Apostila de Raciocínio Lógico e Matemática

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
1 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
INTRODUÇÃO À LÓGICA ARGUMENTATIVA 
 
1. ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES 
 
Para a lógica matemática, uma proposição representa uma sentença em forma de palavras ou símbolos, que exprime 
uma ideia, à qual poderemos atribuir apenas dois valores: verdadeiro ou falso. 
 
Apenas às sentenças declarativas poderemos atribuir tais valores. Assim, as sentenças interrogativas e explicativas 
não serão consideradas proposições. 
 
Exemplos: 
 São proposições 
 João corre todos os dias. 
 O número 10 é par. 
 Todos os homens trabalham. 
 Paulo comprou um livro. 
 Ana mora em São Paulo. 
 2 é um número par. 
 
 Não são proposições 
 Onde você mora? 
 Que susto! 
 Preste atenção! 
 x é maior que y 
 Faça uma redação. 
 Escreva uma poesia. 
 
De um modo geral não são proposições, sentenças interrogativas, imperativas, interjeições e expressões com 
variáveis. 
Note que para uma dada proposição necessariamente devemos associar um e apenas um valor lógico: verdadeiro ou falso. Caso 
você não consiga associar esse valor, a sentença pode até exprimir uma ideia, mas não é considerada uma proposição. 
 
1.1. Proposição Simples e Composta 
 
Uma proposição é considerada simples quando não contem qualquer outra proposição como sua componente. Uma 
proposição simples não pode ser subdividida em outras proposições. 
Na prática, a proposição simples não apresenta conectivos lógicos do tipo: “e”, “ou”, “se...então...” e “se, e somente se”. 
Se uma proposição não for simples será chamada composta. As proposições compostas contêm como suas 
componentes, proposições simples. 
Exemplos: 
 Ana viaja ou Luís compra um livro. 
 Carla vai a Roma e Pedro vai à França. 
 Se eu corro então fico cansado 
 Um número é par se e somente se for múltiplo de 2. 
Todos esses exemplos são proposições compostas pois existem conectivos lógicos ligando proposições simples. Esses 
conectivos estão negritados. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
2 
1.2. Sentenças Abertas 
 
São sentenças nas quais aparecem variáveis. Substituindo valores nessas variáveis, transformamos uma sentença 
aberta em uma proposição. 
 
Exemplo: 
 Qual é o número que somado com 3 é igual a 10? 
 
Solução: x + 3 = 10 é a interpretação lógica do problema. Substituindo x por 7, a sentença aberta assume o valor 
verdadeiro. Substituindo x por 8, a sentença aberta assume um valor falso. Note que substituindo em x transformamos 
uma sentença aberta em uma proposição. 
 
De um modo geral, as expressões interpretadas por variáveis são sentenças abertas. 
 
Exemplos: 
 x+ y é um número positivo 
 x é menor que y 
 2x + 3y = 10 
 
Questões de Provas de Concursos 
 
Identificação de Proposições 
 
1. Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma proposição lógica. 
 
a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! 
b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. 
c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! 
d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? 
e) Instruções especiais para perito criminal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 
B 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
3 
2. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
É estudado na Teoria dos conjuntos que os diagramas de Venn-Euler facilitam a compreensão das relações entre dois 
conjuntos distintos. Para fixar recordaremos que um conjunto A pode ser representado por: 
 
Onde U representa o conjunto universo. 
 
 
Na lógica de argumentação, esses diagramas são úteis na representação de proposições como: 
 
 Todo A é B 





 
Proposições 
categóricas 
 Algum A é B 
 Nenhum A é B 
 
 
 
 
 
 
Essas proposições são simbolicamente representadas por: 
 
 
 Todo A é B 
 
 
 
 
 
 Algum A é B 
 
 
 
 
 
 
 
Nenhum A é B 
 
 
 
Exemplos. 
 
1. Todo A é B e nenhum C é B. 
 
Solução: A proposição composta pode ser representada por: 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
4 
2. Todo A é B e nenhum C é A. 
Solução: Observe que não foi dada relação alguma entre os conjuntos B e C. Então temos as possíveis 
representações: 
 
 
 Nenhum C é B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Algum C é B 
 
 
 
 
 
 Todo C é B 
 
 
 
Nas três possibilidades foram satisfeitas as condições iniciais: Todo A é B e nenhum C é A. para que uma conclusão seja 
necessariamente verdadeira, ela deve satisfazer a essas três representações. 
 
 
 
3. Todo A é B e nem todo C é B mas algum C é A. 
 
Solução: A representação da proposição é: 
 
 
4. Dado que todo A é R e nenhum G é A, segue necessariamente que: 
 
a) Algum R não é G. 
b) Nenhum G é R. 
c) Todo G é R. 
d) Algum G não é R. 
e) Todo R é A. 
 
Solução: a primeira ideia para resolver esse tipo de questão é representar as possibilidades dos diagramas. 
 
 
1) 
 
Nenhum G é R 
 
 
 
 
2) 
 
Algum G é R 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
5 
3) 
 
Todo G é R 
 
 
 
 
 
 
Para que uma conclusão seja sempre válida, ela deve satisfazer todas as possíveis representações. Observe que a 
conclusão apresentada na alternativa “a” (Algum R não é G) satisfaz as três possibilidades e, portanto, é a resposta da 
questão. 
 
2.1. Equivalente da Implicação Lógica 
 
A proposição categórica “todo A é B” é equivalente a dizer que A implica em B. Representando simbolicamente. 
 
 → 
 ← 
A → B 
 
 equivalente 
 
 
 
Para entender essa equivalência, vamos tomar um exemplo pratico: considere A o conjunto dos paulistas e B o conjunto 
dos brasileiros. 
Todo paulista é brasileiro 
 
é equivalente a dizer que se é paulista é brasileiro. 
A → B (A implica em B). 
 
Esse exemplo é muito útil e sugere algumas consequências de uma implicação. A afirmação recíproca “todo brasileiro é paulista” é 
evidentemente falsa, pois um cidadão brasileiro não é necessariamente paulista. Conclusão: 
 
Se A implica em B, não necessariamente B implica em A 
 
Outra questão que poderia ser formulada é a seguinte: um cidadão não paulista é brasileiro ou não? Depende! 
Temos não paulistas brasileiros e não brasileiros. Em termos matemáticos podemos escrever: um elemento que não 
pertence a A pode ou não pertencer a B 
 
Se um elemento não pertence a A, não podemos ter certeza se ele pertence ou não a B. 
 
 A → B 
Para uma implicação lógica: 
Negando a condição, nada podemos concluir 
para a consequência. 
 
 
A → B 
~A → ? 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
6 
Vamos analisar a implicação: Se João canta então Maria dorme. 
 
“Se João não canta então...” nada podemos afirmar para a consequência, pois a condição foi negada. É importante 
observar que a maior parte das pessoas afirmaria: “Se João não canta então Maria não dorme”. 
 
Porém, pelo exposto anteriormente a afirmação está ERRADA. Então guarde que: negando a condição, nada podemos 
afirmar para a consequência. 
Voltando ao exemplo dos paulistas e brasileiros faremos agora mais uma indagação: é possível que um cidadão não 
seja brasileiro e seja paulista? Resposta: Não! 
 
É claro que uma pessoa não pode ser paulista sem que ela seja brasileira.Em termos matemáticos podemos escrever: 
um elemento que não pertence a B com certeza não pertence a A. 
 
 
Se um elemento não pertencer a B, com certeza não pertence a A. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, se A implica em B, a negação de B implica na negação de A. 
 
 
A → B 
~B → ~ Ã 
 
 
Vamos analisar a implicação: 
 
Se João canta então Maria dorme. 
 
“Se Maria não dorme entoa João não canta”. 
 
Observe que negando a consequência temos de negar a condição conforme foi exposto acima. 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Ou Celso viaja ou Maria estuda. Se Maria estuda então Carla vai ao cinema. Se Carla vai ao cinema então o Brasil 
fica na Europa. Ora, o Brasil não fica na Europa. Quais são as conclusões? 
 
Solução: Podemos resumir através dos símbolos lógicos. 
Celso 

Maria estuda. 
Maria estuda → Carla vai ao cinema. 
Carla vai ao cinema → o Brasil fica na Europa. 
Dado: o Brasil não fica na Europa utilizaremos a teoria : A → B então ~B → ~A. 
 
Sendo assim, a 1ª conclusão é que Carla não vai ao cinema. Voltando à 1ª implicação concluímos que Maria não estuda. 
Na disjunção lógica, pelo menos uma premissa deve ser verdadeira. Como Maria não estuda então Celso viaja. 
1) Carla não vai ao cinema. 
2) Maria não estuda. 
3) Celso viaja. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
7 
02. Se o jardim tem flores o galo canta, mas se o jardim não tem flores o quintal fica sem abelhas. Mas o quintal está 
cheio de abelhas. Quais são as conclusões? 
 
Solução: 
Jardim tem flores → galo canta. 
Jardim não tem flores → quintal sem abelha. 
 
Como o quintal está cheio de abelhas, foi negada a consequência na 2ª implicação. 
A → B 
~B → ~A 
 
Então, a 1ª conclusão é que o jardim tem flores. Voltando à 1ª implicação temos se o jardim tem flores o galo canta. 
1) O jardim tem flores. 
2) O galo canta. 
 
03. Quando o dia amanhece João sai para trabalhar. Dado que o dia não amanheceu, qual é a conclusão? 
 
Solução: nenhuma. A condição foi negada. Vimos na teoria que, caso a condição seja negada, nada podemos concluir. 
 
 
Questões de Provas de Concurso 
 
Todo, Algum e Nenhum 
 
1. Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que 
 
a) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 
b) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. 
c) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. 
d) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 
e) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 
 
 
 
 
 
2. Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, 
pode-se afirmar que: 
 
a) Nenhum professor é político. 
b) Alguns professores são políticos. 
c) Alguns políticos são professores. 
d) Alguns políticos não são professores. 
e) Nenhum político é professor. 
 
