Integração Numérica

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Integração numérica
Consiste em estudar métodos numéricos para 
integração de funções.
Motivação. Embora existam muitas (centenas) 
fórmulas de integração em handbooks de cálculo, 
muitas funções importantes e de uso prático não 
tem a primitiva. Em alguns casos o custo para se 
obter a primitiva é muito alto e obter um resultado 
aproximado pode ser uma alternativa viável.
 
Integração numérica
Considere o seguinte exemplo. Muitos fenômenos não 
determinísticos são descritos pela função abaixo, conhecida 
como Distribuição Normal, ou Distribuição de Gauss
f (x)= 1
σ√2π
e
−(x−μ)2
2σ2
Exemplos de eventos cuja ocorrência segue a distribuição aleatória:
Distribuição do QI, acesso a sites da Web, características genéticas de uma população etc.
 
Integração numérica
Considere o seguinte exemplo. A probabilidade da variável 
aleatória, x estar entre x1e x2 é dada pela integral
f (x)= 1
σ√2π
e
−(x−μ)2
2σ2
P x1xx2=∫x1
x2
f xdx
Que não tem solução analítica!!
 
Integração numérica
Outro exemplo. A tensão média em um resistor é dada pela 
seguinte equação
V m=
∫0
T
Ridt
T
Onde, ei t =2020−t  sent  R i =2i2 /3
0 5 10 15 20 25
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
 
Integração numérica
Situações onde se justifica a integração numérica:
➔Primitiva desconhecida;
➔A primitiva é de difícil manipulação;
➔A dificuldade envolvida no cálculo da integral não 
compensa o esforço;
➔São conhecidos apenas dados discretos e em quantidade 
limitada da função
 
Revisão do conceito de Integral
A integral como primitiva de uma função. Integral indefinida.
Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva (ou 
antiderivada) da função f(x) em um intervalo I, se, para todo x 
 I, temos 
 F’ (x) = f(x)
 
Revisão do conceito de Integral
●Exemplos
F(x) = x3/3 é uma primitiva da função f(x) = x2, pois 
As funções G(x) = e H(x) = 
também são primitivas da função f(x) = x2, pois G’(x) = H’(x) 
= f(x)
Resumido: A função onde é 
primitiva de f(x) = x2
F ' ( x)=3x
2
3
=x2= f ( x)
1
3
x³+ 4 x³+ 3
3
F ( x)=x3+ C C∈ℝ
 
Revisão do conceito de Integral
Definição. 
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada 
Integral Indefinida da função f(x) e é denotada por 
∫ f (x)dx=F (x)+ C
Obs. Na igualdade acima o símbolo (um “S “alongado) também 
 é chamado operador integral. Ele simboliza uma transformação na 
função f(x) gerando, como resultado, a função F(x) + C.
∫
 
Revisão do conceito de Integral
Integral definida.
Definição. Seja f(x) uma derivada da função F(x). Se 
queremos saber a variação de F(x) entre x = a e x = b, isto 
equivale a calcular a integral de f(x) entre os limites a e b.
∫a
b
f ( x)dx=(F ( x)+ C )a
b=(F (b)+ C )−(F (a)+ C )=F (b)−F (a)
∫a
b
f ( x)dx=F (b)−F (a)
 
Revisão do conceito de Integral
Integral definida.
A≈ f (c1)(x1−x0)+f (c2)(x2−x1)+....+f (cn)(xn−xn−1)
=∑
i=0
n
f (ci)Δ xi
 
Revisão do conceito de Integral
Integral definida.
Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, 
b]. A área sob a curva y = f(x), entre os pontos x = a e x = b, é 
definida por
A = lim
( n→∞Δ x i→0 )
∑
i=0
n
f (ci)Δ xi
∫
a
b
f (x)dx = lim
( n→∞Δ x i→0)
∑
i=0
n
f (c i)Δ xi
integral de Riemann
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes;
● Fórmula de Quadratura Gaussiana
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes;
● Fórmula de Quadratura Gaussiana
Fórmulas de Newton-Cotes – Também são chamadas de 
fórmulas de quadratura interpolatória.
Consistem na substituição da função a ser integrada, f(x), por 
um polinômio interpolador, e na posterior integração do 
polinômio.
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x).
Seja Pn(x) o polinômio de interpolação da função f(x) sobre 
os n+1 pontos, então
f (x)=Pn(x)+Rn(x)
onde Rn(x) é o resíduo, ou erro de interpolação.
(1)
 
