Esforços int forças normal cisalhamento momentos de torção e fletor

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CARLOS WALTER VICENTINI 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA 
CIVIL (4º/5º CICLO) DA UNIP 
 Esforços internos: força normal 
 força cortante (cisalhamento) 
 momento fletor 
 momento de torção 
 
 
Santos, março de 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 Esforços Internos 
6.1 Cargas resultantes internas (Esforços Internos Solicitantes 
- EIS). Uma das mais importantes aplicações da estática na análise 
de problemas de resistência dos materiais é poder determinar a força 
e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e que 
são necessários para manter sua integridade quando submetido a 
cargas externas. Como exemplo, considere o corpo mostrado na 
figura a seguir mantido em equilíbrio pelas quatro forças externas F1, 
F2, F3 e F4 (desprezaremos o efeito do peso próprio por ser muito 
pequeno em relação ás forças aplicadas). 
 
Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma região 
específica no interior de um corpo, é necessário usar o método das 
seções. 
O método exige que seja feita uma seção ou “corte” imaginário 
passando pela região onde as cargas internas deverão ser 
determinadas. 
Então, as duas partes do corpo são separadas e o diagrama de corpo 
livre de uma das partes é desenhado como na figura abaixo. 
 
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Podemos ver que há, na verdade, uma distribuição de forças internas 
agindo sobre a área “exposta” da seção. Essas forças representam os 
efeitos do material que está na parte superior do corpo agindo no 
material adjacente na parte inferior. 
Embora a distribuição exata da carga interna seja desconhecida, 
podemos usar as equações de equilíbrio para relacionar as forças 
externas sobre o corpo com a força e o momento resultantes da 
distribuição, FR e MRO, em qualquer ponto específico O na área 
secionada como mostrado na figura abaixo. 
 
Observe que FR age no ponto O, embora seu valor calculado não 
dependa da localização desse ponto. Por outro lado, MRO depende 
dessa localização, pois os braços do momento devem se estender de 
O até a linha de ação de cada força externa no diagrama de corpo 
livre. Na maioria das vezes, o ponto O escolhido coincide com o 
centróide da área secionada e, portanto, quase sempre escolheremos 
essa localização para O. 
Além disso, se um elemento for longo e delgado, como no caso de 
uma haste ou viga, a seção considerada será, de modo geral, 
perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. Essa seção é 
denominada seção transversal. 
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Com o objetivo de relacionarmos as cargas resultantes, FR e MRO, 
com a distribuição de forças na área secionada e, desse modo, 
desenvolvermos equações que possam ser usadas para análise e 
projeto, devemos considerar as componentes de FR e MRO, que agem 
normal ou perpendicularmente à área secionada e no interior do 
plano da seção como ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
Há quatro tipos diferentes de cargas resultantes que podem ser 
definidos: 
6.1.1 Força normal, N. Essa força age perpendicularmente à área e 
se desenvolve sempre que as cargas externas tendem a empurrar ou 
puxar os dois segmentos do corpo. 
6.1.2 Força de cisalhamento (ou força cortante). Encontra-se no 
plano da área e é desenvolvida quando as cargas externas tendem a 
provocar o deslizamento de um dos segmentos do corpo sobre o 
outro. 
6.1.3 Momento de torção ou torque ou momento torsor, T. Esse 
efeito é desenvolvido quando as cargas externas tendem a torcer um 
segmento do corpo em relação ao outro. 
6.1.4 Momento fletor, M. É causado pelas cargas externas que 
tendem a fletir o corpo em torno de um eixo que se encontra no 
plano da área (seção transversal). 
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Convenção: a representação gráfica do momento de torção (ou 
torque) é apresentada em três dimensões, como um vetor 
acompanhado pelo símbolo gráfico de uma seta curvada ou uma reta 
com seta dupla na ponta. Pela regra da mão direita, o polegar dá à 
seta o sentido do vetor e os dedos, ou curvatura da seta, indicam a 
tendência da rotação (torção ou flexão). 
Cargas coplanares. Num sistema de forças coplanares como 
mostrado na figura abaixo, haverá na seção apenas componentes da 
força normal, força de cisalhamento e momento fletor. 
 F2 F3 
 
