05 - equacao de schrodinger

Prévia do material em texto

A equação de Schrödinger
Fernando G. Pilotto
UERGS
Recapitulação 
• Partículas com massa, como o elétron, possuem 
momento linear e energia cinética
• Essas partículas estão associadas a uma onda 
cujo comprimento de onda é
m
p
mvK
2
2
2
2
1
==mvp =
p
h
=λ
• Não é possível saber, a cada instante de tempo, 
onde a partícula está.
• Porém, podemos saber qual a probabilidade de 
que ela esteja em algum lugar específico.
• Essa probabilidade é descrita pela onda que 
está associada à partícula.
• Precisamos de um jeito de determinar essa 
onda.
Equação de Schrödinger
Erwin Schrödinger
• Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
nasceu em 12/08/1887 em Viena e faleceu em 
04/01/1961
• O trabalho com a equação de Schrödinger foi 
publicado em 1926
• Recebeu o Prêmio Nobel em 1933
A equação completa
• Função de onda Ψ (relacionada à probabilidade)
• Energia potencial U = U(x,y,z,t)
• m: massa da partícula
),,,(),,,(),,,(
2 2
2
2
2
2
22
tzyxtzyxUtzyx
zyxm
Ψ+Ψ





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
h
pi2
h
=h
),,,( tzyx
t
i Ψ
∂
∂
= h
Energia potencial independente 
do tempo
• Energia potencial U = U(x,y,z)
• A função de onda pode ser escrita como
• E vemos que
tiezyxtzyx ωψ −=Ψ ),,(),,,(
tie
t
izyxtzyx
t
i ωψ −
∂
∂
=Ψ
∂
∂
hh ),,(),,,(
tieiizyx ωωψ −−= )(),,( h
tiezyx ωωψ −= ),,(h
• Na equação de Schrödinger temos
tititi ezyxezyxUezyx
xm
ωωω ωψψψ −−− =+





+
∂
∂
− ),,(),,(),,(
2 2
22
hL
h
),,,(),,,(),,,(
2 2
22
tzyx
t
itzyxUtzyx
xm
Ψ
∂
∂
=Ψ+Ψ





+
∂
∂
− hL
h
),,(),,(),,(
2 2
22
zyxzyxUzyx
xm
ωψψψ hLh =+





+
∂
∂
−
• ω é a frequência angular
• A energia é
• Portanto
• Rearranjando os termos da equação:
),,(),,(),,(
2 2
22
zyxEzyxUzyx
xm
ψψψ =+





+
∂
∂
− L
h
fpiω 2=
ωpi
pi
h=== fhhfE 2
2
h/),,(),,,( iEtezyxtzyx −=Ψ ψ
[ ] 0),,(),,(),,(
2 2
22
=−+





