MTM112 52 ExEsp 02 2009

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-52
2o. Semestre de 2009 – Exame Especial
INSTRUC¸O˜ES: alunos que desejam substituir a 1a avaliac¸a˜o devera˜o resolver as questo˜es 1, 2 e 3. Para
a 2a avaliac¸a˜o resolvam as questo˜es 4, 5 e 6. Para a 3a avaliac¸a˜o resolvam as questo˜es 7, 8 e 9. Ja´ os alunos
que desejam substituir a nota do semestre, devera˜o resolver as questo˜es 1, 6, 8 e 9. Na˜o se esquec¸a de
sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: Dado o sistema
{
6x+ ky = 9
2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine:
(a) k para que o sistema seja imposs´ıvel.
(b) k tal que o sistema possua soluc¸a˜o u´nica.
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 4 2 02 4 0
0 0 4
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Dentre as
soluc¸o˜es na˜o-triviais encontradas exiba treˆs vetores unita´rios e verifique que estes vetores sa˜o dois a dois
ortogonais. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores unita´rios anteriormente calculados, verifique que P
e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz A sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
Questa˜o 4: Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) Os vetores de (x, y) ∈ R2 tais que x2 + 2x = y2 + 2y.
b) As func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′′ − 3ϕ′ + 2ϕ = 0.1
Questa˜o 5: Sejam T (x, y, z) = (4x+2y, 2x+4y, 4z) e I(x, y, z) = (x, y, z) transformac¸o˜es lineares. Encontre
valores λ ∈ R tais que ker (A− λI) 6= {~0}. Para cada valor de λ encontrado exiba uma base de ker (A− λI).
Questa˜o 6: Seja F = {(x, y, z, t) ∈ R4; −x + 3z − 2t = 0} subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para
F . Qual e´ a dimensa˜o de F? Verifique que v = (−1, 3, 1, 1) ∈ F e escreva as coordenadas de v em relac¸a˜o a`
base encontrada. Complete esta base de F a` uma base de R4.
Questa˜o 7: Considere a matriz A da questa˜o 2. Encontre uma base ortonormal de R3 formada por au-
tovetores de A. Seja P a matriz cujas colunas sa˜o os vetores que formam a base ortonormal encontrada
anteriormente, verifique que P e´ matriz ortogonal, isto e´ PP t = I3. Calcule D = P tAP .
Questa˜o 8: Determinar os autovalores e autovetores do operador T : P2 → P2 definido por
T (p)(x) = p(x) + (3x+ 2)p′(x),
para todo p ∈ P2.
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores de T (x, y, z) = (2x+y, 3x+z, 2z). T e´ diagonaliza´vel?
Justifique.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens