gab_p_opt_calc3_2017-2_T02.pdf

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T02
Prof.a: Aline Data: 21/12/2017
Prova Optativa de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Considere a integral tripla∫ ∫
E
∫
x dV,
onde E ⊂ R3 e´ o so´lido limitado superiormente pelo cone z =
√
x2 + y2 e inferiormente
pelo paraboloide z = x2 + y2. Escreva (mas na˜o calcule!) essa integral em:
(a) Coordenadas cartesianas. (1,0 pt)
(b) Coordenadas cil´ındricas. (1,0 pt)
(c) Coordenadas esfe´ricas. (1,0 pt)
2a Questa˜o:
(a) Calcule a integral de linha ∫
C
z
√
x2 + y2 ds,
onde C e´ a curva parametrizada por r(t) = (8 cos t, 8 sen t, 6t), t ∈ [0, 2π]. (2,0 pt)
(b) Fac¸a um esboc¸o da curva C mencionada no item (a), indicando no pro´prio desenho
o sentido de C determinado por sua parametrizac¸a˜o. (1,0 pt)
3a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
e−x, ex, ez
)
.
(a)
−→
F e´ um campo vetorial conservativo? Justifique. (1,0 pt)
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular∫
C
−→
F · d~r,
onde C e´ a fronteira da parte do plano 2x + y + 2z = 2 no primeiro octante, orientada
no sentido anti-hora´rio, quando vista de cima. (3,0 pt)
Formula´rio:
sen 2θ + cos2 θ = 1 cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
sen 2θ =
1− cos(2θ)
2
Boa Prova!
Feliz Natal e Pro´spero Ano Novo!