5. Translação de Gráficos ................................................................................................................. 26!
3.6. Paridade ........................................................................................................................................ 28!
Aula 4 | A Forma Analítica da Reta ........................................................................................... 29!
4.1. Equação de Reta ........................................................................................................................... 29!
4.2. Resumo das Equações .................................................................................................................. 32!
4.3. Retas Paralelas .............................................................................................................................. 32!
4.4. Retas Perpendiculares .................................................................................................................. 33!
4.5. Interseção ...................................................................................................................................... 34!
1ª Forma: Substituição ..................................................................................................................................................................... 35!
2ª Forma: Adição ................................................................................................................................................................................ 35!
Aula 5 | Função do 1º Grau ........................................................................................................ 37!
5.1. Função Constante ......................................................................................................................... 37!
5.2. Função Identidade ........................................................................................................................ 37!
5.3. Função Linear ................................................................................................................................ 38!
5.4. Função Afim .................................................................................................................................. 39!
5.5. Estudo de Sinal da Função do 1º Grau ........................................................................................ 40!
Aula 6 | Função do 2º Grau ........................................................................................................ 44!
6.1. Função do 2º Grau ........................................................................................................................ 44!
6.2. Gráfico ........................................................................................................................................... 45!
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6.3. Translação ..................................................................................................................................... 46!
6.4. Zeros da Função do 2º Grau ......................................................................................................... 49!
6.5. Estudo de Sinal da Função do 2º Grau ........................................................................................ 50!
6.6. Problemas de Otimização – Coordenadas do Vértice ................................................................ 53!
Referências ................................................................................................................................. 55!
Glossário .................................................................................................................................... 55!
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Olá, estudante, bem-vindo(a) à disciplina Matemática para Negócios! 
 
Nesta disciplina, estudaremos como lidar com problemas financeiros que podem acontecer no dia a dia das 
organizações e no cotidiano de cada um de nós. A base para solucioná-los é conceituada através da aplicação 
das ferramentas da Matemática e da Matemática Financeira, que servirão também para o desenvolvimento do 
raciocínio lógico, crítico e analítico em estudantes com problemas com operações financeiras. 
O plano de ensino está dividido em quatro Unidades de Interação e Aprendizagem (UIAs). Nas duas primeiras 
UIAs, relembraremos os cconceitos de expressões algébricas e funções e em seguida trataremos dos conceitos e 
aplicações de juros simples e compostos e da utilização de taxas. Na terceira UIA, serão abordados os tipos de 
descontos simples e compostos, equivalências simples e compostas utilizadas no mercado financeiro, os tipos 
de rendas ou anuidades, suas classificações e modelos. Abordaremos também as técnicas de análise de 
investimentos como ferramenta fundamental para um administrador na tomada de decisões. Na quarta UIA, 
buscaremos compreender os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos mais utilizados no 
Brasil e noções referentes à inflação e deflação. 
Isso capacitará você, estudante, para a busca de maior eficiência em atividades ligadas às finanças 
pessoais, concursos e outras disciplinas importantes deste curso. Permitirá o entendimento do fluxo 
financeiro empresarial e alguns indicadores econômicos. Contribuirá para a sugestão de mudanças em 
processos financeiros com a finalidade de minimizar o seu custo e de fomentar a sua melhoria contínua. 
Proporcionará ainda aos gestores a tomada de decisão por investimentos em projetos inovadores e de 
maior vulto aos negócios da empresa. 
O objetivo é assegurar ao estudante o domínio, o conhecimento e a aplicação da 
Matemática Financeira de maneira que possa compreender os seus conceitos e 
aplicar as suas técnicas com rapidez e segurança!Entre as habilidades e competências a serem desenvolvidas, destacam-se: 
•! Dominar os cálculos de juros simples e compostos, taxas, prazos e montantes. 
•! Diferenciar os tipos de taxas existentes. 
•! Identificar valores nominais de títulos. 
•! Desenvolver equivalência de capitais em juros simples e compostos. 
•! Diferenciar os tipos de desconto. 
•! Diferenciar os tipos de anuidades e saber aplicá-los. 
•! Dominar técnicas de análise de investimentos. 
•! Definir, classificar e desenvolver formas de amortização. 
•! Aprender o tratamento da inflação no cálculo financeiro. 
 
Desejo a você bons estudos e um ótimo aprendizado! Vamos juntos. 
Bons estudos. 
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Aula 1 |!EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Estudante, chegou a hora de estudar as expressões algébricas. Veremos aqui importantes conceitos, como 
representações, valor numérico, monômios e polinômios, produtos notáveis e fatoração. Continue os estudos 
desta disciplina e boa aula! 
 
Termos algébricos são amplamente utilizados por quem precisa ler e expressar-se matematicamente, tanto 
para representar padrões, como para produzir ou representar generalizações, como nos exemplos abaixo: 
a.! Chamamos de Números Triangulares os números obtidos pela disposição de pontos em 
forma de triângulos equiláteros (lados de medidas iguais): 
 
Vemos que os números triangulares são !"! = , !"#$" =+= , !"#$%" =++= , 
!"#$%!&# =+++= . Logo, ao perceber o padrão e tentar generalizar – obter uma expressão 
algébrica que expresse o número triangular de ordem n – obtemos (soma dos n primeiros termos 
de uma progressão aritmética): 
( )
!
"###$!"%#
+!=++++= ! . 
b.! b. Um taxista cobra, em uma segunda-feira entre 8h e 17h, R$ 3,50 pela bandeirada e mais 
R$ 2,30 pelo quilômetro rodado. Apresentamos uma tabela de valores de viagens feitas por 
esse taxista: 
Km rodado por 
viagem Valor da viagem 
1 !!"#$!"%&$!"' =!+ 
2 50,850,2250,3 =!+ 
3 !!"##$!"%&$!"& =!+ 
4 !"#$%!"#&'!"#% =!+ 
!!! !!! 
K !"#$%&"#$' =!+ 
Ou seja, podemos generalizar o valor de uma viagem feita por esse taxista, em uma segunda-feira entre 
8h e 17h, pela expressão algébrica 
!"#$%!"#&' +!= 
Assim, consideramos importante fazer algumas considerações a respeito das expressões algébricas: 
! 
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1.1.!REPRESENTAÇÕES 
Operações matemáticas podem ser representadas por expressões algébricas: 
I.! A soma de dois números: !" + 
II.! O triplo de um número: !" ! 
III.! A soma de um número com a raiz quadrada de outro: !"+ 
IV.!O quadrado da soma de dois números: ( )!"# + 
V.! A soma dos quadrados de dois números: !! "# + 
VI.! A soma dos inversos de dois números: 
!
"
#
" + 
VII.!O inverso da soma de dois números: 
!"
#
+
 
1.2.!VALOR NUMÉRICO 
Expressões algébricas podem ter seu valor numérico calculado: 
I.! Calcule !
"
#
" +
 para !" = e !" = : !
"
!
#$
$
%
#
%
&
%
'
% =+=+=+
. 
II.! Calcule 
!
"#$ + para !" != e !" = : !"
!
#!$
%
#&$' ! =+=+! . 
Observação: podemos calcular valores numéricos de expressões algébricas desde sejam respeitados 
regras como a não divisão por zero. 
 
1.3.!MONÔMIOS 
Os monômios são as expressões algébricas mais simples. São formados pela multiplicação de números 
reais e literais (letras do nosso alfabeto). Apresentam uma parte numérica, chamado de coeficiente, e uma 
parte literal. 
Exemplos: 
Fatores Monômio Parte numérica Parte literal 
!"#"#"$"% !"# $ ! !"# 
!"!"#"#"#"$ !"#$ ! !"#$ 
!"#"#"$$"%"&! !"##$ %! !!"! !"# 
!"!"#"$"$"
%
& !!
!!
"#$
%
&
%
"#$ = !
"
 !!"#$ 
!"!"!"!"! !"! ! !" 
!"# !" !" não tem 
 
Monômios que apresentam a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes. 
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Não são considerados monômios: 
!"
# , !" , !"
#$! , !" , pois fogem da definição inicial; são 
considerados apenas expressões algébricas. 
 
1.4.!OPERAÇÕES COM MONÔMIOS 
Podemos operar monômios: 
I.! Adição/Subtração: só podemos obter a soma/diferença de monômios semelhantes. 
Preservamos a parte literal e adicionamos/subtraímos a parte numérica. 
Exemplo: !!!!! "##$%$"&"##$'$"#($&$"% ++!=++!+ . 
II.! Multiplicação: podemos multiplicar todos os tipos de monômios (não somente os 
semelhantes). Multiplicamos a parte numérica e, para a parte literal, utilizamos a famosa 
regra: conserva a base e adiciona os expoentes. 
Exemplo: !"#$$ %&$'(&%'(&#&%) =!! . 
III.! Divisão: podemos dividir todos os tipos de monômios, só que com uma restrição: o 
expoente de cada literal do divisor deve ser menor ou igual ao expoente de cada literal do 
dividendo. Dividimos a parte numérica e, para a parte literal, utilizamos a regra: conserva a 
base e subtrai os expoentes. 
Exemplo: !"#$%##$# &'
"
#&'
%(
"!'&%(&'"! ==÷ !! . 
IV.! Potenciação: a potência se distribui entre os fatores do monômio. Utilizamos a regra: 
conserva a base e multiplica os expoentes. 
Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !""#$%&%'%"%%&'" ()*$!()*&()*& =!!!"=" . 
V.! Radiciação: a raiz também se distribui entre os fatores do monômio. Utilizamos a regra: 
conserva a base e divide os expoentes. 
Exemplo: !"#$!"#$!"#%$!"#%$ &'&
&
&
(
&
%
& && (& %&& &(% =!!!=!!!= . 
 
