Pot ncias e Ra czes 21

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA BÁSICA 
PROFESSOR LUÍS FARIAS / FORTALEZA-CE 
 
POTÊNCIAS E RAÍZES 
 
Definição 1. (Potência de expoente natural) Seja a um real não nulo e n um natural. 
Potência de base a e expoente n é o número 
na
 tal que: 
 0
1
1
, 1,n n
a
a a a n n
 

     
 
Definição 2. (Potência de expoente inteiro negativo) Seja a um real não nulo e n um 
natural, define-se: 
1n
n
a
a
 
. 
Proposição 1: Sejam a e b reais não nulos. Então para todos os inteiros m e n obtemos: 
i) 
m n m na a a  
 
ii) m
m n
n
a
a
a

 
iii) n n
n
a a
b b
 
 
 
 
iv) 
 
n
m m na a 
 
 Dados um número real positivo a e um número natural n, demonstra-se que existe 
sempre um único real positivo b, tal que 
nb a
. 
 
Definição 3. O número real b é chamado de raiz n-ésima de a e indicaremos pelo 
símbolo 
n a
em que a é chamado radicando e n é o índice. 
 
Proposição 2: Sejam a e b reais positivos e 
, , 0m n p   
então temos: 
i) npn m mpa a 
ii) 
n n na b a b  
 
iii) n
n
n
a a
b b

 
iv) 
p n pn a a


 
Prova de v: Seja
, n m n mx x a x a   
 pela propriedade iv), temos que 
.
n pn p m p m px a x a
    
 
 
 
Definição 4. (Potência de expoente racional) 
 0 , , 0
p
a p e q
q
        
. 
Define-se potência de base a e expoente 
p
q
 pela relação: p q pqa a . 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
PROFESSOR LUÍS FARIAS / FORTALEZA-CE 
 
 
Observações: 
i) Dado um racional x positivo, temos 
0 0x 
. Quando x é negativo 
0x
 não 
existe. 
ii)  
..... 0
1 1
0
q q q
p vezesp
pq qpq
q q
p vezes
a a a
a a a
a a


  


   
 




 
Proposição 3. Sejam 
, , , 0
p r
a b e com q s
q s
     
. Então, temos: 
i) p p rrq q ssa a a   
ii) 
p
p rq
q s
r
s
a
a
a


 
iii) 
( )
p p p
q q qa b a b  
 
iv) 
p
p
q
q
p
q
a a
b
b
 
 
 
 
v) 
r
p p rs
q q sa a
 
 
 
 
 
 Prova de iv: Sejam x,y e z tais que: ( )
( )
( )
p
p p p
q
qq
p
p
q p q pq
p
q p q pq
a a a a
x x x i
b b b b
y a y a y a ii
z b z b z b iii
     
          
     
    
    
 
Assim de i), ii) e iii), temos que: qq
q
q
y y y
x x
z z z
 
    
 
.