+
∂
∂
zyxzyxUEzyx
xm
ψψLh
• Assim, se a energia potencial não depende do 
tempo, a função de onda é
• E a equação de Schrödinger é
h/),,(),,,( iEtezyxtzyx −=Ψ ψ
[ ] 0),,(),,(),,(
2 2
2
2
2
2
22
=−+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyxzyxUEzyx
zyxm
ψψh
Pausa para respirar
• Na Mecânica Clássica, as partículas sofrem 
ação de forças e através da equação
• determina-se a posição da partícula para cada 
instante de tempo.
• Na Mecânica Quântica, as partículas sofrem 
ação de uma energia potencial e através da eq. 
de Schrödinger determina-se a função de onda, 
a qual está relacionada à probabilidade de se 
encontrar a partícula num determinado lugar.
r
dt
d
mF 2
2
=
Lembrete sobre equações 
diferenciais
• O problema de determinar as soluções de uma 
equação diferencial, como
• é similar à integração de uma função, já que o 
que conhecemos é a derivada da função
0)()( 22
2
=+ xykxy
dx
d
• Nessa disciplina, vamos partir sempre com a 
solução quase pronta e vamos testar se a 
equação é resolvida.
• Assim, uma solução é da equação anterior é
• Para testar, derivamos...
)sen()cos()( kxBkxAxy +=
)cos()sen()( kxBkkxAkxy
dx
d
+−=
)sen()cos()( 222
2
kxBkkxAkxy
dx
d
−−=
• O próximo passo é substituir a solução na 
equação
)sen()cos()( kxBkxAxy +=
)sen()cos()( 222
2
kxBkkxAkxy
dx
d
−−=
0)()( 22
2
=+ xykxy
dx
d
[ ] 0)sen()cos()sen()cos( 222 =++−− kxBkxAkkxBkkxAk
00 = Ok! A prova real funcionou. blz!
• A solução tem de ser obrigatoriamente escrita 
na forma abaixo?
• Não! Qualquer outra combinação linear de 
cos(kx) e sen(kx) também serve, por exemplo
• onde φ e θ são fases (ângulos).
)sen()cos()( kxBkxAxy +=
)sen()cos()( θφ +++= kxBkxAxy
• Duas combinações lineares importantes são
• A solução da equação poderia então ser escrita 
como
ikxekxikx =+ )sen()cos(
ikxekxikx −=− )sen()cos(
ikxikx BeAexy −+=)(
• Vamos ver se dá certo...
• Portanto 
• Ou seja
ikxikx ikee
dx
d
=
ikxikx BeAexy −+=)(
ikxikx ikee
dx
d
−−
−=
ikxikxikx ekeike
dx
d 22
2
2
)( −== ikxikxikx ekeike
dx
d 22
2
2
)( −=−=−
)()( 2222
2
xykeBkeAkxy
dx
d ikxikx
−=−−=
−
0)()( 22
2
=+ xykxy
dx
d Uau! A prova real 
funcionou de novo!
Probabilidade 
• A probabilidade dP de se encontrar uma 
partícula num volume dV em torno da posição 
(x,y,z) é
• Densidade de probabilidade: ΨΨ*
• Ψ*: conjugado complexo (trocar “i” por “–i”)
• Exemplos: (3 – 7i)* = 3 + 7i
dVdP *ΨΨ=
( ) ikxikx ee −=*
A partícula livre em 1D
• Vamos supor que a partícula possa mover-se 
somente numa direção, assim eliminamos as 
variáveis y e z.
• Uma partícula livre não está sujeita a nenhuma 
força, ou seja, não tem energia potencial.
0)( =xU
0)()(
2 2
22
=+ xEx
dx
d
m
ψψh
• Rearranjando termos...
• Eu já vi isso antes...
• Portanto 
0)(2)( 22
2
=+ x
mE
x
dx
d ψψ
h
0)()( 22
2
=+ xykxy
dx
d ikxikx BeAexy −+=)(
ikxikx BeAex −+=)(ψ 22
2
h
mEk =
• A partícula livre só tem energia cinética
• Portanto
• O número de onda k está relacionado ao 
comprimento de onda λ por
• De onde vemos que
m
p
mvE
2
2
2
2
1
==
2
2
2
2 2
hh
pmEk ==
h
ppk ⋅== pi2
h
λ
pi2
=k
p
h
=λ
• Recapitulação:
– A equação de Schrödinger para a partícula livre
– Descreve uma onda
– Que tem energia
– E comprimento de onda
0)()(
2 2
22
=+ xEx
dx
d
m
ψψh
[ ] hh //)(),( iEtikxikxiEt eBeAeextx −−− +==Ψ ψ
ωh== hfE
kp
h piλ 2==
Direção de movimento
• A função de onda pode ser escrita como
• A velocidade da onda é determinada... (Física 3)
[ ] tiikxtiikxtiikxikx BeAeeBeAetx ωωω −−−−− +=+=Ψ ),(
)()( tkxitkxi BeAe ωω +−− +=
cte=− tkx ω
k
t
x
ω+
=
cte
kdt
dx
v
ω
==
• Uma solução corresponde à velocidade positiva
• E a outra solução corresponde à velocidade 
negativa
• E ainda
)()(),( tkxitkxi BeAetx ωω +−− +=Ψ
)( tkxiAe ω−
)( tkxiBe ω+−
p
E
p
E
k
v ===
h
h
/
/ω
pvE =
Relação análoga a 
E = pc para a luz.
Densidade de probabilidade
• Como vimos, a densidade de probabilidade é
• Para uma partícula movendo-se no sentido 
positivo de x, temos
• Portanto 
),(),( * txtx ΨΨ
)(),( tkxiAetx ω−=Ψ
)(** ),( tkxieAtx ω−−=Ψ
** ),(),( AAtxtx =ΨΨ
• A densidade de probabilidade é constante, ou 
seja, a partícula tem chances iguais de estar 
num lugar ou de estar em qualquer outro...
• Em compensação, o momento linear e a energia 
são conhecidos com precisão
** ),(),( AAtxtx =ΨΨ
ωh=E kp h=
Exercícios
1. Se z = a + ib é um número complexo, mostre 
que zz* é um número real.
2. Halliday, cap. 38: 56 – 62