1.5.!POLINÔMIOS 
Os polinômios são formados pela adição/subtração de um ou mais monômios. São expressões algébricas 
que recebem tratamento especial, pois apresentam uma estrutura para as operações de adição e 
multiplicação parecida com o conjunto dos números inteiros !. Os polinômios mais comuns são em uma 
única variável e têm a forma 
!"
#
#
"$
"$
$
$ %&%&%'''&%&%(&)* +++++=
!
! . 
Vamos apresentar, através de exemplos, as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de 
polinômios: 
 
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I.! !"#$"%&
' +!= e !"#$"%&"'(
! !+= 
 ( ) ( ) !"!#"$%"!#"&$"'() %%% ++!=!+++!=+ 
( ) ( ) !"#$"##%"#$"&'"()* %%% +!!=!+!+!=! 
 
( ) ( ) =!+++!!=!+"+!=" !"#$"%&"%'"($"&)&"%$"'#"(*+ &&#'&& 
 
630267028 234 !++!!= xxxx 
 
Observação: 
Para efetuarmos a multiplicação, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação 
à adição (vulgo “chuveirinho”). 
II.! A divisão de polinômios será apresentada passo a passo. Faremos a seguinte divisão 
( ) ( )!"#""$"% $# !÷+!! . 
1º passo: dividimos o termo de mais alto grau do dividendo pelo termo de mais alto grau 
do divisor. Neste caso, !" #$##$ =÷ . 
 
2º passo: para calcularmos o resto (o que sobra) dessa primeira divisão, multiplicamos o 
quociente !"# por todo o divisor e subtraímos do dividendo: 
 
Agora, repetimos o 1º e 2º passos até obtermos um resto, cujo grau seja menor que o grau 
do divisor, neste caso, menor que 1, ou seja, grau zero ou indefinido que é o caso do 
polinômio nulo. 
 
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Observação: é fácil perceber que o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente adicionado ao 
resto, ou seja, 
( ) ( ) !"#$#%&#'##(#% ((' +++!"=+"+ 
 
1.6.!PRODUTOS NOTÁVEIS 
Existem algumas multiplicações que, de tão recorrentes, são estabelecidas por fórmulas que costumamos 
estudar para, quando aparecerem, apresentarmos seus resultados de forma direta. Esses são os famosos 
Produtos Notáveis. Apresentaremos os mais importantes: 
I.! ( ) ( ) ( ) !!!!! "#"!#"#"#"#"#"#"# ++=+++=+!+=+ , ou seja, 
( ) !!! "#"!#"# ++=+ . 
 
Observações: 
a.! o quadrado da soma de dois termos a e b é diferente da soma dos seus quadrados, ou seja, 
( ) !!! "#"# +!+ . Exemplo: 
( ) !"#$#%#% !!! !"+!+ . 
b.! os termos a e b podem ser positivos/negativos. Mesmo assim, apresentamos apenas uma 
fórmula – todas as situaçõessão descritas por essa única fórmula. 
c.! o quadrado da soma pode ser interpretado pela figura abaixo: 
 
 
A área do quadrado maior ( )!"# + deve ser igual à soma das áreas das figuras menores 
2222 2 bababbabaa ++=+!+!+ . Portanto, ( ) !!! "#"!#"# ++=+ . 
II.! ( ) ( ) !!!! "#"#"#"#"#"# !=!+!=!"+ , ou seja, 
( ) ( ) !! "#"#"# !=!"+ . 
! 
quadrado da soma 
produto da soma pela diferença 
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cubo da soma 
III.! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+!++=+!+=+ !"!"!#"!"!"!" ###$ 
3223322223 3322 babbaabababbabaa +++=+++++= , ou seja, 
( ) !""!! #$#!#$!$#$ +++=+ . 
 
IV.! ( ) ( ) ( ) !"#"!#!""#!##"#!# $$ +++=+++=+!+ , ou seja, 
( ) ( ) ( ) !"#"!#"#!# $ +++=+!+ . 
 
v. ( ) ( )=+++!" "" !"!"!! #$##$$#$ ! 
=!!!!!++++= +!!+ !""!"#""!"#"!" $%$%$$%%$%$$%% !! 
!"!" #$ ++ != , ou seja, 
( ) ( ) !"!""!"!"" #$#$##$$#$ ++!! !=++++"! ! . 
Observação: este último produto notável tem casos particulares que utilizamos com frequência 
para ( ) ( ) !! "#"#"#$%& !=+"!= 
para ( ) ( ) !!"" #$##$$#$%"& !=++"!= 
para ( ) ( ) !!"##" $%$%$$%%$%&"' !=+++"!= 
para ( ) ( ) !!"#$$#" %&%&%&%%&&%&'"( !=++++"!= 
 
Para finalizar, o produto notável chamado Binômio de Newton: 
vi. ( ) !"#!#$$!##!"!! %&
!
!
%&
#!
!
'''%&
$
!
%&
#
!
%&
"
!
%& !!"
#
$$%
&
+!!"
#
$$%
&
'
++!!"
#
$$%
&
+!!"
#
$$%
&
+!!"
#
$$%
&
=+ ''' , 
em que o termo !!"
#
$$%
&
!
"
 é chamado número binomial n,k e representa a combinação de n elementos 
tomados k a k. Seus valores são apresentados no famoso triângulo de pascal: 
produto de Stevin 
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!
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"
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#
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$
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#
#
$
#
%
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&
#
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#
$$%
&
!!"
#
$$%
&
!!"
#
$$%
&
 
 
!!!
"#"$%&"$#"
"$"&"&$"
"'#'"
"(("
"%"
""
"
 
 
Observação: apresentemos o binômio de Newton para !" = : 
(x + y)6 = 1!x6 + 6!x5y + 15!x4y2 + 20!x3y3 + 15!x2y4 + 6!xy5 + 1!y6 
 
1.7.!FATORAÇÃO 
Agora, o procedimento inverso ao produto notável: a Fatoração. Dado um polinômio !"#$ queremos 
encontrar polinômios (fatores) !"#$ e !"#$ para os quais !"#$!"#%!"#& != . Apresentaremos, através de 
exemplos, as técnicas mais importantes: 
FATOR COMUM: procuramos entre as parcelas do polinômio fatores que sejam comuns e os colocamos em 
evidência: 
a. ( )!""#""$! %&%!&"%&$%&$%&'"%&( +!"=+! 
Após encontrar o fator comum !"# $ , o outro fator dentro do parêntesis é obtido pela divisão do 
polinômio original por !"# $ : 
!
!
"
#!
$#%
$#& = , !"#
"!$
"!%&
&
&$
!=! e !"
#"
$
$%&
$%& = 
b. !
"
#$
%
& ++'=++ !!"!!" #
"
!$#
%
&$$#
"
!$#
'
(#$
!)
)*#$
"
!
 
Após encontrar o fator comum !"
#
$ , o outro fator dentro do parêntesis é obtido pela divisão do 
polinômio original por !"
#
$ : 
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#
#$!
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$#!
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$
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!"
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%%
=!= e 
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13 
!
"
"
#
"
!
$#!
"
%
$#&
$#
"
!
$#
%
&
=!= 
AGRUPAMENTO: agrupamos, mentalmente, os termos do polinômio (de dois em dois ou três em três) e, 
dentro de cada agrupamento, fatoramos. 
a. ( ) ( ) =+++=+++ !"!#$"$#!"!#$"$# 
( ) ( ) ( ) ( )!"#$#$!#$" +!+=+!++!= . 
b. ( ) ( )=+++=+++ !""!"" #$%&#'&#(&!#$%&#'&#(&! 
( ) ( ) ( ) ( )!! "#$%"!$"!$"#"!$$% +!+=+!++!= 
DIFERENÇA DE QUADRADOS: é o procedimento inverso ao produto notável da soma pela diferença 
( ) ( ) !! "#"#"# !=!"+ . É apresentada uma diferença entre quadrados perfeitos e a fatoração é 
obtida escrevendo o lado esquerdo da equação acima. 
a. ( ) ( )!"#$!"#$!%&#' (( !"+=! 
b. !
"
#$
%
& '(!
"
#$
%
& +='
!
"
#
$
!
"
#
$
%&
"
'#
$ ''
 
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO: é o procedimento inverso ao quadrado da soma de dois termos 
( ) !!! "#"!#"# ++=+ . É apresentado um trinômio que é quadrado perfeito da soma de dois 
termos algébricos e a fatoração é obtida escrevendo o lado esquerdo da equação acima. 
a. ( )!!! "!#"$#"$# +=++ 
b. ( )!!! "!#$"%#"&!#' !=+! 
TRINÔMIO DO 2º GRAU: é o procedimento inverso ao produto notável de Steven 
( ) ( ) ( ) !"#"!#"#!# $ +++=+!+ . É apresentado um trinômio do 2º grau e a fatoração é 
obtida escrevendo o lado esquerdo da equação acima. 
a. ( ) ( )!"#"$"%"# +!+=++ 
Para encontrarmos os elementos a e b (2 e 3), procedemos da seguinte forma: primeiro notamos 
que !"# =! , logo os possíveis valores inteiros de a e b são 
!" = e !" = , !" = e !" = , !" != e !" != , !" != e !" != . Agora, testamos a soma 
!"# =+ , dentre os pares já apontados. Assim, !" = e !" = . 
b. ( ) ( )!"#"$%"#"& !"+=!! 
Para encontrarmos os elementos a e b (3 e –6), procedemos da seguinte forma: primeiro notamos 
que !"#$ !=" , logo os possíveis valores inteiros de a e b são !" = e !"# != , !" = e !" != , 
!" = e !" != , !" != e !"# = , !" != e !" = , !" != e !" = . Agora, testamos a soma 
!"# !=+ , dentre os pares já apontados. Assim, !" = e !" != . 
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14 
DIFERENÇA DE POTÊNCIAS N: ( ) ( )!"#"#"!""" $%$$%%$%$% !!!! +++"!=! ! 
Apresentamos um exemplo para !" = : 
( ) ( )!"##"!$$ %&%%&%&&%&%& ++++!"=" . 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA1 
 
Termina aqui nossa aula sobre as expressões algébricas, conhecimentos necessários, como vimos, para ler e 
expressar-se matematicamente. Continue os estudos desta disciplina e até breve! 
 
