equações diferenciais ordinárias -com demonstrações e alguns exercícios resolvidos

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Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias 3
1.1 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira ordem . . . . . . . . 3
1.1.1 Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 EDO separa´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Equac¸o˜es exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Equac¸a˜o de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas-me´todo de Picard . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Lema de Hille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Me´todo do ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Me´todo da poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Soluc¸o˜es anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Sistema de EDO’s de primeira ordem e de ordem n . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Aplicac¸o˜es a EDO de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Sistema vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Sistemas de EDO’s lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Equac¸o˜es lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Soluc¸o˜es na forma matricial me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas . . . . . . 27
1.11 Sistemas lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.12 Singularidades de um sistema auto´nomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.13 Dependeˆncia das soluc¸o˜es em relac¸a˜o a`s condic¸o˜es iniciais e paraˆmetros . . 36
2
Cap´ıtulo 1
Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
1.1 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de pri-
meira ordem
Usaremos I e J para representar intervalos de nu´meros reais.
Definic¸a˜o 1 (EDO linear de primeira ordem). Uma EDO linear de primeira ordem e´
toda equac¸a˜o da forma
y′ + p(x).y = q(x).
1.1.1 Fator integrante
Propriedade 1 (Fator integrante). Se p e q sa˜o cont´ınuas em I e P e´ uma func¸a˜o tal
que P ′(t) = p(t) enta˜o a func¸a˜o
ψ(x) = e−P (x)
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt
e´ uma soluc¸a˜o de y′ + p(x).y = q(x). A func¸a˜o de lei ϕ(x) = e−P (x) e´ dita uma soluc¸a˜o
homogeˆnea de tal equac¸a˜o e toda soluc¸a˜o dela e´ da forma
z(x) = ψ(x) + k.ϕ(x)
3
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 4
z(x) = e−P (x)
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt+ k.e−P (x)
para alguma constante k .
Demonstrac¸a˜o.
Se z e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o vale
z′(x) + z(z)p(x) = q(x)
tomamos P (x) =
∫ x
x0
p(t)dt onde x0 ∈ I, logo P ′(x) = p(x), P (x0) = 0 e eP (x0) = 1 .
Multiplicamos a equac¸a˜o por eP (x) de onde segue
eP (x)z′(x) + z(x)p(x)eP (x) = q(x)eP (x)
observe que [eP (x).z(x)]′ = eP (x)z′(x) + z(x)p(x)eP (x), tal fator eP (x) e´ chamado de fator
integrante, isso implica que
z′(x) + z(x)p(x) = q(x)⇔ [eP (x)z(x)]′ = eP (x)q(x)
logo integrando a u´ltima identidade tem-se∫ x
x0
[eP (t)z(t)]′dt = eP (t)z(t)
∣∣∣∣x
x0
=
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt
eP (x)z(x) =
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt+ eP (x0)z(x0) =
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt+ z(x0)
da´ı
z(x) = e−P (x)
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt+ eP (x0)z(x0) =
∫ x
x0
eP (t)q(t)dt+ e−P (x)z(x0) .
Exemplo 1. Resolva a equac¸a˜o
(x2 + 3)y′ + xy = 0.
Dividimos por x2 + 3 y′ +
x
x2 + 3
y = 0, temos P (x) =
∫
x
x2 + 3
dx =
1
2
ln(x2 + 3)
da´ı
(eln(
√
x2+3)y)′ = 0⇒
√
x2 + 3y = c
y =
c√
x2 + 3
.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 5
Exemplo 2. Calcule
xy′ + y = ex + ln(x).
Escrevemos a equac¸a˜o como y′ +
y
x
=
ex
x
+
ln(x)
x
P (x) =
∫
1
x
dx = ln(x) e eP (x) = x, enta˜o
(x.y)′ = ex + ln(x)
integrando segue
x.y = ex + x ln(x)− x+ c
enta˜o a soluc¸a˜o e´ da forma
y =
ex
x
+ ln(x)− 1 + c
x
.
Exemplo 3. Resolva o problema de Cauchy
y′ + 2xy = x, y(0) = −3.
P (x) =
∫
2xdx = x2, (e
x2
2 y)′ = xe
x2
2 integrando tem-se
e
x2
2 y =
∫
xe
x2
2 dx =
e
x2
2
2
+ c
logo
y =
1
2
+ c.e−
x2
2
usando a condic¸a˜o inicial y(0) = −3 temos −3 = 1
2
+ c logo c =
−7
2
.
y =
1
2
− 7
2
.e−
x2
2 .
Exemplo 4. Resolva o problema de Cauchy
xy′ + y = 2x, y(1) = 0.
Equivale a` y′ +
1
x
y = 2, P (x) = ln(x) logo (xy)′ = 2x
xy = x2 + c⇒ y = x+ c
x
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 6
usando a condic¸a˜o inicial y(1) = 0 chegamos em c = −1 logo a soluc¸a˜o e´
y = x− 1
x
.
Exemplo 5. Resolver o problema de Cauchy
y′ = 2y + (xe3x − e2x), y(0) = 2.
P (x) =
∫
−2dx = −2x enta˜o
(e−2xy)′ = x(ex − 1)
integrando segue
e−2xy =
∫
xex − xdx = (x− 1)ex − x
2
2
+ c
y = (x− 1)e3x + e2x(−x
2
2
+ c)
usando a condic¸a˜o inicial encontramos c = 3 logo
y = (x− 1)e3x + e2x(−x
2
2
+ 3).
1.1.2 EDO separa´vel
Definic¸a˜o 2 (EDO’s separa´veis ). Uma EDO de primeira ordem y′ = f(x, y) e´ dita
separa´vel ou de varia´veis separa´veis se f pode ser escrita na forma
f(x, y) =
g(x)
h(y)
.
Denotando y′ =
dy
dx
segue de
dy
dx
=
g(x)
h(y)
que
h(y)dy = g(x)dx
dessa manipulac¸a˜o surge o nome de varia´veis separa´veis .
Se z : I → R e´ uma soluc¸a˜o de y′ = g(x)
h(y)
enta˜o
h(z(x))z′(x) = g(x) ∀x ∈ I
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 7
integrando tem-se ∫ x
x0
h(z(t))z′(t)dt =
∫ x
x0
g(t)dt ∀x ∈ I
fazendo a mudanc¸a u = z(t) tem-se du = z′(t)dt e os limites mudam para z(x) e z(x0)∫ z(x)
z(x0)
h(u)du =
∫ x
x0
g(t)dt ∀x ∈ I
com essa identidade conseguimos uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o pois pelo TFC
z′(x).h(z(x)) = g(x).
Exemplo 6. Resolva a equac¸a˜o separa´vel
(1 + x)dy − ydx = 0.
dy
y
=
dx
(x+ 1)
da´ı
ln(y) = ln(x+ 1) + c
logo
y = (x+ 1).c.
Exemplo 7. Resolver o problema y′ = y2 − 4
dy
4
(
1
y − 2 −
1
y + 2
)
1
4
(ln(y − 2)− ln(y + 2)) = x+ c⇒ ln(y − 2
y + 2
) = 4x+ c
logo
y − 2
y + 2
= c.e4x
que pode ser simplificada em
y =
2 + ce4x
1− ce4x
usando a condic¸a˜o inicial y(0) = 2 tem-se y(x) = 2 que realmente e´ uma soluc¸a˜o .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 8
Exemplo 8. Resolver a equac¸a˜o
y′ = xy
1
2 , y(0) = 0.
dy
y
1
2
= xdx
logo integrando y
1
2 =
x2
4
+ c , y = (
x2
4
+ c)2, usando a condic¸a˜o inicial y(0) = 0 segue
y =
x4
16
.
