C02 SistemasLineares v05

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ENG-D01: Métodos 
Computacionais na Engenharia
Profa Karen PontesProf . Karen Pontes
Dezembro 2008
ProgramaPrograma
Si t d õ l éb i li Sistemas de equações algébricas lineares
 Equações algébricas não-lineares
 Sistemas de equações algébricas não-lineares
 InterpolaçãoInterpolação
 Aplicações na engenharia.
BibliografiaBibliografia
3
Erros associados aos métodos numéricosErros associados aos métodos numéricos
M d l d li
cdv -cv
 Modelo queda livre: vm
g
dt

 Solução analítica:
 tgm )/(
mg
S l ã é i
 tmce
c
gmtv )/(1)( 
 Solução numérica:
 iiiii tttvcgtvtv 

   11 )()()(  iiiii m   11
Erros associados aos métodos numéricosErros associados aos métodos numéricos
 Exemplo: exp( / ) 0x x c  
Solução analítica:
1.1
líti
    1 ln 1 1x c u c u u        
Solução analítica:
0 8
0.9
1
c
 
v
a
l
u
e
analítica
numérica
 ln 1 1u c 
0.6
0.7
0.8
c
0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
0.5
root x value
Erros associados aos métodos numéricosErros associados aos métodos numéricos
 Erros de arredondamento
 Capacidade limitada do computador para armazenar números
 Raízes de equação quadrática com a = 1, b = 3000,001 e c = 3 
(solução exata x1 = -0,001 e x2 = -3000)
 Erros de truncamentoErros de truncamento
 discrepância introduzida por aproximações usadas nos métodos 
numéricos para representar operações e quantidades 
matemáticas exatasmatemáticas exatas
 Série de Taylor
Exemplo: erros de arredondamentoExemplo: erros de arredondamento
300130002  xxy
program arredondamento
3001,3000  xxy
implicit none
real :: a, b, c, d, x1, x2
real*8 :: aa bb cc dd x11 x22
aa=1.d0
bb=3000.001
cc=3.d0
real 8 :: aa, bb, cc, dd, x11, x22
a=1.d0
b=3000.001
c=3 d0
dd = sqrt(bb*bb-4*aa*cc)
x11 = (-bb+dd)/(2*aa)
x22 = (-bb-dd)/(2*aa)
c=3.d0
d = sqrt(b*b-4*a*c)
x1 = (-b+d)/(2*a)
x2 = ( b d)/(2*a)
write(*,*) 'Resultado em dupla precisao'
write(*,1) 'x11 = ', x11
write(*,2) 'x22 = ', x22
write(*,*)
x2 = (-b-d)/(2 a)
write(*,*) 'Resultado em precisao simples'
write(*,1) 'x1 = ', x1
write(* 2) 'x2 = ' x2
1 format(1x,a10,f20.14)
2 format(1x,a10,f10.4)
write( ,2) x2 = , x2
write(*,*) end program
Série de TaylorSérie de Taylor
 Permite prever o valor da função em um ponto em termos do valor 
da função e suas derivadas em um outro ponto
 Aproximação de ordem zero )()( 1 ii xfxf 
 Aproximação de 1ª ordem ))((')()( 11 iiiii xxxfxfxf  
 Aproximação de 2ª ordem
2
111 )(!2
)(''
))((')()( ii
i
iiiii xx
xf
xxxfxfxf  
Série de TaylorSérie de Taylor
 Expansão completa
ixffff  )()(''))((')()( 2
n
n
ii
i
n
ii
i
ii
i
iiiii
Rxxxfxxxf
xx
f
xxxfxfxf




)(
!
)(
...)(
!3
)(
 
)(
!2
)(
))((')()(
1
)(
3
1
)3(
2
111
niiii n 
)(
!
)(
!3 11
 Resto
1
)1( )(  n
n
hfR   1 nhOR
)!1( n hnR  n hOR
Série de Taylor ExemploSérie de Taylor - Exemplo
A i ã d li ô i é i d T l Aproximação de um polinômio por série de Taylor
2,125,05,015,01,0)( 234  xxxxxf
 Qual o valor da função em xi+1 = 1, sendo xi=0, h=1
Série de Taylor ExemploSérie de Taylor - Exemplo
A i ã d f ã ú fi it d Aproximação de uma função com um número finito de 
derivadas
U õ é i d T l 0 té 6 Use expansões em série de Taylor com n = 0 até 6 para 
aproximar em com base no valor de f(x) e )cos()( xxf  3/1 ix
suas derivadas em . 4/ix
12/4/3/  h
5,0)3/cos()( 1  ixf
Série de Taylor ExemploSérie de Taylor - Exemplo
C ti ã Continuação
Ordem n f(n)(x) f(n)(/3) t O(hn+1)
0 2617993880 cos(x) 0,707106781 -41,4 0,261799388
1 -sen(x) 0,512986659 -4,4 0,068538919
2 cos(x) 0 497754491 0 449 0,0179434472 -cos(x) 0,497754491 0,449 0,017943447
3 sen(x) 0,499869147 2,62 x 10-2 0,004697583
4 cos(x) 0,500007551 -1,51 x 10-3 0,001229824( )
5 -sen(x) 0,500000304 -6,08 x 10-5 0,000321967
6 -cos(x) 0,499999988 2,44 x 10-6 8,42908E-05
 Cada termo adicional resulta em alguma melhora na estimativa da 
função mas o termo torna se desprezível à medida que n aumentafunção, mas o termo torna-se desprezível à medida que n aumenta
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
 Balanço de massa em uma torre de destilação
DD yB
yT
80% recuperação do benzeno
50% tolueno
50% benzeno50% benzeno
FT = 70kgmol/min
R xB: 0.1% mol
xT : 0.9% mol
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
 Circuito elétrico - lei de Kirchoff
9 4 2 24i i i   1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
9 4 2 24
4 17 6 3 16
2 6 14 6 0
i i i
i i i i
i i i i
         
