prova álgebra linear respostas

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UFMT – ICET – MATEMA´TICA (2009) – Prof. Geraldo L. Diniz – A´lgebra Linear II – Turma: T
Gabarito da Avaliac¸a˜o II
1. Encontre os valores de a e b, tais que A tenha autovalores λ = {4;−3}, onde A =
[
1 6
a b
]
.
Soluc¸a˜o:
(A− λI) =
(
1− λ 6
a b− λ
)
⇒ P (λ) = λ2− (1+ b)λ+ b−6a. Como 4 e -3 sa˜o autovalores de A, pelas relac¸o˜es
de Girardi, temos:{
1 + b = 4− 3
b− 6a = 4× (−3) ⇒
{
b = 0
a = 2
∴ A =
[
1 6
2 0
]
2. Encontre os autovalores da matriz A =
 2 1 12 1 2
1 0 2
.
Soluc¸a˜o:
(A− λI) =
 2− λ 1 12 1− λ 2
1 0 2− λ
⇒ P (λ) = (2− λ) ∣∣∣∣ 1− λ 20 2− λ
∣∣∣∣− ∣∣∣∣ 2 21 2− λ
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 1− λ1 0
∣∣∣∣⇒
P (λ) = (2− λ)(1− λ)(2− λ) + 2− (4− 2λ)− (1− λ)⇒ P (λ) = 1− 5λ+5λ2− λ3 = (λ− 1)(−1+ 4λ− λ2). Da´ı,
se obtem:
λ = {1; 2−√3; 2 +√3}.
3. Para que valores de x a matriz A tem autovalor com multiplicidade > 1, onde A =
 3 0 00 x 2
0 2 x
.
Soluc¸a˜o:
(A− λI) =
 3− λ 0 00 x− λ 2
0 2 x− λ
⇒ P (λ) = (3− λ) ∣∣∣∣ x− λ 22 x− λ
∣∣∣∣⇒ P (λ) = (3− λ) [(x− λ)2 − 4]
P (λ) = (3−λ)(λ2−2xλ+x2−4). Assim, para que P (λ) tenha autovalor com multiplicidade > 1, necessariamente
o polinoˆmio (λ2 − 2xλ+ x2 − 4) deve ter uma u´nica raiz. Neste caso, usando a fo´rmula de Ba´skara, se obte´m:
λ1,2 =
−(−2x)±√(−2x)2 − 4(x2 − 4)
2
⇒

λ1 =
2x+
√
4x2 − 4x2 + 4
2
= x+ 2
λ2 =
2x−√4x2 − 4x2 + 4
2
= x− 2
Logo, λ1 6= λ2∀x ∈ R. Portanto, para qualquer x ∈ R, os autovalores da matriz A possuem multiplicidade 1.
4. Seja A =
 0 0 −21 2 1
1 0 3
. Mostre se A e´ diagonaliza´vel ou na˜o.
Soluc¸a˜o:
(A− λI) =
 −λ 0 −21 2− λ 1
1 0 3− λ
⇒ P (λ) = −λ ∣∣∣∣ 2− λ 10 3− λ
∣∣∣∣− 2 ∣∣∣∣ 1 2− λ1 0
∣∣∣∣⇒
P (λ) = −λ(2− λ)(3− λ) + 2(2− λ)⇒ P (λ) = 4− 8λ+ 5λ2 − λ3 = (1− λ)(2− λ)2. Da´ı, para mostrar que A e´
diagonaliza´vel, basta mostrar que λ = 2 possui 2 autovetores l.i. Assim, tem-se:
(A− 2I)v = 0⇒
 −2 0 −21 0 1
1 0 1
 xy
z
 =
 00
0
⇒

−2x− 2z = 0
x+ z = 0
x+ z = 0
⇒ z = −x⇒ v =
 xy
−x
⇒
v = x
 10
−1
 + y
 01
0
, logo E2 = 〈
 10
−1
 ;
 01
0
〉. Logo, tem-se que A possui 3 autovetores l.i e,
portanto, A e´ diagonaliza´vel.
Valor de cada questa˜o 2,5 pontos Cuiaba´, 21 de Maio de 2009.