Lista 13

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Lista 13
Ca´lculo B
29 de agosto de 2017
Exercı´cio 1 Calcule as integrais de linha:
a)
∫
C
2xds, em que C = C1∪C2, com C1 arco da curva y = x2 ligando o ponto (0, 0) ao ponto (1, 1),
e C2 o segmento de reta ligando o ponto (1, 1) ao ponto (1, 2).
b)
∫
C
xy4ds, em que C e´ a metade direita do cı´rculo x2 + y2 = 16.
c)
∫
C
z + y2ds, em que C e´ o segmento de reta ligando o ponto (3, 4, 0) ao ponto (1, 4, 2).
d)
∫
C
xeyzds, em que C e´ o segmento de reta ligando a origem ao ponto (1, 2, 3).
Exercı´cio 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a:
a) ~F(x, y) = x~i+ (y+ 2)~j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r(t) = (t− sin t)~i+
(1 − cos t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
b) ~F(x, y) = ey~i− sin(pix)~j sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta os
pontos (1, 0), (0, 1), (−1, 0), na ordem indicada.
c) ~F(x, y, z) = (x + y)~i + (y + z)~j + (x + z)~k sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta
ligando a origem ao ponto (1, 2, 4).
d) ~F(x, y, z) = −y~i + x~j + z~k sobre um objeto que se move sobre a he´lice r(t) = cos t~i + sin t~j + t~k,
0 ≤ t ≤ 2pi.
Exercı´cio 3 Calcule:
a)
∫
C
(x− y)dx+ xydy, em que C e´ o arco do cı´rculo x2+ y2 = 4, percorrido no sentido anti-hora´rio,
do ponto (2, 0) ao ponto (0,−2).
b)
∫
C
(x − y2)dx + (y − z2)dy + (z − x2)dz, em que C e´ o segmento de reta ligando o ponto (0, 0, 1)
para o ponto (2, 1, 0).
1
c)
∫
C
dx + dy + dz, em que C e´ a intersec¸a˜o das superfı´cies y = x2 e z = 2 − x2 − y2, x ≥ 0, y ≥ 0,
z ≥ 0, percorrido do ponto (1, 1, 0) ao ponto (0, 0, 2).
d)
∫
C
dx + ydy + dz, em que C e´ a intersec¸a˜o do plano y = x com o parabolo´ide z = x2 + y2, em
z ≤ 2, percorrido do ponto (−1,−1, 2) para o ponto (1, 1, 2).
Exercı´cio 4 Considere o campo vetorial ~F(x, y) = (ax2y + y3 + 1)~i + (2x3 + bxy2 + 2)~j, em que a e
b sa˜o constantes.
a) Determine valores de a e b para os quais ~F e´ um campo conservativo.
b) Para estes valores de a e b, encontre uma func¸a˜o potencial do campo ~F.
Exercı´cio 5 Mostre que o campo vetorial e´ conservativo e encontre uma func¸a˜o potencial. Utilize
esta func¸a˜o e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
∫
C
~Fdr, em que C e´ a
curva indicada:
a) ~F(x, y) = (e2y − 2xy)~i + (2xe2y − x2 + 1)~j; C : r(t) = tet~i + (1 + t)~j, 0 ≤ t ≤ 1.
b) ~F(x, y, z) = yz~i + xz~j + (xy + 2z)~k; C e´ o segmento de reta ligando (1, 0,−2) ao (4, 6, 3).
Exercı´cio 6 Mostre que a integral de linha e´ independente do caminho e calcule a integral.
a)
∫
C
2(x − y)dx + 2(3y − x)dy, em que C e´ qualquer curva ligando o ponto (3, 0) ao (0, 3).
b)
∫
C
(3x2y+ xy2 − 1)dx+ (x3 + x2y+ 4y3)dy; em que C e´ o quadrado com ve´rtices em (0, 0), (1, 0),
(1, 1) e (0, 1), percorridos no sentido anti-hora´rio.
c)
∫
C
eydx+ (xey + ez)dy+ (yez − 2e−2z)dz, em que C e´ qualquer curva ligando o ponto (−1, 0, 0) ao
(1, 1, 1).
Exercı´cio 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a)
∮
C
(y2 − 7y)dx + (2xy + 2x)dy, em que C e´ o cı´rculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no
sentido anti-hora´rio.
b)
∮
C
(y2cosx)dx + (x2 + 2ysenx)dy, em que C e´ o triaˆngulo percorrido do (0, 0) ao (2, 6) ao (2, 0)
ao (0, 0).
2
c)
∮
C
(ex4 + y2)dx + (xy + sin(ln y))dy, em que C e´ o quadrila´tero percorrido do (1, 1) ao (1, 2) ao
(2, 3) ao (2, 1).
d)
∮
C
3xydx + 2y2dy, em que C e´ o arco do cı´rculo x2 + y2 = 4 no primeiro quadrante, do ponto
(0, 2) ao (2, 0).
Exercı´cio 8 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸a ~F(x, y) = (x + ey2)~i + (x3 + 3xy2 +
2xyey2)~j para mover uma partı´cula pela metade superior do cı´rculo x2 + y2 = 4 do ponto (2, 0) ao
(−2, 0).
Exercı´cio 9 Supondo que ~F e´ o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
~F para fora da regia˜o R limitada pela curva C:
a) ~F = y~j; C e´ o quadrado com ve´rtices em (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
b) ~F = y3~j; C e´ o retaˆngulo com ve´rtices em (1, 1), (3, 1), (3, 2), (1, 2).
c) ~F = (6x + y2)~i + (2y − x2)~j; C e´ a elipse x2 + 4y2 = 4.
Respostas:
• 1] a)5
√
5 − 1
6
+ 2; b)
2
5
46; c)34
√
2; d)
√
14
12
(e6 − 1)
• 2] a)2pi2; b)2(2 − e); c)35
2
; d)2pi(1 + pi)
• 3] a)3pi + 2
3
; b)
7
3
; c)0; d)2
• 4] a)a = 6, b = 3; b) f (x, y) = 2x3y + xy3 + x + 2y + C
• 5] a)e5 − 2e2 + 1; b)77
• 6] a)18; b)0; c)2e + e−2
• 7] a)9pi; b) −16; c)16
6
; d)
8
3
• 8] 12pi − 4
• 9] a)1; b)14; c)16pi
3