2 3 43 6 11 18i i i
   
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
D fi i ã Definição:
 Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de 
adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de 
uma constante pela primeira potência de uma variável
 Forma geral: 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b      
 Exemplo: 4 3 2 0
2 3 0 0
x y z
x y z w
  
   
 Exemplo não-linear: 2 2 9
2 3 0
x y
x y zw
 
  2 3 0x y zw
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b      
 Forma geral:
21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b
       
1 1 2 2
...
...n n nn n na x a x a x b
       
onde os coeficientes aij e bij são conhecidos
 Objetivo: determinar os valores de xi
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
G d lib d d Graus de liberdade:
 Se n é número de incógnitas e m o número de equações:
1x y  1x y   1x y  
n > m n = m n < m
3 9
0.5 1.5
x y
x y
    
3 9x y  
 1x y  
Infinitas soluções Uma única solução Nenhuma solução
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
 Consistência: existe solução
 
 Consistência: existe solução
n = mn = m n > m
1
3 9
x y
x y
    
3 2 2
3 2 2
x y
x y
     3 2 2x y 
1x y   3 2 2x y  
(-1,0)
(0,1)
(2,3)
3 2 2x y  3 2 2x y 
( , )
(3,0)
3 9x y 
Uma única solução N h l ã I fi it l õUma única solução
Sistema possível e determinado
Nenhuma solução
Sistema impossível
Infinitas soluções
Sistema possível e indeterminado
Sistema de equações lineares
 Consistência (três equações e três incógnitas):
Sistema de equações lineares
( q ç g )
Consistente
Inconsistente
Sistema de equações lineares
 Sistemas singulares e mal condicionados
Sistema de equações lineares
 Sistemas singulares e mal condicionados
3 2 2x y    15.0 21 xx   1.146.0 21 xx3 2 2
y
x y
    

 22 21
21
xx 

 125.0 21
21
xx
3 2 2x y  
3 2 2x y 
Nenhuma solução Infinitas soluções Mal condicionados
Sistema singular Sistema singular
Sistema de equações lineares
 Sistemas singulares e mal condicionados
Sistema de equações lineares
 Sistemas singulares e mal condicionados
3 2 2x y    15.0 21 xx   1.146.0 21 xx3 2 2
y
x y
    

 22 21
21
xx 

 125.0 21
21
xx
3 2 2x y  
3 2 2x y 
Nenhuma solução Infinitas soluções Mal condicionados
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
F t i i l
11 12 1... na a a   1
b   1
x  
 Forma matricial
Ax b 21 22 2
1 2
...
...
na a a
a a a
      
A   
2b
b
      
b 
2
nx
x
      
x onde
1 2 ...n n nna a a  nb  n 
Se b = 0  sistema homogêneo  solução trivial 
S b 0 i t ã h êSe b  0  sistema não homogêneo
 Para obter solução algébrica:
1 1 1    A Ax A b x A b onde A-1 é a inversa de A  A Ax A b x A b onde A 1 é a inversa de A
Sistema de equações linearesSistema de equações lineares
Fó l l éb i d ã ál l d i Fórmula algébrica padrão para cálculo da inversa:
1 adj( ) det( )tA A A onde det(A) é o determinate de A e adj(At) é oadj( ) det( )A A A onde det(A) é o determinate de A e adj(A ) é o 
adjunto da transposta de A (matriz composta 
pelos cofatores)
Se det(A) = 0  A não tem inversa (singular)  não existe solução única para x
Se det(A)  0  existe solução única para x( ) ç p
 Cálculo de A-1 ineficiente (necessita muitas operações). 
Entretanto, importante!
Regra de CrammerRegra de Crammer
)'det(A j
)det(
)(
A
x jj 
 Determinante não nulo para que exista solução
 Se uma ou mais linhas ou colunas de A forem idênticas ou 
linearmente dependentes determinante é nulolinearmente dependentes, determinante é nulo.
 Exemplo   532 21 xx Exemplo 

 344 21
21
xx
 Método ineficiente para solução de sistemas de ordem 
maior que 2maior que 2
Matrizes especiaisMatrizes especiais
M t i di l 0 i j Matriz diagonal, aij=0 para ij
11 0 ... 0a  
220 ... 0
0 0 ...
a
a
      
A   
0 0 ... nna 
 Solução trivial de se aij  0
1 1 11x b a
Ax b
1 1 11
2 2 22x b a

n n nnx b a
Matrizes especiaisMatrizes especiais
M t i t i l i 0 i j Matriz triangular superior: aij = 0 se i > j
11 1 12 2 13 3 1 1................... n na x a x a x a x b        
11 12 1
22 2
...
0 ...
n
n
a a a
a a
     A   
22 2 23 3 2 2
33 3 2 3
 ...................
 ...................
n n
n n
a x a x a x b
a x a x b
      
    


0 0 ... nna
   
  
 

1, 1 1 1, 1 1 n n n n n n na x a x b
a x b
     
      
 Solução regressiva
 nn n na x b
n n nnx b a
 1 1 1 1 1n n n n n n nx b a x a   1 1 1, 1, 1n n n n n n nx b a x a    
…
Matrizes especiaisMatrizes especiais
S l ã i Solução regressiva
n n nnx b a
 1 1 1, 1, 1n n n n n n nx b a x a      
…
 Exemplo:
1 2 3
2 3
3 6 9 3
 2 2 2
x x x
x x
      2 3
3 4 2x
  