Integração numérica
Usando a fórmula de Lagrange para escrever o Pn(x), temos
Pn(x)=∑i=0
n
y i Li(x)
Pn(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x)+....+ yn Ln(x)
Com a condição: P(xi)=yi e Ln(x) é um polinômio de grau n
Pn(x i)= y0 L0(x i)+ y1 L1(xi)+ ....+ yn Ln(xi)= y i
Logo:
Pn(x0)= y0 L0(x0)+ y1 L1(x0)+....+ yn Ln(x0)= y0
 
⇒L1(x0)=L2(x0)=L3(x0)=....=Ln(x0)=0
 e
L0(x0)=1
 
Integração numérica
Aplicando o mesmo argumento para x1, x2, x3, …,xn, vem
Pn(x1)= y0 L0(x1)+ y1 L1(x1)+....+ yn Ln(x1)= y1
 
⇒ L0(x1)=L2(x1)=L3(x1)=....=Ln(x1)=0
 e
L1(x1)=1
Pn(x2)= y0 L0(x2)+ y1 L1(x2)+....+ yn Ln(x2)= y2
 
⇒L0(x1)=L1(x1)=L3(x1)=....=Ln(x1)=0
 e
L2(x2)=1
Pn(xn)= y0 L0(xn)+ y1 L1(xn)+....+ yn Ln(xn)= yn
 