 
 
3. Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente 
verdade que: 
 
a) algum adulto é aluno de matemática. 
b) nenhum adulto é aluno de matemática. 
c) algum adulto não é aluno de matemática. 
d) algum aluno de matemática é adulto. 
e) nenhum aluno de matemática é adulto. 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
8 
4. Considere as afirmações verdadeiras abaixo: 
 
“Alguma buziana é bronzeada” 
“Toda buziana é linda” 
 
Então, pode-se afirmar que: 
a) Alguma buziana linda é bronzeada. 
b) Toda buziana bronzeada é linda. 
c) Toda buziana linda é bronzeada. 
d) Toda buziana bronzeada não é linda. 
e) Alguma buziana não bronzeada não é linda. 
 
 
 
 
 
5. Considere as seguintes afirmações: 
 
“Alguma professora é divertida” 
“Toda professora é atenciosa” 
 
Assim sendo, qual das afirmações é verdadeira? 
a) Alguma professora não divertida não é atenciosa. 
b) Alguma professora divertida não é atenciosa. 
c) Alguma professora atenciosa é divertida. 
d) Toda professora divertida não é atenciosa. 
e) Toda professora atenciosa é divertida. 
 
 
 
 
 
6. Partindo das premissas: 
 
• Todo agente administrativo é concursado. 
• Todo agente administrativo tem Ensino Médio completo. 
• Reinaldo é concursado. 
• Vanessa é administradora. 
 
Pode-se concluir que: 
a) Reinaldo é agente administrativo. 
b) Vanessa é concursada. 
c) Reinaldo é engenheiro. 
d) Há pessoas com Ensino Médio completo que são concursadas. 
e) Vanessa e Reinaldo são colegas de trabalho. 
 
 
 
 
 
7. Considerando a premissa maior “Nenhum inseto tem coluna vertebral” e a premissa menor “Todas as moscas são 
insetos”, a conclusão correta do silogismo válido é: 
 
a) “Nenhum inseto é mosca”. 
b) “Alguns insetos não são moscas”. 
c) “Nenhuma mosca tem coluna vertebral”. 
d) “Alguns insetos têm coluna vertebral”. 
e) “Algumas moscas são insetos”. 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
9 
8. Considere as seguintes premissas: “Todos os generais são oficiais do exército”. “Todos os oficiais do exército são 
militares”. 
 
Para obter um silogismo válido, a conclusão que logicamente se segue de tais premissas é: 
a) “Alguns oficiais do exército são militares”. 
b) “Nenhum general é oficial do exército”. 
c) “Alguns militares não são oficiais do exército”. 
d) “Todos os militares são oficiais do exército”. 
e) “Todos os generais são militares”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os 
Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que 
 
a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. 
b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. 
c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. 
d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. 
e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Qual é a negação de “Todos os alunos gostam de matemática”? 
a) Nenhum aluno gosta de matemática. 
b) Existem alunos que gostam de matemática. 
c) Existem alunos que não gostam de matemática. 
d) Pelo menos um aluno gosta de matemática. 
e) Apenas um aluno não gosta de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
10 
11. A afirmação “Todo aluno do 5º ano gosta de Português ou de Matemática” pode ser representado segundo o 
diagrama: 
A= {alunos do 5º ano} 
P= {alunos que gostam de Português} 
M= {alunos que gostam de Matemática} 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
12. Observe conjunto a seguir. Com base nesse conjunto, é correto afirmar que 
 
 
a) todo A é B. 
b) todo B é A. 
c) nenhum B é A. 
d) algum B não é A. 
e) não existe B que não seja A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
11 
13. Um mecânico sabe que todo veículo de determinada marca, quando apresenta algum problema no sistema de freios, 
automaticamente aciona um bloqueio que impede que seja dada a partida no veículo. Dois veículos X e Y dessa marca 
foram levados à oficina desse mecânico com algum problema. No veículo X, a partida podia ser dada normalmente, mas 
no veículo Y ela estava bloqueada. A partir dessas informações, o mecânico concluiu que 
 
a) tanto o veículo X quanto o veículo Y certamente apresentavam algum problema no sistema de freios. 
b) o veículo X podia ou não apresentar algum problema no sistema de freios, enquanto que o veículo Y certamente 
apresentava. 
c) o veículo X certamente não apresentava problema no sistema de freios, mas o veículo Y certamente apresentava. 
d) o veículo X certamente não apresentavaproblema no sistema de freios, enquanto que o veículo Y podia ou não 
apresentar. 
e) tanto o veículo X quanto o veículo Y certamente não apresentavam qualquer problema no sistema de freios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Considere a afirmação: Existem agentes administrativos da SUDECO que não são concursados. 
 
Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: 
a) Nenhum concursado é agente administrativo da SUDECO. 
b) Nenhum agente administrativo da SUDECO é concursado. 
c) Nem todos os agentes administrativos da SUDECO são concursados. 
d) Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. 
e) Todos os concursados são agentes administrativos da SUDECO. 
 
 
 
 
 
 
 
15. Qual é a negação de “Todos os alunos gostam de matemática”? 
a) Nenhum aluno gosta de matemática. 
b) Existem alunos que gostam de matemática. 
c) Existem alunos que não gostam de matemática. 
d) Pelo menos um aluno gosta de matemática. 
e) Apenas um aluno não gosta de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
D D C A C D C E D C A D D D C 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
12 
3. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
3.1. Conectivos Lógicos 
 
Vimos que proposições consideradas simples são quando não apresentam conectivos em sua composição. Já as 
proposições compostas apresentam tais conectivos. Portanto, os conectivos são elementos que transformam as 
proposições simples em compostas. Assim como na matemática básica podemos definir quatro operações fundamentais, 
na lógica podemos trabalhar com quatro conectivos fundamentais. 
 
 
Conectivo “e” (conjunção lógica) 
 
Duas ou mais premissas ligadas por esse conectivo caracteriza a chamada conjunção lógica. 
 
Exemplo: 
 Considere as premissas simples: 
p. Alfredo comprou um carro. 
q: Inês comprou um livro. 
 
A composição Alfredo comprou um carro e Inês comprou um livro é uma conjunção, cuja representação é p 

 q. 
 
 
p 

 q lê-se: p e q 
 
Uma proposição composta por conjunção lógica é verdadeira quanto todas suas componentes são verdadeiras. Se pelo 
menos uma das componentes for falsa, então toda a proposição é falsa. Por duas proposições simples podemos resumir 
as possibilidades na seguinte tabela-verdade: 
p q p 

 q 
v v v 
v f f 
f v f 
f f f 
 
 
Conectivo “ou” (disjunção lógica) 
 
Duas ou mais premissas ligadas pelo conectivo “ou” caracteriza a chamada disjunção lógica cujo símbolo é “

”. 
 
p 

 q lê-se: p ou q 
 
Exemplo: 
 Considere as proposições simples: 
p: Silvana fala espanhol. 
q: Silvana fala alemão. 
 
 
A disjunção “p ou q” pode ser escrita como: p 

 q: Silvana fala a língua espanhola ou Silvana fala alemão. 
 
Para que uma disjunção lógica seja verdadeira, basta que pelo menos uma de suas componentes seja verdadeira. 
 
Essa definição equivale a dizer que uma disjunção só será falsa quando todas as suas componentes foram falsas. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
13 
Resumindo essa definição em uma tabela-verdade, para duas proposições simples teremos: 
 
p q p 

 q 
v v v 
v f v 
f v v 
f f f 
 
 
Conectivo “se... então...” (condicional) 
 
Duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se... então...” representa uma condicional. A condicional se p então 
q pode ser simbolicamente representada por p 

 q. 
 
p 

 q lê-se: se p então q 
 
Obs: podemos ler também como p implica em q. 
 
A proposição p é chamada condição e a proposição q é chamada consequente. Podemos ainda afirmar que “p é suficiente 
para q” e “q é necessário para p”. Essas duas últimas afirmações serão detalhadas mais adiante. Para que uma 
condicional seja falsa é necessário que a condição seja verdadeira e a consequência seja falsa. Resumindo em uma 
tabela-verdade para duas premissas p e q temos: 
 
P q p 

 q 
v v v 
v f f 
f v v 
f f v 
Observe que uma condicional só é falsa em uma situação, caso contrário, é verdadeira. 
 
 
Conectivo “se, e somente se” (bicondicional) 
 
Denominamos bicondicional a proposição composta por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se e somente 
se” 
 
A bicondicional “p se, e somente se q” é representada simbolicamente por p 

q. 
 
p 

q lê-se p e somente se q 
 
Exemplo: 
 p: x é um número par. 
 q: x é um múltiplo de 2. 
 p 

q: x é um número par se e semente se x é um múltiplo de 2. 
 
Como o próprio nome e representação simbólica sugerem, uma bicondicional pode ser escrita como duas condicionais: 
 
p 

 q “se p então q” e q 

 p “se q então p”. 
 
Uma bicondicional é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico, isto é, ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
14 
O quadro de tabela-verdade resume a definição dada. 
 
p q p 

q 
v v v 
v f f 
f v f 
f f v 
 
Note que, para valores iguais de p e q a bicondicional é verdadeira. 
 
 
3.2. Negação de Premissas Simples 
 
Como primeira definição de uma negação lógica de uma premissa p, podemos entender como a troca do valor lógico de 
p. Sendo assim, se p for verdadeira sua negação será falsa e se p for falsa sua negação será verdadeira. 
 
Dada uma premissa p, sua negação pode ser feita: 
 “não é verdade que p”. 
 “não p”. 
 “é falsa que p” 
 
A negação de p será representada simbolicamente por ~p. 
 