 
 F1 F4 
 seção 
 
 
 força de y 
 F2 cisalhamentoV MO momento fletor 
 F1 N força normal 
 
O mesmo raciocínio pode ser usado na viga desenhada abaixo: 
As cargas externas F1 e F2, que atuam na parte II da estrutura, 
tendem a provocar os esforços internos solicitantes V,N, T (ou Mt) e 
Mf na seção A, como mostrado na figura seguinte após o corte mental 
e a retirada da parte II. 
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É importante notar que para haver o equilíbrio na seção A, os 
esforços internos mencionados acima, V,N, T (ou Mt) e Mf, tem estar 
presentes na seção A e atuando no centróide C como forma de 
facilitar os cálculos e o raciocínio e permitir o estudo da resistência da 
estrutura. Esses esforços nascem, como foi dito, das condições de 
equilíbrio da seção e são determinados pelas equações de equilíbrio 
da estática vistas anteriormente. 
 
 
Para os valores de N, V, Mf e T (ou Mt) temos: 
N = F2 e atua perpendicular ao plano da seção A no eixo que passa 
pelo centróide C e na direção de z; 
 N N 
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 Ou 
 
 
V = F1 e atua no plano x-y da seção A na direção de y; 
 V V 
 ou 
 
 
 
Mf = F1 a e atua no plano y-z, perpendicular ao da seção A; 
 Mf 
 ou 
 Mf 
 
 
T = F1 b e atua no plano x-y, o mesmo da seção A ; 
 
 T ou Mt 
 ou 
 
 T ou Mt 
 
Pontos Importantes. 
 Resistência dos materiais é um estudo da relação entre as 
cargas externas que agem sobre um corpo e a intensidade 
das cargas internas no interior do corpo. 
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 Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas 
de superfície distribuídas ou concentradas ou como forças de 
corpo que agem em todo o volume do corpo. 
 Cargas distribuídas lineares produzem uma força resultante 
cujo valor é igual a área sob o diagrama de carga e cuja 
localização passa pelo centróide dessa área. 
 Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre 
o elemento a ele acoplado se ele impedir a translação do 
elemento naquela direção e produz um momento sobre o 
elemento se ele impedir a rotação. 
 As equações de equilíbrio ΣF = 0 e ΣM = 0 devem ser 
satisfeitas de modo a impedir, respectivamente, a translação 
com movimento acelerado e a rotação de um corpo. 
 Ao aplicarmos as equações de equilíbrio, é importante desenhar 
o diagrama de corpo livre antes, de modo a considerar todos os 
termos presentes nas equações. 
 O método das seções é usado para determinar as cargas 
resultantes internas que agem sobre a superfície do corpo 
secionado. Em geral, essas resultantes consistem em uma 
força normal, uma força de cisalhamento, um momento 
de torção e um momento fletor. 
 
Procedimento de análise 
O método das seções é usado para determinar as cargas resultantes 
internas em um ponto localizadosobre a seção de um corpo. Para 
obter essas resultantes, a aplicação do método das seções deve 
obedecer às etapas descritas a seguir. 
Reações dos apoios 
 Em primeiro lugar, decida qual segmento do corpo deverá ser 
considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou um 
acoplamento com outro corpo, será necessário determinar as 
reações que agem no segmento do corpo escolhido antes de 
secioná-lo. Desenhe o diagrama de corpo livre para o corpo 
inteiro e aplique as equações de equilíbrio necessárias para 
obter essas reações. 
 
