elementos de calculo estrutural

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Prof. Ricardo Silveira 
Prof. Aluísio Mergulhão 
Mestranda Pâmela Renon 
Deciv/EM/UFOP 
CIV 230 
 Elementos de Cálculo 
Estrutural 
SUMÁRIO 
1. Morfologia das estruturas 
2. Apoios e Vínculos 
3. Graus de Liberdade 
4. Esforços Solicitantes 
REVISÕES 
1.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
1. MORFOLOGIA DAS 
ESTRUTURAS 
1.2 - VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
DEFINIÇÃO: Estrutura linear, horizontal ou 
inclinada, onde uma das dimensões é 
preponderante em relação às outras duas. É 
assentada em um ou mais apoios e que tem a 
função de suportar os carregamentos normais 
à sua direção. 
VIGAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
VIGAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
VIGAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
VIGAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
VIGA 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
1.3 - PILARES 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
DEFINIÇÃO: Estrutura reticular, vertical ou 
inclinada, onde uma das dimensões é 
preponderante em relação às outras duas. 
Define e estabiliza planos horizontais, 
elevados em relação ao plano do solo. 
PILAR 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
PILAR 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
PILAR 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
PILAR 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
PILAR 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pedra 
1.4 – QUADROS 
(PÓRTICOS COM BARRAS RETILÍNEAS) 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
DEFINIÇÃO: São estruturas lineares planas 
constituídas por barras retas articuladas entre 
si. São resultados da associação entre vigas e 
pilares de estruturas maciças ou ocas. 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
QUADROS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pedra 
1.6 – ARCOS 
(PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS) 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
DEFINIÇÃO: O que faz de uma estrutura um 
Arco é a sua forma curva, sendo que a parte 
central é mais alta do que as extremidades. E 
trabalha principalmente com esforços de 
compressão. 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Concreto 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pedra 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pedra 
ARCOS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pedra 
1.5 - TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
DEFINIÇÃO: São elementos formados por 
barras interligadas por articulações ou nós, 
onde as cargas são concentradas, ficando 
assim as barras apenas sujeitas 
a esforços normais (alinhados segundo o eixo 
barra) de tração ou compressão. 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Tipos 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Madeira 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
TRELIÇAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Aço 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIADAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APLICAÇÕES PARA MINAS 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
2.1. GRAUS DE LIBERDADE 
2. APOIOS E VÍNCULOS 
DEFINIÇÃO: É o menor número de parâmetros 
necessários para definir a posição do sólido; o 
sistema plano possui três graus de liberdade 
pois pode-se ter três movimentos: translação 
horizontal, translação vertical e rotação. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Engaste 
3º Ordem 
3 reações de apoio: 
Logo: 3 incógnitas 
- reação momento (M), 
- reação horizontal (H), 
- reação vertical (R), 
 
Apoio fixo 
2º Ordem 
 
2 reações de apoio: 
Logo: 2 incógnitas 
- reação horizontal (H), 
- reação vertical (R), 
 
Apoio móvel 
1º Ordem 
 
1 reação de apoio: 
Logo: 1 incógnitas 
- reação vertical (R), 
 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Apoio fixo de 
uma estrutura 
pré-fabricada de 
concreto, este 
tipo de apoio 
permite apenas 
a rotação. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Rótula de uma 
viga utilizada em 
uma estrutura 
pré-fabricada de 
concreto. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Engaste em uma 
estrutura de 
concreto, este tipo 
de apoio não 
permite translação 
e rotação. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Apoio Móvel de 
uma ponte, onde 
é utilizado uma 
placa de neoprene 
entre a junção 
entre o pilar e a 
ponte. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Engaste em uma 
estrutura metálica, 
este tipo de apoio 
não permite 
translação e 
rotação. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
Apoio Móvel, 
utilizado para 
ensaios no 
laboratório da 
FEC-Unicamp. 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Exemplos Práticos 
2.1. TIPOS DE ESTRUTURAS 
2. APOIOS E VÍNCULOS 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Hipostática 
Menos de 3 
incógnitas 
Instáveis 
 