~p lê-se: não p 
 
O quadro tabela-verdade para a negação de uma premissa será: 
 
p ~p 
v f 
f v 
 
Se p for verdadeira sua negação é falsa e se p for falsa sua negação é verdadeira. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. As sentenças abaixo podem ser abertas ou declarativas. Faça a classificação: 
 
a) A terra gira. 
b) x + 4 = 10. 
c) x > y. 
d) Luís fala italiano. 
e) Pedro pilota motos. 
 
Soluções: a) premissa b) aberta c) aberta d) premissa e) premissa 
 
 
02. Complete as lacunas fazendo a negação da premissa: 
 
a) Se é verdade que Luís mente então não é verdade que ______________________________ 
b) Se é verdade que os homens são imortais, não é verdade que _________________________ 
c) Se não é verdade que os cavalos não voam então é verdade que________________________ 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
15 
Soluções: 
a) Luís não mente 
b) Os homens são mortais 
c) Os cavalos voam 
 
 
03. Considere as premissas 
 
p: Luís estuda Matemática. 
q: Luís estuda Lógica. 
r: Luís passa no concurso 
 
Determine as proposições compostas: 
 
b) p → (q 

r) 
 
Solução: Se Luís estuda Matemática então estuda Lógica e passa no concurso 
 
c) (~p 

 ~q) → ~r 
 
Solução: Se Luís não estuda Matemática e não estuda Lógica então não passa no concurso 
 
d) r ↔ (p 

q) 
 
Solução: Luís passa no concurso se, e somente se, estuda Matemática ou estuda Lógica. 
 
 
Questões de Provas de Concurso 
 
Julgamento de Proposições 
 
1. Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. 
 
 
a) 2
3
 = 8 e 1 + 4 = 5. 
b) Se, 
8
= 3, então 6 ÷ 2 = 3. 
c) Ou 3 – 1 = 2 ou 5 + 2 = 8. 
d) Se 7 – 2 = 5, então 5 + 1 = 7. 
e) 3
2
 = 9 se, e somente se, 
3 8
 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
16 
Conclusão de um Argumento 
 
2. Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo 
trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, 
 
a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. 
b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha.c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. 
d) Marta é estudante e Pedro é professor. 
e) Murilo trabalha e Pedro é professor. 
 
 
 
 
 
3. Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não 
vou morar em Pasárgada. Assim, 
 
a) não viajo e caso. 
b) viajo e caso. 
c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. 
d) compro uma bicicleta e não viajo. 
e) compro uma bicicleta e viajo. 
 
 
 
 
 
4. Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de 
Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo 
 
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. 
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. 
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. 
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. 
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. 
 
 
 
 
 
5. Considere verdadeiras as premissas a seguir: 
 
– se Ana é professora, então Paulo é médico; 
– ou Paulo não é médico, ou Marta é estudante; 
– Marta não é estudante. 
 
Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se concluir que: 
 
a) Ana é professora. 
b) Ana não é professora e Paulo é médico. 
c) Ana não é professora ou Paulo é médico. 
d) Marta não é estudante e Ana é Professora. 
e) Ana é professora ou Paulo é médico. 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
17 
6. Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se 
Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. 
 
Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que: 
 
a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas. 
b) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas. 
c) Anamara, Angélica e Andrea são médicas. 
d) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica. 
e) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta. 
 
 
 
 
 
 
7. Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. Se Eva não vai ao cinema, ela não bebe caipirinha. Se Eva bebe caipirinha, 
ela não vai ao cinema. Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema. Segue-se, portanto, que Eva: 
 
a) vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha. 
b) não vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha. 
c) vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha. 
d) não vai à praia, não vai ao cinema, não bebe caipirinha. 
e) não vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha. 
 
 
 
 
 
 
 
8. Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é 
violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que 
nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente: 
 
a) piano, piano, piano. 
b) violino, piano, piano. 
c) violino, piano, violino. 
d) violino, violino, piano. 
e) piano, piano, violino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 
D B B D C C B B 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
18 
4. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Na primeira parte da introdução à lógica de argumentação vimos que a negação de uma premissa p tem como 
consequência a troca de valor lógico de p. Para retomar as ideias, recorde a tabela-verdade. 
 
p ~p 
v f 
f v 
 
Para podermos resolver questões mais abrangentes na argumentação lógica vamos abordar neste tópico a negação de 
proposições compostas, categóricas e outros tipos de sentenças. 
 
4.1. Negação da Conjunção 
 
Regra de negação: 
 
~(p 

q) ↔ ~p 

~q 
A simbologia acima apresenta que a negação da proposição composta p e q é feita por ~p ou ~q. 
 
Exemplos: 
 
a) R: João anda e Maria dorme. 
~R: João não anda ou Maria não dorme. 
 
b) Q: Pedro canta e Luís lê. 
~Q: Pedro não canta ou Luís não lê 
 
Obs: O conectivo “e” é substituído pelo conectivo “ou”. 
 
 
 
 
4.2. Negação da disjunção 
Exemplos: 
 
a) R: Carlos é alto ou Dado é magro. 
~R: Carlos não é alto e Dado não é magro. 
 
b) Q: Ernesto canta ou Flávia dorme. 
~Q: Ernesto não canta e Flávia não dorme. 
 
Obs: O conectivo “ou” é substituído pelo conectivo “e” 
 
4.3. Negação da Implicação 
 
Regra da negação 
 
 ~(p → q) ↔ p 

~q 
 
A simbologia acima representa que a negação da composição “p implica em q” é feita por p e ~q. 
Exemplos: 
a) R: Se Bernardo tem um livro então Carla tem uma flor. 
~R: Bernardo tem um livro e Carla não tem uma flor. 
 
b) S: Se Luís dança Maria chora. 
~S: Luís dança e Maria não chora. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
19 
A negação é feita ligando as proposições p e ~q pelo conectivo “e”. 
 
Para fixar melhor esta ideia de negação de uma implicação, podemos imaginar a representação em diagramas. 
 
A → B é o mesmo que 
 
 
 
 
 
 
 
Negar A → B significa dizer que tem um elemento de A que não pertence a B. Em símbolos: 
 
x 

 A e x 

 B 
 
4.4. Negação da Bicondicional 
 
Regra de negação: 
 
 ~(p ↔ q) ↔ (~p 

q) 

(p 

~q) 
 
Podemos interpretar a negação da bicondicional da seguinte forma: (~p e q) ou (p 

~q). 
 
Exemplos: 
 
a) R: x é par se e somente se x é múltiplo de 2. 
~R: x não é par e é múltiplo de 2 ou x é par e não é múltiplo de 2. 
 
b) S: Carlos canta se e somente se Luís viaja. 
 ~S: Carlos não canta e Luís viaja ou Carlos canta e Luís não viaja. 
 
Obs: são as negações das duas condicionais que podemos transformar a bicondicional. 
 
 
4.5. Negação das Proposições Categóricas. 
 
 Todo A é B. 
Negação: existe pelo menos um A que não é B. 
 
 Algum A é B. 
Negação: nenhum A é B. 
 
 Nenhum A é B. 
Negação: Algum A é B. 
 
Não podemos nos esquecer de que, basicamente, negar uma premissa verdadeira significa torná-la falsa, e negar uma 
premissa falsa significa torná-la verdadeira. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Negar as proposições: 
 
a) p: A terra gira. 
~p: A Terra não gira. 
 
b) R: Todos os homens são poetas. 
~R: Existe pelo menos um homem que não é poeta. 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
20 
c) S: Alguns políticos são honestos. 
~S: Nenhum político é honesto. 
 
d) Q: nenhum filósofo é trabalhador. 
 ~Q: Algum filósofo é trabalhador. 
 
 
02. Se Júlio e Paulo mentiram então Nestor comprou um livro. Mas Nestor não comprou um livro. Qual é a conclusão? 
 
Solução: 
Júlio mentiu e Paulo mentiu → Nestor comprou um livro. 
 
A negação da consequência implica na negação da condição. Portanto: Júlio disse a verdade ou Pedro disse a verdade. 
 
 
03. Se for verdade que Bia canta toda vez que Luíza canta, então não é verdade que: 
 
a) Bia não canta. 
b) Se Bia não canta Luiza não canta. 
c) Luíza canta. 
d) Luiza canta e Bia não canta. 
 
Solução: Letra D. Bia canta toda vez que Luiza canta significa que: 
Luiza canta → Bia canta. 
Não é verdade a negação dessa implicação. 
Luíza canta e Bia não canta. 
 
Obs: ~(~p) ↔ p 
 
Se p é verdade, então não é verdade a negação de p. 
 
Questões de Provas de Concurso 
 
Equivalência e negação 
 
1. A proposição p  ( p → q) é logicamente equivalente à proposição: 
 
b) p  q 
b)  p 
c) p 
d)  q 
e) p  q 
 
 
 
 
2. A proposição composta p → p Λ q é equivalente à proposição: 
 
a) p v q 
b) p Λ q 
c) p 
d) ~ p v q 
e) q 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
21 
3. A afirmação “Amenina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente: 
 
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. 
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. 
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. 
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 
 
 
 
 
 
 
4. A proposição “se Catarina é turista, então Paulo é estudante” é logicamente equivalente a 
 
a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante. 
b) Catarina é turista e Paulo não é estudante. 
c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. 
d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante. 
e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante. 
 
 
 
 
 
 
5. Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que 
equivale logicamente à afirmação “D é K se e somente se D é F e D é L” é: 
 
a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L. 
b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L. 
c) D não é F e D não é L se e somente se D não é K. 
d) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L. 
e) D é K se e somente se D é F ou D é L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição 
 
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. 
b) Paulo estuda e Marta não é atleta. 
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. 
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. 
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
22 
7. A negação da proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público” é logicamente 
equivalente à proposição: 
 
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. 
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. 
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. 
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público. 
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia. 
 