Aula 2 |!FRAÇÕES ALGÉBRICAS, RACIONALIZAÇÃO E FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Apresentando aplicações dentro da própria Matemática da importância das expressões algébricas no 
cumprimento de algumas tarefas imprescindíveis do Cálculo Diferencial e Integral. Os conceitos apreendidos 
aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando! 
 
2.1.!FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Chamamos de frações algébricas aquelas frações que, obrigatoriamente, possuem termos literais em 
seus denominadores. O estudo desse tipo de expressão algébrica complementa o estudo dos 
polinômios. 
Exemplos: 
!
"
, !! "#
$
+
!
, 
!"
"! + 
Observação: 
!
"
 e 
!
"#"$ ! não são frações algébricas, pois, por definição, devem existir termos literais 
em seus denominadores. O que não ocorre nestes casos. 
Queremos apresentar as operações padrão para frações algébricas: adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Para as duas primeiras operações se faz necessário definir o Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios. 
 
2.2.!SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Para simplificarmos uma fração (algébrica ou não) precisamos primeiramente fatorar o numerador e o 
denominador e simplificar apenas aqueles fatores que forem comuns. 
Exemplo 1: simplifique 
!"#"
!$#$ %%
!
!
 
( )
( )
( ) ( )
( ) !
"#
"#$
"#"#%
"#$
"#%
"$#$
"%#% !!!! +=
!
!"+=
!
!=
!
!
 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 Vide Glossário ao final deste documento. 
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Exemplo 2: simplifique !!
!!
"#$"#$
$"%#"$&
+!
!
 
( )
( ) !"#
#!$
!"#
!"##!$
!%#!%#
#!&%!#$
"""
""
!
=
!
!"=
+!
!
 
 
2.3.!MMC DE POLINÔMIOS 
Para calcularmos o Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais polinômios, procedemos da seguinte forma: 
fatoramos os polinômios e aplicamos a regra “tome e multiplique os fatores comuns e não comuns com 
maior expoente”. 
Exemplo 1: Calcular o mmc entre 18 e 24. 
Depois de fatorar !"!#$ != e !""# ! != , tomamos e multiplicamos os fatores comuns (neste 
exemplo, não existem fatores não comuns!) com o maior expoente. Logo, ( ) !"#""$%&'(() "# =!= 
Exemplo 2: Calcular o mmc entre !"# $%& e !"#$Depois de fatorar !"# $%& !! e !" #$ ! , tomamos os fatores comuns e os fatores não comuns com o 
maior expoente. Logo, ( ) !"#!"##"!"# $%&$%&$&'$%&(() =!!= 
Exemplo 3: Calcular o mmc entre !"#$%& e !"#$%& 
Depois de fatorar !"!" #$%!#$&' !!!= e !"!" #$%!#$&% !!!= , tomamos os fatores comuns e os 
fatores não comuns com o maior expoente. Logo, 
( ) !"!"!##" $%!&$%'!#$%(')$%(&**+ =!!!!= 
Exemplo 4: Calcular o mmc entre !"!# ! e !! "# ! 
Depois de fatorar ( )!"""!"# !"=! e ( ) ( )!"!"!" ## !"+=! , tomamos os fatores comuns e os 
fatores não comuns com o maior expoente. Logo, ( ) ( ) ( )!"!""!"#"!"$$% &&& !"+"=!! 
Exemplo 5: Calcular o mmc entre !"#"$ +! e !"!# ! . 
Depois de fatorar ( )!! "#$#%# !=+! e ( ) ( )!"!"""#"! !"+"=! , tomamos os fatores comuns e 
os fatores não comuns com o maior expoente. Logo, 
( ) ( ) ( )!"! "#"###$#%$#&#''( !"+"=!+! . 
 
2.4.!ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Agora, estamos preparados para somar e subtrair frações algébricas: primeiro calculamos o mmc entre os 
denominadores e aplicamos a famosa regra “dividir pelo numerador (de baixo) e multiplicar pelo numerador (de 
cima)”. Essa regra é aplicada para que se igualem os denominadores das frações que desejamos operar. 
 
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Exemplo 1: efetue a adição !! "#
$
#"
$ + 
!!!!!!!! "#
"#
"#
#
"#
"
#"
$
"#
$ +=+=+ 
 
Exemplo 2: efetue a subtração 
!"
"!
!"
"
## +
!
!
 
( ) ( )
( )
( ) ( ) =!"+
!"!=
+
!
!"+
=
+
!
! !"!"
!"!"!
!"
!
!"!"
"!
!"
!
!"
"!
##
 
( ) ( ) ( ) ( )!"!"
!
!"!"
!"!"! ##
!"+
=
!"+
+!= 
 
2.5.!MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Para multiplicarmos frações algébricas sugerimos, primeiramente, a simplificação das frações para depois 
efetuarmos a multiplicação. De forma análoga, procedemos para a divisão, lembrando apenas que 
devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. 
Exemplo 1: a multiplicação 
!"#$%
&'()
&'*$
!"#*%
(+
(%
$+
+(
! 
!"#
$%&
!#
%&
"
$
'$!()
"%&*
"%+(
'$!+)
&
&&
&&#
&)
(#
#&
=!=! 
 
 
Exemplo 2: Efetue a multiplicação 
!"!#$"$#
%#
%#
&"#'(#
&&
&
!+!
+"
!
+!
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) =!"+
+"
!"+
!=
!+!
+"
!
+!
!"#$
%"
%"%"
!"
#!#"$!$"
%"
%"
&!"'(" &
&&
&
 
( ) ( )!"#$
%$
!"
&
#$
%$
+!"
"=
+
!
"
"= 
! 
Simplificamos as frações Multiplicamos 
Igualamos os denominadores 
calculando o mmc entre eles. 
Dividimos x2y2 por x2y e 
multiplicamos por 1. Dividimos x2y2 por xy2 
e multiplicamos por 1. 
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Exemplo 3: Efetue a divisão 
!"#
$%%
!"&
$$%
'
(
)(
( +÷+ 
( )
( ) !"
#$%
!
$%
"
#
#!!
"$&
"$'
#!#
#!!
"$&
"$'
##!
"$&
#!!
"$'
##!
(
%%
(
(
)%%
(
)%
%
(
%
)%
%
=!=
+!
!+!=
+
!+=+÷+ 
 
 
 
2.6.!RACIONALIZAÇÃO 
Uma habilidade que todo aluno de Cálculo deve possuir é a de racionalizar frações. Note que, nesse 
contexto, racionalizamos numeradores ou denominadores, não importa. Entendemos a racionalização 
como o procedimento matemático para o “desaparecimento” do radical, que é um número irracional, e 
consequente alocação de um número racional. Esse procedimento está pautado em dois fatos simples: 
 
i.! ao multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração pela mesma constante não nula, 
a fração resultante é equivalente à original; 
 
ii.! para m,n inteiros, !" < e a número real positivo, a multiplicação satisfaz 
!!!!!!! " "" #"#" #"#" #"" # ===!=! "+"" . 
 
 
Apresentaremos a racionalização através de exemplos: 
 
 
Exemplo 1: Racionalize o numerador da fração 
!
"
. 
!"
!
!"
!
!
!
"
! # =
!!
=
!
. 
! 
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Exemplo 2: Racionalize o denominador da fração 
! "
#
. 
!
! "
! !
! "
! "#
! "
! "
! "
! #!
#$#
"
"%
"
"%
""
"%
"
"
"
%
&
% !=!=!=
!
!
!
=
!
= . 
 
 
 
Exemplo 3: Racionalize o denominador da fração 
!"
#
!
. 
Neste caso, a racionalização está baseada no produto notável ( ) ( ) !! "#"#"# !=!"+ , pois não 
adianta multiplicarmos apenas por ! ou por ! . O denominador resultante não seria racional! Assim, 
( ) ( ) !
"#
"#
"#
"#
"#
"#"#
"#
"#
"#
"#
$
!!
+=
!
+=
!
+=
+"!
+
+"
=
+"
!
. 
 
 
Exemplo 4: Racionalize o numerador da fração 
!"
#$% !
. 
Nesse caso, a racionalização está baseada no produto notável ( ) ( ) !!"" #$#$#$#$ !=++"! : 
 
( )
=
!"
#$%
& +'+'
!"
#$%
& +'+'(
+'+'
=
+'+'
(
!"!"
!"!""
!"!"
!"!"
"
!!##$%
!!##!#
!!##
!!##
$%
!# 
!"
#$%
& +'+'
(=
!"
#$%
& +'+'
(=
!"
#$%
& +'+'
(
!"!"!"!"!"!"
"""
!!##$%
$
!!##$%
&#
!!##$%
!#
. 
 