Diagrama de corpo livre 
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 Mantenha todas as cargas distribuídas externas, momentos e 
forças que agem sobre o corpo em suas localizações exatas e, 
então, trace uma seção imaginária que passe pelo corpo no 
ponto onde as cargas resultantes internas devem ser 
estudadas. 
 Normalmente, se o corpo representar um elemento de uma 
estrutura ou dispositivo mecânico, a seção será perpendicular 
ao eixo longitudinal do elemento. 
 Desenhe um diagrama de corpo livre de um dos segmentos 
“cortados” e indique as resultantes desconhecidas N, V, M e T 
na seção. Essas resultantes geralmente são localizadas no 
ponto que representa o centro geométrico ou centróide da área 
secionada. 
 Se o elemento estiver sujeito a um sistema de forças 
coplanares, somente N, V e M agem no centróide. 
 Defina os eixos coordenados x, y, z com origem no centróide e 
mostre as componentes resultantes que agem ao longo dos 
eixos. 
Equações de equilíbrio 
 Os momentos gerados na seção em torno de cada um dos 
eixos coordenados onde as resultantes agem devem ser 
somados. Isso elimina as forças desconhecidas N e V e permite 
uma solução direta para M (e T). 
 Se a solução das equações de equilíbrio produzir um valor 
negativo para uma resultante, o sentido direcional admitido 
para a resultante será oposto ao mostrado no diagrama de 
corpo livre. 
 
Exercícios de fixação 
 
1. Determine os Esforços Internos Solicitantes (EIS) na seção A do 
engastamento. Medidas em mm. 
 
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 Figura 1 
 Figura 2 
 
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 Figura 3 
Analisando a sequencia das figuras anteriores e seguindo os passos 
dados anteriormente na páginas 8 e 9, chegamos aos valores de N, V 
e M com a ajuda fundamental do desenho do diagrama de corpo livre 
para o corpo inteiro - figuras 1 e 2. Note que a seção analisada é 
perpendicular ao eixo longitudinal do elemento (viga) como 
observado na página 8 (“Procedimento de análise”). 
Após o desenho do diagrama de corpo livre para o corpo inteiro, 
mantemos todas as cargas externas em suas exatas posições e 
traçamos uma seção imaginária passando pelo corpo no ponto onde 
as cargas resultantes internas devem ser determinadas – figura 2. 
Na figura 3 temos um desenho do diagrama de corpo livre de um dos 
segmentos cortados com as resultantes N, V e M na seção de 
interesse. Note que os esforços internos estão localçizados no 
centróide da área secionada. 
Como o elemento está sujeito a um sistema de forças coplanares, 
somente N, V e M agem no centroide. 
Das equações de equilíbrio da estática temos: 
ΣFz = 0 => N = F cos 63,5° => N = 11200 cos 63,5° => 
 N = 5000 N Resposta 
ΣFy = 0 => V = F sen 63,5° => V = 11200 sen 63,5° => 
 V = 1023 N Resposta 
ΣMC = 0 => M = V 40 = 1023 40 => 
 M = 40920 Nmm Resposta 
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2. Determinar os Esforços Internos Solicitantes na seção A da 
barra representada na figura abaixo. 
 
 
 
 
1º passo – determinar qual o segmento do corpo deverá ser 
considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou um acoplamento 
com outro corpo, determinar as reações que agem no segmento 
escolhido antes de secioná-lo. Desenhe o diagrama de corpo livre 
para o corpo inteiro e aplique as equações de equilíbrio necessárias 
conforme representado na figura 1 abaixo. 
 
 Figura 1 
ΣFH = 0 => TH = T cos30º => TH = T 0,866 
ΣFV = 0 => 2 TV – 1 = 0 => TV = 0,5 tf 
Como TV = T sen30º temos que T = TV / sen30º => T = 2 TV = 1 tf 
Então substituindo-se os valores, temos TH = 0,866 tf 
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 1 m Figura 2.a 
 TV 
 Figura 2.b 
2° passo – mantenha todas as forças externas em suas localizações 
exatas e trace uma seção imaginária que passe pelo corpo no ponto 
onde as cargas resultantes internas devem ser determinadas como na 
figura 2.a. 
3° passo – desenhar um diagrama de corpo livre de um dos 
segmentos cortados e indique as resultantes desconhecidas N, V e M 
na seção conforme mostrado na figura 2.b. 
Então teremos: 
N = TH = 0,866 tf Resposta 
V = 1 – TV = 0,5 tf Resposta 
M = TV x 1m = 0,5 tfm Resposta 
 
3. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção 
transversal em C da viga mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
 