⇒ L0(x1)=L2(x1)=L3(x1)=....=Ln−1(x1)=0
 e
Ln(xn)=1
 
Integração numérica
Sistematizando:
Pn(xi)= yi
⇒Li(x i)=1
L j(x j)=0
i≠ j
Vejamos a aplicação para alguns polinômios simples:
P1(x)= y0
(x−x1)
(x0−x1)
+ y1
(x−x0)
(x1−x0)
P2(x)= y0
(x−x1)(x−x2)
(x0−x1)(x0−x2)
+ y1
(x−x0)(x−x2)
(x1−x0)(x1−x2)
+ y2
(x−x0)(x−x1)
(x2−x0)(x2−x1)
P3(x)= y0
(x−x1)(x−x2)(x−x3)
(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)
+ y1
(x−x0)(x−x2)(x−x3)
(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)
+ y2
(x−x0)(x−x21)(x−x3)
(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)
+ y3
(x−x0)(x−x1)(x−x2)
(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)
Logo o polinômio procurado é da forma:
Pn(x)=∑i=0
n
yi Li(x) , com Li(x)=∏ j=0
j≠i
n (x−x j)
(x i−x j)
(2)
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Substituindo (2) em (1) e integrando,
onde R(x) é o erro de integração. A menos do erro, a integral 
pode ser escrita como
onde
∫a
b
f (x)dx=∑i=0
n
y i∫a
b
Li(x)dx+∫a
b
Rn(x)dx (3)
∫a
b
f (x)dx ≈∑i=0
n
y i Ai (4)
A i=∫a
b
Li(x)dx (5)
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para obtermos uma fórmula independente dos limites de 
integração convém fazer uma troca de variáveis.
Supondo que o espaçamento é constante e igual a h,
xk+ 1−xk=h , k=0,1 ,2 , .. , n
x−x0=uh→dx=hdu
x=x0=→u=0
x=xn=→u=n
x
y
f(x)
x0 x1x
u0 1u
x−x0
x1−x0
=u−0
1−0
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Reescrevendo os polinômios em termos dessa nova 
variável,
x1−x0=h→x1=h−x0
 x2−x1=h→x2=h+x1=h+h+x 0=2h+x0
 x3−x2=h→ x3=h+x2=h+h+h+x 0=3h+x0
 .....
x−x0=uh→ x=uh+ x0
 x−x1=uh+x0−x1=uh−h=h(u−1)
 x−x2=uh+x0−x2=uh+x0−2h−x0=h(u−2)
x−x3=uh+x0−x3=uh+x0−3 h−x0=h(u−3)
 ..........
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Então, equação (4) pode ser escrita como
ou
∫a
b
f (x)dx=∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
n
y i h∫0
n
λi(u)du
C i
n=∫0
n
λ i(u)duonde
∫a
b
f (x)dx=∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
n
y i hC i
n
∫a
b
f (x)≈∑i=0
n
y i A i (4)
 ↓ 
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 1 Fórmula do Trapézio
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
1
yi hC i
1=h [ y0 C0
1+ y1 C1
1]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 1 Fórmula do Trapézio
C0
1=∫0
1
0udu=
∫0
1
u−1
0−1
du=∫0
1
1−udu=1
2
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
1
yi hC i
1=h [ y0 C0
1+ y1 C1
1]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 1 Fórmula do Trapézio
C0
1=∫0
1
0udu=
∫0
1
u−1
0−1
du=∫0
1
1−udu=1
2
C1
1=∫1
1
λ0(u)du=
∫0
1
u−0
1−0
du=1
2
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
1
yi hC i
1=h [ y0 C0
1+ y1 C1
1]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 1 Fórmula do Trapézio
C0
1=∫0
1
0udu=
∫0
1
u−1
0−1
du=∫0
1
1−udu=1
2
C1
1=∫0
1
0 udu=
∫0
1
u−0
1−0
du=1
2
∫x0
xn
f (x)dx≈h [ 1
2
y0+
1
2
y1]
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
1
yi hC i
1=h [ y0 C0
1+ y1 C1
1]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 1 Fórmula do Trapézio
∫x0
xn
f (x)dx≈h [ 1
2
y0+
1
2
y1]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● erro de integração nas fórmulas de interpolação polinomial
Em um número ímpar de subintervalos o erro de integração é 
dado por,
RT=
hn2 f n1
n1! ∫0
n
uu−1..u−ndu
para algum valor ∈[a ,b ]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● erro de integração na fórmula do Trapézio
Fazendo n = 1 e integrando
∫
0
1
u(u−1)du=[ u
3
3
−u
2
2
]
0
1
=−1
6
RT=
−h3 f ' ' (ε)
12
RT=
h3 f 2
2! ∫0
n
u u−1du
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
 
Integração numérica
∫x0
xn
f (x)dx≈I 1+ I 2+ ...+ I n
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x), podemos 
aplicar a fórmula do trapézio nos n intervalos xk+1 - xk.
I1=h [
1
2
y0+
1
2
y1]
 
Integração numérica
∫x0
xn
f (x)dx≈I 1+ I 2+ ...+ I n
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x), podemos 
aplicar a fórmula do trapézio nos n intervalos xk+1 - xk.
I1=h [
1
2
y0+
1
2
y1] I2=h [
1
2
y1+
1
2
y2]
 
Integração numérica
∫x0
xn
f (x)dx≈I 1+ I 2+ ...+ I n
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x), podemos 
aplicar a fórmula do trapézio nos n intervalos xk+1 - xk.
I1=h [
1
2
y0+
1
2
y1] I2=h [
1
2
y1+
1
2
y2]
I3=h [
1
2
y2+
1
2
y3]
 