2.7.!FRAÇÕES PARCIAIS 
Para finalizarmos essa unidade de conceitos introdutórios, vamos apresentar uma tarefa que acompanha 
o estudante de Cálculo por toda a sua graduação – a decomposição de uma fração algébrica em soma de 
frações parciais. 
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Um exemplo de tal decomposição é 
!"
!
!"
!
!"
"#
# +
+
!
=
!
. Note que a forma fatorada do primeiro 
denominador !"# ! é, justamente, ( ) ( )!"!" !"+ . 
Vamos abordar aqui situações mais simples de decomposições em frações parciais. Mais tarde, se 
necessário, o leitor conseguirá ter independência para estudos mais profundos acerca do tema. 
Exemplo 1: Decomponha a fração 
!"
!"#
$ !
! em soma de frações parciais. 
1º passo: fatoramos o denominador da fração 
!"
!"#
$ !
! , escrevemos como soma de frações 
parciais e realizamos a soma dessas frações. 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )!"!"
!"#!"$
!"
#
!"
$
!"!"
!"%
!"
!"%
& !"+
+"+!"=
!
+
+
=
!"+
!=
!
!
. 
2º passo: compare os dois denominadores, encontrando os valores das constantes reais A 
e B. 
( ) ( ) !"#!"$!"% !=+"+!" 
Podemos executar essa tarefa de dois modos: 
a) trocando a variável x por valores particulares 
para !" = , ( ) ( ) !"#"!#$$%$$"$$& =!=!="#=+#+"# . 
para !" != , ( ) ( ) ( ) !"#"$#%%&%%'%%" =!"="!"=""#=+"#+""# . 
b) sistema de equações 
( ) ( ) !"=+#+"#!"=+#+"# !"#$"$%"%!"#!"$!"% 
( ) ( ) !"#$%
&"%
'"%
&('"%("% ==!
"
#
$
%=+%
=+
!%=+%++! . 
3º passo: efetuamos a decomposição. 
!"
#
!"
$
!"
%
!"
&
!"
!"'
# !
+
+
=
!
+
+
=
!
! . 
Exemplo 2: Decomponha a fração 
!!
"!!#
$
%
!
!+
 em soma de frações parciais. 
1º passo: fatoramos o denominador da fração 
!!
"!!#
$
%
!
!+
, escrevemos como soma de 
frações parciais e realizamos a soma dessas frações. 
 
 
( ) ( ) =!+++=!"+"
!+=
!
!+
!"
#
!"
$
"
%
!"!""
!""&
""
!""& '
(
'
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )!"!""
!""#!""$!"!"%
!"+"
+""+!""+!"+"= . 
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2º passo: compare os dois denominadores, encontrando os valores das constantes reais A, 
B e C. 
( ) ( ) ( ) ( ) !""#!""$!""%!"!"& ' !+=+""+!""+!"+" 
Trocando a variável x por valores particulares 
para !" = , 
( ) ( ) ( ) ( ) !""#!""$!""%!"!"& ' !+"=+""+!""+!"+" 
!"!" =!"=" 
para !" = , 
( ) ( ) ( ) ( ) !!!"!!!#!!!$!!!!% & !+"=+""+!""+!"+" 
!"#"$ =!= 
para !" != , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !!!"!!!#!!!$!!!!% & !!+!"=+!"!"+!!"!"+!!"+!" 
!"#"! =!= 
3º passo: efetuamos a decomposição. 
!"
#
!"
$
"
!
!"
%
!"
&
"
'
""
!""(
#
$
!
+
+
+=
!
+
+
+=
!
!+
. 
Exemplo 3: Decomponha a fração ( ) ( )!
!
"#"#
$#%#&
+!"
"+
 em soma de frações parciais. 
1º passo: vemos que o denominador já está fatorado ( ) ( )!"#"# +!" , então escrevemos 
como soma de frações parciais e realizamos a soma dessas frações. 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) =++++!=+"!
!+
!!
!
"#
$
"#
%
"#
&
"#"#
'#(#)
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )!
!
"#"#
"#$"#"#%"#&
+!"
"!+"!+!++!= . 
 
2º passo: compare os dois denominadores, encontrando os valores das constantes reaisA, 
B e C. 
( ) ( ) ( ) ( ) !"#"$%"&%"%"'%"( )) !+=!"+!"+"++" 
Trocando a variável x por valores particulares 
para !" = , 
( ) ( ) ( ) ( ) !"#"$""%""""&""' (( !"+"=!"+!"+"++" 
!"#"# =!= 
para !" != , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !"#"$""%""""&""' (( !!"+!"=!!"+!!"+!"++!" 
!"#"$ =!"=" 
 
para !" = , 
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( ) ( ) ( ) ( ) !"#"$%"&%"%"'%"( )) !"+"=!"+!"+"++" 
!"#$"%#&"' =!"=""!"="" 
3º passo: efetuamos a decomposição. 
( ) ( ) ( )!!
!
"#
$
"#
!
"#
"
"#"#
%#&#$
+
+
+
+
!
=
+"!
!+
. 
 
Ficou com alguma dúvida? Retorne ao conteúdo ou busque esclarecimentos no Fórum de Dúvidas. Senão, 
passe para a unidade seguinte. Até lá. 
 
Aula 3 |!FUNÇÕES 
 
Olá, estudante, bem-vindo(a) Nesta aula, estudaremos as funções. Veremos relações entre grandezas, 
conceitos de funções, domínio e imagem, gráficos, translação de gráficos e paridade. Boa aula! 
 
3.1.!RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS 
O conceito matemático de função está intimamente ligado ao conceito de dependência entre grandezas, 
sejam elas matemáticas, físicas, econômicas, sociais... 
Ao estabelecermos uma relação de dependência entre duas grandezas, estamos, mesmo que sem querer, 
estabelecendo uma função entre essas duas grandezas. Por exemplo, a distância de um objeto que se 
desloca depende do tempo e de sua velocidade; a área de um círculo depende do raio, a taxa de juros 
depende da inflação, programas sociais de transferência de renda dependem dos índices de pobreza, etc. 
Como exemplo, apresentemos algumas relações de dependência entre grandezas encontradas em um 
quadrado de lado L: perímetro, área e diagonal. 
 Perímetro: !"#!$% != | Quando escrevemos P(L), estamos declarando a dependência da 
variável P em relação a L. Por este motivo, chamamos P de variável dependente e L de variável 
independente. 
 Área: !"""#"$% =!= 
 Diagonal: !"#"$% != 
 
Expliquemos cada uma: 
O perímetro de qualquer polígono é igual à soma das medidas de seus lados: 
!"#!$%!"!!!!% !="=+++= . A área de um retângulo é igual à multiplicação da medida da 
base pela medida da altura. Em particular, em um quadrado: !! "#"$%"""% =!="= . Finalmente, a 
medida da diagonal pode ser obtida utilizando-se o Teorema de Pitágoras: 
!"#"!#"!#""# !!!!!! !="!±="!="+= 
(ignoramos a solução negativa, pois não nos convém). 
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22 
 
 
3.2.!FUNÇÕES 
Em particular, estamos interessados em relações que, a cada valor da variável independente x, façam 
corresponder um e somente um valor da variável dependente y. Chamamos esse tipo de 
correspondência de função. Nesse caso, !"#$% = : a grandeza dependente y está em função da grandeza 
independente x. 
As funções são os modelos matemáticos2 mais utilizados para descreverem fenômenos ou fatos que 
ocorrem na natureza, ou ainda para representarem problemas dos mais variados tipos. 
Definições: uma função ! de um conjunto ! em um conjunto ! é uma correspondência que associa a 
cada elemento ! de ! exatamente um elemento ! em ! . Chamamos ! a imagem de ! pela 
função ! e denotamos por !"#$% = . O conjunto ! é chamado de domínio da função ! , ( ) !"#$% = . 
O conjunto ! é chamado de contradomínio da função ! , ( ) !"#$ = . 
Notação: 
!"#$%"
&'($
=
!
!
 
 
Exemplos: 
I.! !" " ! ", dada por !"#$"%& != 
II.! !" # ! #, dada por !"#"$% += 
III.! !" "$ ! ", dada por 
!
"#!$% = 
IV.! !" % ! !, dada por !"
!
"# !=""#
$
%%&
'
 
! 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 Um modelo matemático é uma representação daquilo que é real por, por exemplo, uma expressão algébrica, uma forma geométrica 
ou uma função. 
Forma irredutível 
do número racional!
O sucessor do 
número natural n.!
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23 
 
Leia um pouco mais sobre funções. Saiba mais! Acesse os links: 
http://tinyurl.com/nqtfemb 
http://tinyurl.com/k2rrmkm 
http://tinyurl.com/kojqbv9 
http://tinyurl.com/makx6f3 
 
3.3.!DOMÍNIO E IMAGEM 
Definição: quando a função ! é apresentada por uma equação !"#$% = e o domínio não é especificado, 
consideraremos como ( )!"#$ o conjunto de todos os valores de x para os quais a equação !"#$% = 
está definida. 
Exemplos: 
I.! ( ) !""# $ += 
Aqui a imagem é construída elevando-se o número real x ao quadrado e adicionando 1 ao 
resultado. Todo número real pode “sofrer” esta transformação, logo, não existe restrição no 
domínio da função e, portanto, Dom f( ) = ". 
II.! ( )
!"
#"$
+
= 
Depois de adicionarmos 2 ao número real x, o resultado será invertido. Neste caso, existe restrição, 
pois o número real zero não possui inverso. Assim, !"#!" !"#"+ . Portanto, ( )!"#$ = " &
&' . 
III.! ( ) !"#"$ != 
Sabemos que raízes quadradas podem ser extraídas apenas de números reais não negativos, logo, 
precisamos que !"#"$%#"$ !"!"!# . Portanto, ( ) [ )!+= !"#$%& . 
Definição: a imagem de uma função ! , ( )!"# , é dada pelo seguinte conjunto 
{ }!"#$%&'(!'#"!")&# != . 
Exemplo: 
I.! ( ) !""# $ += 
Exemplificar o conjunto imagem é mais difícil. Devemos perceber, neste exemplo, que a imagem 
do número zero deve ser a menor imagem obtida por esta função. Assim, ( ) !!""# $ =+= . As 
demais imagens serão números reais maiores que 4. Portanto, ( ) [ )!+= !"#$% . 
 
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24 
3.4.!GRÁFICOS 
Definição: o gráfico de uma função ! é o conjunto de todos os pontos ( )!"# no plano cartesiano para os 
quais !"#$%&'! . Ou seja, 
( ) ( ){ }!"#$%&!$#'()"*%+"$,-.$ =!= . 
 