 
 
 
 
 
 
8. A negação da proposição “Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União” é: 
 
a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União. 
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. 
c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União. 
d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. 
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 
E D C C D B B B 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
23 
5. CONDIÇÃO SUFICIENTE; CONDIÇÃO NECESSÁRIA; CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE 
 
Vamos abordar neste tópico a relação que existe entre conjuntos e operadores lógicos. De uma forma em geral, a lógica 
matemática se preocupa em conectar ideias e tirar conclusões a partir destas. Quando abordamos situações em geral, temos 
condições impostas para tais. Essas condições muitas vezes são suficientes para desencadear um processo de conclusões ou 
ainda necessárias para que as conclusões possam surgir. 
 
Para ilustrar, vamos abordar uma situação cotidiana e, a partir dela faremos as definições matemáticas. Voltemos a um 
exemplo inicial: considere a afirmação: todo paulista é brasileiro. 
 
Representando em forma de conjuntos. 
 
 
 
P: conjunto dos paulistas. 
B: conjunto dos brasileiros. 
 
Observe que é suficiente ser paulista para ser brasileiro, mas não é necessário ser paulista para ser brasileiro, ou seja, 
basta ser paulista para ser brasileiro, mas não precisa ser paulista para ser brasileiro, pois existem brasileiros que não 
são paulistas. Dessa forma, podemos escrever P → B, onde P é suficiente para B, mas não necessário. Agora observe 
que é necessário ser brasileiro para ser paulista, mas não é suficiente. Afirmamos que é necessário, pois se um elemento 
“estiver fora” do conjunto B então ele “está fora” de A. Para as conclusões finais, observe que não basta ser brasileiro para ser 
paulista. 
 
5.1. Condição Suficiente 
 
Se A é suficiente para B temos que: 
 A → B (A implica em B). 
 Todo A é B 
 
 
(representação em forma de conjunto) 
 
 
 
 
 
 A ocorrência de A acarreta na ocorrência de B. 
 
 
5.2. Condição Necessária 
 
Se B é necessária para A: 
 A → B 
 Todo A é B 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
24 
5.3. Condição Necessária e Suficiente 
 
Se A é necessário e suficiente para B, então: 
 A ↔ B (equivalência lógica) 
 Todo A é B e todo B é A. 
 A = B 
 
 Se A ocorre então B também ocorre. 
 Se A não ocorre então B não ocorre. 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Considere que A é necessária para B e é suficiente para C. Considere ainda que C é necessária e suficiente para D. 
Assim, quando D não ocorre tiramos quais conclusões? 
 
Solução: o primeiro passo para a solução é escrever o problema em forma de operações lógicas: 
 
B →A  A é necessário para B 
A → C  A é suficiente para C 
C → D  C é necessária e suficiente para D 
 
 Quando D não ocorre, são conclusões: 
 
1) C não ocorre. 
2) A não ocorre 
3) B não ocorre 
 
Recorde que: 
P → q 

~q → ~p 
 
A não ocorrência de q acarreta na não ocorrência de p. 
 
2. O gato miar é condição suficiente para o pássaro cantar. Quando o pássaro não canta concluímos que: 
 
a) O gato mia. 
b) O gato não mia. 
c) Não podemos tirar conclusões. 
 
Solução: gato miar → pássaro cantar. 
 
Quando o pássaro não canta concluímos que o gato não mia. 
 
Alternativa B. 
 
3. Toda vez que Ana vai ao parque Bia fica triste. Então, Bia não ficar triste é condição suficiente para: 
 
a) Ana ir ao parque. 
b) Ana não ir ao parque 
c) Não podemos concluir. 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
25 
Solução: 
Ana vai ao parque → Bia fica triste. 
Escrevendo a equivalente: 
Bia não fica triste → Ana não vai ao parque. 
 
 Bia não ficar triste é suficiente para Ana não ir ao parque. 
 
Alternativa B 
 
4. (ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para a duquesa sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa 
ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e, é 
condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Quais as conclusões? 
 
Solução: A questão apresentava as alternativas possíveis dentre as conclusões que vamos tirar. O primeiro passo seria 
utilizar as operações lógicas: 
 
Duque sair do castelo → rei ir á caça. 
Rei ir à caça → duquesa ir ao jardim. 
Conde encontrar a princesa ↔ barão sorrir. 
Duquesa ir ao jardim → conde encontrar a princesa. 
Dado que: o barão não sorriu, temos as conclusões: 
 
1) O conde não encontra a princesa. 
2) A duquesa não foi a jardim. 
3) O rei não foi a caça. 
4) O duque não saiu do castelo. 
 
Questão de Prova de Concurso 
 
1. Considere a afirmação: 
 
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. 
 
Para que essa afirmação seja FALSA 
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. 
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. 
c) é necessário e suficiente que alguma decisãotenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na 
reunião. 
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. 
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 
A 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
26 
6. VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
 
É considerado um argumento, toda afirmação que é consequência de uma sequência finita de proposições. Um argumento 
de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q é representado por P1, P2, P3, ..., Pn Q 
 
Lê-se: “Que decorre de P1, P2, ..., Pn” ou “P1, P2, P3, ..., Pn acarretam em Q”, etc. 
 
6.1. Silogismos 
 
São argumentos formados por duas premissas e uma conclusão. 
 
Exemplo: Sabe-se que x = 3 ou x =2. 
Mas x ≠ 3, logo x = 2. 
 
Esse tipo de silogismo é chamado disjuntivo. Dado que A ou B sabemos que uma delas, pelo menos, deve ocorrer. Se A 
não ocorre significa que ocorre B. Se B não ocorre então A ocorre. Representamos um silogismo disjuntivo por: 
 
(A 

B) 

~A → B ou (A 

 B) 

~B → A 
 
Podemos ler a representação anterior da seguinte forma: “A ou B e não A então B”. O que significa dada a ocorrência de 
A ou B quando A não ocorre necessariamente B deve ocorrer ou, quando B não ocorre A deve ocorrer. 
 
Há outro tipo de silogismo chamado hipotético. Simbolicamente ele pode ser representado por: 
 
p → q 
q → r 
p → r 
 
Se p implica em q e q implica em r, então p implica em r. 
 
6.2. Validade de um Argumento 
 
Um argumento é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira toda vez que as premissas forem verdadeiras. Um 
argumento de premissas P1, P2, ... Pn e conclusão q é válida se a implicação (P1  P2  ...  Pn) → Q for verdadeira. 
 
O argumento não válido é chamado sofisma ou falácia. Um argumento só é sofismo quando premissas verdadeiras 
acarretam em outra conclusão falsa. Em qualquer outra situação, o argumento é válido. 
Exemplo 
Dado que x = 2 e y = 3. Concluímos que x + y é um número par. 
 
Solução: Se x = 2 e y = 3 são verdadeiras, x + y = 5 que é ímpar. É um sofisma. Partindo de premissas verdadeiras a 
conclusão deve ser verdadeira. 
 
 
6.3. Argumentos que envolvem Verdades e Mentiras 
 
Neste tópico apresentaremos várias argumentações que apresentam os vocábulos “verdades” e “mentiras”. Na realidade, 
cada situação apresenta algum raciocínio inerente ao problema. De um modo geral, devemos conduzir as soluções por 
duas ideias centrais: 
 
 Podemos atribuir a quem pertence a verdade ou mentira fazendo suposições. 
 Em cada suposição não podemos encontrar contradições. Caso seja encontrada alguma contradição, então a suposição 
inicial feira, está equivocada. Devemos escolher outra suposição para conduzir o problema. 
 
Não existe uma regra que resolva todas as situações. Devemos ler o enunciado com a maior atenção possível, usar as duas 
ideias centrais apresentadas e muito bom senso. 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
27 
Exercícios Propostos 
 
01. André, Beto e Caio trocam acusações: 
 
André diz: Beto mente. 
Beto diz: Caio mente. 
Caio diz: André e Beto mentem. 
 
Baseando nessas acusações, é correto afirmar que: 
a) André e Beto mentem. 
b) André diz a verdade. 
c) Apenas Caio diz a verdade. 
d) Apenas André mente. 
e) André e Caio mentem. 
 
Solução: 
Fazendo a 1ª suposição “André diz a verdade”. 
 Se a afirmação de André é verdadeira, então Beto mente, ou seja, Caio diz a verdade. 
 Se Caio diz a verdade, então André e Beto mentem. Contradição! Observe que na suposição feita André diz a verdade 
e Beto mente. 
 
2ª suposição: Beto diz a verdade 
 Se Beto diz a verdade, André está mentindo. 
 Se Beto diz a verdade, Caio está mentindo. 
 
Observe que realmente Caio mente quando afirma que Beto e André mentem, pois Beto diz a verdade. 
 
Não há contradição 
 
Resposta: André e Caio mentem. 
 
02. Tenho 3 pastas A, B e C. Uma delas é preta, a outra marrom e a terceira marfim, não necessariamente nesta ordem. 
Sabendo que apenas uma das declarações é verdadeira: 
 
A é preta 
B não é preta 
C não é marfim 
 
Então qual é a cor de cada uma das pastas? 
Solução: 
 
1ª suposição: é verdade que “A é preta”. 
 Já chegamos a uma contradição, pois B não é preta também é uma verdade. 
 
2ª suposição: é verdade que “B não é preta”. 
 Neste caso B pode ser marrom ou marfim. Construímos então o quadro abaixo. 
B = marrom 
C = marfim 
A = preta 
B = marfim 
C = marfim 
A = marrom 
 Observe que na suposição, “C não é marfim” é falsa, pois existe apenas uma verdade. No primeiro quadro 
concluímos que A é preta. Contradição! 
 