Integração numérica
∫x0
xn
f (x)dx≈I 1+ I 2+ ...+ I n
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x), podemos 
aplicar a fórmula do trapézio nos n intervalos xk+1 - xk.
I1=h [
1
2
y0+
1
2
y1] I2=h [
1
2
y1+
1
2
y2]
I3=h [
1
2
y2+
1
2
y3] I n=h[
1
2
yn−1+
1
2
y n]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmula do Trapézio generalizada
Sejam {(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),..,(xn,yn)} o conjunto de pontos 
igualmente espaçados de uma função y = f(x), podemos 
aplicar a fórmula do trapézio nos n intervalos xk+1 - xk.
∫
x0
x1
f (x)dx=h[ 1
2
y0+
1
2
y1]+ h [
1
2
y1+
1
2
y2]+ ...+ h [
1
2
yn−1+
1
2
yn]
∫
x0
x1
f (x)dx=h 1
2
[ y0+ 2y1+ 2y2+ ...+ 2yn−1+ y n]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● erro de integração na fórmula generalizada do Trapézio
Aplicando a mesma argumentação do caso simples em 
todos os intervalos de integração,
ET  x= x−x0x−x1
f ' ' 
2
RT=
−b−a3 f ' ' 
12n3
Lembrando que h=
(b−a)
n
Substituindo na fórmula do erro,
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● erro de integração na fórmula generalizada do Trapézio
Aplicando a mesma argumentação do caso simples em 
todos os intervalos de integração,
ET=
−b−a3
12n2
f ' '  
ET  x= x−x0x−x1
f ' ' 
2
RT=
−b−a3 f ' ' 
12n3
Lembrando que h=
(b−a)
n
Substituindo na fórmula do erro,
O erro total é a soma dos erros em todos os n intervalos ,
 
Integração numérica
Aplicação da fórmula do Trapézio
Dada a integral 
a) determine o resultado aplicando a regra do trapézio uma 
vez
b) compare o resultado com o valor exato
c) determine o número de vezes que a regra deverá ser 
aplicada para que o erro seja menor que 10-2
∫
0
2
x2 dx
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 2 Fórmula 1/3 de Simpson
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
2
y i hC i
2=h [ y0 C0
2+ y1 C1
2+ y2 C2
2]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 2 Fórmula 1/3 de Simpson
C0
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−1u−2
0−10−2
du=∫0
2
u2−3u2du=1
3
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
2
y i hC i
2=h [ y0 C0
2+ y1 C1
2+ y2 C2
2]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 2 Fórmula 1/3 de Simpson
C0
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−1u−2
0−10−2
du=∫0
2
u2−3u2du=1
3
C1
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−0u−2
1−01−2
du=∫−02u2−2u du 43
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
2
y i hC i
2=h [ y0 C0
2+ y1 C1
2+ y2 C2
2]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 2 Fórmula 1/3 de Simpson
C0
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−1u−2
0−10−2
du=∫0
2
u2−3u2du=1
3
C1
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−0u−2
1−01−2
du=∫−02u2−2u du 43
C2
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−0u−1
2−02−1
du=∫0
2
u2−udu= 1
3
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
2
y i hC i
2=h [ y0 C0
2+ y1 C1
2+ y2 C2
2]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes
Para n = 2 Fórmula 1/3 de Simpson
C0
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−1u−2
0−10−2
du=∫0
2
u2−3u2du=1
3
C1
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−0u−2
1−01−2
du=∫−02u2−2u du 43
∫x0
xn
f x dx≈ h
3
[ y04 y1 y2]
C2
2=∫0
2
0udu=∫0
1 u−0u−1
2−02−1
du=∫0
2
u2−udu= 1
3
∫x0
xn
f (x)dx≈∑i=0
2
y i hC i
2=h [ y0 C0
2+ y1 C1
2+ y2 C2
2]
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● erro de integração nas fórmulas de interpolação polinomial
Caso o número de sub intervalos seja par, o erro de 
integração é dado por,
RT=
hn3 f n2 
n2! ∫0
n
u−n
2
uu−1..u−ndu
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes - erro de integração
Fazendo n = 2 e integrando,.
ET=
−h5
90
f iv 
RT=
h5 f 4(ε)
(4)! ∫0
2
(u−1)u(u−1)(u−2)du
∫
0
2
(u−1)u(u−1)(u−2)du=−4
15
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes - erro de integração
No caso da regra de Simpson generalizada temos que 
aplicar o erro em cada intervalo e somar,
ET=
−b−a5
90n5
f iv N
b−a
n
=hLembrando que,
Onde N é o número de vezes que a regra é aplicada. Sendo 
n o número de subintervalos,
2N=n
ET=
−b−a5
180n4
f iv 
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmulas de Newton-Cotes erro de integração
No caso da regra de Simpson generalizada temos que 
aplicar o erro em cada intervalo e somar,
ET=
−b−a5
90n5
f iv N
b−a
n
=hLembrando que,
Onde N é o número de vezesque a regra é aplicada. Sendo 
n o número de subintervalos,
2N=n
ET=
−b−a5
180n4
f iv 
 
Integração numérica
Aplicações
Seja a função y = f(x), cujos pontos são dados na tabela abaixo.
x 0 6 12 18 24 30
y 0,0 4 3,2 1,3 0,2 0,0
Determine a integral dada por
P= 60
∫0
30
y  xdx
,
pelo método mais adequado.
 