Matrizes especiaisMatrizes especiais
S l ã i Solução regressiva
n n nnx b a
 1 1 1, 1, 1n n n n n n nx b a x a      
…
 Fórmula geral:
1
1 2 1 , ,...,
j n
i i ij j ii
j i
x b a x a i n n

 
        1j i 
Solução regressiva AlgoritmoSolução regressiva - Algoritmo
function x = ElimTS(a,b)
% A funcao resolve um sistema de equacoes lineares q
[a][x]=[b] em que a e uma 
% matriz na forma triangular superior
% Variaveis de entrada:
% a Matriz de coeficientes, forma triangular superior., g p
% b Um vetor coluna com as constantes.
% Variaveis de saida:
% x Um vetor coluna com a solucao.
ab=[a,b];
[R,C]=size(ab); % C=R+1 na matriz 
aumentada
x = zeros(R,1);
x(R) = ab(R,C)/ab(R,R);
for i = R-1:-1:1
soma(i)= 0;( )
for j=i+1:n
soma(i)=soma(i)+ab(i,j)*x(j);
end
% ab(i,i+1:R)*x(i+1:R); %multiplicacao matricial => ( ) ( ) p
escalar com a soma
x(i)=(ab(i,C)-soma(i))/ab(i,i);
end
Matrizes especiaisMatrizes especiais
M t i t i l i f i 0 i j Matriz triangular inferior: aij=0, i<j
 00   bxa 1111 






 aa
a



2221
11
0
00
A







bxaxaxa
bxaxa
3333232131
2222121
1111
 
 


 nnnn aaa 21


  nnnnnnn bxaxaxaxa 

332211
 
 Solução progressiva
1 1 11x b a
 2 2 21 1 22x b a b a   2 2 21 1 22
…
Matrizes especiaisMatrizes especiais
S b tit i ã i l Substituição progressiva – regra geral:
1 1 11x b a
1
1
 2,3,...,
j i
i i ij j ii
j
x b a b a i n
 

      1j 
Operações elementares nas linhasOperações elementares nas linhas
M t i t d   Matriz aumentada:
 
11 12 1 1
21 22 2 2
...
...
 
n
n
a a a b
a a a b
     A b    
1 2 4 ( 1)
...n n nn n na a a b  
   
   
 As seguintes operações podem ser aplicadas às 
õ i di id i lt l ã d i tequações individuais sem alterar a solução do sistema:
 Trocar a posição de quaisquer 2 linhas (equações)
 Multiplicar uma linha (equação) por um escalar  0 Multiplicar uma linha (equação) por um escalar  0
 Trocar uma linha pela soma desta com um múltiplo escalar de 
outra linha
Operações  resolução de problemas de álgebra linear
Sistema de equações lineares
 Independência
Sistema de equações lineares
 Nenhuma das equações é derivada de outra
E i lê i Equivalência
 Dois sistemas são equivalentes se têm a mesma solução
 Métodos de solução
 Diretos: eliminação algébrica, solução exataç g , ç
 Eliminação Gaussiana
 Eliminação de Gauss-Jordan
 Decomposição LU Decomposição LU
 Iterativos: estimativa inicial
 Interação de Gauss-Seidel
I t ã d J bi Interação de Jacobi
Eliminação GaussianaEliminação Gaussiana
D d t t l t d d t ê õ Depende totalmente do uso das três operações 
elementares nas linhas
 Matriz aumentada matriz triangular superior Matriz aumentada  matriz triangular superior
Coeficiente pivô
a x a x a x b   b 
Equação pivô
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
a x a x a x b
a x a x a x b
b
           
11 12 13 1
21 22 23 2
a a a b
a a a b
     
A
31 1 32 2 33 3 3a x a x a x b       31 32 33 3a a a b  
=m a a
Multiplicadores:
21 21 11= m a a
31 31 11m a a
Eliminação GaussianaEliminação Gaussiana
11 1 12 2 13 3 1a x a x a x b      11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
            
 equação 2 = equação 2 - equação 1 * m21 21 21 11= m a a
 
11 12 13 1
21 21 21 21
21 11 22 12 23 13 1 1
a a a b
a a a aa a a a a a b b
        A L2 L2 – m21  L1
11 11 11 11
31 32 33 3
a a a a
a a a b
    
11 12 13 1
1 22 23 20 ' ' '
a a a b
a a b
    A 1 22 23 2
31 32 33 3a a a b
   
Eliminação GaussianaEliminação Gaussiana
 equação 3 = equação 3 - equação 1 * m31 31 31 11m a a
11 12 13 1a a a b
     22 23 1
31 31 31 31
31 11 32 12 31 13 3 3
0 ' ' 'a a b
a a a aa a a a a a b b
a a a a
         
A
L3 L3 – m31  L1
11 11 11 11a a a a  
11 12 13 1
0 ' ' '
a a a b
b
  A 22 23 2
32 33 3
0 ' ' '
0 ' ' '
a a b
a a b
     
A
 Redução dos campos da primeira coluna, exceto a11 (o 
elemento pivô), a zeroelemento pivô), a zero
Procedimento da Eliminação GaussianaProcedimento da Eliminação Gaussiana
Conjunto inicial de equacoes Passo 1 
           11 12 13 14 1 1
21 22 23 24 2 2
31 32 33 34 3 3
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
                  
12 13 11 4
21
1
 
'
a a a
a
a   
22 23 24
31
' ' '
'
a a a
a 32 33 34' ' 'a a a1 1
2 2
3 3
'
'
x b
x b
x b
                          41 42 43 44 4 4a a a a x b         41'a 4 442 43 44 '' ' ' x ba a a
           