Se A fosse preta existiram duas verdades. No segundo quadro também há contradição. 
3ª suposição: É verdade que “C não é marfim” 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
28 
 Neste caso C pose ser preta ou marrom. 
C = preto 
B = preta 
A = ? 
C = marrom 
B = preta 
A = marfim 
 
 O última quadro não apresenta contradições pois na suposição de que apenas “C não é marfim” é verdadeira, 
concluímos que B é preta donde a única possibilidade é: 
A = marfim 
B = preta 
C = marrom 
 
03. Antônio, Beto, Carlos e Daniel trocam acusações sobre quem quebrou a vidraça do vizinho quando estavam jogando 
bola: 
 
Antônio afirma: Beto é o culpado 
Beto afirma: Carlos é o culpado 
Carlos afirma: Danilo é inocente 
Danilo afirma: Antônio é inocente. 
 
Se existir apenas uma verdade nestas declarações podemos concluir que: 
 
a) Apenas Antônio é culpado. 
b) Beto e Carlos são os culpados. 
c) Apenas Carlos é inocente. 
d) Antônio ou Danilo são os culpados. 
e) Danilo e Carlos são inocentes. 
 
Solução: Observe que se Beto fosse culpado ou Carlos culpado, então teria mais de um culpado, pois existe apenas 
uma verdade nas declarações. Assim: 
 
1ª suposição: Carlos disse a verdade. Então todos os outros estão mentindo; pelo enunciado da questão. 
Beto culpado (M) 
Carlos culpado (M) 
Danilo inocente (V) 
Antônio inocente (M) 
Concluímos que Antônio é o culpado. 
2ª suposição: Danilo disse a verdade. Fazendo a mesma análise anterior, concluímos que Danilo é o culpado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
29 
Questão de Prova de Concurso 
 
1. Há uma forma de raciocínio dedutivo chamado silogismo. Nesta espécie de raciocínio, será formalmente válido o 
argumento cuja conclusão é consequência que necessariamente deriva das premissas. Neste sentido, corresponde a um 
silogismo válido: 
 
a) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá. 
 Premissa 2: As selenitas gostam de fubá. 
 Conclusão: As selenitas são macerontes. 
 
b) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá. 
 Premissa 2: Todo maceronte tem asas. 
 Conclusão: Todos que têm asas gostam de comer fubá. 
 
c) Premissa 1: Nenhum X é Y. 
 Premissa 2: Algum X é Z 
 Conclusão: Algum Z não é Y. 
 
d) Premissa 1: Todo X é Y. 
 Premissa 2: Algum Z é Y. 
 Conclusão: Algum Z é X. 
 
e) Premissa 1: Capitu é mortal. 
 Premissa 2: Nenhuma mulher é imortal. 
 Conclusão: Capitu é mulher. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 
C 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
30 
7. TAUTOLOGIA; CONTINGÊNCIA; CONTRADIÇÃO 
 
7.1. Tautologia 
 
Denomina-se tautologia a proposição que é sempre verdadeira. A tabela-verdade de uma tautologia contémem sua última 
coluna apenas valores lógicos verdadeiros. 
 
7.2. Contingência 
 
Denomina-se contingência a proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa. A tabela-verdade de uma contingência 
contém, em sua última coluna valores lógicos verdadeiros ou falsos. 
 
7.3. Contradição 
 
Denomina-se contradição a proposição que é sempre falsa. A tabela-verdade de uma contradição contém, em sua última 
coluna, apenas valores lógicos falsos. 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Vamos verificar se a proposição composta abaixo é uma tautologia, contingência ou contradição. 
 
Se João canta então João canta ou Maria compra um livro 
 
Vamos denominar p: João canta e q: Maria compra um livro. Então a proposição composta pode ser descrita como: 
p → (p 

q) 
 
Construindo um quadro de possibilidades 
 
p q p 

 q p → (p 

q) 
v v v v 
v f v v 
f v v v 
f f f v 
 
 A última coluna da tabela apresenta apenas valores verdadeira, portanto trata-se de uma tautologia. 
 Note que construímos todas as possibilidades para p e q. Em seguida, analisamos a tabela verdade da disjunção p 

q. E finalmente a tabela-verdade da implicação p → (p 

q) 
 
2. Demonstrar que a proposição p 

(p 

~q) é uma contingência. 
 
Solução: construindo a tabela verdade 
p q ~q (p 

~q) p

(p 

~q) 
v v f f v 
v f v v v 
f v f f f 
f f v f f 
 
A construção foi feira por etapas: 
1ª) As possibilidades para p e q (1ª coluna) 
2ª) Na 2ª coluna a tabela de negação de q. 
3ª) Na 3ª coluna a operação entre parênteses (p 

~q). 
4ª) Na 4ª coluna o resultado final. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
31 
3. Se Paulo e Luís viajam então Paulo viaja. 
 
Solução: Fazendo p: Paulo viaja e q: Luís viaja, a proposição pode ser escrita como: (p 

q) → p 
 
Construindo a sequência da tabela-verdade 
 
p q p 

q (p 

q) → p 
v v v v 
v f f v 
f v f v 
f F f v 
 
É uma tautologia. 
 
 
Questões de Provas de Concurso 
 
1. Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é: 
 
a) uma tautologia. 
b) equivalente à proposição ~ P V P . 
c) uma contradição. 
d) uma contingência. 
e) uma disjunção. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma tautologia. 
 
a) p  q  q 
b) p  q  q 
c) p  q  q 
d) ( p  q)  q 
e) p  q  q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 
C B 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
32 
INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 
 
1. CONJUNTOS 
 
No estudo que iniciaremos agora vamos abordar intuitivamente as noções sobre teoria dos conjuntos, conjuntos numéricos e 
reta real. Chamaremos conjuntos de toda coleção, lista, etc. de números, pessoas, objetos, que apresentem alguma 
característica em comum. 
 
Um elemento pertence a um conjunto se ele possui características a ser analisada. O conceito de pertencer é um 
conceito primitivo. 
 
 
 
 
 
Diagrama de Venn 
 
É a representação de um conjunto através de uma linha poligonal fechada. Os elementos que pertencem ao conjunto 
ficam dentro da região primitiva pela linha. Os elementos que não pertencem ao conjunto ficam fora dessa região. 
 
Exemplo: 
 
 
 x 

 A 
 y 

 A. 
 
Conjunto Vazio 
 
É um conjunto que não apresenta elementos. É representado por Ø ou { }. 
 
 
Conjunto Universo 
 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados em um determinado estudo. 
 
Subconjunto 
 
Dizemos que A é um subconjunto de B ou, A está contido em B, se todos os elementos de A forem elementos de B. 
 x 

 A → x 

 B 
 A 

 B lê-se “A está contido em B”. 
 Todo A é B. 
 
 
 
 
 
x 

 A: lê-se “x pertence ao conjunto A” 
x 

 A: lê-se “x não pertence ao conjunto A” 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
33 
Propriedades: Dado um conjunto A, temos: 
 Ø 

 A. 
 A 

 A 
 A 

 B e 

 D, então A 

 D. 
 
Número de Subconjunto 
 
Para o conjunto A = {a, b, c} seus subconjuntos são: 
 Com zero elemento: Ø 
 Com 1 elementos: {a}, {b}, {c} 
 Com 2 elementos: {a, b}, {a, c}, {b, c} 
 Com 3 elementos: {a, b, c} 
 
Observe que ilustrado as possibilidades e efetuando a contagem, temos 8 subconjuntos. 
 
Para um conjunto com n elementos temos 2
n
 subconjuntos. 
 
n(P(A)) = 2
n 
 
n(P(A)) = 2
n 
= número das partes de A ou número de subconjuntos de A. 
 
União de Conjuntos 
 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A ou pertencem a B. 
 
x 

 A

B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
Podemos representar a união por: 
 
 
 
 
Intersecção de Conjuntos 
 
A intersecção entre conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A e pertencem a B. 
 
x 

 A 

B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
Podemos representar a intersecção por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
34 
Diferença entre Conjuntos 
 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A mas não pertencem a 
B. 
 
X 

 A - B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
 
 
 
Número de Elementos da União 
 
Se A 

 B representa a união entre conjuntos A e B e n (A 

 B) representa o número de elementos da união, 
então: 
 
n(A 

 B) = n(A) + n(B) – n(A 

 B) 
 
 n(A): número de elementos de A. 
 n(B): número de elementos de B. 
 n(A 

 B): número de elementos comuns a A e B. 
 
Exemplos: 
 
1. Numa classe de 50 alunos, 12 jogam vôlei e 17 jogam basquete e não jogam vôlei. Quantos alunos não jogam vôlei 
nem basquete? Considere que existem alunos que jogam ambos. 
 
Solução: Os conjuntos abaixo representam: 
 
V: os alunos que jogam vôlei. 
B: os alunos que jogam basquete. 
 
 
Total: 50 
 
12+17 + x = 50 
 
2. Uma prova era construída de 2 problemas. Sabe-se que 300 alunos acertaram apenas o primeiro problema, 260 
acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: 
 
 
x = 21 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
35 
 Começamos marcando a intersecção dos 2 conjuntos para não contarmos duas vezes esses elementos. 
 Em seguida, sabe-se que 300 acertaram apenas P1. 
 Como 260 alunos acertaram P2 e já contamos 100, concluímos que 160 alunos acertaram apenas P2. 
 Os alunos que erraram P1 estão fora de P1. Já contamos 160 fora de P1, então 50 devem estar fora de P1 e P2. 
 
x = 300 + 100 + 160 + 50 
 
 
Total de alunos: 610 
3. Dados os conjuntos: A = {5, x, 10, 13} e B = {9, x, 13, 25, y} e A 

 B = {8, 10, 13}. Podemos concluir que y
2
 – x
2
 
vale: 
 
a) 36. 
b) 25. 
c) 16. 
d) 81. 
e) 64. 
 
 
Solução: Os elementos em comum entre A e B são 8, 10 e 13. Portanto, x = 8 para que esteja em A e B. O elemento 13 
foi dado em evidencia em comum. Portanto, y = 10. 
 
y
2
 – x
2
 = 100 – 64 = 36. 
 
Letra: A 
 
4. Em uma lista de número figuram 20 múltiplos de 2, 14 múltiplos de 5 e 5 múltiplos de 10. A lista não contém mais 
número algum. Quantos números têm ao todo na lista? 
 
Solução: Os múltiplos de 10 são comuns aos múltiplos de 2 e 5. 
 
 
 
Total = 29. 
 
 
Intervalos Numéricos 
 
Um intervalo representa uma variação. Dados dois números a e b, a < b, não podemos enumerar todos os valores 
reais existentes entre a e b pois são infinitos. 
 
De uma maneirageral, podemos ter: 
 
{x 

 IR/a ≤ x ≤ b} é o intervalo fechado de extremos a e b. 
 
Notação: [a; b] 
 
 
 
{x 

 IR/a < x < b} é o intervalo aberto de extremos a e b. 
 
Notação: ]a; b[ 
x = 610 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
36 
 
 
{x 

 IR/a ≤ x < b} é o intervalo fechado em a e aberto em b. 
 
Notação: [a; b[ 
 
 
{x 

 IR/a < x ≤ b} é o intervalo fechado em b e aberto em a. 
 
Notação: ]a; b] 
 
Obs: intervalos infinitos 
 
]a; +∞) 
Observe que dado um número a, um x qualquer real pode assumir valores maiores, menores ou iguais a a. Essas 
desigualdades representam intervalos infinitos. 
 
 
Exemplo 
 
1. Dado os intervalos 
 
A = [2, 5] e B ]3, 7] 
 
a) Represente-os na reta real. 
 
 
 
 
 
b) Determine A 

B. 
 
 
 
 
c) Determine A 

B 
 
 
 
 São apenas os elementos em comum entre A e B. 
 
d) Determine A – B 
 
 
 São os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
37 
e) Determine B – A 
 
 
 São os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. 
 Note que 3 e 5 não são inclusos nas diferenças. 
 
Questões de Provas de Concursos 
 
1. Considere os conjuntos 
 
   187/200/  xxBexxA
 
 
Quantos elementos possui o conjunto 
BA
? 
a) 10 elementos. 
b) 11 elementos. 
c) 12 elementos. 
d) 13 elementos. 
e) 14 elementos. 
 
 
 
 
 
 
2. Sobre os membros de três comissões A, B e C da Assembleia Legislativa sabe-se que 
 
I. Nenhum membro pertence às três comissões simultaneamente. 
II. Dadas duas quaisquer dessas comissões, há exatamente um membro que pertence simultaneamente às duas. 
III. Cada uma dessas três comissões possui exatamente cinco membros. 
 
O número total de membros diferentes que compõem essas três comissões é 
 
a) 15. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 9. 
e) 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
38 
3. Em um zoológico, uma pesquisa foi realizada para a constatação de quais eram os animais mais queridos pelas 
crianças. As crianças participaram da pesquisa e escolheram pelo menos um animal como preferência. Sabe-se, então, 
que algumas crianças votaram em mais de um animal. Os animais listados na pesquisa eram: leão, macaco e girafa. 130 
crianças votaram no leão, 98 votaram no macaco, 85 votaram na girafa, 71 votaram no leão e no macaco, 63 votaram no 
macaco e na girafa, 64 votaram no leão e na girafa e 43 votaram nos três animais. 
Quantas crianças votaram em apenas um animal? 
a) 46 crianças. 
b) 313 crianças. 
c) 72 crianças. 
d) 158 crianças. 
e) 58 crianças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Em um determinado colégio, os professores utilizam duas formas para a avaliação dos alunos: prova e trabalho. Neste 
colégio, 90% dos professores utilizam provas para avaliação e 75%, trabalhos. Sabendo que os professores utilizam pelo 
menos uma dessas formas de avaliação, qual é a porcentagem dos professores que utilizam ambas as formas? 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
d) 65% 
e) 45% 
 
 
 
 
 
 
 
5. Em um grupo de bateristas, guitarristas e cantores sabe-se que: 
 
I. Não há pessoas que são apenas bateristas. 
II. Há bateristas que também são cantores e guitarristas. 
III. Há bateristas que também são cantores, mas não guitarristas. 
IV. Há bateristas que também são guitarristas, mas não cantores. 
V. Há guitarristas que também são cantores, mas não bateristas. 
VI. Há pessoas que são apenas guitarristas. 
VII. Há pessoas que são apenas cantores. 
 
Sendo assim, pode-se afirmar corretamente que, necessariamente, 
 
a) qualquer guitarrista é também cantor. 
b) os cantores que são guitarristas também são bateristas. 
c) qualquer cantor é também guitarrista. 
d) os bateristas que não são cantores são guitarristas. 
e) os guitarristas são cantores e bateristas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
39 
6. Considere os conjuntos A, B e C. Sabe-se que o conjunto A tem 15 elementos, o conjunto B tem 10 elementos e C, 
tem 12 elementos. O que podemos realmente afirmar? 
a) (AUB) tem exatamente 25 elementos. 
b) (B∩C)∩A tem no máximo 10 elementos. 
c) 
 B
 tem exatamente 10 elementos. 
d) (AUB)∩C tem no máximo 10 elementos. 
e) (A∩C) tem exatamente 12 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Considere os conjuntos A, B e C. Sabe-se que o conjunto A tem 5 elementos, o conjunto B tem 12 elementos e C, 7 
elementos. Assinale a alternativa que apresenta a única afirmação realmente correta sobre estes conjuntos. 
a) 
 B
 tem exatamente 12 elementos. 
b) 
 CA
 tem exatamente 5 elementos 
c) 
  CBA 
 tem no máximo 17 elementos. 
d) 
  ACB 
 tem no máximo 5 elementos. 
e) 
 BA
 tem exatamente 17 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
B B A D D B D 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
40 
2. PORCENTAGEM 
 
A porcentagem assim como a razão é uma relação entre dois valores. 
 
Por exemplo, considere uma pessoa que recebe um salário de R$ 1000,00 e solicita um vale de R$ 90,00 na empresa 
onde trabalha. O percentual do salário solicitado pelo funcionário pode ser obtido pela razão entre o valor do vale e o valor 
total do seu salário. Assim: 
 
%909,0
100
9
00,1000
00,90
salário
vale

 
Observações: 
 
1. No exemplo dado 9% é a taxa percentual. 
2. A fração 
100
9
 é chamada de fração equivalente à taxa percentual de 9%. 
3. O número decimal 0,09 é chamado de taxa unitária equivalente à taxa percentual de 9%. 
4. Toda taxa percentual pode ser escrita na forma de fração centesimal: 
100
X
%X 
 
5. Toda taxa milesimal pode ser escrita na forma de fração milesimal: 
1000
X
%X 0 
 
6. A taxa de 9% equivale à taxa de 
0
%90
. 
 
Questões de Provas de Concursos 
 
1. As ações de certa empresa subiram 20%, ao mês, durante dois meses consecutivos e baixaram 20%, ao mês, em 
cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, é 
correto afirmar que: 
 
a) valor das ações permaneceu inalterado. 
b) as ações desvalorizam 7,84%. 
c) as ações valorizam 7,84%. 
d) as ações desvalorizam 9,84%. 
e) as ações valorizaram 8,48%. 
 
 
 
 
2. Um comerciante de veículos comercializa dois tipos de automóveis, um nacional outro importado. Observa-se que, 
anualmente, as vendas dos veículos nacionais diminuem em 20% e as dos importados aumentam em 20%. Em 1994, 
60% do total das vendas dessa revendedora foram de carros nacionais e 40% de carros importados. Em 1996, o 
percentual de automóveis importados comercializados pela revendedora foi de: 
 
a) 54% 
b) 57,6% 
c) 60% 
d) 62,6% 
e) 63,2% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
41 
3. Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% dos eleitores de uma cidade votaram, para prefeito, no candidato X, 30% no 
candidato Y e os 1.800 eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Não houve abstenções e os 
votos nulos correspondem a 25% dos votos em branco. Com base na situação apresentada, julgue os itens a seguir em 
certo ou errado. 
 
1. O número total de eleitores da cidade é de 4000. 
2. 1.000 eleitores votaram no candidato X. 
3. 450 eleitores anularam seus votos. 
4. Houve menos votos brancos ou nulos do que votos válidos. 
5. 1.200 eleitores votaram no candidato Y. 
 
 
 
 
 
4. Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendoque, já em janeiro de 1997, ele terá 25% 
de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim 
a empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então, X satisfaz à condição: 
 
a) 
00,100.1X 
 
b) 
00,170.1X00,100.1 
 
c) 
00,190.1X00,170.1 
 
d) 
00,220.1X00,190.1 
 
e) 
00,220.1X 
 
 
 
 
 
 
5. Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 
30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida 
por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de: 
 
a) R$ 594,00 
b) R$ 641,00 
c) R$ 648,00 
d) R$ 652,42 
e) R$ 653,27 
 
 
 
 
 
6. Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza 20% anualmente. Após dois anos o proprietário decide trocá-lo por 
um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior, em relação ao valor praticado dois anos 
antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de: 
 
a) R$ 4.200,00 
b) R$ 4.620,00 
c) R$ 4.700,00 
d) R$ 4.820,00 
e) R$ 4.900,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
42 
7. O funcionário da biblioteca de uma escola comprou 10 exemplares de um mesmo livro de matemática. O vendedor 
concedeu-lhe um desconto de 10%, tendo ele pago R$ 585,00 pela compra. Se x é o preço original de cada livro, em 
reais, então: 
 
a) 
00,64x 
 
b) 
00,65x00,64 
 
c) 
00,66x00,65 
 
d) 
00,67x00,66 
 
e) 
00,67x 
 
 
 
 
 
8. O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, 
um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma 
variação de: 
 
a) 10,0% 
b) 30,0% 
c) 35,5% 
d) 37,5% 
e) 40,5% 
 
 
 
 
 
 
9. Um comerciante “A” prometeu a seus empregados aumentos capitalizados de 30% em janeiro, 30% em fevereiro e 
20% em março. Ao mesmo tempo, um comerciante “B” reuniu seus empregados e prometeu-lhes aumento único de 
100% em março. Analisando as duas propostas em março, conclui-se que: 
 
a) os comerciantes “A” e “B” deram aumentos iguais. 
b) os empregados do comerciante “B” ganharam 20% a mais que os empregados do comerciante “A”. 
c) O comerciante “A” terá dado a seus empregados aumento real de 2,8% em relação ao comerciante “B”. 
d) Os empregados do comerciante “A” tiveram um prejuízo de 4% em relação aos empregados do comerciante “B”. 
 