Integração numérica
Aplicações
Solução:
Usando Simpson no intervalo [0,0;12,0]:
I S 0,0 ;12,0=
6
3
[0,04 4,03,2]=38,4
Usando Trapézio no intervalo [0,0;12,0]:
IT 0,0;12,0=
6
2
[0,024,03,2]=33,4
Usando Simpson no intervalo [12,0;24,0]:
I S 12,0 ;22,0=
6
3
[3,24 1,30,2]=17,2
Usando Trapézio no intervalo [12,0;24,0]:
IT 12,0 ;24,0=
6
2
[3,221,3 0,2]=18,0
Temos que usar o Trapézio no intervalo [24,0;30,0]:
IT 24,0 ;30,0=
6
2
[0,20,0]=0,6
 
Integração numérica
Aplicações
Solução:
Usando Simpson no intervalo [0,0;12,0]:
I S 0,0 ;12,0=
6
3
[0,04 4,03,2]=38,4
Usando Trapézio no intervalo [0,0;12,0]:
IT 0,0;12,0=
6
2
[0,024,03,2]=33,4
Usando Simpson no intervalo [12,0;24,0]:
I S 12,0 ;22,0=
6
3
[3,24 1,30,2]=17,2
Usando Trapézio no intervalo [12,0;24,0]:
IT 12,0 ;24,0=
6
2
[3,221,3 0,2]=18,0
Temos que usar o Trapézio no intervalo [24,0;30,0]:
IT 24,0 ;30,0=
6
2
[0,20,0]=0,6
Possíveis valores da integral:
I=I S I SI T=38,217,20,6=56,0
I=I S ITIT=38,218,00,6=56,8
I=ITI SIT=33,417,20,6=51,2
I=ITI TI T=33,418,00,6=52,0
60
56,8
P 60
51,2
1,06P1,17
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Fórmula de Quadratura Gaussiana
As fórmulas de quadratura gaussiana se baseiam nas 
propriedades de polinômios ortogonais.
Definição. Seja f0(x), f1(x), f2(x),... um conjunto de polinômios 
de grau 0, 1, 2, ... é dito ortogonal, se:
⟨ϕi ,ϕ j ⟩=0 ; i≠ j
⟨ϕi ,ϕi ⟩≠0 ; ϕi≠0
Quando <f0(x),f0(x)> = 1 os polinômios são ortonormais
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Polinômios ortogonais
O produto escalar é definido por,
〈 f , g〉=∫
a
b
w x  f x g x dx
Onde w(x) é uma função peso.
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Regra para gerar polinômios ortogonais
Sejam os polinômios ϕ0, ϕ1, ϕ2, … de grau 0, 1, 2,.. definidos 
por 
Onde,
ϕ0 = 1
ϕ1 = x−
⟨ x ,1⟩
⟨1,1⟩
ϕ0
para k=1,2,3. .
ϕ(k+1)= x ϕk−αk ϕk−βk ϕk−1
k=
〈xk ,k 〉
〈k ,k 〉
k=
〈k ,k 〉
〈k−1 ,k−1〉
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Principais polinômios
Polinômios de Legendre. São obtidos usando o produto 
escalar.
Polinômios de Tchebyshev
〈 f , g〉=∫
−1
1
f x gx dx
〈 f , g〉=∫
−1
1
1
1−x2
f x gx dx
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Algumas propriedades dos polinômios ortogonais.
1 – Sejam ϕ0, ϕ1, ϕ2,..., polinômios ortogonais, não nulos, 
definidos pelo produto escalar,
Então, ϕn possui n raízes distintas em [a,b].
〈 f , g〉=∫
a
b
w x  f x g x dx , w x 0
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Algumas propriedades dos polinômios ortogonais.
2 – Sejam ϕ0, ϕ1, ϕ2,..., definidos pelas condições da 
propriedade 1. Sejam x0, x1, x2,..xn as raizes de ϕn+1. Se f(x) é 
um polinômio de grau menor ou igual a 2n+1, então,
Onde,
∫
a
b
w (x) f (x)dx=∑
k=0
n
Ak f (xk) Ak=∫
a
b
w x lk x dx
lk são os polinômios de Lagrange de ordem k.
l0 =
(x−x1)
(x0−x1)
, l1 =
(x−x0)
(x1−x0)
, l2 =
(x−x0)(x−x1)
(x1−x0)(x1−x2)
