Cálculo Numérico

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
Prof.:Fernando Tosini
Chapecó - SC
Sumário
1 1
1.1 Sistemas de Equações Não Lineares(SENL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 De�nições Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Métodos Iterativos Para Resolução de SENL . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Critérios de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Fórmula do Processo Iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Características do Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Método de Newton-Raphson Modi�cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Características do Método de Newton Modi�cado . . . . . . . . . . 11
1.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i
Capítulo 1
Resumo: Neste capítulo apresenta-se a de�nição, interpretação geométrica e os métodos
de resolução de sistemas de equações não lineares. O objetivo é demonstrar como funciona
cada método iterativo e sua implementação computacional, de tal forma que qualquer
sistema de equações não lineares possa ser modelado e resolvido numericamente.
1.1 Sistemas de Equações Não Lineares(SENL)
De maneira geral, um sistema não linear com n equações e n incógnitas pode ser
apresentado na forma:
F (X) =

f1(x1, x2, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, ..., xn) = 0
.
.
.
fn(x1, x2, ..., xn) = 0
(1.1)
Ou na forma vetorial:
F (X) = 0 (1.2)
Onde:
X = (x1, x2, ..., xn)
T
é o vetor das incógnitas;
F (X) = (f1(X), f2(X), ..., fn(X))
T
representa o sistema;
0 = (0, 0, ..., 0)T é o vetor nulo.
1
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Exemplos de sistemas não lineares.
a) F (X) =
 x
2
1 + x
2
2 − 2 = 0
x21 −
x22
9
− 1 = 0
b) F (X) =
 x+ 2y − 3 = 03x2 + y2 − 9 = 0
Geometricamente, temos:
2
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1.1.1 De�nições Importantes
Dada uma função fi(x1, x2, x3, ..., xn) = fi(X) que representa cada equação do sistema
não linear.
• O vetor Gradiente de fi(X) é denotado por ∇fi(X) ∀ i = 1, 2, 3, ..., n.
∇fi(X) =
(
∂fi(X)
∂x1
,
∂fi(X)
∂x2
, ...,
∂fi(X)
∂xn
)T
• A matriz Jacobiana de fi(X) é uma matriz de derivadas parciais do sistema, que
será denotado por J(X):
F ′(X) = J(X) =

∇f1(X)T
∇f2(X)T
.
.
.
∇fn(X)T
 =

∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
· · · ∂fn
∂xn

• A série de Taylor é uma série de potência apresentada na forma:
f(x) =
∞∑
i=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n
ou
f(x) = f(a) +
f ′(a)
1!
(x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + ...+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n
Para n variáveis:
f(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) = f(x1, ..., xn) +
∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2 + ...+
∂f
∂xn
∆xn
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Exemplo 1.1 Determine a matriz Jacobiana dos sistemas:
a) F (X) =
 x31 − 3x1x22 + 1 = 03x21x2 − x32 = 0 b) F (X) =
 x+ 3 log(x)− y2 = 02x2 − xy − 5x+ 1 = 0
Solução:
a) J(X) =
 ∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2
∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2
 =
 3x21 − 3x22 −6x1x2
6x1x2 3x
2
1 − 3x22

b) J(X) =

∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
 =
 1 + 3ln(10)x −2y
4x− y − 5 −x