 
 
 
 
10. Uma firma tem a matriz em São Paulo e uma filial no Rio de Janeiro. A matriz é responsável por 70% do faturamento 
da firma. Este ano o faturamento da matriz sofreu um aumento de 20%, e o da filial, de 10%. Responda as questões a 
seguir: 
 
De quanto aumentou o faturamento da firma? 
 
a) 12% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 30% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
43 
A matriz passou a ser responsável por que porcentagem, aproximadamente, do faturamento da firma? 
 
a) 70% 
b) 72% 
c) 76% 
d) 84% 
e) 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B C CCECC D C B C D C CB 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
44 
ANEXO – PROVAS FCC (2014) 
 
Prova 1 
SABESP - ADVOGADO 
 
Atenção: Para responder às questões de números 1 e 2, considere as informações abaixo. 
 
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. O 
tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a dose 
recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento 
completo cumprindo rigorosamente as instruções de doses e horários. 
 
1. Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a 
 
a) 90. 
b) 88. 
c) 96. 
d) 92. 
e) 66. 
 
 
2. Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos remédios 
X e Y foi no sábado às 
 
a) 11 horas. 
b) 8 horas. 
c) 23 horas. 
d) 13 horas. 
e) 16 horas. 
 
 
3. Alan, Beto, Caio e Décio são irmãos e foram interrogados pela própria mãe para saber quem comeu, sem autorização, 
o chocolate que estava no armário. Sabe-se que apenas um dos quatro comeu o chocolate, e que os quatro irmãos 
sabem quem foi. A mãe perguntou para cada um quem cometeu o ato, ao que recebeu as seguintes respostas: 
 
Alan diz que foi Beto; 
Beto diz que foi Caio; 
Caio diz que Beto mente; 
Décio diz que não foi ele. 
 
O irmão que fala a verdade e o irmão que comeu o chocolate são, respectivamente, 
a) Beto e Décio. 
b) Alan e Beto. 
c) Beto e Caio. 
d) Alan e Caio. 
e) Caio e Décio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
45 
Atenção: Para responder às questões de números 4 e 5, considere as informações abaixo. 
 
Em um serviço, Renato terá que protocolar, por dia, dois processos a mais do que protocolou no dia anterior, e Sérgio 
três processos a mais do que protocolou no dia anterior. Os dois iniciam o serviço juntos sendo que, no primeiro dia, 
Renato teve que protocolar 30 processos e Sérgio apenas 3 processos. O serviço de Renato e Sérgio se encerra 
decorridos 30 dias completos de expediente, incluindo o dia em que iniciaram o serviço. Sabe-se que eles cumpriram 
corretamente suas metas diárias ao longo dos trinta dias de expediente. 
 
 
4. Ao final do trigésimo dia de expediente Renato e Sérgio protocolaram, juntos, um total de processos, desse dia, igual 
a 
a) 178. 
b) 183. 
c) 168. 
d) 166. 
e) 181. 
 
 
5. Ao longo dos 30 dias de expediente, o total de processos protocolados por Sérgio superou o total protocolado por 
Renato em 
a) 355. 
b) 385. 
c) 350. 
d) 375. 
e) 390. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
46 
Prova 2 
COMPANHIA DO METROPOLITANO DE SÃO PAULO – ANALISTA DESENVOLVIMENTO 
 
1. O resultado dessa expressão numérica: 
 
  
 
 22
22
222
2
2
22
2
2
2
2
2

 
 
é igual a 
a) 256. 
b) 128. 
c) 64. 
d) 512. 
e) 1. 
 
 
 
 
2. O investimento J gera um rendimento de 
4
1
 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um 
rendimento de 
2
1
 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são 
calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica simultaneamente uma certa 
quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira dos investimentos os seus rendimentos obtidos. Após alguns 
períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação 
corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a 
 
a) 
32
11
 
 
b) 
64
25
 
 
c) 
8
5
 
 
d) 
16
3
 
 
e) 
256
23
 
 
 
3. Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, 
de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a obra 
em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de mais operários, e que 
todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por dia. 
 
O número de operários contratados, além dos 128que já estavam trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 
dias, foi igual a 
a) 40. 
b) 16. 
c) 80. 
d) 20. 
e) 32. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
47 
4. Em um pequeno ramal do Metrô, um trem parte da estação inicial até o destino final e volta à estação inicial em exatos 
25 minutos. Em outro ramal, parte outro trem da mesma estação inicial, vai até o destino final e volta à estação inicial em 
exatos 35 minutos. Suponha que os dois trens realizem sucessivas viagens, sempre com a mesma duração e sem 
qualquer intervalo de tempo entre uma viagem e a seguinte. Sabendo-se que às 8 horas e 10 minutos os dois trens 
partiram simultaneamente da estação inicial, após às 17 horas deste mesmo dia, a primeira vez que esse fato ocorrerá 
novamente será às 
 
a) 17 horas e 30 minutos. 
b) 19 horas e 50 minutos. 
c) 18 horas e 45 minutos. 
d) 19 horas e 15 minutos. 
e) 20 horas e 5 minutos. 
 
5. Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. 
Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam 
as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 
pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de 
entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
 
a) 50. 
b) 26. 
c) 56. 
d) 10. 
e) 18. 
 
 
6. Um ramal do Metrô de uma cidade possui 5 estações, após a estação inicial, e que são nomeadas por Água, Brisa, 
Vento, Chuva e Terra. Essas estações não estão localizadas no ramal, necessariamente, na ordem dada. Considerando 
o sentido do trem que parte da estação inicial, sabe-se que: 
 
I. os passageiros que descem na estação Chuva, descem na terceira estação após os passageiros que descem na 
estação Vento. 
II. os passageiros que descem na estação Brisa, descem antes do que os passageiros que descem na estação Água e 
também os que descem na estação Vento. 
III. a estação Terra não é a estação central das cinco estações. 
 
Dos 500 passageiros que embarcaram no trem na estação inicial, 35% desceram em Água, 12% desceram em Brisa, 
32% desceram em Chuva, 10% desceram em Terra e 11% desceram em Vento. Assim, pode-se concluir corretamente 
que, dos 500 passageiros que embarcaram no trem na estação inicial, ainda restam no trem, após a estação Água, um 
número de passageiros igual a 
a) 220. 
b) 335. 
c) 445. 
d) 210. 
e) 450. 
 
 
7. Um rico empresário resolveu presentear seus bisnetos com uma grande fortuna. A fortuna deve ser repartida a cada 
bisneto em partes inversamente proporcionais à idade de cada um. Sabe-se que as idades dos bisnetos correspondem 
exatamente aos divisores de 18, exceto o menor dos divisores, e que não há bisnetos que sejam gêmeos, trigêmeos etc. 
Dividindo a fortuna dessa maneira, coube ao último bisneto, o mais novo, 
 
a) o mesmo que a todos os outros somados. 
b) o dobro do que coube ao mais velho somado com o que coube ao segundo mais velho. 
c) o triplo do que coube ao segundo mais velho. 
d) o mesmo do que coube ao penúltimo e antepenúltimo bisnetos somados. 
e) um terço da fortuna. 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
48 
8. A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do 
preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do 
que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de 
a) 50%. 
b) 30%. 
c) 44%. 
d) 56%. 
e) 15%. 
 
 
9. Subiram no trem vazio, na estação inicial, x pessoas e nesse dia ninguém mais entrou nesse trem. Na 1ª estação 
desembarcaram 
3
2
 dos passageiros que estavam no trem e ainda mais 10 passageiros. Na 2ª estação desembarcaram 
dos passageiros que ainda estavam no trem e mais 10 pessoas. Exatamente assim aconteceu também nas 3ª, 4ª e 5ª 
estações. Da 5ª estação em diante, o trem trafegou com apenas 1 passageiro. Desta maneira, o número de passageiros 
que desembarcaram, ao todo, nas três primeiras estações, é igual a 
a) 1937. 
b) 3744. 
c) 2641. 
d) 3517. 
e) 3942. 
 
 
10. Um caminhante do deserto possui, no ponto A, 20 pacotes de suprimentos diários. No deserto, a cada 30 Km, em 
linha reta, há um abrigo no qual o viajante pode dormir para seguir viagem no dia seguinte e também para guardar 
pacotes de suprimentos. O caminhante percorre 30 Km por dia e consegue transportar, no máximo, 4 pacotes de 
suprimentos, sendo que, desses 4 pacotes, um é consumido no caminho entre dois abrigos consecutivos. Consumindo 
sempre um pacote por dia de viagem, a maior distância do ponto A, em Km, que esse caminhante conseguirá atingir é 
igual a 
a) 180. 
b) 210. 
c) 150. 
d) 240. 
e) 120. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
49 
Prova 3 
TRT 19° Região – ANALISTA JUDICIÁRIO 
 
1. Álvaro, Bianca, Cléber e Dalva responderam uma prova de três perguntas, tendo que assinalar verdadeiro (V) ou falso 
(F) em cada uma. A tabela indica as respostas de cada uma das quatro pessoas às três perguntas. 
 