 Passo 2 Passo 3
11 12 13 14
23 24
3
22
2
0
0
' ' '
''
a a
a a
a
a
a a
33 34'' ''a a
1 1
2 2
3 3
'
''
x b
x b
x b
                         
11 12 13 14
22 23 24
3433
0
0 0
' ' '
''''
a a a a
a a a
aa
1 1
2 2
3 3
'
''
x b
x b
x b
                         
420 ''a 4 443 44 '''' '' x ba a
            340 0 '' 'a
3 3
44 4 4''' '''a x b
           
Equacoes na forma triangular superior
11 12 13 14 1 1
22 23 24 2 2
33 34 3 3
0
0 0
' ' ' '
'' '' ''
a a a a x b
a a a x b
a a x b
                         33 34 3 3
44 4 40 0 0 '' ''a x b
          
Eliminação GaussianaEliminação Gaussiana
E l 2 3 5x x x 1  Exemplo 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
4 4 3 3
2 3 1
x x x
x x x
x x x
         
1
2
3
      
x
1 2 3  





 513251325132





























15500
7120
6260
7120
1132
3344~A

Procedimento da Eliminação GaussianaProcedimento da Eliminação Gaussiana
P i i i ô ( 0) Para o primeiro pivô a11 (a11  0):
1 1 1 1 11 2,3,... i i i i iL L m L m a a i n   
 Para o segundo pivô a22 (a22  0):
2 2 2 2 22 3, 4,... i i i i iL L m L m a a i n   
 Logo, para o pivô ajj (ajj  0): 
L L m L m a a  i i ij j ij ij jjL L m L m a a  
1 2 1 2 1, ,..., ; , ,...,i j j n j n    
Algoritmo para Eliminação GaussianaAlgoritmo para Eliminação Gaussiana
function x = Gauss(a,b)
% A funcao resolve um sistema de equacoes lineares [a][x]=[b] usando o
% metodo de eliminacao de Gauss
% Variaveis de entrada:
% a Matriz de coeficientes.
% b U l% b Um vetor coluna com as constantes.
% Variaveis de saida:
% x Um vetor coluna com a solucao.
b [ b] % t i t dab = [a,b]; %matriz aumentada
[R, C] = size(ab); %C=R+1 na matriz aumentada
for j = 1:R-1 %loop para equação pivo
for i = j+1:R %operacao nas linhas
b(i j C) b(i j C) b(i j)/ b(j j)* b(j j C)ab(i,j:C) = ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
end
end
x = zeros(R,1);
(R) b(R C)/ b(R R)x(R) = ab(R,C)/ab(R,R);
for i = R-1:-1:1
x(i)=(ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i); %multiplicacao matricial => escalar
end
Eliminação de GaussEliminação de Gauss
Difi ld d Dificuldades
 Elemento pivô zero
 Elemento pivô pequeno Elemento pivô pequeno
 Pivotação Pivotação
 Troca da linha pivô por outra linha 
 Exemplo
8 2 7x x 3 5 2 8  4 2 3
1 2 3
8 2 7
3 5 2 8
6 2 8 26
x x
x x x
x x x
        
3 5 2 8
0 8 2 7
0 0 6 3
      
A
4
1
0,5
      
x
1 2 36 2 8 26x x x    0 0 6 3   0,5  
Eliminação de GaussEliminação de Gauss
 Elemento pivô é pequeno em relação aos demais elementos da p p q ç
linha pivô
1 20.0003 12.34 12.343x x   10 1 t
 Método de Gauss com precisão de 4 algarismos significativos
1 2
1 20.4321 5.321x x
    10 1
tx
 Método de Gauss com precisão de 4 algarismos significativos
21 21 11 0.4321 0.0003 1440m a a   1 20.0003 12.34 12.343
0 0001 17770 17760
x x
x x
  
S b tit i ã i ( i d )
1 20.0001 17770 17760x x  
 Substituição regressiva (aproximando a12 para zero)
 x2=0.9994 e x2=33.15
Eliminação de GaussEliminação de Gauss
Pi t ã ( i ô 0) Pivotação (pivô  0)
1 20.4321 5.321x x 1 20.0003 12.34 12.343x x 
1 20.0003 12.34 12.343x x
  1 20.4321 5.321x x  
21 0.0003 0.4321 0.0006943m   1 2
1 2
0.4321 5.321
0 12.34 12.343
x x
x x
   
 Solução: x1=10 e x2=0.1, ou seja, a solução exata
Mudança de EscalaMudança de Escala
C fi i t d d d dif t Coeficientes com ordem de grandeza diferente
E it d d d t Evitar erros de arredondamento
 Normalização dos elementos da linha de modo que o 
maior coeficiente seja 1
 Novos coeficientes servem como critério para o 
pivotamentopivotamento
 Recomenda-se manter os coeficientes originais para evitar erros 
de arredondamento
Mudança de EscalaMudança de Escala
  10000010000002 21 xx x = 1 00002 e x = 0 999980
1) Sem mudar a escala aplica se a eliminação de Gauss
  221 xx
x1 1,00002 e x2 0,999980
1) Sem mudar a escala, aplica-se a eliminação de Gauss
  10000010000002 21 xx x1 = 0,00 e x2 = 1,00  5000050000 2x
1 , 2 ,
2) Mudando a escala das equações originais
  100002,0 21 xx   221 xx   221 xx  221 xx 

 100002,0 21
21
xx 

 12
21
xPivotação Eliminação
x1 = x2 = 1,00
Mudança de EscalaMudança de Escala
  10000010000002 21 xx x = 1 00002 e x = 0 999980
3) Mudando a escala mas mantendo os coeficientes originais
  221 xx
x1 1,00002 e x2 0,999980
3) Mudando a escala, mas mantendo os coeficientes originais
  100002,0 21 xx   221 xx 
  221 xx
  221 xx Pivotação Eliminação
1 00
  1000001000002 21
21
xx   100000100000 2x
 Caso sejam mantidos os coeficientes escalonados erros de
x1 = x2 = 1,00
 Caso sejam mantidos os coeficientes escalonados, erros de 
arredondamento podem ocorrer
000003330000006670  xx13000002 21  xx 00000333,000000667,0 21  xxEscalonamento
Eliminação de GaussEliminação de Gauss
O ál l é i ã t Os cálculos numéricos são menos propensos a erros e apresentam 
menos erros de arredondamento se o elemento pivô possuir um 
valor numérico absoluto grande em comparação com os demais 
elementos na mesma linha  multiplicador pequeno
 Arranjar equações (cada vez que uma nova equação pivô é Arranjar equações (cada vez que uma nova equação pivô é 
utilizada)  equação pivô tenha o maior elemento pivô possível
(valor absoluto)
 Além disso, é sempre bom aplicar pivotação para se ter um 
elemento pivô com o maior valor possível (mesmo quando a e e e to p ô co o a o a o poss e ( es o qua do a
pivotação não for necessária).
Eliminação de Gauss JordanEliminação de Gauss-Jordan
Si t i l t f di l l t Sistema equivalente na forma diagonal, com elementos 
normalizados
 A matriz dos coeficientes é transformada em uma matriz A matriz dos coeficientes é transformada em uma matriz 
identidade
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
a a a x b
a a a x b
               
1 1
2 2
1 0 0 '
0 1 0 '
x b
x b
               21 22 23 2 2
31 32 33 3 3a a a x b
               
2 2
3 30 0 1 'x b
               
Eliminação de Gauss JordanEliminação de Gauss-Jordan
 Idêntico ao procedimento de eliminação de Gauss Idêntico ao procedimento de eliminação de Gauss, 
exceto pelas duas diferenças a seguir:
 A equação pivô é normalizada com a divisão de todos os seus q ç p
termos pelo coeficiente pivô  coeficiente pivô igual a 1.
 A equação pivô é utilizada na eliminação dos elementos fora da 
diagonal principal em todas as demais equações.g p p q ç
 Gauss-Jordan também pode ser utilizado para resolver 
vários sistemas de equações que tenham a mesma 
matriz de coeficientes, mas diferentes vetores b
 Gauss-Jordan pode ser usado para calcular a inversa
Eliminação de Gauss JordanEliminação de Gauss-Jordan
E l Exemplo
1 2 3 44 2 3 6 12x x x x   
1 2 3 4
1 2 3 4
6 7 6.5 6 6.5
7.5 6.25 5.5 16
12 22 15 517
x x x x
x x x x
x x x x
             1 2 3 412 22 15.5 17x x x x    
1 0 0 0 2 2
0 1 0 0 4 4
              A x

0 0 1 0 3 3
0 0 0 1 0.5 0.5
          
A x
Eliminação de Gauss JordanEliminação de Gauss-Jordan
Cál l d i ét d d G J d Cálculo da inversa com o método de Gauss-Jordan
11 12 13 14 11 12 13 14' ' ' '1 0 0 0 1 0 0 0
' ' ' '0 1 0 0 0 1 0 0
a a a a a a a a
a a a a a a a a
         21 22 23 24 21 22 23 24Gauss-Jordan
31 32 33 34 31 32 33 34
41 42 43 44 41 42 43 44
' ' ' '0 1 0 0 0 1 0 0
' ' ' '0 0 1 0 0 0 1 0
' ' ' '0 0 0 1 0 0 0 1
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
               41 42 43 44 41 42 43 440 0 0 1 0 0 0 1a a a a a a a a   
Métodos IterativosMétodos Iterativos
It ã d J bi Iteração de Jacobi
 Iteração de Gauss-Seidel
 Forma explícita de um sistema de equações lineares
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa

  
  2242432312122
1141431321211
)(
)(
axaxaxabx
axaxaxabx


4444343242141
3434333232131
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa

  
  4434324214144
3343423213133
)(
)(
axaxaxabx
axaxaxabx


 Estimativa inicial  iterações  convergência
Métodos IterativosMétodos Iterativos
E i t õ õ lí it Em sistema com n equações, as equações explícitas para as 
incógnitas xi são:
 
nixab
a
x
nj
ij
j
jiji
ii
i ,...,2,1 
1
1

















 

 Em forma matricial:
       
 
1 12 11 13 11 1 11 1 1 11
2 21 22 23 22 2 22 2 2 22
3 31 33 32 33 3 33 3 3
0
0
0
n
n
n
x a a a a a a x b a
x a a a a a a x b a
x a a a a a a x b a
                                 


 33
     3 31 33 32 33 3 33 3 3
1 2 3 0
n
n n nn n nn n nn nx a a a a a a x
                      
F
      

33
n nnb a
    
d


F d
onde aii0 e i=1,2,...,n
Métodos IterativosMétodos Iterativos
E f t i i l Em forma matricial:
1 12 11 13 11 1 11 1 1 11
2 21 22 23 22 2 22 2 2 22
0
0
n
n
x a a a a a a x b a
x a a a a a a x b a
                   


   2 21 22 23 22 2 22 2 2 22
3 31 33 32 33 3 33 3 30
0
n
nx a a a a a a x b a
x a a a a a a x
                                  

      

33
b a
      

1 2 3 0n n nn n nn n nn nx a a a a a a x            
F
 n nnb a
  
d

onde aii0 e i=1,2,...,n
 Iterações
ii , , ,
(0) (1)
(1) (2) ( ) ( 1)i i
 
    
Fx d x
Fx d x Fx d x
(2) (3) Fx d x
Condição para convergênciaCondição para convergência
C di ã fi i t ê i Condição suficiente para convergência
1 e 1 




x
v
x
v
x
u
x
u
2121  xxxx
121)(
ab
 Explicitando as equações
1
212
21
2
11
12
11
1
21
),(
),(
xabxxv
x
aa
xxu