Exemplo 9. Suponha conhecida uma primitiva g(x) de p(x), resolva a equac¸a˜o
dy
dx
=
p(x)
yq
.
De
dy
dx
=
p(x)
yq
segue que
yqdy = p(x)dx⇔ y
q+1
q + 1
= g(x) + c⇔ yq+1 = (q + 1)g(x) + c
y = [(q + 1)g(x) + c]
1
q+1 .
Caso q 6= −1.
1.1.3 Equac¸o˜es exatas
Definic¸a˜o 3 (Equac¸a˜o exata). Sejam M,N : A → R func¸o˜es e A o retaˆngulo fechado e
limitado
A = I × J = {(x, y) ∈ R2 | |x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}
. Uma equac¸a˜o da forma
M(x, y) +N(x, y)y′ = 0
que tambe´m pode ser escrita da forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 9
e´ dita exata em A se existe uma func¸a˜o F : A → R com derivadas parciais primeiras
cont´ınuas tais que
Fx =M e Fy = N em A.
A equac¸a˜o exata tambe´m pode ser escrita como
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.
Propriedade 2. M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 e´ exata em A sse My(x, y) = Nx(x, y).
Demonstrac¸a˜o. ⇒ . Se a equac¸a˜o e´ exata, existe F com derivada parcial segunda
cont´ınua tal que Fx = M e Fy = N , pelo teorema de Schwarz segue que
Fxy = My = Fyx = Ny
←. Suponhaque My = Nx, vamos mostrar que a equac¸a˜o pedida e´ exata. Definimos
F (x, y) =
∫ x
x0
M(s, y)ds+
∫ y
y0
N(x0, t)dt
F (x, y) =
∫ x
x0
M(s, y0)ds+
∫ y
y0
N(x, t)dt
do TFC tem-se
Fx = M e F y = N(x, y).
Vamos mostrar que F = F .
F (x, y)− F (x, y) =
∫ x
x0
M(s, y)ds+
∫ y
y0
N(x0, t)dt−
∫ x
x0
M(s, y0)ds−
∫ y
y0
N(x, t)dt =
=
∫ x
x0
M(s, y)−M(s, y0)ds+
∫ y
y0
N(x0, t)−N(x, t)dt =
∫ x
x0
∫ y
y0
Mt(s, t)dtds−
∫ y
y0
∫ x
x0
Ns(s, t)dsdt =
=
∫ x
x0
∫ y
y0
Mt(s, t)−Ns(s, t)︸ ︷︷ ︸
=0
dtds = 0
logo F = F e a propriedade esta´ demonstrada.
Propriedade 3. Se p e´ cont´ınua enta˜o y′ + p(x)y = 0 com condic¸a˜o inicial y(x0) possui
soluc¸a˜o u´nica.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 10
Demonstrac¸a˜o. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o pode ser escrita como
y(x) = c.e
− ∫ xx0 p(t)dt
da´ı
y(x0) = c.e
− ∫ x0x0 p(t)dt = c.e0 = c
logo a soluc¸a˜o e´ obrigatoriamente da forma
y(x) = y(x0).e
− ∫ xx0 p(t)dt.
1.1.4 Equac¸a˜o de Bernoulli
Definic¸a˜o 4 (Equac¸a˜o de Bernoulli). E´ uma equac¸a˜o da forma
y′ + p(x)y = q(x)yn
onde p, q ∈ C0(I), t ∈ R.
Propriedade 4.
Demonstrac¸a˜o.
y′
yn
+
p(x)
yn−1
= q(x)y
substituindo w =
1
yn−1
temos w′ =
1− n
yn
y′ logo a equac¸a˜o pode ser escrita como
w′
1− n + p(x)w = q(x)
w′ + (1− n)p(x)w = (1− n)q(x)
1.1.5 Equac¸a˜o de Ricatti
Definic¸a˜o 5 (Equac¸a˜o de Ricatti). A equac¸a˜o de Ricatti e´ a equac¸a˜o diferencial na˜o
linear do tipo
y′ = q0(x) + q1(x)y + q2(x)y2
Propriedade 5. Sendo y1 uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Ricatti
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 11
Demonstrac¸a˜o.
Sendo y1 uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Ricatti, substituindo y = y1 + y2 segue que
y′1 + y
′
2 = q0(x) + q1(x)y1 + q1(x)y2 + q2(x)y
2
1 + q2(x)2y1y2 + q2(x)y
2
2
da´ı
y′2 = q1(x)y2 + q2(x)2y1y2 + q2(x)y
2
2
y′2 − (q1(x) + q2(x)2y1)y2 = q2(x)y22
e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli.
Exemplo 10. Mostrar que existe uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′ = y2 + 1 tal que y(0) = 0.
y′
1 + y2
== (arctg(y))′ = 1
logo
arctg(y) = x+ c
da´ı
tg(x+ c) = y.
De y(0) = tg(c), podemos tomar c = 0 logo temos uma soluc¸a˜o . (observac¸a˜o, usar
outras identidades trigonome´trica para resolver edo’s parecidas)
1.2 Me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas-me´todo de
Picard
Definic¸a˜o 6 (Me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas). Definimos uma sequeˆncia de func¸o˜es
(Φk) recursivamente por
Φ0(x) = y0, Φn+1(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t,Φn(t))dt
onde a func¸a˜o f esta´ associada ao problema de Cauchy y′ = f(x, y) com y0 = y(0) dado .
As func¸o˜es da sequeˆncia assim definidas sa˜o chamadas de aproximac¸o˜es sucessivas .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 12
Propriedade 6. Seja f : Ω→ R cont´ınua tal que
|∂yf(x, y)| ≤ L, ∀(x, y) ∈ Ω retaˆngulo ou faixa em x.
enta˜o f e´ lipschitz em y ∈ Ω.
Demonstrac¸a˜o.
Tem-se que
f(x, y2)− f(x, y1) =
∫ y2
y1
∂yf(x, t)dt
da´ı
|f(x, y2)− f(x, y1)| =
∫ y2
y1
|∂yf(x, t)|dt ≤ L|y2 − y2|
logo f e´ lipschitz em y .
Propriedade 7 (Existeˆncia de soluc¸o˜es locais). A sequeˆncia de aproximac¸o˜es sucessivas
converge para uma soluc¸a˜o do problema de Cauchy . Sendo f : A → R cont´ınua em
A = {|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b} com |f(x, y)| ≤ m, f sendo y-lipschitz .
Demonstrac¸a˜o.[Convergeˆncia da sucessa˜o nume´rica]
Vale por soma telesco´pica
Φn(x) = Φ0(x) +
n∑
k=1
∆Φk−1(x)
da´ı Φn(x) converge sse a se´rie
∞∑
k=1
∆Φk−1(x) converge. Vale |Φ1(x)−Φ0(x)| ≤M |x−x0|
Φ2(x)− Φ1(x) =
∫ x
x0
f(tΦ1(t))− f(t,Φ0(t))dt
|Φ2(x)− Φ1(x)| =
∫ x
x0
|f(t,Φ1(t))− f(t,Φ0(t))|dt ≤ L
∫ x
x0
|Φ1(t)− Φ0(t)|dt ≤
ML
∫ x
x0
|t− x0|dt = ML(x− x0)
2
2
.
Por induc¸a˜o podemos provar que
|∆Φk−1(x)| ≤ ML
k−1|x− x0|k
k!
com isso temos
|Φ0(x)|+ M
L
∞∑
k=0
(L|x− x0|)k
k!
= |Φ0(x)|+ Me
La
L
logo a se´rie converge, portanto a sequeˆncia converge .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 13
Propriedade 8 (Estimativa).
||Φ(x)− Φk(x)|| ≤ M
L
(La)k+1
(k + 1)!
eLa, x ∈ Ia.
Demonstrac¸a˜o. Vale
Φk(x) = Φ0(x) +
k∑
j=1
∆Φj−1(x)
por soma telesco´pica. Sendo Φk convergente podemos escrever
Φ(x) = Φ0(x) +
∞∑
j=1
∆Φj−1(x)
logo
||Φ(x)− Φk(x)|| = ||
∞∑
j=k+1
∆Φj−1(x)|| ≤
∞∑
j=k+1
||∆Φj−1(x)|| ≤
usamos agora a identidade ||∆Φj−1(x)|| ≤ ML
j−1||x− x0||j
j!
que pode ser demonstrada
por induc¸a˜o, com isso tem-se
≤ M
L
∞∑
j=k+1
Lj||x− x0||j
j!
≤ M
L
∞∑
j=k+1
Ljaj
j!
=
M(La)k+1
L
∞∑
k=0
Ljaj
(j + k + 1)!
≤ M(La)
k+1
L(k + 1)!
eLa.
Denotamos λk =
(La)k+1
(k + 1)!
, temos limλk = 0.
Demonstrac¸a˜o.
|
∫ x
x0
f(t,Φk)dt−
∫ x
x0
f(t,Φ(t))dt| ≤ L
∫ x
x0
|Φk(t)−Φ(t)|dt ≤ M
L
λke
La|x−x0| ≤ Ma
L
λke
La
como limλk = 0 enta˜o
lim
∫ x
x0
f(t,Φk)dt =
∫ x
x0
f(t,Φ(t))dt
logo
Φk+1(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t,Φk(t))dt converge.
Propriedade 9 (Unicidade de soluc¸o˜es). Seja f cont´ınua e satisfazendo a condic¸a˜o de
Lipschitz em um retaˆngulo, enta˜o existe apenas uma soluc¸a˜o para o problema de Cauchy
y′ = f(x, y), y(0) = y0.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 14
Demonstrac¸a˜o.
Suponha duas soluc¸o˜es Φ(x) e Ψ(x) logo
Φ(x)−Ψ(x) =
∫ x
x0
f(t,Φ(t))− f(t,Ψ(t))dt
|Φ(x)−Ψ(x)| ≤ L
E(t)︷ ︸︸ ︷∫ x
x0
|Φ(t)−Ψ(t)|dt
logo
E ′(x)− LE(x) ≤ 0
multiplicando por e−L|x−x0| tem-se
(e−L|t−x0|E(t))′ ≤ 0
aplicando
∫ x
x0
segue que
e−L|x−x0|E(x) ≤ 0
assim E(x) ≤ 0∀x da´ı Φ(x) = Ψ(x).
Propriedade 10 (Lema de Gronwall). Seja ϕ : [a, b] → R cont´ınua e φ(x) ≥ 0 em [a, b]
se
ϕ(x) ≤ c0 + c1
∫ x
a
ϕ(t)dt
com c0 ≥ 0, c1 > 0 enta˜o
ϕ(x) ≤ c0ec1(x−a).
Demonstrac¸a˜o. Seja Ψ : [a, b]→ R tal que Ψ(x) =
∫ x
a
ϕ(t)dt enta˜o Ψ′(x) = ϕ(x) e
por hipo´tese
Ψ′(x) ≤ c0 + c1Ψ(x)
multiplicando por e−c1t resulta
(Ψec1t)′ ≤ c0ec1t
aplicando
∫ x
a
tem-se
Ψe−c1x ≤ −c0
c1
(1− ec1(x−a))
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 15
que implica
Ψ ≤ c0
c1
(ec1(x−a) − 1)
ϕ(x) ≤ c0 + c0(ec1(x−a) − 1) = c0ec1(x−a) .
Corola´rio 1. Se |f ′(x)| ≤ |f(x)| e f(0) = 0 enta˜o f(x) = 0 . Tomamos g(x) = f ′(x) da´ı
f(x) =
∫ x
0
g(t)dt
|g(x)| ≤ |
∫ x
0
g(t)dt| ≤≤
∫ x
0
|g(t)|dt
segue enta˜o do lema que g(x) = 0 = f ′(x) logo f(x) = 0 pois f e´ constante .
Propriedade 11. Se Φ e Ψ sa˜o soluc¸o˜es do problema de Cauchy com condic¸o˜es iniciais
y0 e z0 enta˜o
|Φ(x)−Ψ(x)| ≤ |z0 − y0|eL|x−x0|
Demonstrac¸a˜o.
|Φ(x)−Ψ(x)| ≤ |z0 − y0|+ L
∫ x
x0
|Φ(t)−Ψ(t)|
por f ser lipschitz . Pelo lema de Gronwall segue o resultado .
Propriedade 12 (Dependeˆncia cont´ınua dos dados iniciais). Seja f cont´ınua em um
retaˆngulo enta˜o
∀ ε > 0 | |z0 − y0| < δ ⇒ |Φ(x)−Ψ(x)| ≤ ε
onde Ψ e Φ sa˜o soluc¸o˜es do problema de Cauchy com condic¸o˜es iniciais z0 e y0.
Demonstrac¸a˜o.
1.2.1 Lema de Hille
Propriedade 13 (Lema de Hille). Seja g : [x0, a]→ R cont´ınua tal que g(x0) = g′(x0) e
0 ≤ g(x) ≤
∫ x
x0
g(x)
t− x0dt
enta˜o g(x) = 0∀x ∈ [x0, a].
Demonstrac¸a˜o.
Definimos a func¸a˜o
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 16
1.3 Me´todo do ponto fixo
Propriedade 14. Seja f : Iα × J︸ ︷︷ ︸
A
→ R onde
Iα = {x ∈ R | |x− x0| ≤ α}, J = {y ∈ R | |y − y0| ≤ b}, α = min{a, b
M
},
com a me´trica do supremo e f limitada por M nesse conjunto fechado A. Denotamos
C(Iα) o espac¸o completo (c
0(Iα, d)).
Se f : A→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e lipschitz na segunda varia´vel, isto e´,
|f(t, g)− f(t, h)| ≤ L|g − h|
para alguma constante L > 0 ∈ R, enta˜o
y′ = f(x, y), y(x0) = y0
possui uma u´nica soluc¸a˜o .
Demonstrac¸a˜o. Primeiro observe queα = min{a, b
M
}, vale que α ≤ b
M
, αM ≤ b.
A aplicac¸a˜o T : C(Iα)→ C(Iα), definida por
T (g)(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, g(t))dt
tem um u´nico ponto fixo. Tem-se que T (g)(x0) = y0 e ale´m disso
|T (g)(x)− y0| ≤
∫ x
x0
|f(t, g(t))|dt ≤M(x− x0) ≤Mα ≤ b.
T e´ uma contrac¸a˜o, pois f sendo lipschitz implica que
|T (g)(x)− T (h)(x)| ≤
∫ x
x0
|f(t, g)− f(t, h)| ≤ L
∫ x
x0
|g(t)− h(t)|dt ≤ Lα||g − h||
da´ı por propriedade do supremo tem-se
||T (g)− T (h)|| ≤ Lα||g − h||.