 
 
Dentre as quatro pessoas, sabe-se que apenas uma acertou todas as perguntas, apenas uma errou todas as perguntas, 
e duas erraram apenas uma pergunta, não necessariamente a mesma. Sendo assim, é correto afirmar que 
a) Bianca acertou todas as perguntas. 
b) Álvaro errou a pergunta 3. 
c) Cléber errou todas as perguntas. 
d) Dalva acertou todas as perguntas. 
e) duas pessoas erraram a pergunta 3. 
 
 
2. Quatrocentos processos trabalhistas estão numerados de 325 até 724. Sabe-se que cada processo foi analisado por, 
pelo menos, um juiz. A numeração dos processos analisados por cada juiz seguiu a regra indicada na tabela abaixo. 
 
 
 
Do total de processos numerados, a porcentagem (%) de processos que foram analisados por menos do que dois juízes 
foi de 
a) 97,25. 
b) 68,75. 
c) 82,25. 
d) 91,75. 
e) 41,75. 
 
 
3. P, Q, R, S, T e U são seis departamentos de uma repartição pública, sendo que cada um ocupa exatamente um andar 
inteiro do prédio de seis andares dessa repartição (os andares vão do 1o ao 6o). A respeito da localização de cada 
departamento nos andares do prédio, sabe-se que: 
 
− R está a “tantos andares” de Q como Q está de P; 
− S está no andar logo abaixo de R; 
− T e U não estão em andares adjacentes; 
− T não está no 1o andar; 
− U está em andar imediatamente acima de P. 
 
Nas condições descritas, o segundo andar do prédio da repartição pública é ocupado pelo departamento 
a) Q. 
b) T. 
c) S. 
d) R. 
e) U. 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
50 
Prova 4 
TRT 3° Região – ANALISTA JUDICIÁRIO 
 
1. O número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1, há quatro anos, era igual ao número de ordens judiciais 
decretadas pelo Órgão 2, hoje. Daquela época para a atual, o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1 não 
mudou, mas o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 cresceu 20%. Sabendo que os órgãos 1 e 2 somam, 
hoje, 6 000 ordens judiciais, então há quatro anos o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 era igual a 
a) 2 400. 
b) 2 600. 
c) 2 500. 
d) 2 900. 
e) 2 800. 
 
 
2. Um tanque com 5 000 litros de capacidade estava repleto de água quando, às 00:00 hora de um certo dia, a água 
começou a escapar por um furo à vazão constante. À 01:00 hora desse mesmo dia, o tanque estava com 4 985 litros de 
água, e a vazão de escape da água permaneceu constante até o tanque se esvaziar totalmente, dias depois. O primeiro 
instante em que o tanque se esvaziou totalmente ocorreu em um certodia às 
 
a) 14 horas e 20 minutos. 
b) 21 horas e 20 minutos. 
c) 18 horas e 40 minutos. 
d) 14 horas e 40 minutos. 
e) 16 horas e 20 minutos. 
 
 
3. Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, sendo 
necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente ao final do último dia. De acordo com as instruções 
que recebeu, ele tem que realizar, por dia, sempre o mesmo número de tarefas A, o mesmo número de tarefas B e o 
mesmo número de tarefas C, sendo que a soma diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior 
possível. Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas diárias igual a 
 
a) 10. 
b) 21. 
c) 15. 
d) 19. 
e) 25. 
 
 
4. Uma empresa possui 31 funcionários. No dia da segurança do trabalho os funcionários presentes na empresa foram 
submetidos a um teste sobre prevenção de acidentes. A prova consistia em uma questão teórica (T), uma questão 
prática (P) e uma questão relacionada a procedimentos de evacuação do prédio (E). Cada questão da prova valia 1 
ponto, todos os funcionários presentes fizeram a prova e nenhum tirou nota zero. Sobre os funcionários que fizeram a 
prova sabe-se ainda que: 
 
 apenas 1 acertou somente (E); 
 nenhum acertou apenas (T) e (E), nem apenas (T) e (P); 
 11 acertaram (P) e (E); 
 apenas 7 acertaram somente (P); 
 apenas 1 dos 31 funcionários da empresa faltou no dia da prova. 
 
De acordo com os dados, o número de funcionários que tirou nota máxima na prova foi 
a) 5. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 4. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
51 
5. Álvaro, Benedito, Cléber e outros dois amigos participam de uma corrida. Se apenas os cinco participaram dessa 
corrida, o número de possibilidades diferentes de maneira que Álvaro chegue antes que Benedito e este, por sua vez, 
chegue antes de Cléber é igual a 
a) 20. 
b) 24. 
c) 18. 
d) 22. 
e) 26. 
 
 
6. Diante, apenas, das premissas “Existem juízes”, “Todos os juízes fizeram Direito” e “Alguns economistas são juízes”, é 
correto afirmar que 
a) todos aqueles que fizeram Direito são juízes. 
b) todos aqueles que não são economistas também não são juízes. 
c) ao menos um economista fez Direito. 
d) ser juiz é condição para ser economista. 
e) alguns economistas que fizeram Direito não são juízes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
52 
Prova 5 
METRÔ DE SÃO PAULO – USINADOR FERRAMENTEIRO 
 
1. O setor de almoxarifado do Metrô necessita numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no 
processo tem um único algarismo de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três 
adesivos (um algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
 
a) 20. 
b) 10. 
c) 19. 
d) 18. 
e) 9. 
 
 
2. Em média, cerca de 3,8 milhões de pessoas são transportadas diariamente no Metrô. No dia 14 de novembro de 
2012, o Metrô registrou recorde histórico com o transporte de 4,1 milhões, o que superou a média diária de passageiros 
transportados em, aproximadamente, 
 
a) 3,00%. 
b) 7,89%. 
c) 4,81%. 
d) 7,31%. 
e) 6,82%. 
 
 
3. Jaime e Ari trabalham na realização de uma mesma tarefa em turnos alternados até sua execução completa. Ao 
finalizar o primeiro turno de trabalho, Jaime executou 4/9 da tarefa. Ari assumiu o segundo turno de trabalho e, ao 
término, havia executado 3/8 do que Jaime executou no turno anterior. No terceiro turno de trabalho, Jaime terminou a 
tarefa, o que implica dizer que, da tarefa completa, nesse turno ele realizou 
 
a) 5/12 
b) 5/9 
c) 5/18 
d) 7/12 
e) 7/18 
 
 
4. Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens partem de 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens 
partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário 
desse dia em que partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
 
a) 10 minutos e 48 segundos. 
b) 7 minutos e 12 segundos. 
c) 6 minutos e 30 segundos. 
d) 7 minutos e 20 segundos. 
e) 6 minutos e 48 segundos. 
 
 
5. Do número total de vagões de uma linha do Metrô, 48 têm cinco anos ou mais de uso, 32 têm menos de cinco anos de 
uso, 36 já passaram pelo processo de remodelagem de sinalização interna, e os demais ainda não passaram por esse 
processo. Em tais circunstâncias, a porcentagem dos vagões dessa linha que ainda não passaram pelo processo de 
remodelagem de sinalização interna é igual a 
 
a) 52%. 
b) 45%. 
c) 48%. 
d) 55%. 
e) 58%. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
53 
6. Os 8 primeiros termos de uma sequência numérica são, nessa ordem, 
....
29
47
,
18
29
,
11
18
,
7
11
,
4
7
,
3
4
,3,
2
1
 Nessa 
sequência, a posição do termo cuja fração irredutível possui soma de numerador com denominador igual a 843 é: 
a) 13° 
b) 17° 
c) 16° 
d) 12° 
e) 10° 
 
 
7. A respeito das estatísticas de chuvas de 14 dias, sabe-se que em 
 
I. nenhum deles choveu nos três períodos (manhã, tarde, noite) do dia. 
II. apenas 5 dias choveu em dois períodos do dia. 
III. todos os dias choveu, ao menos, um dos três períodos do dia. 
IV. nenhum dia choveu apenas no período da noite. 
V. apenas 3 dias não choveu nem de manhã, nem de noite. 
 
Dos dias analisados, o total de dias em que choveu APENAS no período da manhã foi de 
a) 3. 
b) 7. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 4. 
 
 
 
 
8. Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de acordo com as instruções na lata, rende 200 m
2
 com uma demão de 
tinta. Se Laerte seguir corretamente as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m
2
 de parede com 
duas demãos de tinta látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
 
a) 6,8 L. 
b) 6,6 L. 
c) 10,8 L. 
d) 7,8 L. 
e) 7,2 L. 
 
 
9. Meia polegada somada com três quartos de polegada resultam em 
 
a) uma polegada e meia. 
b) quatro oitavos de polegada. 
c) uma polegada e um quarto. 
d) sete quartos de polegada. 
e) dois terços de polegada. 
 
 
10. Seis pessoas (A, B, C, D, E, F) estão de mãos dadas, formando um círculo. Sabe-se que estão de mãos dadas B e 
C, D e A, E e C. Nas condições dadas, F NÃO pode estar de mãos dadas com 
 
a) A. 
b) B. 
c) D e B simultaneamente. 
d) A e D simultaneamente. 
e) D. 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – Prof. Dilmar Ricardo – INSS 
 
 
 
54 
GABARITOS – ANEXO FCC (2014) 
 
Prova 1 – SABESP - ADVOGADO 
 
1 2 3 4 5 
C B E A D 
 
 
Prova 2 – COMPANHIA DO METROPOLITANO DE SÃO PAULO – ANALISTA DESENVOLVIMENTO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E A B E D D C B A 
 
 
Prova 3 – TRT 19° Região – ANALISTA JUDICIÁRIO 
 
1 2 3 
C D E 
 
 
Prova 4 – TRT 3° Região – ANALISTA JUDICIÁRIO 
 
1 2 3 4 5 6 
C B D E A C 
 
 
Prova 5 – METRÔ DE SÃO PAULO – USINADOR FERRAMENTEIRO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A B E B D A D E C D