 
Observação: em geral, usamos ! para a variável independente e ! para variável dependente, mas isso 
não é obrigatório. 
Observação: analisando o gráfico de uma função, notamos que seu domínio é o conjunto de todas as 
abscissas dos pontos sobre o gráfico e sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos sobre 
seu gráfico. Em notação matemática: 
( ) ( ) ( ){ }!"#$!%&'('!)*+ != 
 
( ) ( ) ( ){ }!"#$!%&'(%!)* != . 
 
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25 
 
Observação: podemos verificar através da representação cartesiana da relação ! de ! em ! se ! é ou 
não função. Basta verificarmos se a reta paralela ao eixo ! conduzida pelo ponto ( )!"# , onde !"! , 
encontra sempre o gráfico de ! em um só ponto. Se ocorrerem dois ou mais encontros, significa que ! 
possui duas ou mais imagens, o que seria impossível para uma função. 
Exemplo 1: A relação !"#$ ! , com { != !" (" }!"#$ !!" , representada abaixo, é função, pois 
toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa !"! encontra sempre o gráfico de ! num só ponto. 
 
Exemplo 2: A relação !"#$ ! , com { != !" (" }!"!# !!" , representada abaixo não é 
função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de ! em dois pontos. 
 
! 
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26 
3.5.!TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS 
Utilizando translação3 de gráficos, vamos construir o gráfico da função 
!" " ! ", dada por !"#$"%$&' +!= 
Começamos construindo o gráfico de !" " ! " dada por !"!#"$% = : 
! !"! 
 
–2 2 
–1 1 
0 0 
1 1 
2 2 
 
Agora, ao trocarmos o argumento “x” por “x–2”, percebemos que ocorre uma translação horizontal do 
gráfico para a direita em duas unidades. A função é !" " ! " dada por !"#!$"#%&$#%' !=!= : 
! !"#! ! 
 
–1 3 
0 2 
1 1 
2 0 
3 1 
 
Enfim, adicionando à imagem “|x–2|” o número 1, “|x–2|+1”, notamos que ocorre uma translação vertical 
do gráfico para cima de uma unidade. A função é !" " ! " dada por !"#$"!%#$&'%$&( +!=+!= : 
! !"#$" +! 
 
–1 4 
0 3 
1 2 
2 1 
3 2 
 
Em geral, seo esboço do gráfico de !"#$ é 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 Movimento rígido, no caso, sofrido pela curva gráfico da função. Consideramos, aqui, duas translações: a horizontal e a vertical. 
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27 
 
Translação horizontal 
para !" > , !"#$%& != para !" < , !"#$%& != 
 
 
Translação vertical 
para !" > , !"#$%& += para !" < , !"#$%& += 
 
 
Exemplo 1: Esboce os gráficos das funções abaixo, no mesmo plano cartesiano, usando translações: 
 
!"#"$% = 
!"!#$"#$% != 
!"#"$% ! += 
 
 
Exemplo 2: Esboce os gráficos das funções abaixo, no mesmo plano cartesiano, usando translações: 
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28 
 
 
 
!"#"$% = 
!"!#$"#$% += 
( ) !"#$#%& ' !+= 
 
 
 
Acesse os links e saiba mais sobre translação de gráficos: 
http://tinyurl.com/nn9netj 
http://tinyurl.com/nrsxoeo 
http://tinyurl.com/prc9vpb 
 
3.6.!PARIDADE 
Definição: uma função f é chamada função par se satisfizer 
!"#$!"#$ =! , !"#$%&'!" 
O significado geométrico de uma função ser par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Isso 
significa que se fizermos o gráfico de f para !" ! , então, para obter o gráfico inteiro, basta refletir (como 
em um espelho) o que temos em torno do eixo y. 
Exemplo 1: Verifique se a função !"#"$% = é par e esboce seu gráfico. 
Aplicando a definição, !"#$"!"#!"#$ %% ==!=! . Portanto, f é par. 
 
 
Definição: uma função f é ímpar se satisfizer 
!"#$!"#$ !=! , !"#$%&'!" 
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O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Se tivermos o gráfico de f para !" ! , 
poderemos obter o restante do gráfico girando de 180o o que já temos em torno da origem. 
Exemplo 2: se a função 
!
"#!$% = é par ou ímpar e esboce seu gráfico. 
Aplicando a definição, !"#$
"
%
"
%!"#$ !=!=
!
=! . Portanto, f é ímpar. 
 
 
Os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando! 
 
Aula 4 |!A FORMA ANALÍTICA DA RETA 
 
Na aula de hoje, estudaremos a forma analítica da reta. Com isso, apresentaremos um pré-requisito 
importante da próxima aula, em que estudaremos a função do 1º grau, cujo gráfico é uma reta. Continue os 
estudos desta disciplina e boa aula! 
 
4.1.!EQUAÇÃO DE RETA 
Começaremos descrevendo como determinar a equação de uma reta a partir de elementos dados: 
a.! Conhecidos dois pontos: 
Uma reta fica unicamente determinada por dois de seus pontos ( )!!! "#$% e ( )!!! "#$% . 
1º Caso: !" ## = 
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Equação da reta: )* + ), 
 
2º Caso: !" ## = 
 
Equação da reta: -* + -, 
 
3º Caso: !" ## ! e !" ## ! 
 
 
Os triângulos da figura são semelhantes. Logo, pela proporcionalidade de seus lados (condição de 
colinearidade4 dos três pontos), 
( ) ( ) !"#=#!
#
#"#=#!
#
#=
#
# !""##
""
##""##
""
##
""
##
$$
$%
$%
$$
$%
$%
$
$ 
( )!! ""#$$ !"=!# 
 
 
b.! Conhecidos um ponto e o coeficiente angular (m) 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 Pontos são chamados de colineares quando estão sobre a mesma reta. 
!"#$%&%#'(#)
*'+,-*.)",)
%'&-%'*/0"1)
2#'"(*2")3".)!)
45,*/0")2*)6#(*)
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Neste caso, basta aplicar, de forma direta, a fórmula obtida anteriormente: 
( )!! ""#$$ !"=! . 
 
 
 
Observação: uma vez obtida a equação da reta pela relação acima, podemos escrevê-la de dois modos: 
Forma geral: levamos todos os termos da equação para o lado esquerdo do sinal de igualdade, 
deixando para o lado direito apenas o zero. 
!"#$%& =+!+! . 
Forma reduzida: isolamos “y” no lado esquerdo do sinal de igualdade e levamos os demais termos 
para o lado direito. 
!"#$ +!= 
Observação: estando a equação na forma reduzida, teremos: !" > : a reta, gráfico da função, será 
crescente5 e !" < : a reta, gráfico da função, será decrescente6. 
 
Exemplo 1: Encontrar a equação da reta determinada por: ( )!"#$ e ( )!"#$ ! . Devemos primeiro 
determinar a inclinação da reta: 
!
!
"
!#
$%
&&
''(
$!
$! =
!
!=
!
!!=
!
!= . 
Agora basta escolhermos um dos pontos, por exemplo, o ponto A, e substituirmos os valores na equação 
da reta: 
!"="!"="!"=" !"#$%&#"'#$%&""'(%% $$ 
!"#$ !=" . 
Exemplo 2: esboçar o gráfico de !"#$ += . 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5 Uma reta é crescente se, dados dois pontos quaisquer ( )!! "#$ e ( )!" #$# dessa reta, tivermos !"!" ##$$ <!< . Ou seja, 
quanto maior a abscissa, maior a ordenada. 
6 Uma reta é decrescente se, dados dois pontos quaisquer ( )!! "#$ e ( )!" #$# dessa reta, tivermos !"!" ##$$ <!< . Ou seja, 
quanto maior a abscissa, menor a ordenada. 
!"#$%&'()*+,(-+.(/()0,(+.((
$()*0,(-0.(/()1,(23.4(
567"89'(&"(:$;"(67$(
<"=="(<':(>($(?4(
7)8)")&"#$%&%#'(#)
*'+,-*.)&"'9#&%2")
:;<)1)=<>)8)")3"'(")
&"'9#&%2")
:;< 1)=<>)8)")3"'(")<>)8)")3"'(")<
&"'9#&%2"
:;<)1)=<>)8)")3"'(")
&"'9#&%2")
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32 
 
 
 
Por meio dos links indicados você pode ler mais sobre equação de reta. 
Saiba mais! 
http://tinyurl.com/qhbylma 
http://tinyurl.com/ol7glh2 
http://tinyurl.com/ozpr4oz 
Para acessar o quarto link, vá até a pasta Acervo do seu Ambiente 
Virtual de Aprendizagem. 
 
4.2.!RESUMO DAS EQUAÇÕES 
Equação geral !"#$%& =++ 
Reta paralela ao eixo Ox (reta horizontal) !"#$ =+ ou !"#$ = 
Reta paralela ao eixo Oy (reta vertical) !"#$ =+ ou !"#$ = 
Reta que passa pelo ponto ( )!! "#$% e coeficiente angular (inclinação) m ( )!! ""#$$ !"=! 
Reta que passa pelo ponto ( )!! "#$% e ( )!! "#$% ( )!
!"
!"
! ####
$$$$ !"
!
!=! 
Reta com coeficiente linear n e coeficiente angular (inclinação) m !"#$ +!= 
 
4.3.!RETAS PARALELAS 
Geometricamente, duas retas, contidas em um mesmo plano, são chamadas de paralelas se não possuem 
pontos comuns, ou seja, 
! e ! são paralelas se, e somente se, !=" !" . 
Agora, precisamos de uma definição analítica de paralelismo: 
Definição: duas retas são paralelas se, e somente se, possuem o mesmo coeficiente angular (m). 
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33 
Exemplo 1: Determinar a para que as retas !"#$%& =++ e ( ) !"#$%&' =!++ sejam paralelas. 
Devemos primeiro determinar as inclinações de cada uma das retas, isolando o y em cada uma das 
equações: 
!
"#
!
$%
!
"&$"%&!'$&!"% ( !="!!="!!="=++ 
( ) ( )
!"
#$
!"
%&
!"
#'%&#'!"(%'!"&# ) +
!="
+
+
+
!="+!=+"=!++ 
Como as retas devem ser paralelas, então, por definição, as inclinações devem ser iguais, ou seja, 
!" ## = . Temos, então 
( ) !=+!"#=+"#!
+
#=#!= !"##$%&##
&#
%
$
#'' !!& 
( )
!
"#
!
$##
#!
!%#&##'%!%''
!
! ±!=±!=
"
!""!±!
=#=!+# . Então, !" = ou !" != . 
 