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Cálculo da integral por fórmulas de Quadratura de Gauss
Dada a função f(x), usando a propriedade anterior, podemos 
calcular a integral,
De acordo com os seguintes passos:
i) determinar o polinômio ortogonal ϕn+1, usando o produto escalar 
conveniente;
ii) calcular as raizes x0, x1, x2, .., xn de ϕn+1;
iii) determinar o polinômio de Lagrange lk(x), k = 0, 1, 2, .., n, usando as 
raizes obtidas em ii);
iv) calcular Ak, k = 0, 1, 2, .., n;
v) calcular a integral.
∫
a
b
w x  f xdx=∑
k=0
n
Ak f xk 
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Determinar a fórmula de integração por 
Quadratura de Gauss-Legendre para n = 1.
Impondo que a fórmula seja exata para um polinômio de ordem 3
2n1=3n=1
Logo, precisamos encontrar as raizes de ϕn+1 = ϕ2. 
Usando as regras para determinar polinômios,
0 = 1
1 = x−
〈x ,1〉
〈1,1〉
1= x−
∫
−1
1
x.dx
∫
−1
1
dx
=[ x− x
2 /2
x
]
−1
1
= x
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Determinar a fórmula de integração por 
Quadratura de Gauss-Legendre para n = 1.
1=
〈x1,1〉
〈1,1〉
=
2=x1−11−10
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Determinar a fórmula de integração por 
Quadratura de Gauss-Legendre para n = 1.
1=
〈x1,1〉
〈1,1〉
=
∫
−1
1
x3 dx
∫
−1
1
x2 dx
=[ x
4 /4
x3/3
]
−1
[1]
=0
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Determinar a fórmula de integração por 
Quadratura de Gauss-Legendre para n = 1.
1=
〈k ,k 〉
〈k−1 ,k−1〉
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Determinar a fórmula de integração por 
Quadratura de Gauss-Legendre para n = 1.
2=x
2−0x−1
3
=x2−1
3
1=
〈1,1〉
〈0 ,0〉
=
∫
−1
1
x2 dx
∫
−1
1
dx
=[ x
3 /3
x
]
−1
1
=1
3
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Cálculo das raizes de ϕ2.
2=x
2−1
3
=0 x0=−0,57735 e x1=0,57735
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Cálculo de A0 e A1.
l0=
x−x1
x0−x1
A0 = ∫
−1
1 x−x1
x0−x1
dx
= 1
x0−x1
∫
−1
1
x−x1 dx
= 1
x0−x1
[ x
2
2
−x1 x ]
−1
1
=
−2x1
2x1
= 1
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Cálculo de A0 e A1.
l0=
x−x1
x0−x1
l1=
x−x0
x1−x0
A0 = ∫
−1
1 x−x1
x0−x1
dx
= 1
x0−x1
∫
−1
1
x−x1 dx
= 1
x0−x1
[ x
2
2
−x1 x ]
−1
1
=
−2x1
2x1
= 1
A1 = ∫
−1
1 x−x0
x1−x0
dx
= 1
x1−x0
∫
−1
1
x−x0 dx
= 1
x1−x0
[ x
2
2
−x0 x ]
−1
1
=
−2x0
2x0
= 1
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Aplicação. Fórmula da integral de Gauss-Legendre
∫
−1
1
f x dx=A0 f x0A1 f x1
∫
−1
1
f (x)dx=1. f (−0,57735)+1. f (0,57735)
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Observação. Para o caso geral,
∫
a
b
f x dx
Antes de aplicar na fórmula é necessário fazer a mudança de 
variável para corrigir os limites de integração [a,b] → [-1,1] .
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Mudança de variável. 
f t 
t
t=a t=b
 
Integração numérica
f t 
tt=a t=b
x
x=−1 x=1
Fórmulas de quadratura
● Mudança de variável. 
 
