prova cálculo 3 resolução

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Equac¸o˜es Diferenciais C
1o. Semestre de 2009 – 3a. Prova
25/06/2009 – Hora´rio: 14:55 a`s 16:35
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas
1. Considere a seguinte func¸a˜o:
f(t) =


0, se −pi ≤ t < −pi/2
−1, se −pi/2 ≤ t < 0
1, se 0 ≤ t < pi/2
0, se pi/2 ≤ t < pi
e tal que f(t + 2pi) = f(t)
(a) Calcule a se´rie de Fourier Sf da func¸a˜o f .
(b) Determine os valores Sf(0) e Sf (9pi/4). Justifique sua resposta.
(c) Encontre uma soluc¸a˜o particular e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
2y′′ + y = f(t),
(d) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial{
2y′′ + y = f(t),
y(0) = 0, y′(0) = 0
2. Considere o problema de valor inicial e de fronteira

∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
+ u
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L
u(0, t) = 0,
∂u
∂x
(L, t) = 0
(a) Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, ou seja, se
u(x, t) = X(x)T (t),
encontre as equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e as condic¸o˜es de fronteira associ-
adas a`s soluc¸o˜es fundamentais do problema.
(b) Encontre as soluc¸o˜es fundamentais un(x, t) = Xn(x)Tn(t)
Soluc¸a˜o
1. (a) A func¸a˜o f e´ ı´mpar seccionalmente cont´ınua, com derivada f
′ seccionalmente cont´ınua e com
per´ıodo igual a 2pi, logo
f(t) =
∞∑
m=1
bm cosmt,
com
bm =
2
2pi
∫ pi
0
f(t) senmt dt =
1
pi
∫ pi/2
0
senmt dt =
2
mpi
(
1− cos
(m pi
2
))
f(t) =
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
m
sen mt
(b) Sf (0) = 0, pois sen(m · 0) = 0. Como a se´rie de Fourier Sf (t) converge para f(t) nos pontos
onde f e´ cont´ınua, enta˜o
Sf (9pi/4) = Sf (2pi + pi/4) = Sf (pi/4) = f(pi/4) = 1,
pois Sf e´ perio´dica de per´ıodo igual 2pi que e´ tambe´m o per´ıodo de f .
(c) Podemos procurar uma soluc¸a˜o particular da forma
y(t) =
∞∑
m=1
(Am cosmt + Bm sen mt)
com coeficientes Am, Bm a determinar.
y′(t) =
∞∑
m=1
(−mAm senmt + mBm cosmt)
y′′(t) = −
∞∑
m=1
(m2Am cosmt + m
2Bm sin mt)
Substituindo-se y(t) e y′′(t) na equac¸a˜o diferencial obtemos
−2
∞∑
m=1
m2(Am cos mt + Bm senmt) +
∞∑
m=1
(Bm senmt + Am cos mt) =
∞∑
m=1
bm senmt
∞∑
m=1
[Bm(1− 2m2) sen mt + Am cosmt] =
∞∑
m=1
bm sen mt
Comparando-se termo a termo obtemos
Am = 0, Bm =
bm
1− 2m2
Assim uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial e´
yp(t) =
∞∑
m=1
bm
1− 2m2 sen mt =
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
m(1− 2m2) sen mt
(d) y(0) = 0 implica que c1 = 0. Logo,
y′(t) = c2
√
2
2
cos
√
2
2
t +
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
1− 2m2 cosmt
Substituindo-se t = 0 e y′ = 0 obtemos
c2 = −
2
√
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
1− 2m2
e a soluc¸a˜o do PVI e´
y(t) =
(
−2
√
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
1− 2m2
)
sen
√
2
2
t +
2
pi
∞∑
m=1
1− cos
(
m pi
2
)
m(1− 2m2) senmt
2.
(a) Vamos procurar uma soluc¸a˜o na forma de um produto de uma func¸a˜o de x por uma func¸a˜o
de t, ou seja,
u(x, t) = X(x)T (t).
Derivando e substituindo na equac¸a˜o diferencial obtemos
X(x)T ′(t) = X ′′(x)T (t) + X(x)T (t)
que pode ser reescrita como
X ′′(x) + X(x)
X(x)
=
T ′(t)
T (t)
O primeiro membro depende apenas de x, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto so´
e´ poss´ıvel se eles forem iguais a uma constante, ou seja,
X ′′(x) + X(x)
X(x)
=
T ′(t)
T (t)
= λ.
Obtemos enta˜o duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias com condic¸o˜es de fronteira X(0) =
X ′(L) = 0 que decorrem do fato de que 0 = u(0, t) = X(0)T (t) e 0 =
∂u
∂x
(L, t) = X ′(L)T (t):
X ′′(x) + (1− λ)X(x) = 0, X(0) = 0, X ′(L) = 0 (1)
T ′(t)− λT (t) = 0 (2)
(b) A equac¸a˜o X ′′(x) + (1− λ)X(x) = 0 pode ter como soluc¸o˜es,
Se λ > 1 : X(x) = C1e
−
√
λ−1 x + C2e
√
λ−1 x.
Se λ = 1 : X(x) = C1 + C2x.
Se λ < 1 : X(x) = C1 sen(
√
1− λ x) + C2 cos(
√
1− λ x).
As condic¸o˜es de fronteira X(0) = 0 e X ′(L) = 0 implicam que λ < 1, mais que isso λ tem
que ter valores dados por
λ = 1− (2n + 1)
2pi2
4L2
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
ou seja, o problema de valores de fronteira (1) tem soluc¸a˜o
X(x) = C1 sen
(2n + 1)pix
2L
, para n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Substituindo-se λ = 1− (2n+1)2pi24L2 na equac¸a˜o diferencial (2) obtemos
T ′(t)− (1− (2n + 1)
2pi2
4L2
)T (t) = 0
que tem soluc¸a˜o
T (t) = C2e
te−
(2n+1)2pi2
4L2
t, para n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Logo o problema formado pela equac¸a˜o diferencial parcial e as condic¸o˜es de fronteira tem
soluc¸o˜es da forma
un(x, t) = X(x)T (t) = cne
t sen
(2n + 1)pix
2L
e−
(2n+1)2pi2
4L2
t