TH 
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270 N/m 
 
 A B 
 C 
 3 m 6 m 
 Figura a 
 
 Figura b 
Solução 
1º passo - Reações dos apoios. Este problema pode ser resolvido 
da maneira mais direta considerando o segmento CB da viga, já que, 
assim, as reações dos apoios em A não têm de ser calculadas. 
2º passo - Diagrama de corpo livre. Traçar uma seção imaginária 
que passe pela perpendicular ao eixo longitudinal da viga no ponto 
onde as cargas resultantes internas devem ser determinadas no 
segmento CB mostrado na figura b. É importante manter a carga 
distribuída exatamente onde ela se encontra no segmento até que a 
seção tenha sido feita. Somente depois disso é que essa carga será 
substituída por uma única força resultante. Observe que a 
intensidade da carga distribuída em C é determinada por proporção, 
isto é, pela figura a, temos: 
w/6 m = (270 N/m)/9 m => w = 270 x 6/9 => w = 180 N/m. 
O valor da resultante da carga distribuída é igual à área sob a curva 
de carga (que é um triângulo) e age no centróide dessa área. 
Assim, F = ½ (180 N/m) (6 m) = 540 N, que age a 1/3 (6 m) = 2 m 
de C, como mostrado na figura b. 
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Equações de equilíbrio. Aplicando as equações de equilíbrio, 
temos: 
ΣFx = 0 => -NC = 0 => NC = 0 Resposta 
ΣFy = 0 => VC – 540 N = 0 => VC = 540 N Resposta 
ΣMC = 0 => -MC – 540 N (2 m) = 0 
 MC = -1080 Nm Resposta 
Observação: o sinal negativo indica que MC age na direção oposta à 
mostrada no diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Podemos resolver o mesmo problema usando agora o segmento AC 
como representado na figura c abaixo. 
1º passo - Reações dos apoios.Primeiramente teremos que 
calcular as reações de apoio em A, RVA e RMA já que RHA = 0 pois não 
temos cargas na direção horizontal. 
Para tal, teremos que considerar a figura a, abaixo, pois temos que 
analisar a situação antes de secionar a viga. 
 
 270 N/m 
 
 A B 
 C 
 3 m 6 m 
 Figura a 
 
 
 
 F = 270 x 9 / 2 = 1215 N 
 
 RVA 
 
 RMA 3 m 6 m 
 
 Figura d 
ΣFV = 0 => RVA – F = 0 => RVA = 1215 N 
ΣMA = 0 => RMA – F x (3 m) = 0 => RMA = 1215 x 3 
 RMA = 3645 Nm 
 
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2º passo – Diagrama de corpolivre. Manter todas as cargas 
distribuídas externas que agem sobre o corpo em suas localizações 
exatas e trce uma linha imaginária que passe pelo corpo no ponto 
onde as cargas resultantes internas devem ser determinadas como 
mostrado na figura a. 
3º passo – Desenhe um diagrama de corpo livre de um dos 
segmentos “cortados” e indique as resultantes desconhecidas N, V e 
M na seção como mostra a figura c. 
 
 
 
 A B 
 C 
 3 m 6 m 
 
 
 
 Figura c 
4º passo – Equações de equilíbrio. 
ΣFx = 0 => NC = 0 Resposta 
ΣFy = 0 => RVA – 135 – 540 – VC = 0 => VC = 1215 -135 – 540 
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VC = 540 N Resposta 
ΣMA = 0 => MC – VC x (3 m) – 540 x (1,5 m) – 135 x (1 m) + RMA = 
= 0 => MC = 540 x 3 + 540 x 1,5 + 135 – 3645 
MC = -1080 Nm Resposta 
 
Oservações: 
1. O fato de MC ter dado um valor negativo significa que seu 
sentido é o oposto ao adotado no desenho do diagrama de 
corpo livre. 
2. Lembramos que o valor numérico da força resultante de uma 
carga distribuída é igual a área representada pelo seu diagrama 
de carga aplicada no seu centróide, ou seja, nós temos um 
retângulo com lados de 180 N/m por 3 m , e um triângulo de 
90 N/m de altura por 3 m de base. Então os cálculos, passo a 
passo, estão demonstrados abaixo: 
 
 
 180 N/m Área = 180 (N/m) x 3 (m) = 540 N 
 
 3 m 
 
 
90 N/m Área = 3 (m) x 90 (N/m) / 2 = 135 N 
 
 3 m