Se Lα < 1 enta˜o T e´ uma contrac¸a˜o, da´ı existe uma u´nica func¸a˜o g de C(Iα) tal que
T (g) = g, ou seja, para x ∈ Iα o u´nico ponto fixo g satisfaz a equac¸a˜o
g(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, g(t))dt.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 17
Para o caso em que na˜o vale Lα < 1 , existe n natural tal que T n e´ uma contrac¸a˜o.
Definimos uma sequeˆncia de func¸o˜es por
g1(x) = g
g(n+1)(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, gn)dt
e vale para todo n natural que g(n+1)(x) = T
n(g)(x).
Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1, vale
g(2)(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, g1)dt = y0 +
∫ x
x0
f(t, g)dt
ale´m disso
T (g)(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, g)dt
logo vale para n = 1, supondo que vale para p, vamos provar que vale para p+ 1
g(p+2)(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, gp+1)dt = y0 +
∫ x
x0
f(t, T pg)dt = T [T pg] = T p+1 .
Vale que
|gn(x)− hn(x)| ≤
∫ x
x0
|f(t, gn)− f(t, hn)|dt ≤ L
∫ x
x0
|gn(t)− hn(t)|dt
pois f e´ lipschitz na segunda varia´vel .
Note que (provar por induc¸a˜o, usando integrac¸a˜o por partes e que a func¸a˜o e´ lipschitz
na segunda varia´vel)
|gn+1(x)− hn+1(x)| ≤ L
n
(n− 1)!
∫ x
x0
(x− t)n−1|g(t)− h(t)|dt
tomando o supremo segue
||gn+1(x)− hn+1(x)|| ≤ L
n
(n− 1)! ||g(t)− h(t)||
∫ x
x0
(x− t)n−1dt| ≤ (αL)
n
(n)!
||g(t)− h(t)||
logo
d(gn+1, hn+1) ≤ (αL)
n
(n)!
d(g, h)
existe n natural tal que 0 ≤ (αL)
n
(n)!
< 1, logo para tal n, T n e´ contrac¸a˜o, portanto T
possui ponto fixo .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 18
Propriedade 15. Sejam Ω ⊂ R2 um aberto limitado , (x0, y0) ∈ Ω, f : Ω→ R cont´ınua
e localmente lipschitz, enta˜o o problema de Cauchy
y′ = f(x, y), y(x0) = y0
tem uma u´nica soluc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o.
1.4 Me´todo da poligonal
O objetivo nessa sec¸a˜o e´ mostrar que o problema de Cauchy (PC)
y′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0
tem soluc¸a˜o, supondo f cont´ınua, esse resultado e´ devido a Cauchy e Peano, na˜o se sabe
se esse problema possui unicidade de soluc¸a˜o.
A existeˆncia de soluc¸a˜o sera´ mostrada usando o teorema de Arzela`-A´scoli, Denotamos
C(I) o espac¸o me´trico (C0(I), d) onde C0(I) e´ o conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas
definidas no intervalo I = [a, b] e d e´ a me´trica do sup
d(f, g) = ||f − g|| = sup
x∈I
|f(x)− g(x)|
Definic¸a˜o 7 (Conjunto uniformemente limitado). Um subconjunto A de C(I) e´ unifor-
memente limitado quando existe uma constante k > 0 ∈ R tal que
||f || = sup
x∈I
|f(x)| ≤ k, ∀f ∈ A.
Propriedade 16. Seja A ⊂ C(I) uniformemente limitado, enta˜o ∀E ⊂ I enumera´vel,
existe uma sequeˆncia de func¸o˜es (fn) ⊂ A que converge em todo x ∈ E.
Demonstrac¸a˜o.
Teorema 1 (Teorema de Cauchy-Peano). Seja ω um conjunto aberto e limitado do R2
com (x0, y0) ∈ Ω e y(x0) = y0 . Se f : A→ R e´ cont´ınua enta˜o existe φ : Ω→ Ω cont´ınua
soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Cauchy
y′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 19
Demonstrac¸a˜o.
Construiremos a func¸a˜o em 4 etapas.
Etapa 1: Constru´ımos uma sequeˆncia de poligonais (ϕn). Definimos
V = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y), (x0, y0)) ≤ ε} ⊂ Ω.
Seja M = sup
(x,y)∈V
|f(x, y)| e
R0 = {(x, y) ∈ V | |x− x0| ≤ α, |y − y0| ≤Mα} ⊂ V
com α > 0.
1.5 Soluc¸o˜es anal´ıticas
Teorema 2 (Teorema de Cauchy). Se f : ω → R e´ uma func¸a˜o anal´ıtica em uma
vizinhanc¸a de (x0, y0) enta˜o o problema y
′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0 possui uma u´nica
soluc¸a˜o em [−p, p].
Demonstrac¸a˜o. Consideramos x0 = y0 = 0 a se´rie da poteˆncias e´ dada por
f(x, y) =
∞∑
k=1
∞∑
j=0
ak,j(x)
k(y)j
onde ak,j =
∂k+jf(0, 0)
∂xk∂yk
1.6 Sistema de EDO’s de primeira ordem e de ordem
n .
Definic¸a˜o 8 (sistema de EDO’s de primeira ordem). Um sistema de EDO’s de primeira
ordem e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma
y′k = fk(x, yt|n1 ). k, t ∈ In,
isto e´,
y′1 = f1(x, y1, · · · , yn)
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 20
...
y′n = fn(x, y1, · · · , yn)
onde yk = yk(x) e fk : R
n+1 → R.
Uma equac¸a˜o diferencial de ordem n pode ser representada por
y(n) = f(x, y(k)|n−11 ) = f(x, y1, · · · , yn−1)
isto e´, ela depende das derivadas de menor ordem .
Propriedade 17. As EDO’s de ordem superior podem ser estudadas por meio de sistemas
de EDO’s de primeira ordem usando as mudanc¸as de varia´veis yk+1 = y
(k) .
Demonstrac¸a˜o. Da relac¸a˜o yk+1 = y
(k) tem-se
y1 = y, y2 = y
′, y3 = y′′, . . . , yn = y(n−1)
derivando as equac¸o˜es na ordem e substituindo
y′1 = y2, y
′
2 = y3, y
′
3 = y4, . . . , y
′
n = y
(n)
enta˜o podemos escrever y(n) = f(x, y, y(1), . . . , y(n−1)) como y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn) e
temos o sistema

y′1 = y2
y′2 = y3
...
y′n−1 = yn
y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn)
Definic¸a˜o 9 (Soluc¸a˜o). Uma soluc¸a˜o do sistema definido acima e´ um conjunto com n
func¸o˜es deriva´veis (Φk)
n
1 definidas em I = {x ∈ R, |x− x0| < a} satisfazendo (x,Φk|n1 )
Φ′k(x) = fk(x,Φt(x)|n1 ) ∀k ∈ In.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 21
1.6.1 Aplicac¸o˜es a EDO de ordem 2
Exemplo 11 (EDO do tipo y′′ = f(x, y′)). Tomamos z = y′, da´ı z′ = f(x, z) com isso
transformamos um problema de ordem 2 em um de ordem 1.
Exemplo 12 (Equac¸a˜o de Euler). Resolver a equac¸a˜o do tipo xy′′ = y′, tomamos y′ = z
da´ı xz′ = z cuja soluc¸a˜o e´ da forma z = cx dai por integrac¸a˜o y = ax2 + b.
Exemplo 13 (EDO do tipo y′′ = f(y, y′)). Fazemos z = y′ e podemos concluir que
z
dz
dy
= f(y, z).