1
2222
21 ),( xaa
xxv
 auu Derivadas parciais
0
 0
21
11
12
21




vav
a
a
x
u
x
u
0 
2221  xax
Condição para convergênciaCondição para convergência
S b tit i d di õ fi i t Substituindo nas condições suficientes para 
convergência
1 1
22
21
11
12 
a
a
a
a 21221211 aaaa 
E t ã õ Extensão para n equações
j n
a a

 
1, 1
ii ij
j j
a a
 
 
Condição para convergênciaCondição para convergência
D i â i di l Dominância diagonal
j n
1, 1
j
ii ij
j j
a a
 
 
 Condição suficiente mas não necessária para a 
convergência do método iterativo
Convergência x Divergência Gauss SeidelConvergência x Divergência – Gauss-Seidel
99911 :),(
2861311 :),(
2121
2121


xxxxv
xxxxu
Método Iterativo de JacobiMétodo Iterativo de Jacobi
 Valores das incógnitas do lado direito da equação são atualizados Valores das incógnitas do lado direito da equação são atualizados 
todos de uma vez no final de cada interação
 
nixab
a
x
nj
ij
j
i
jiji
ii
i ,...,2,1 
1
1
)()2( 
















 

 (k+1)-ésima estimativa 
1 j n
    ( 1) ( )
1
1 1,2,...,
j n
k k
i i ij j
jii
j i
x b a x i n
a


          

 Critério de convergência:
( 1) ( )
1 2
k k
i ix x i n
   ( ) 1,2,...,k
i
i n
x
 
Método Iterativo de JacobiMétodo Iterativo de Jacobi
E l l ti á i d 0 052 1x x  Exemplo erro relativo máximo de 0.051 2
1 2
2 1
2 3
x x
x x
   
 Forma explícita:
( )
( 1) 2
1
1
2
k
k xx  
( )
( 1) 1
2
3
2
k
k xx  
 O erro de arredondamento não tem tanta influencia no 
l fi l já f i f id ti ti i i i lvalor final, já que foi fornecida uma estimativa inicial 
arbitrária
Método Iterativo de JacobiMétodo Iterativo de Jacobi
U d l 1 22 3x x  Usando o mesmo exemplo: 1 2
1 2
2 3
2 1
x x
x x
  
 Porém com outra forma explícita: 23
)()1(
)(
2
)1(
1 
kk
kk xx
 Solução diverge
12 )(1
)1(
2  kk xx
 O método interativo depende das equações iniciais que 
d t i t i Fdeterminam a matriz F
Método Iterativo de JacobiMétodo Iterativo de Jacobi
C ité i d ê i Critério de convergência
 

 
21
12



12
21
versus
dominante Não-dominante
converge Não converge
Método Iterativo de Gauss SeidelMétodo Iterativo de Gauss-Seidel
À did l i ó it é À medida que um novo valor para a incógnita é 
calculado, ele é imediatamente usado na próxima 
aplicação da equação geralaplicação da equação geral
 Diferença em relação a Jacobi
Método Iterativo de Gauss SeidelMétodo Iterativo de Gauss-Seidel
Fó l it ti Fórmula iterativa
( 1) ( )1 j nk k    ( 1) ( )1 1 1
211
1k k
j j
j
x b a x
a


       
1
( 1) ( 1) ( )1 2,3,..., 1
j i j n
k k k
i i ij j ij jx b a x a x i na
  
             1 1j j iiia      
  1( 1) ( 1)
1
1 j nk k
n n nj j
jnn
x b a x
a
 
 

        
Método Iterativo de Gauss SidelMétodo Iterativo de Gauss-Sidel
E l l ti á i d 0 052 1x x  Exemplo erro relativo máximo de 0.051 2
1 2
2 1
2 3
x x
x x
   
 Forma explícita:
( )
( 1) 2
1
1
2
k
k xx  
( )
( 1) 1
2
3
2
k
k xx  
Métodos iterativosMétodos iterativos
C ã t ét d it ti d J bi Comparação entre os métodos iterativos de Jacobi e 
Gauss-Seidel
Jacobi Gauss-Seidel
Interação x1 erro x2 erro x1 erro x2 erro
1 0.5 --- 1.5 --- 0.5 --- 1.25 ---
2 1.25 1.5 1.25 0.17 1.125 1.25 0.938 0.25
3 1 125 0 10 0 875 0 3 0 969 0 14 1 016 0 083 1.125 0.10 0.875 0.3 0.969 0.14 1.016 0.08
4 0.938 0.16 0.938 0.07 1.008 0.04 0.996 0.02
5 0.969 0.03 1.031 0.1 --- --- --- ---
Algoritmo para Iteração de Gauss SeidelAlgoritmo para Iteração de Gauss-Seidel
k = 1; x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0;k 1; x1 0; x2 0; x3 0; x4 0;
disp(' k x1 x2')
fprintf(' %2.0f %-8.5f %-8.5f \n', k, x1, x2)
for k=2 : 5
1 (1 2)/2x1 = (1+x2)/2;
x2 = (3-x1)/2;
fprintf(' %2.0f %-8.5f %-8.5f \n', k, x1, x2)endend
Relaxamento Aprimoramento da convergênciaRelaxamento - Aprimoramento da convergência
velhonovonovo )1( 
 0 <  < 2
velho
i
novo
i
novo
i xxx  )1( 
  = 1: resultado não é modificado
 0 <  < 1: sub-relaxamento
 Sistema não-convergente passa a convergir
 Acelerar convergência
 1 <  < 2: sobre-relaxamento
A l ê i d i t já t Acelerar a convergência de um sistema já convergente
Sistemas mal condicionadosSistemas mal condicionados
I li õ i i Inclinações quase iguais
  102 21 xx 3;4 21  xx  4.1021.1 21 xx
  102 21 xx 1;8  xx  4.10205.1 21
21
xx
1;8 21  xx
 Generalizando