Exemplos: 
 Estrutura com um apoio fixo (2 incógnitas), ou 2 apoios 
móveis (2 incógnitas), ou 1 apoio móvel (1 incógnita). 
 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Isostática 
3 incógnitas 
Resolvidas com 
as três equações 
da estática 
 
Exemplos: 
 Estrutura com um apoio fixo e um apoio móvel 
(3 incógnitas), ou um engaste (3 incógnitas). 
 
 
 
 
 
APOIOS E VÍNCULOS 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Hiperestática 
Mais de 3 
incógnitas 
Necessitam outras 
equações além 
das três equações 
da estática 
Exemplos: 
 Estrutura com 2 engastes (6 incógnitas), ou 1 engaste e 
um apoio móvel (4 incógnitas), ou 1 engaste e um apoio 
fixo (5 incógnitas) ou 2 apoios fixos (4 incógnitas). 
 
 
 
 
3.1. TIPOS DE CARREGAMENTOS 
3. ESFORÇOS SOLICITANTES 
CONCENTRADO: 
Força aplicada 
em um único 
ponto da 
estrutura. 
DISTRIBUÍDO/ m: DISTRIBUÍDO/ m²: 
Força distribuída sobre 
uma linha da estrutura. 
Força distribuída 
sobre uma 
superfície da 
estrutura. 
3.2. TIPOS DE ESFORÇOS: 
3. ESFORÇOS 
DEFINIÇÃO: Em uma estrutura em equilíbrio, 
são as forças que equilibram as ações externas 
que atuam em sua seção transversal. Formam 
pares (ação e reação entre corpos) de mesma 
direção e intensidade, porém de sentidos 
contrários, nas duas seções transversais. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Tração 
Ocorre quando há duas forças, na mesma 
direção, puxando em sentidos opostos. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Compressão 
Ocorre quando há duas forças, na mesma 
direção, empurrando em sentidos opostos. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Flexão 
Ocorre quando há carregamento 
transversal entre os apoios. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Torção 
Ocorre quando há o giro das extremidades 
em direções opostas. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Cisalhamento 
Ocorre quando há o escorregamento entre 
seções paralelas devido à forças paralelas. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 Momento 
Momento de uma força em relação a um ponto é 
o produto desta força pela sua distância até o 
ponto considerado. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 ESTRUTURAS 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 ESTRUTURAS 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
 ESTRUTURAS 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Vigas 
Resumo esquemático 
Geometria + Carregamento 
esforço interno aplicado 
M V Mt 
Flexão Cisalhamento Torção 
Tensão 
Flexão Cisalhamento Torção 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Vigas 
Hipostáticas 
Isostáticas 
Hiperestática 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Pilares 
Esforço externo (P) 
Função das reações de apoio das 
vigas que chegam ao pilar. 
Função do peso-próprio do pilar. 
 
Esforço interno (N) 
Força normal - normalao plano da 
seção transversal do pilar. 
 
Esforço Tração ou Compressão. 
 
Tensão (s) 
Tensão normal de tração 
(sT) ou tensão normal de compressão 
(sc). 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Esforços em Pilares 
Causados por uma viga sem balanço. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Esforços em Pilares 
Podem ser causados por uma viga com balanço. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Caminho das Cargas 
Na viga o carregamento é normal à direção do eixo da peça, 
portanto, para chegar até o solo, a carga "percorre" um 
caminho mais longo, primeiro na horizontal e depois na vertical. 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
CIV 230 – Elementos de Cálculo Estrutural 
Caminho das Cargas 
No pilar o carregamento está na mesma 
direção do eixo da peça, portanto, para 
chegar até o solo, a carga "percorre" um 
caminho mais curto do que nas vigas, 
diretamente na vertical.