Exemplo 14 (EDO do tipo y′′ = f(x, y).). Consideramos o problema de valor inicial
y′′ = f(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y1 considerando
A = {(x, y) ∈ R2 | |x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}
sendo f : A → R cont´ınua . Queremos encontrar Φ : I → R soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada,
usaremos o me´todo de aproximac¸o˜es sucessivas. Integrando a EDO em [x0, x] tem-se
y′(x) = y1 +
∫ x
x0
f(t, y)dt
integrando em [x0, x] novamente tem-se
y(x) = y0 + (x− x0)y1 +
∫ x
x0
∫ t
x0
f(s, y)dsdt
integrando por partes tomando u(t) =
∫ t
x0
f(s, y)ds e v′(t) = 1 tem-se
y = y0 + (x− x0)y1 +
∫ x
x0
(x− t)f(t, y)dt.
As sucesso˜es de aproximac¸o˜es sucessivas sa˜o definidas como
Φ0(x) = y0, Φk+1(x) = y0 + (x− x0)y1 +
∫ x
x0
(x− t)f(t,Φk(t))dt.
Pode-se mostrar que (Φk) converge para uma func¸a˜o Φ soluc¸a˜o da EDO proposta.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 22
Exemplo 15. Determinar as soluc¸o˜es do problema
y′′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
por aproximac¸o˜es sucessivas.
Φ0(x) = y0, Φk+1(x) = y0 + (x− x0)y0 +
∫ x
x0
(x− t)f(t,Φk(t))dt
Φ0(x) = 1, Φ1(x) = 1− x
2
2
.
Exemplo 16. Resolver a equac¸a˜o por meio de aproximac¸o˜es sucessivas.
y′′ + y = x, y(0) = 1, y′(0) = 0.
Temos f(x, y) = x− y, x0 = 0, y0 = 1, y1 = 0, Φ0(x) = 1
Φk+1(x) = 1 + 0.x+
∫ x
0
(x− t)(t− Φk(t))dt
onde f(t,Φk(t)) = t− Φk(t), vejamos alguns dos primeiros casos
Φ1(x) = 1 +
∫ x
0
(x− t)(t− 1)dt = 1− x
2
2
+
x3
3!
Φ2(x) = 1 +
∫ x
0
(x− t)(t− 1 + t
2
2
− t
3
3!
)dt = 1− x
2
2
+
x3
3!
+
x4
4!
− x
5
5!
.
A soluc¸a˜o geral e´ dada por y = x+ cos(x)− sen(x).
1.7 Sistema vetorial
Usaremos Ω ⊂ Rn+1 para uma regia˜o limitada . Um elemento de Ω sera´ denotadopor
(x, ~y) onde ~y = (yk)
n
1 . Escrevemos
f(x, ~y) = (fk(x, ~y))
n
1
e ~y′ = (y′k)
n
1 .
~y′ = f(x, ~y)
significa y′k = fk(x, ~y).
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 23
Definic¸a˜o 10 (Func¸a˜o cont´ınua). ~F e´ cont´ınua em Ω quando cada fk e´ cont´ınua em Ω.
Propriedade 18. Sejam Ω = {(x, ~y) ∈ Rn+1 | |x − x0| ≤ a, ||y − y0|| ≤ b} . Suponha
~f : Ω ⊂ Rn+1 → Rn com ∂f
∂yk
cont´ınua em Ω. Se existir L > 0 tal que
|| ∂f
∂yk
|| ≤ L, ∀(x, ~y ∈ Rn+1)
enta˜o ~f e´ Lipschitz na segunda varia´vel .
Demonstrac¸a˜o. Sejam (x, ~y), (x, ~z) ∈ Ω, definimos F (θ) = f(x, ~z + θ(~y − ~z)) com
θ ∈ [0, 1].
F esta´ bem definida se ~z+ θ(~y− ~z) ∈ ω ∀θ ∈ [0, 1]. Tal propriedade se verifica pois de
||~y − ~y0|| ≤ b tem-se
||~z + θ(~y − ~z)|| = ||~z − ~y0 − θ~z + θ~y − θ~y0|| =
= ||(1− θ)(~z − ~y0) + θ(~y − ~y0)|| ≤ (1− θ)||~z − ~y0||+ θ||~y − ~y0|| ≤ (1− θ)b+ θb = b.
Agora iremos mostrar que f e´ lipschitz ( continuar depois) .
Propriedade 19 (Existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es vetoriais). O problema de Cauchy
vetorial
~y′ = f(x, ~y), ~y(x0) = ~y0
tem pelo menos uma soluc¸a˜o e sobre certas hipo´teses ela e´ u´nica. O problema colocado e´
o mesmo que resolver o sistema com condic¸o˜es iniciais (PC, problema de Cauchy) .
~y′k = fk(x, y1, . . . , yn), yk(x0) = αk.
Podemos mostrar que se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em Ω enta˜o o PC dado tem pelo
menos uma soluc¸a˜o em I . Se f satisfaz a condic¸a˜o de Lipschitz na segunda varia´vel em
Ω enta˜o pelo me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas o PC tem um u´nica soluc¸a˜o em I . A
sequeˆncia de aproximac¸o˜es sucessivas para ~f e´ definida como
~Φ0(x) = ~y0, ~Φk+1(x) = ~y0 +
∫ x
x0
~f(tΦk(t))dt.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 24
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 20.
||Φ(x)− Φk(x)|| ≤ M
L
(La)k+1
(k + 1)!
eLa, x ∈ Ia.
Demonstrac¸a˜o. Vale
Φk(x) = Φ0(x) +
k∑
j=1
∆Φj−1(x)
por soma telesco´pica. Sendo Φk convergente podemos escrever
Φ(x) = Φ0(x) +
∞∑
j=1
∆Φj−1(x)
logo
||Φ(x)− Φk(x)|| = ||
∞∑
j=k+1
∆Φj−1(x)|| ≤
∞∑
j=k+1
||∆Φj−1(x)|| ≤
usamos agora a identidade ||∆Φj−1(x)|| ≤ ML
j−1||x− x0||j
j!
que pode ser demonstrada
por induc¸a˜o, com isso tem-se
≤ M
L
∞∑
j=k+1
Lj||x− x0||j
j!
≤ M
L
∞∑
j=k+1
Ljaj
j!
=
M(La)k+1
L
∞∑
k=0
Ljaj
(j + k + 1)!
≤ M(La)
k+1
L(k + 1)!
eLa.
Propriedade 21 (Existeˆncia de soluc¸o˜es locais). Seja ~f vetorial cont´ınua em Ω com
valores em Rn tal que ||f(x, ~y)|| ≤M, ∀(x~y) ∈ Ω. Se ~f satisfaz as condic¸o˜es de Lipschitz
na segunda varia´vel, enta˜o a sequeˆncia de aproximac¸o˜es (Φk) converge no intervalo Iα =
{x ∈ R | |x − x0| ≤ a} com a = min{a, b
M
} para uma func¸a˜o vetorial Φ soluc¸a˜o do P.C
∀x ∈ Iα.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 22 (Existeˆncia de soluc¸o˜es na˜o locais). Seja ~f vetorial cont´ınua em Ω =
{(x, y ∈ Rn+1) | ||x − x0| ≤ a, ||y|| < ∞} com valores em Rn tal que ||f(x, ~y)|| ≤
M, ∀(x~y) ∈ Ω. Se ~f satisfaz as condic¸o˜es de Lipschitz na segunda varia´vel, enta˜o a
sequeˆncia de aproximac¸o˜es (Φk) converge no intervalo Iα com para uma func¸a˜o vetorial
Φ soluc¸a˜o do P.C ∀x ∈ Iα.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 25
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 23 (Existeˆncia de soluc¸o˜es Globais). Seja ~f satisfazendo todas as condic¸o˜es
do problema anterior em Ω = {(x, ~y) ∈ Rn+1} enta˜o o problema de Cauchy tem pelo menos
uma soluc¸a˜o .
Demonstrac¸a˜o.
1.8 Sistemas de EDO’s lineares de ordem n
Uma EDO linear de segunda ordem e´ dada por
P0(x)y
′′ + p1(x)y′ + p2(x)y + q(x) = 0
com p0(x) 6= 0. Iremos considerar pk e q cont´ınuas em R.
Considere o sistema linear
~y′ = A~y.
Definic¸a˜o 11 (Equac¸a˜o normalizada). Uma EDO se segunda ordem e´ dita ser normali-
zada quando p0(x) = 1. Podemos normalizar as equac¸o˜es estudadas nessa sec¸a˜o, dividindo
por p0(x), iremos estudar o caso em que q(x) = 0.
Propriedade 24. Seja Φ(x) soluc¸a˜o de ~y′ = A~y. . Se Φ(x0) = 0 para algum x0 ∈ R
enta˜o Φ(x) = 0, ∀x ∈ R.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 25. Sejam Φ1 e Φ2 soluc¸o˜es de ~y′ = A~y em R. Enta˜o Φ1,Φ2 sa˜o LD em R
⇔ existe x0 ∈ R tal que Φ1(x0) e Φ2(x0) sa˜o LD .
Demonstrac¸a˜o. ⇒) Sendo Φ1,Φ2 LD em R, em especial elas sa˜o LD para um certo
valor x0 ∈ R. ⇐) Suponha Φ1(x0),Φ2(x0) LD, enta˜o existem constantes c1 e c2 tais que
c1Φ1(x0) + c2Φ2(x0) = 0.
Definimos Φ(x) = c1Φ1(x) + c2Φ2(x), como Φ e´ soluc¸a˜o de ~y′ = A~y e nula num ponto,
isso implica que Φ e´ nula em todos pontos, logo Φ1,Φ2 sa˜o LD em R .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 26
Definic¸a˜o 12 (Func¸o˜es linearmente independentes e dependentes). As func¸o˜es (fk)
n
1 :
R → V (V um espac¸o vetorial com escalares que contenham R) sa˜o LD ⇔ existem
(ck)
n
1 ∈ R (pelo menos um na˜o nulo), em que vale
n∑
k=1
ckfk(x) = 0, ∀x ∈ R.
Se
n∑
k=1
ckfk(x) = 0, ∀x ∈ R implicar cada ck = 0 enta˜o (fk)n1 sa˜o ditas LI .
Definic¸a˜o 13 (Wronskiano). Sejam f , g deriva´veis , definidas em R . O wronskiano de
tais func¸o˜es e´ o determinante
W (f, g) =
∣∣∣∣∣∣ f gf ′ g′
∣∣∣∣∣∣ = fg′ − f ′g.
Definic¸a˜o 14 (Sistema fundamental). Soluc¸o˜es Φ1,Φ2 formam um sistema fundamental
de soluc¸o˜es ⇔ ∃x0 ∈ R | W (Φ1(x0),Φ2(x0)) 6= 0.
Propriedade 26. Sejam p1, p2 sa˜o cont´ınuas em R . Φ1,Φ2 sa˜o linearmente dependentes
⇔ ∃x0 ∈ R | W (Φ1(x0),Φ2(x0)) = 0.
Demonstrac¸a˜o. ⇒). Sejam Φ1,Φ2 LD em R. Logo existem c1, c2 tais que
c1Φ1(x) + c2Φ2(x) = 0 ∀x ∈ R
derivando tem-se
c1Φ
′
1(x) + c2Φ
′
2(x) = 0.
Supondo c1 6= 0 multiplicamos a primeira identidade por Φ
′
2
c1
e a segunda por −Φ2
c1
e
somando tem-se
Φ′2(x).Φ1(x)− Φ′1Φ2(x) = 0
que significa que W (Φ1(x),Φ2(x)) = 0, ∀x ∈ R. ⇐) Suponha ∃x0 ∈ R tal que
W (Φ1(x0),Φ2(x0)) = 0, considere o sistema
c1Φ1(x0) + c2Φ2(x0) = 0
c1Φ
′
1(x0) + c2Φ
′
2(x0) = 0
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 27
como o sistema e´ homogeˆneo e W (Φ1,Φ2)(x0) e´ nulo, enta˜o o sistema possui soluc¸a˜o c1, c2
na˜o necessariamente nulas , nesse caso definimos
Φ(x) = c1Φ1(x) + c2Φ2(x), ∀x ∈ R
Vale Φ(x0) = 0 e Φ
′(x0) = 0 logo Φ(x0) = 0 logo Φ(x) = 0 ∀x. Φ1(x) = −c1Φ2(x)
c2
e as
func¸o˜es sa˜o LD .
1.9 Equac¸o˜es lineares de ordem n
Uma EDO de ordem n e´ uma equac¸a˜o da forma
n∑
k=0
pk(x)y
(k) = q(x)
onde consideramos cada pk, q cont´ınuas em R e pn(x) 6= 0. Estudaremos equac¸o˜es com
q(x) = 0 . A equac¸a˜o pode ser normalizada como
y(n) =
n−1∑
k=0
pk(x)y
(k)
podemos escrever tais equac¸o˜es na forma matricial
~y′ = A~y, y(x0) = ~y0.
Definic¸a˜o 15 (Sistema fundamental). Sejam (Φk)
n
1 soluc¸o˜es da EDO de ordem n . Elas
formam um sistema fundamental de soluc¸o˜es ⇔ o wronskiano das componentes de Φ em
algum x0 e´ na˜o nulo
W (Φk)
n
1 (x0) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φ1 . . . Φn
... . . .
...
Φ
(n−1)
1 . . . Φ
(n−1)
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (x0) 6= 0
1.10 Soluc¸o˜es na forma matricial me´todo das apro-
ximac¸o˜es sucessivas
Definic¸a˜o 16 (Derivac¸a˜o e integrac¸a˜o de matrizes). Supondo cada aij(x) da matriz A
deriva´vel em R, definimos
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 28
∫ x
x0
A(t)dt = (
∫ x
x0
aij(t)dt), A
′(x) = (a′ij(x))
Corola´rio 2. Derivac¸a˜o e integrac¸a˜o de matrizes sa˜o operadores lineares .
Propriedade 27. O problema ~y′ = A(x)y, y(x0) = y0 e´ equivalente ao problema integral
~y(x) = ~y(0) +
∫ x
x0
A(t) ~y(t)dt
o me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas e´ definido por
Φ0(x) = y0, Φ(k + 1)(x) = y0 +
∫ x
x0
A(t)Φk(t)dt.
Exemplo 17 (Exponencial matricial). Consideramos a EDO ~y′ = A~y e aplicamos o
me´todo de aproximac¸o˜es sucessivas.
~y(x) = ~y0 + A
∫ x
x0
~y(t)dt
B(x) =
∫ x
x0
Adt = A(x− x0)
Φ0(x) = y0, Φ1(x) = y0 +
∫ x
x0Ay0 = y0 + (x− x0)Ay0 = y0(I +B(x))
Φ2(x) = y0 + A
∫ x
x0
[y0 + (x− x0)Ay0]dt = y0[I +B(x) + B
2(x)
2
]
Por induc¸a˜o segue que
Φk(x) = y0[
k∑
j=0
Bk(x)
k!
] ∀x ∈ R.
quando k →∞, Φk converge uniformemente em Ia para Φ soluc¸a˜o de ~y′ = A~y, y(x0) =
y0
∞∑
k=0
Bk(x)
k!
= eB(x)
logo
Φ(x) = y0e
B(x).
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 29
1.11 Sistemas lineares com coeficientes constantes
Iremos considerar o sistema linear homogeˆneo com coeficientes reais e constantes
y′k =
n∑
j=1
a(k,j)yj, k ∈ In
que pode ser escrito como
y′1
...
y′n

︸ ︷︷ ︸
Y ′
=

= a(1,1) · · · a(1,n)
...
...
...
a(n,1) · · · a(n,n)

︸ ︷︷ ︸
A

y1
...
yn

︸ ︷︷ ︸
Y
Y ′ = AY.
Propriedade 28. Se Y e´ soluc¸a˜o de Y ′ = AY enta˜o a derivada de qualquer ordem e
qualquer combinac¸a˜o linear de derivadas tambe´m sa˜o soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. Se Φ e´ soluc¸a˜o do PC enta˜o Φ′ tambe´m e´ soluc¸a˜o, pois sendo A uma
matriz constante vale
d(AΦ)
dx
= A
dΦ
dx
como Φ′ = AΦ logo
dΦ′
dx
= AΦ′
repetindo o processo podemos concluir que a derivada de qualquer ordem e combinac¸o˜es
lineares delas sa˜o soluc¸o˜es do PC.
Propriedade 29. Sejam f = f(x) uma soluc¸a˜o de y′ = A.y, y(0) = y0 e I = {x ∈
R, |x− x0| ≤ a}.
Se para algum c ∈ I vale
Af(c) = λf(c), f(c) 6= 0
(isto e´, f(c) e´ um vetor caracter´ıstico de A associado a` λ ) enta˜o o mesmo vale para todo
x ∈ I.
Af(x) = λf(x), f(x) 6= 0
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 30
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 30. Para cada valor caracter´ıstico λ de A existe uma soluc¸a˜o Φ em I dada
por
Φ(x) = (cke
λx)n1
(Φk)
n
1 e´ vetor caracter´ıstico de A associado a` λ.
Demonstrac¸a˜o.
Suponha Φ(x) = (Φk(x))k ∈ In soluc¸a˜o de y′ = Ay.
Φ′(x) = Aφ(x) = λΦ(x)
Φ′(x) = λ(x)⇒ (Φ′k(x)) = (λΦk(x))
Φ′k(x) = λΦk(x)⇒ Φk(x) = ckeλx
Propriedade 31. Tem-se DkΦ(x) = AkΦ(x).
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o.
Corola´rio 3. P (D)Φ = P (A)Φ).
Propriedade 32. Seja Φ = Φ(x) uma soluc¸a˜o de Y ′ = AY em I e suponha que para
algum ξ ∈ I vale
(A− λI)mΦ(ξ) = 0
, isto e´, Φ(ξ) e´ um vetor caracter´ıstico de A definido por λ e λ tem multiplicidade m .
Nessas condic¸o˜es
(D − λI)mΦ(x) = (A− λI)mΦ(x) = 0, ∀x ∈ I.
Demonstrac¸a˜o.
De P (D)Φ = P (A)Φ segue que
(D − λI)mΦ(x) = (A− λI)mΦ(x), ∀x ∈ I.
Tomando ψ(x) = (D − λI)mΦ(x), ψ e´ combinac¸a˜o linear de Φ e suas derivadas, da´ı
conclui-se que Ψ e´ soluc¸a˜o de Y ′ = AY .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 31
Por hipo´tese vale que
ψ(ξ) = (D − λI)mΦ(ξ) = 0
logo por unicidade de soluc¸a˜o tem-se ψ(x) = ψ(ξ) = 0 da´ı
(D − λI)mΦ(x) = 0
logo
(D − λI)mΦ(x) = (A− λI)mΦ(x) = 0.
Definic¸a˜o 17 (Soluc¸a˜o primitiva). Uma soluc¸a˜o de Y ′ = AY e´ chamada de primitiva, se
ela satisfaz (D − λ)mΦ(x) = (A− λI)mΦ(x) e na˜o e´ nula .
Φ(x) e´ uma soluc¸a˜o primitiva de Y ′ = AY ⇔ existe algum ξ ∈ I para o qual Φ(ξ) e´
vetor caracter´ıstico de A, definido por λ com multiplicidade m .
Propriedade 33. Se Φ(x) e´ uma soluc¸a˜o primitiva de Y ′ = AY tal que
(A− λI)mΦ(x) = 0, ∀ x ∈ I
enta˜o
Φ(x) = (Pk(x)e
λx)
onde cada Pk(x) e´ de grau ate´ m− 1.
Demonstrac¸a˜o.
(D − λI)mΦ(x) = 0, ∀ x ∈ I
Φ(x) = (Φk(x)) logo ((D− λ)mΦk(x)) = 0v implica (D− λ)mΦk(x) = 0 supondo Φk(x) =
eλxϕk(x) tem-se
(D − λ)mΦk(x) = (D − λ)m(eλxϕk(x)) = (eλxDmϕk(x)
que pode ser provado por induc¸a˜o sobrem facilmente. Ale´m disso temos queDmϕk(x) = 0
enta˜o ϕk(x) e´ polinoˆmio de grau ate´ m− 1 enta˜o
Φk(x) = Pk(x)e
λx.
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 32
Considere a ED de ordem n com coeficientes constantes
Dny(x) +
n∑
k=0
akD
ky(x) = 0, ∀ x, ak ∈ R
tal equac¸a˜o pode ser escrita como
P (D)y(x) = 0, ∀ x ∈ I
onde P (D) e´ um polinoˆmio, com equac¸a˜o caracter´ıstica dada por P (λ) = 0. Sejam (xk)
t
1
suas ra´ızes, tem-se
P (λ) =
t∏
k=1
(λ− λk)mk
com
t∑
k=1
mk = n, mk sendo a multiplicidade de cada λk. Nestas condic¸o˜es tem-se a fa-
torac¸a˜o para P (D)
P (D) =
t∏
k=1
(D − λk)mk
e a ED pode ser escrita como
P (D)y(x) =
t∏
k=1
(D − λk)mky(x)
qualquer soluc¸a˜o de (D − λk)mky(x) = 0 tambe´m e´ soluc¸a˜o de P (D)y(x) = 0.
1.12 Singularidades de um sistema auto´nomo
Considere o sistema de segunda ordem da forma
dx
dt
= P (x, y),
dy
dt
= Q(x, y)
tal sistema e´ chamado de auto´nomo, a varia´vel t na˜o aparece explicitamente nas func¸o˜es
do lado direito. Assumimos que P (x, y) e Q(x, y) sa˜o definidas em uma regia˜o D do plano
R2 e satisfac¸a a condic¸a˜o de lipschitz em x e y em alguma vizinhanc¸a de cada ponto de
D .
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 33
Em qualquer D′ ⊂ D em que vale p(x, y) 6= 0 podemos escrever
dy
dx
=
Q(x, y)
P (x, y)
.
Definic¸a˜o 18 (Curvas caracter´ısticas). As soluc¸o˜es de
dx
dt
= P (x, y),
dy
dt
= Q(x, y), x(t)
e y(t) definem uma curva que e´ chamada de curva caracter´ıstica .
Propriedade 34. Por cada ponto de D passa somente uma caracter´ıstica.
Demonstrac¸a˜o.