 
1
1
11
2
bxax
b








2
1
21
2
12
1
12
2
2222121
1212111
a
bx
a
ax
aa
bxaxa
bxaxa
 2222 aa
Sistemas mal condicionadosSistemas mal condicionados
I li õ i i Inclinações quase iguais
  111
bxax









221
12
1
1
12
11
2
2222121
1212111
bxax
a
x
a
x
bxaxa
bxaxa


22
1
22
2 a
x
a
x
 Se as inclinações forem quase iguais
021122211211222112111  aaaaaaaaaa 02112221121122211
2212
 aaaaaaaa
aa
Determinante do sistema 
de 2 equaçõesq ç
Determinante  0
Sistema de equações lineares mal condicionados
Ax b
Sistema de equações lineares mal condicionados
3.0210 2.7140 6.9130
1.0310 4.2730 1.1210
     
A
12.648
2.1210
     
b
1.0000
1.0000
    x
5.0840 5.8320 9.1550   8.4070   1.0000
   
Ax b Se a22 = -4.2750
1.7403
0.6851
    x
Sistema mal condicionado !
2.3212
   
 Dois planos no espaço quase paralelos
 Pequena mudança em aij, grande variação na resposta
  mal condicionado
 Pequena mudança em aij pequena variação na resposta Pequena mudança em aij, pequena variação na resposta
  bem condicionado
Mal condicionamento
 Erro relativo da solução numérica
Mal condicionamento
Erro relativo da solução numérica
1
1
1
TS

  
r e r
A A
b x bA A TS NS e x x
NS r b Ax
onde e são respectivamente a solução exata e a solução numérica
TS
TSx NSx
TS NS
. 
 Definindo o número de condição
Nú d di ã l d li i t l d
1( )cond A A A
 Número de condição elevado amplia o intervalo do erro 
relativo, enquanto que um baixo número de condição 
limita esse intervalo, ou seja, significa um menor erro a esse e a o, ou seja, s g ca u e o e o
relativo.
Algumas observações sobre o número de condição:Algumas observações sobre o número de condição:
O d di ã d t i id tid d é i l 1 d di ã d O numero de condição da matriz identidade é igual a 1, e o numero de condição de 
qualquer outra matriz é maior ou igual a 1.
 Quando o numero de condição se iguala a 1, o erro relativo real tem a mesma ordemQuando o numero de condição se iguala a 1, o erro relativo real tem a mesma ordem 
de grandeza do resíduo relativo. Portanto, o ideal para um bom condicionamento é 
que o numero de condição seja igual a 1. À medida que o número de condição 
aumenta o sistema torna-se mal condicionadoaumenta, o sistema torna se mal condicionado.
 Se o numero de condição for muito maior que 1 então um pequeno resíduo relativo 
não necessariamente implica em um pequeno erro relativo real (mal 
condicionamento).
 Para uma dada matriz, o valor do numero de condição depende da norma matricial 
tili d d i ã d t d L áti dutilizada e da precisão do computador. Logo, na prática, deve-se preocupar apenas 
com o fato de o numero de condição ser muito maior que 1 ou não, e não com o seu 
valor exato.
ExercíciosExercícios
Explore cada exercício, fazendo 
cálculos para diferentes propriedadescálculos para diferentes propriedades, 
entradas variáveis, faça gráficos etc !
Exercício
Cascata de reatores CSTR isotérmicos, fase líquida, estado estacionário
Exercício
CA0
qAO
qA3
CA1
qAO C
qA4
V1
CA1
k1
qAO
V
CA2
qAO+qA3 CA3k1 V2
CA2
k2 V3
CA3
qAO+qA3+qA4 CA4
qAO+qA4A3
k3 V4
CA4
k4
qAO qA4
ik
A Ar kC


A b
Calcular as concentrações de A em cada reator. O sistema é bem condicionado?
Exercício (cont )
Cascata de reatores CSTR isotérmicos, fase líquida, estado estacionário
Exercício (cont.)
Reator Volume Vi, L ki, h-1
1000 L/h C 1mol/Lq  
1 1000 0.1
2 1500 0.2
3 100 0.4
0 A0
3
1000 L/h, C 1 mol/L, 
100 L/h,
100 L/h
A
A
q
q
q
 


4 500 0.2
4 100 L/h,Aq 
 Não há variação de densidade ou volume do líquido
 Estado estacionário
Entra – Sai + Gerado – Consumido = Acúmulo = 0
Exercício (cont )
Cascata de reatores CSTR isotérmicos, fase líquida, estado estacionário
Exercício (cont.)
Para o reator 1: 10 0 0 1 1 1 1 0AA A A A A
VdCq C q C k C V
dt
   
q C q C k C V 0 0 0 1 1 1 1A A A A Aq C q C k C V 
Para o reator 2:  0 1 3 3 0 3 2 2 2 2 0A A A A A A A Aq C q C q q C k C V    
Para o reator 3:    0 3 2 4 4 0 3 4 3 3 3 3A A A A A A A A A Aq q C q C q q q C k C V     
Para o reator 4:    0 3 3 4 3 0 4 4 4 4 4A A A A A A A A Aq q q q C q q C k C V        0 3 3 4 3 0 4 4 4 4 4A A A A A A A A Aq q q q q q
Substituindo os valores
0 1 11000 1000 0,1 1000A A AC C C 
1 3 2 21000 100 1100 0,2 1500 0A A A AC C C C   
1100 100 1200 0 4 100C C C C  2 4 3 31100 100 1200 0,4 100A A A AC C C C  
3 4 41100 1100 0,3 500A A AC C C 
Exercício (cont )
Cascata de reatores CSTR isotérmicos, fase líquida, estado estacionário
Exercício (cont.)
Rearrumando,
11100 1000AC 
1 2 3
2 3 4
1000 1400 100 0
1100 1240 100 0
1100 1250 0
A A A
A A A
C C C
C C C
C C
  