 
 
4.4.!RETAS PERPENDICULARES 
Duas retas contidas em um mesmo plano são chamadas de concorrentes se possuírem um único ponto 
em comum. Com essa definição estamos prontos para estabelecer: 
Definição: duas retas contidas em um mesmo plano são perpendiculares se, e somente se, 
a.! forem concorrentes; 
b.! no ponto de intersecção formarem um ângulo reto7. 
 
Observemos que: no triângulo retângulo – cujos catetos b e c são os segmentos de reta contidos nos 
gráficos das funções e a hipotenusa está contida no eixo x – temos: 
!
"#$%&' =!= e ( ) !
"#$%&'(&'() *+ !="!!="= . 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
7 É o ângulo cuja medida é de 90 graus. 
"#$%&'()*!'!+,-(.$'!/0!123*4'-'!
#'-'!)*!&)0+%&%0560*!78!7!0!9:;<!MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 1 | 
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Logo, !
"#
"#
"
#
#
"$$ %! !="
"!=#
$
%&
'
(!"=" . 
Assim, está demonstrado o teorema: 
Teorema: duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares 
satisfizerem !"" #$ !=" . 
Exemplo 1: Encontrar a equação da reta ! que passa por ( )!"#! e é: 
a.!paralela à reta ! de equação !"# =+ ; 
b.! perpendicular à reta ! de equação !"# =+ . 
Para determinarmos a equação de uma reta, precisamos de um ponto por onde a reta passa e de seu 
coeficiente angular. Nesse caso, o ponto é ( )!"#! e o coeficiente angular pode ser obtido a partir das 
observações feitas acima. 
A reta dada tem inclinação 
( ) !"#$!%#$%#%$ !="+#!="+!="=+ 
Logo, se !"#"$%$"& e !"#!"$%& representam os coeficientes angulares que queremos encontrar, então 
 !""#$%$&'&$ !== e 
 ( ) !"!!"!"" #$%#$&'#$%#$&'#$%#$&' =!"="#!"=# . 
Portanto, 
( ) ( ) ( )( ) !"#$%"#%"!$#""&## !! !!="+!!="!!#!=!"!#=! e 
( ) ( )( ) !"#$%"#%"&$#""'## && +=!++=!""#="!"#=" . 
 
4.5.!INTERSEÇÃO 
Caso precisemos determinar o ponto de intersecção de duas retas concorrentes, devemos proceder da 
seguinte maneira: desde que cada ponto de um gráfico é uma solução da equação que determina este 
gráfico, um ponto de interseção de dois gráficos é um ponto ( )!"# que satisfaça a ambas as equações. 
Observação: quando duas retas !"#$%& ''' =++ e !"#$%& ''' =++ são concorrentes, podemos 
encontrar o ponto de interseção resolvendo o sistema: 
!
"
#
=++
=++
!"#$%&
!"#$%&
'''
((( . 
Exemplo 1: Resolver analítica e graficamente o sistema de equações 
!
"
#
=+
$=$
!"#$%
#"$
 
Solução analítica: existem algumas formas analíticas pelas quais podemos resolver um sistema de 
equações. Vamos apresentar duas delas. 
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1ª FORMA: SUBSTITUIÇÃO 
Este processo consiste em substituir o valor de uma das incógnitas, obtido a partir de uma das equações, 
na outra. Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita y, temos: 
!"#!"#!#" +=!""="!"=" . Substituindo esse valor de y na segunda equação, 
encontraremos o valor de x: 
( ) !"#"#$%"&"'$&"&"'$(&"' !="!="=++"=+#+"=+ . 
Substituindo na primeira equação, encontramos 
( ) !"!"#"$#"% =!"="!"=""!"=" . 
Logo, a solução do sistema é o par ordenado ( )!"#! . 
2ª FORMA: ADIÇÃO 
Esse processo baseia-se em duas propriedades: 
1.! Em um sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação por um 
número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior. 
2.! Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações pela sua soma com outra 
equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior. 
O fundamento do processo da adição consiste no seguinte: aplicando a primeira propriedade, multiplicamos 
cada equação por números convenientes, de modo que os coeficientes de determinada incógnita sejam 
opostos e pela segunda propriedade, substituímos uma das equações pela soma das duas equações. 
Assim, no sistema 
!
"
#
=+
$=$
!"#$%
#"$
 
Multiplicamos a primeira equação por ! : 
!
"
#
=+
$=$
!"#$%
&"#$#
 
E adicionamos as duas equações: !"#$%"# !="!=+ . 
Substituindo o valor encontrado em qualquer um das duas equações, teremos a solução do sistema: 
( ) !"!"#$"$"# =!"="!+"="!"="" . 
Logo, a solução do sistema é o par ordenado ( )!"#! . 
Solução Gráfica: esboçamos os gráficos das duas equações sobre o mesmo plano cartesiano: 
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Exemplo 2: resolver o sistema de equações: 
!
!
"
!!
#
$
%=
+
%
%
=
+
+
%
!
"
#$
"
#$
"
!
%
#$
"
#$
"
 
Fazendo a troca de variáveis: 
!"
#$
!
= e 
!"
#$
+
= , teremos o sistema 
!
"
!
#
$
%=%
=+
!
"#$
!
%#$
 
Somando as duas equações, encontramos: 
!
"#
$
"#$
!
"
!
%&&## =!=!"="++ . 
Substituindo o valor de ! na primeira equação, obtemos: 
!
"
#
!
#
"
#
$%
#
$%
#
"
#
$%& ==!="=+"=+ . Ou seja, 
!
"# = e 
!
"# = . 
Voltando às variáveis originais, teremos: 
!
"
#$
"
#$
"% =
!
"
!
= e 
!
"
#$
"
#$
"% =
+
!
+
= . 
Agora, resta-nos resolver o sistema, com as incógnitas originais: 
!
"
#
=+
=$
!"#
$"#
 
Somando as duas equações, encontramos: !"#"$$%&&"" =!=!+=+"+ . Substituindo o 
valor de x na segunda equação, !"#"$#"% !="=+"=+ . Finalmente, a solução do sistema 
original é: ( ){ }!"#$ != . 
 
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37 
Estudantes, essas noções são essenciais para o dia a dia profissional e para o estudioso(a) da área. Continue os 
estudos desta disciplina e até breve! 
 
Aula 5 |!FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Nesta aula, sobre função do 1º grau, estudaremos as funções constante, identidade, linear e afim. Veremos 
também estudo de sinal da função do 1º Grau. Entretanto, antes de apresentarmos a função do 1º Grau, 
veremos outro tipo de função tão simples e importante quanto. Boa aula! 
 
5.1.!FUNÇÃO CONSTANTE 
Definição: uma aplicação f de " em " recebe o nome de função constante quando a cada elemento !!
" associa sempre o mesmo elemento constante !! (". Ou seja, f: "! (", !"#$% = . 
 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto ( )!"# . O conjunto 
imagem é o conjunto unitário ( ) { }!"#$ = . 
Agora, as funções que podem ser classificadas como funções de 1º grau, ou seja, funções cuja imagem 
possui a forma de um polinômio de grau 1: 
f: "! (", !"#$"%& +!= , !" ! . 
 
5.2.!FUNÇÃO IDENTIDADE 
Definição: uma aplicação f de " em " recebe o nome de função identidade quando a cada elemento 
!! " associa o próprio x, isto é, f: "!", !"!#$ = . 
 
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38 
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes8 do 1º e 3º quadrantes. O conjunto 
imagem é o conjunto ( ) =!"# ". 
 
5.3.!FUNÇÃO LINEAR 
Definição: uma aplicação f de " em " recebe o nome de função linear quando a cada elemento !! " 
associa o elemento !" ! . ", em que !" ! é um número real dado (fixo), ou seja, f: "! (", 
!"#!$% != , !" ! . 
 