Lema 1. Seja h : U1 → U2 um difeomorfismo Ck, enta˜o h e´ um difeomorfismo Ck
conjugado ⇔ Dh(p)x1(p) = x2(h(p))
Demonstrac¸a˜o.
⇒).
Por hipo´tese temos
h(ϕ1(t, p)) = ϕ2(t, h(p)) derivando com respeito a` t tem-se
d
dt
h(ϕ1(t, p)) = ϕ2(t, h(p)) = h
′(ϕ1(t, p)) ◦ d
dt
ϕ1(t, p) =
= Dh(ϕ1(t, p)) ◦ x1(ϕ(t, p))
da mesma forma
d
dt
ϕ2(t, h(p)) = x2(t, h(p))
logo para t = 0
ϕ1(0, p) = p
Dh(p)x1(p) = x2(h(p)).
⇐). (Tem algo errado aqui, ajeitar ) Definimos ψ(t) = h(ϕ1(t, p)), ψ e´ soluc¸a˜o de
x′ = X2(x), x(0) = h(p) ψ(t) = ϕ2(t, h(p)), vamos provar tal afirmac¸a˜o.
Derivando a expressa˜o temos que
dψ
dt
=
d
dt
(h(ϕ1(t, p))) =
h′(ϕ1(t, p)) ◦ d
dt
ϕ1(t, p) =
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 34
= Dh(ϕ1(t, p)) ◦ x1(ϕ1(t, p)) = x2(h(q)) = x2(ψ(t))
ψ(0) = h(p), ψ e´ soluc¸a˜o de y′ = x2(y), y(0) = h(p) pela unicidade de soluc¸a˜o ψ(t) =
ψ(t, h(p)). (ver o que vem depois)
em t = 0 temos
Dh(p)x1(p) = x2(h(p))
por hipo´tese e pela unicidade de soluc¸a˜o ψ(t) = ϕ2(t, h(p)).
Definic¸a˜o 19 (Sec¸a˜o transversal local). Sejam X : U → Rn campo A ⊂ Rn−1 aberto e
f : A→ U Ck.
Seja Σ = f(A) com a topologia induzida por Rn. Dizemos que f e´ sec¸a˜o transversal
local (stl) de X se ∀a ∈ A temos Rn = S(Df(a)(Rk−1), X(f(a))).
Definic¸a˜o 20 (Sec¸a˜o transversal). Σ e´ uma sec¸a˜o transversal (st) se vale, f e´ stl e
f : A→ Σ e´ homeomorfismo.
Lema 2. Sejam X : ∆ → Rn campo Ck p ∈ ∆ na˜o singular, enta˜o existe f : A → ∆ stl
com Σ = f(A) st, 0 ∈ A.
Demonstrac¸a˜o.
Vamos construir f : A → ∆ com as propriedades desejadas. Sejam vn = x(p) 6= 0 e
{v1, · · · , vn} base de Rn. Definimos
L : Rn−1 → Rn
com
L(x1, · · · , xn−1) = p+
n−1∑
k=1
xkvk.
Definimos ainda g : Rn−1 → R com g(x) = det(v1, · · · , vn−1, x(L(x))), note que g e´
cont´ınua por ser composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınuas e ainda
g(0) = det(v1, · · · , vn) 6= 0
como g e´ cont´ınua, existe uma vizinhanc¸a A ⊂ Rn−1 de 0 tal que g|A 6= 0.
Seja f = L|A. g(a) 6= 0 ∀a ∈ A⇔ det(v1, · · · , vn1 , X(f(a))) 6= 0⇔
{v1, · · · , vn−1, X(f(a))}
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 35
e´ base de Rn.
Note que o jacobiano Jf (a) = col(v1, · · · , vn−1) vale que
S(v1, · · · , vn1) = Df(a)(Rn−1)
segue das suas observac¸o˜es anteriores
Rn = S(Df(a)(Rn−1), X(f(a))).
Teorema 3 (Teorema do Fluxo Tubular). Sejam X : U → Rn campo Ck , p ∈ U na˜o
singular, enta˜o, existem
1. V vizinhanc¸a de p em U .
2. h : (−ε.ε)×B → V difeomorfismo Ck, ε > 0, 0 ∈ B ⊂ Rn−1 bola aberta tal que h e´
Ck conjugac¸a˜o de X|V com o campo Y : (−ε, ε)×B → Rn , Y (t, x) = (1, 0, · · · , 0).
Demonstrac¸a˜o.Pelo lema existe Σ = f(A) st, 0 ∈ A ⊂ Rn−1, DA = {(t, x) | (t, f(x)) ∈ D} DA e´
aberto, pois f e´ homeromorfismo e D e´ aberto. Definimos L : DA → U com L(t, x) =
ϕ(t, f(x)). f(0) = p.
Vamos mostrar que h = L|(−ε,ε)×B com B = B(0, δ) ⊂ A, (−ε, ε) × B ⊂ DA e´
difeomorfismo Ck local na vizinhanc¸a de (0, 0) ∈ R×Rn−1.
Basta provar que DL(0) e´ isomorfismo. Ja´ sabemos que L e´ Ck (porque? composic¸a˜o
de Ck com Czinfty, f) (Note que (vamos derivar L com respeito as duas varia´veis),
∂t(h(0))
)
A matriz jacobiana JL(0) = [
∂L(0)
dt
,
∂L(0)
∂x
] Temos que
∂L(0)
∂t
=
∂(ϕ(t, f(0)))
∂t
|t=0 = X(ϕ(0, p)) = X(p)
∂L(0)
∂x
=
∂ϕ(0, f(x))
∂t
|x=0 = ∂f(x)
∂t
|x=0 = Df(0)
portanto
CAPI´TULO 1. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 36
JL(0) = [X(p)︸ ︷︷ ︸
x(f(0))
, Df(0)]
como Rn = S(Df(0)(Rn−1), X(f(0))) temos detJL(0) 6= 0 e portanto L e´ difeo-
morfismo Ck numa vizinhanc¸a de (0, 0) ∈ R × A, isso por aplicac¸a˜o da func¸a˜o inversa.
Tomando ε, δ > 0 suficientemente pequenos e B = B(0, δ) ⊂ Rn−1 temos que
h|(−ε,ε)×B : (−ε, ε)×B → V = L(−ε.ε)×B
e´ difeomorfismo Ck.
Agora provamos outra afirmac¸a˜o do teorema h e´ Ck conjugac¸a˜o, pelo lema que ja´
provamos basta ver que
Dh(t, x) = Y (t, x) = X(h(t, x))
de fato
Dh(t, x)Y (t, x) = Dh(t, x)(1, · · · , 0) =
=
∂h(t, x)
∂t
=
∂ϕ(t, f(x))
∂t
=
= X(ϕ(t, f(x))) = X(h(t, x))
o que termina a demonstrac¸a˜o .
Observamos que
ˆ ε, B,Σ, V dependem de p.
ˆ ψ : D → (−ε, ε)×B com ψ(t, y) = y + (t, 0)︸︷︷︸
∈R×Rn−1
.
ˆ Considere as projec¸o˜es canoˆnicas pi1R
n → R, pi2 : Rn → Rn−1.
Seja g = h−1 que e´ Ck conjugac¸a˜o . Definimos −j = pi1 ◦ g e B = pi2 ◦ g. O sinal de
negativo e´ por convenieˆncia. g e´ func¸a˜o V → (−ε, ε)×B e ainda
1.13 Dependeˆncia das soluc¸o˜es em relac¸a˜o a`s condic¸o˜es
iniciais e paraˆmetros