Integração numérica
f t 
tt=a t=b
x
x=−1 x=1
t
x
Fórmulas de quadratura
● Mudança de variável. 
 
Integração numérica
f t 
tt=a t=b
x
x=−1 x=1
t
x
t−a
x−−1
= b−a
1−−1
Fórmulas de quadratura
● Mudança de variável. 
 
Integração numérica
f t 
tt=a t=b
x
x=−1 x=1
t
x
t−a
x+1
=b−a
1+1
t−a= b−a
2
(x+1)
t=1
2
[b−a xba]
Fórmulas de quadratura
● Mudança de variável. 
t−a
x−−1
= b−a
1−−1
Variável antiga
Variável nova
 
Integração numérica
∫
0
10
e−t dt
Fórmulas de quadratura
● Exemplo Calcular a integral
E comparar o resultado com os métodos do Trapézio e de 
Simpson.
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura● Exemplo 
t=1
2
[b−a xba]=1
2
[10−0x100]=5x5
dt=5dx
∫
0
10
e−t dt=5∫
−1
1
e−5x−5 dx=5 [ f −0,57735f 0,57735]
f −0,57735=e−5−0,57735−5=e−2,11325
f 0,57735=e−50,57735−5=e−7,88675
∫
0
10
e−t dt=0,605950
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Exemplo Resultado analítico
∫
0
10
e−t dt=−[e−t ]0
10=−[e−10−1]=0,999955
erro
E A=0,999955−0,606102=0,393853
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Exemplo Comparando com o método do Trapézio
ET=
b−a3 f ' ' 
12n2
=0,393853
f x =e−t
f ' x =−e−t
f ' ' x=e−t
n= 10
3 .1
4,72636

0,5
=21115 intervalos
fazendo =0
 
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
● Exemplo Comparando com o método de Simpson
ET=
b−a5 f iv 
180n4
=0,393853
f x =e−t
f ' x =−e−t
f ' ' x=e−t
n= 10
5 .1
70,89354

1/4
=1410,5651/48 intervalos
fazendo =0
f ' ' x=−e−t
f ' ' x=e−t
 
Integração numérica
Considerando-se a seguinte integral:
Resolva a integral pela Quadratura Gaussiana e compare com 
o resultado exato, dado por
∫
1
2
ln ( x
2
)⋅dx
∫
1
2
ln (x 2 )dx =x ln ( x2 )−∫
1
2
x 2 x
x
2 dx=[x ln ( x2 )−2 x ]1
2
=(2ln (4 )−2∗2 )−(1*ln (1 )−2∗1 )=0 ,7726
 
Integração numérica
Solução:
 , onde 
Transformando a função do integrando vem,
I=F (−1√3 )+F ( 1√3 ) F ( t )=( b−a2 ) f [ b−a2 t+ b+a2 ]
F ( t )=( 2−12 ) ln [ ( 2−12 t+ 2+12 )
2
]=0,5ln [ (0,5 t+1,5 )2 ]
F (−1√3 )=0,5ln [ (0,5 (−1√3 )+1,5 )
2 ]=0,5ln (1 , 4673 )=0 , 1917
F ( 1√3 )=0,5ln [ (0,5 ( 1√3 )+1,5 )
2 ]=0,5ln (3 , 1994 )=0 ,5815
I=F (−1√3 )+F ( 1√3 )=0 ,1917+0 ,5815=0 , 7732
Erro= 0 ,7732−0 ,7726
0 ,7726
∗100=0 , 078
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