  
3 41100 1250 0A AC C 
Montando o sistema linear
1100 0 0 0
1000 1400 100 0
   
1000
0
    d(A)
Montando o sistema linear,
1000 1400 100 0
0 1100 1240 100
0 0 1100 1250
A
     
0
0
0
b      
cond(A)=
Trem de separação no estado estacionário
7% xileno
4% estireno
54% tolueno
Trem de separação no estado estacionário
D1
35% benzeno
D
15% xileno
25% ti
18% xileno
24% estireno
42% tolueno
16% benzeno
B1
25% estireno
40% tolueno
20% benzeno 15% xileno
10% estireno
54% t l
D2
FT = 70kgmol/min
54% tolueno
21% benzeno
B
24% xileno
65% estireno
10% toluenoB
a) D1, D2, B1, B2 = ?
b) D, B = ?
79
10% tolueno
1% benzeno
B2
Trem de separação no estado estacionário
Solução:
Balanços materiais nos componentes individuais:
Trem de separação no estado estacionário
Balanços materiais nos componentes individuais:
Xileno: 7015,024,015,018,007,0 2211  BDBD
Estireno:
Tolueno:
7025,065,010,024,004,0 2211  BDBD
70400100540420540  BDBDTolueno:
Benzeno:
7040,010,054,042,054,0 2211  BDBD
7020,001,021,016,035,0 2211  BDBD




 65,010,024,004,0
24,015,018,007,0
A 70
25,0
15,0
7025,0
7015,0








b bA 1






01,021,016,035,0
10,054,042,054,0
A 70
20,0
40,0
7020,0
7040,0











 
b bAx 1
80
Solução: D1=26,25 B1=17,5 D2=8,75 B2=17,5
Troca térmica em uma série de tanquesq
Três tanques em série são usados para pré-aquecer uma solução 
multicomponente que será alimentada a uma coluna de destilação 
para separação. As condições de processo são dadas a seguir.
vapor vapor vapor
para separação. As condições de processo são dadas a seguir. 
Qual a temperatura em cada tanque no estado estacionário?
T0=20 oC
vapor
T1
vapor vapor
T2 T30
W1=100kg/min T1
1
T2 T3
2 3
0 1 11 ( ) ( )
( ) ( )
stW Cp T T U A T TdT
dt M Cp
W C T T U A T TdT
       
o10 kJ/min. C
100 kg/min
1000 k
U A
W
 

1 2 22
3 2 3 3
( ) ( )
( ) ( )
st
st
W Cp T T U A T TdT
dt M Cp
dT W Cp T T U A T T
       
      
o
0
o
1000 kg
20 C
250 C
M
T
T



81
3 3 3st
dt M Cp
 250 CstT 
Troca térmica em uma série de tanques
No estado estacionário, dTi/dt=0, então Rearrumando,
q
0 1 1
1 2 2
2 3 3
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
st
st
W Cp T T U A T T
W Cp T T U A T T
W Cp T T U A T T
       
       
       
1 0
1 2
( )
( )
( )
st
st
T W Cp U A W Cp T U A T
W Cp T T W Cp U A U A T
W Cp T T W Cp U A U A T
         
          
        2 3 30 ( ) ( )stW Cp T T U A T T 2 3 ( ) stW Cp T T W Cp U A U A T          
Na forma matricial, 
0 0
( ) 0
W Cp U A
W Cp W Cp U A
          A
0 st
st
W Cp T U A T
U A T
          b
0 ( )W Cp W Cp U A
        stU A T
    
Portanto,,
1T A b
82
TreliçasTreliças
Treliça é o nome de uma estrutura feita de várias vigas unidas pelasç g p
extremidades (em junções ou nós, considerados pontuais nos cálculos
teóricos). No caso da treliça mostrada na figura, as forças que agem nas sete
vigas são determinadas resolvendo-se o sistema de equações a seguir:
2000 N 3000 N 
2 6
73 5
1
P d D t i f F F
4
Pede-se: Determine as forças F1 a F6.
Sistema de reatores químicosSistema de reatores químicos
 Balanço de massa em um único reator: Balanço de massa em um único reator:
Estacionário: entra = sai
3332211 5,31550 ccQcQcQ  3332211 ,QQQ
Sistema de reatores químicosSistema de reatores químicos
 Balanço de massa em reatores interligados: Balanço de massa em reatores interligados:

 506 31 cc



 

1609
16033
32
21
cc
cc


 

043
02118
521
5432
ccc
cccc
Sol ção  51110017061951115111CSolução:  51,1100,1706,1951,1151,11C
Sistema massa molaSistema massa-mola
FFxdm 
2
UD FFdt
m 2
FF
No estacionário:
UD FF 
Sistema massa molaSistema massa-mola
Di d li d Diagrama de corpo livre para cada massa
  gmkxkx 121 23





gmkxkx
gmkxkxkx
gmkxkx
332
2321
121
32
3
 g332
2
321 /10 5,2 3 2 skgkkgmkgmkgm 
Solução: 495,12 045,10 35,7 321  xxx