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, pois ( ) !!"!# =!= . O conjunto imagem é 
o conjunto ( ) =!"# ". 
Observação: a constante não nula ! que dá origem à função linear !"#!$% != é a tangente do ângulo 
! , aberto no sentido anti-horário, entre o eixo x e o gráfico da função. A figura ilustra o porquê: 
 
A tangente do ângulo ! é a razão entre o 
cateto oposto de medida !"!#"$% =!= e 
o cateto adjacente de medida 1. Ou seja, 
( ) !
"
!#!$ ==! . 
Portanto, ( )!= !"#" . 
Exemplo 1: Faça o esboço do gráfico de !"#!$% = . 
Considerando o importante axioma da Geometria Euclidiana9 que diz que dois pontos determinam um 
reta, e que, no caso da função linear, todo gráfico passa pela origem ( )!"! . Basta atribuir a x um valor 
não nulo e calcular o correspondente !"# = . 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
8 Bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, ou seja, ao meio. 
9 É a geometria que aprendemos na escola. Seu mais importante postulado (axioma) diz que: dada uma reta e um ponto fora dela, existe 
e é única a reta paralela à reta dada passando por este ponto (postulado das paralelas). Como implicação, na geometria Euclidiana, a 
menor distância entre dois pontos é o segmento de reta. 
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39 
 
 
 
x y 
0 0 
1 2 
 
Exemplo 2: Faça o esboço do gráfico de !"#!$% != . 
A mesma situação do exemplo anterior. Basta atribuir a x um valor não nulo e calcular o correspondente 
!"# != . 
 
 
x y 
0 0 
1 –2 
 
 
5.4.!FUNÇÃOAFIM 
Definição: uma aplicação f de " em " recebe o nome de função afim quando a cada elemento !! " 
associa o elemento ( ) !+"= !"#"$ ", com !" ! e !" ! . Ou seja, f: "! (", !"#$"%& +!= , !" ! e 
!" ! . 
x y = f(x) 
 
0 B 
–b/a 0 
 
O gráfico da função afim é uma reta que passa pelos pontos ( )!"# e !
"
#$
%
&' !"
#
$ . A imagem é o conjunto 
( ) =!"# ". 
Observação: nesse caso, a constante não nula a também é a tangente do ângulo ! , aberto no sentido 
anti-horário, entre o eixo x e o gráfico da função. A constante b é a ordenada da intersecção do gráfico da 
função e o eixo y. 
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40 
 
Observação: na função linear !"#!$% != , !" ! e na função afim !"#$"%& +!= , !" ! e !" ! , as 
constantes a e b são chamadas, respectivamente, de coeficiente angular (ou inclinação) e coeficiente 
linear da reta gráfico das funções desse tipo. 
Observação: podemos, para efeitos da construção de gráficos, apresentar a função afim da seguinte 
forma: 
( ) !"#$%#&' +!"= 
 
 
 
 
Exemplo 1: Observe a sequência abaixo de construção do gráfico da função 
( ) !"#"$#%& +!"= 
1º passo: !"!#$ = 3º passo: ( )!"!#"$% != 
 
2º passo: !"#!$% = 4º passo: ( ) !"#"$#%& +!= 
 
5.5.!ESTUDO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Uma habilidade imprescindível caso queira aprofundar seus estudos e cursar Cálculo Diferencial e 
Integral é o estudo de sinal da função do 1º Grau, que consiste em determinar os valores de ! para os 
quais a imagem !"#$ é positiva, negativa ou nula. 
&"'?(*'(#)7,-(%3-%&*(%@*)
:&"#$%&%#'(#)*'+,-*.)",)
%'&-%'*/0">) (.*'?-*/0")9".%A"'(*-)
(.*'?-*/0")@#.(%&*-)
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41 
Esse estudo de sinal será realizado observando a estreita relação que existe entre a função do 1º Grau e a 
equação da reta gráfico dessa função: 
!"#$#%& += e !"#$ += . 
 
 
Lembrando que: se !"#$#%& += , então 
!
"#$"!#$%#&' !="=+"= , ou seja, o zero da 
função10 do 1º Grau ocorre para 
!
"# != . Para os demais valores de x, devemos considerar dois casos: 
1º caso: !" > (reta crescente) 
 
2º caso: !" < (reta decrescente) 
 
Exemplo 1: Fazer o estudo completo de sinal da função !"#$"%& += . 
Primeiramente determinamos o zero de ! : 
!
"#$"#!$%#&' !="=+"= e fazemos o estudo de 
sinal, visto que, já que !"# >= a reta é crescente: 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
10 É o número real ( )!"#$!" , tal que ( ) !" =! . Também chamado de raiz da função. 
!7%89'(&'(+@(A:"7( 567"89'(&"(B$;"(
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Ou seja, o estudo de sinal atesta que: 
!
!
!
"
!!
!
#
$
>%>
=%=
<%<
!"#$%&
'
(#
!"#$%)*+,-&
'
(#
!"#$%&
'
(#
. 
 
Exemplo 2: Determine os valores de ! para os quais !"#$ !<! . 
Utilizando o estudo de sinal da função do 1º , podemos resolver assim: 
!"#$!%&#$%&#$ <+!<+"!"<" . Assim, fazendo !"#$"%& += , queremos os valores de 
! para os quais !"#$% < : 
 
Ou seja, para 
!
"# !< , teremos !"#$%#&' <+= . O conjunto solução é 
!"
#
$%
& '('=
)
*
+
,
-
. '<=
!
"#
!
"$%$& . 
Observação: se não quiséssemos resolver a inequação do exemplo anterior através do estudo de sinal da 
função do 1º Grau, seria suficiente fazer: 
!
"
#
!$!$#%&$#&%$# !=!<"!<"+!<"!<! . 
 
Exemplo 3: Resolva !"#$"#"% +!+"<" . 
Temos que resolver duas inequações !"#$"#"% +!+"<" : 
 
I: !"#"##"#!$"%"$"%!" !"#!"#$!#!$!!#+$+! 
II: 
!
"#"#!$%##"%#$#" <!<!+<+!+"<" . 
O conjunto solução da dupla desigualdade será !!! """ != . 
 
"!
""!
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Logo, !"
#
!"
#$=%=
!
"#$%%% &&& . 
Exemplo 4: Resolva a inequação ( ) ( ) !"#$"# >!"+ . 
Fazemos inicialmente o estudo completo de sinal das funções !"#"$% += e !"#$"%& != : 
 
O conjunto solução será obtido pela união dos intervalos onde o produto !"#$!"#% ! é positivo, ou seja: 
] [ !"
#
$%
& '()')= !
"
##!$ . 
Dentre as chamadas inequações produto, são importantes as inequações do tipo: [ ] !"#$% & > , [ ] !"#$% & <
, [ ] !"#$% & ! , [ ] !"#$% & ! , em que !! #$. 
Para resolvermos essas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e 
expoente inteiro: 
1.! “Toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”; 
2.! “Toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”. 
Exemplo 5: Resolva a inequação ( ) !"#$ $ >+ . 
 
Logo, !"
#
$%
& '((= !
"
#$ . 
Exemplo 6: Resolva a inequação ( ) !"#$% & >! . 
 
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Logo, ] [ ] [!"!#= !""!# . 
 
 
 
Exemplo 7: Resolva a inequação ( ) !"# # <! . 
Neste exemplo, precisamos apenas lembrar a observação acima: potências de expoentes pares são, 
sempre, não negativas. Logo, !=! . 
 
Exemplo 8: Resolva a inequação ( ) !"#$ % !" . 
Mais uma vez, como no exemplo anterior, potências de expoentes pares são, sempre, não negativas. 
Assim, só é possível que o lado esquerdo da inequação seja igual a zero: !"#"$% =!=" . 
 
Quer ler mais sobre função do 1º grau? Acesse os links: 
http://tinyurl.com/qhu99a7 
http://tinyurl.com/qx9yfxp 
http://tinyurl.com/p59vek4 
http://tinyurl.com/q6edebo 
 
Continue estudando para desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do 
conhecimento. Até breve! 
 
Aula 6 |!FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
É a hora de estudar função do 2º grau. Gráfico, translação, zeros da função do 2º Grau, estudo de sinal da 
função do 2º grau, bem como problemas de otimização serão vistos aqui. Boa aula! 
 
6.1.!FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Definição: Uma aplicação ! de " em " recebe o nome de função do 2º Grau ou função quadrática 
quando associa a cada !! " o elemento 
!+"+"= !"#"$%"&' ( ", onde !" ! . 
Ou seja, f: "! (", !"#"$%"&' ( +!+!= , !" ! . 
Exemplo 1: Funções quadráticas. 
I.! !"#"$%"&' $ !+= , em que !" = , !" = e !" != . 
II.! !"#"$% & !!= , em que !" != , !" = e !" != . 
III.! !"!#$!%& ' +!= , em que !" != , !" = e !" = . 
"#$%&'%()*%(+(,-!%&+(.(%$/0(
1+&2(32($+4*56+7(8+9$()*2,3+(:;.(
+(/%&!+(<=:(>(?@A(B(9C*24(2(D%&+E(
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IV.! !"#"$% !"= , em que !"=! , !" = e !" = . 
 
6.2.!GRÁFICO 
O gráfico de uma função do 2º Grau é uma curva chamada parábola. A seguir, descreveremos como 
construí-la. Nesses próximos dois exemplos, construiremos a parábola pela substituição de valores de x. 
Exemplo 1: construir o gráfico da função quadrática !"#"$% = . 
 
 
! !"#$% = 
a 9 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
 
 
Exemplo 2: Construir o gráfico da função !"#"$% & != . 
 
 
! !"#$% = 
-3 8 
-2 3 
-1 1 
0 -1 
1 0 
2 3 
3 8 
 
Observe que: se !"#"$% = , então !"#$%"#$& != . E assim note que, no exemplo anterior, bastava 
fazermos a translação vertical do gráfico da curva parábola !"#"$% = uma unidade para baixo do eixo x. 
! 
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6.3.!TRANSLAÇÃO 
Nesses próximos três exemplos, construiremos a parábola por translação horizontal/vertical da parábola 
“padrão” !"#"$% = . Para isso, colocaremos a função quadrática !"#"$%"&' ( +!+!= em uma forma 
especial, chamada de forma reduzida, o método que descreve esse procedimento, será apresentado na 
observação abaixo: 
Observação: podemos, para efeitos da construção de gráficos, apresentar a função quadrática da 
seguinte forma: 
( ) !"#$%#&' ( +!"= 
 
 
 
Para isso, vamos utilizar uma técnica chamada completamento de quadrados. 
Exemplo 1: Construir o gráfico da função !"#$"%& # +!= . 
 
 
Exemplo 2: Construir o gráfico da função!"#$%#&'#() ! +!= . 
 
&"'?(*'(#)7,-(%3-%&*(%@*)
(.*'?-*/0")9".%A"'(*-)
(.*'?-*/0")@#.(%&*-)
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Primeiro passo é escrevermos a função na forma ( ) !"#$%#&' ( +!"= : 
( ) ( ) !+"+"=!+"=!+"= !"""#$#%&#'(!"#$#%&#'(!"#)*#%&#'( !!! 
( )[ ] ( ) ( ) !"#"$#%&!'!("#"$#%&!''"#"$#%& !!! +!="+!!="+!!= . 
 
 
 
 
Exemplo 3: Construir o gráfico da função !"#"$%"&' $ !+= . 
Primeiro passo é escrevermos a função na forma ( ) !"#$%#&' ( +!"= : 
( ) ( ) !""++=!"+=!"+= !""#$#$%#&'!#$#$%#&'!#(#$%#&' $$$ 
( )[ ] ( ) ( ) !"+=!""+=!""+= !"#$%#&'($"#$%#&'(""#$%#&' $$$ 
( ) !"#$%&"%$' & !!!=" 
 
 
 
 
&"'?(*'(#)7,-(%3-%&*(%@*)
(.*'?-*/0")9".%A"'(*-)
(.*'?-*/0")@#.(%&*-)
&"'?(*'(#)7,-(%3-%&*(%@*)
(.*'?-*/0")9".%A"'(*-)
(.*'?-*/0")@#.(%&*-)
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Exemplo 4: Construir o gráfico da função !"#"$"%& ' ++!= . 
Primeiro passo é escrevermos a função na forma ( ) !"#$%#&' ( +!"= : 
( ) !+"
#
$%
&
' (+((=!+((=!++(= !
"
#
"
#$%$&$'(!$%$&$'(!$%$&$'( ))) 
!
"#
$
#%&%'("
!
)
$
#%&%'("
!
)
$
#%&%'(
$$$
+!
"
#$
%
& ''=(++!
"
#$
%
& ''=(+
)
)
*
+
,
,
-
.
'!
"
#$
%
& ''= 
!
"#
$
#%"&%'(
$
+!
"
#$
%
& '('=) 
 
 
 
&"'?(*'(#)7,-(%3-%&*(%@*)
(.*'?-*/0")9".%A"'(*-)
(.*'?-*/0")@#.(%&*-)
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6.4.!ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Definição: Os zeros ou raízes da função quadrática !"#"$%"&' ( +!+!= são os valores de !! " para 
os quais !"#$% = , logo são as soluções da equação do segundo grau !"#$#% & =+!+! . 
Para encontrarmos as raízes da função quadrática, basta utilizar a fórmula de Bháskara:
 
!"
!#$%%&
" !±!= . 
O cálculo dessas raízes está sujeito à seguinte análise do discriminante !"#$% !=" : 
Se !>! , então as raízes são reais e distintas: 
!"
#$%
!+"= e 
!"
#$"
!+"= . 
Se !=! , então as raízes são reais e iguais: 
!"
#$$ "%
!== . 
Se !<! , então não existem raízes reais. Nesse caso, foge ao escopo desta disciplina tratar dessa 
situação. 
Observação: já que os zeros da função quadrática são obtidas fazendo com que !"#$% = e que as 
imagens !"#$ são marcadas sobre o eixo y, o pontos do gráfico ( )!"#$%" marcados para os zeros da 
função serão da forma ( )!"# e, portanto, interceptarão o eixo x. 
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Observação: no caso da função quadrática !"#"$%"&' ( +!+!= possuir zeros reais 
!"
#$%
!+"= e 
!"
#$"
!+"= , podemos deduzir uma relação envolvendo esses zeros e os coeficientes a, b e c: 
!
"
!#
"#
!#
""
!#
"
!#
"$$ #% !=
!="!!"+!="!!+"+!=+ e 
( ) =!"!"!+=!""#!+"=# !
!!
!" #$
%%%
#!
%
#!
%&& 
( )
!
"
!#
!"#
!#
!"#$$
%%
%%
==!!= 
Ou seja, a soma e o produto dos zeros da função quadrática devem satisfazer: 
!
"## $% !=+ e !
"## $% =! 
Isso permite que possamos “adivinhar” os zeros da função sem aplicarmos a fórmula de Bháskara! 
 
Exemplo 1: Encontre os zeros da função !"#!$#"%#&' " +!= . 
Vemos que !
"
#$
%
&'' "# =
!!=!=+ e que !
"
#"$$ "# ==! , ou seja, os zeros da função são os 
números reais que possuem soma 5 e produto 6. Mentalmente, vemos que só podem ser os números 2 e 
3. Portanto, os zeros da função são 2 e 3. 
 
6.5.!ESTUDO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Vamos estabelecer, como já feito na aula passada com a função do 1º Grau, o estudo de sinal da função 
do 2º Grau, que consiste em determinar os valores de ! para os quais a imagem !"#$ é positiva, 
negativa ou nula. 
 
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Esse estudo de sinal será realizado a partir do estudo do gráfico da curva parábola: 
!"#$#%#&' ( ++= e !"#$#% & ++= . 
 
 
 
O gráfico da função do 2º Grau depende, entre outros, de dois parâmetros: a e ! . O valor do coeficiente 
a indica a concavidade da parábola: !" > para cima e !" < para baixo. O discriminante ! aponta os 
tipos de zeros da função: !>! , as raízes são reais e distintas; !=! , as raízes são reais e iguais e !<! , 
não existem raízes reais. Graficamente, temos seis casos: 
!" > e !>! !" > e !=! !" > e !<! 
 
!" < e !>! !" < e !=! !" < e !<! 
 
O estudo de sinal da função do 2º Grau depende dessas situações: 
 
Exemplo 1: Fazer o estudo completo de sinal da função !""#"$% & !!= . 
Inicialmente, determinamos os zeros da função: 
!7%89'(&'(0@(A:"7( 567"89'(&"(C":DE'F"(
%"(G':H"(:$&7#I&"(
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!"#$%"
!
!&'
'!
()*'+('*('*
" !'
!
!=="±=
#
!##!!±!!
= . 
E como !"# >= , temos a primeira situação descrita acima: 
 
Ou seja, o estudo de sinal atesta que: 
!
"
!
#
$
==%=
<<%>
>>%<
!"#$%&'#()*#
!"#$%+,-.(&'#+*#
!"#$%&'#()*#
. 
Exemplo 2: Resolva a inequação !"#$#$ >++! . 
Inicialmente, determinamos os zeros da função: 
!"#$%"
%
&'%
()*%
+()*!%%
" %)
%
=!="
!
±!=
!#
#!#!±!
= . 
E como !"# <!= , temos: 
 
 O conjunto solução da inequação !"#$#$ >++! é: 
{ } ( )!"#!$#%$& !=<<!= . 
Exemplo 10: Fazer o estudo completo de sinal da função !"!""#"$% &' +!!= . 
Nesse caso, fatoramos a função 
( ) ( ) ( ) ( )!"#"#"!#""$""$" %%%$ !"!=!"!!"=+!! 
E, assim, faremos o estudo de sinal do produto entre as funções !"#"$% != e !"#"$% & != : 
 
Ou seja, o estudo de sinal atesta que: 
( ) ( )
( ) ( )
!
"
!
#
$
=%
>&+'%
<'%&%
!"#$%&'()('*
!"#$%+,-./(')('
!"#$%'()'(
. 
 
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6.6.!PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO – COORDENADAS DO VÉRTICE 
Dependendo de sua concavidade – para cima ( !" > ) ou para baixo ( !" < ) – uma função do 2º Grau 
!"#$#%#&' ( ++= , !" ! , pode assumir pontos e valores de mínimo ou de máximo. Esses pontos 
ocorrem no vértice da parábola como mostram os gráficos abaixo: 
 
Cujas coordenadas são ( ) !
"
#$
%
& '((=
!"
#
!$
%&#' (( . Vamos explicar o porquê: 
Pela simetria da parábola, a abscissa do vértice está no ponto médio dos zeros da função, ou seja, é a 
média aritmética desses zeros: 
!"
#
"
!"
#"
"
!"
##
"
!"
#
!"
#
"
$$$ "%& !=
!
=
"!!"+!
=
"!!+"+!
=
+
= 
e a ordenada do vértice é a imagem da abscissa pela função f: 
( ) =+!
"
#$
%
&'(+!!"
#
$$%
&
(=+!
"
#$
%
&'(+!
"
#$
%
&'(=!
"
#$
%
&'== !
"#
$$
"%
$"!
"#
$$
"#
$"
"#
$&'&( #
##
)) 
!"!"
!#"$
!"
!#"$
!"
!#"$%$#
!%
$
!"
$ %%%%%% !"=""=+"=+"=+"= . 
Essa descoberta nos permite encontrar o máximo ou o mínimo de funções do 2º Grau associados a 
problemas de otimização. Vejamos um exemplo: 
Exemplo 1: Um produto é vendido a um preço unitário de p reais. A demanda por este produto é dada 
em função do preço ( ) !"#$%!&' !== . Para qual preço p este produto tem venda máxima? Qual o 
valor da venda máxima? 
Sabemos que VENDA = PREÇO ! DEMANDA, logo: 
( ) ( ) !"#$!%!%"#$!&!&' " +!=!"="= 
Que é uma função do 2º Grau com !"# <!= , o que implica ter concavidade para baixo e assim ter 
preço e venda máxima (coordenadas do vértice): 
( ) !"!#
#$%
&#
'() +=!"
!=!= e 
( )
( ) !"#$%&
''%((
!'
(!'&%(
)'
*
&
+ =!
!=
!"
"!"!!=#!= 
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Interpretando: o preço para que a venda seja máxima é R$ 35,00 e o valor da venda para esse preço é R$ 
3675,00. 
 
 
Continue seus estudos. Saiba mais sobre função do 2º grau acessando 
os links indicados: 
http://tinyurl.com/8mr25h8 
http://tinyurl.com/klhcwmg 
http://tinyurl.com/lehyqwt 
 
E aí, muito conteúdo? Estamos ficando cada vez mais competentes no assunto, com isso, cresce a quantidade 
e a qualidade daquilo