1.2 Métodos Iterativos Para Resolução de SENL
Existem vários métodos, entre os quais destacamos alguns:
- Método da Iteraçao Linear;
- Método de Newton;
- Método de Newton Modi�cado;
- Método de Quase-Newton;
Todos esses métodos, são métodos iterativos, isto é, apartir de um vetor inicial X(0),
geram uma sequência X(k+1) de vetores, tal que:
lim
k→∞
X(k+1) = X∗
Onde:
X(k+1) é o vetor solução aproximada;
X∗ é o vetor solução exata;
1.2.1 Critérios de Parada
Os critérios de parada mais conhecidos são:
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I) ||X(k+1) −X(k)||∞ =
máx
|X(k+1) −X(k)| ≤ �
II) ||F (X(k+1))||∞ =
máx
|F (X(k+1))| ≤ �
III)
||X(k+1) −X(k)||∞
||X(k+1)||∞ =
máx
|X(k+1) −X(k)|
máx
|X(k+1)| ≤ �
IV) O número de iterações é indicado.
1.3 Método de Newton-Raphson
O método mais estudado e conhecido para resolver sistemas de equação não lineares
é o Método de Newton. O método é atribuído a Isaac Newton (1643 − 1727) e Joseph
Raphson (1648− 1715).
No caso de uma equação não linear de uma variável independente, o método de Newton
consiste em se tomar um modelo local linear da função f(x) em torno de xk, e este modelo
gera uma reta tangente à função em xk a cada iteração. Já em um sistema de equações
não lineares, o método de Newton consiste em expandir por meio da série de Taylor cada
equação não liner do sistema, transformando-o em um sistema linear, a�m de obter o
processo iterativo.
1.3.1 Fórmula do Processo Iterativo
Considere o sistema de equações não lineares:
F (X) =

f1(x1, x2, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, ..., xn) = 0
.
.
.
fn(x1, x2, ..., xn) = 0
(1.3)
Expandindo (1.3) pela série de Taylor, tem-se:
5
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
f1(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) = f1(x1, ..., xn) +
∂f1
∂x1
∆x1 + ... +
∂f1
∂xn
∆xn = 0
f2(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) = f2(x1, ..., xn) +
∂f2
∂x1
∆x1 + ... +
∂f2
∂xn
∆xn = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
fn(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) = fn(x1, ..., xn) +
∂fn
∂x1
∆x1 + ... +
∂fn
∂xn
∆xn = 0
Isolando os termos que contém derivadas, obtemos o sistema linear:

∂f1
∂x1
∆x1 +
∂f1
∂x2
∆x2 + ... +
∂f1
∂xn
∆xn = −f1(x1, ..., xn)
∂f2
∂x1
∆x1 +
∂f2
∂x2
∆x2 + ... +
∂f2
∂xn
∆xn = −f2(x1, ..., xn)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂fn
∂x1
∆x1 +
∂fn
∂x2
∆x2 + ... +
∂fn
∂xn
∆xn = −fn(x1, ..., xn)
Matricialmente, temos:

∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
· · · ∂fn
∂xn

︸ ︷︷ ︸
·

∆x1
∆x2
.
.
.
∆xn

︸ ︷︷ ︸
= −

f1(x1, ..., xn)
f2(x1, ..., xn)
.
.
.
fn(x1, ..., xn)

︸ ︷︷ ︸
J
(
X(k)
) · ∆X(k) = − F(X(k))
Isolando ∆X(k):
∆X(k) = −
[
J
(
X(k)
)]−1 · F(X(k))
Como ∆X(k) = X(k+1)−X(k), então, apartir da última equação obtemos a fórmula do
processo iterativo do método de Newton:
X(k+1) = X(k) −
[
J
(
X(k)
)]−1 · F(X(k)) ∀ k = 0, 1, 2, ...., n (1.4)
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Exemplo 1.2 A concentração de um poluente num lago depende do tempo t, e é dada por
C(t) = 70ex1t + 20ex2t. Efetuaram-se algumas medidas que foram registadas na seguinte
tabela:
t 1 2
C(t) 27.5702 17.6567
Utilize o método de Newton para determinar x1 e x2. Considere para aproximação
inicial o ponto (x1; x2)
(0) = (−1.9;−0.15)T , e efetue apenas duas iterações.
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Exemplo 1.3 Considere o sistema de equações não-lineares:
F (x, y) =
 x2 − e−xy = 0xy + sin(x) = 0
a) Determine o jacobiano de F (x, y);
b) Resolva o sistema aplicando o método de Newton, com um chute inicial X(0) =
(2; 0)T e um erro inferior a 10−1.
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1.3.2 Características do Método de Newton
i) Geralmente,possui uma convergência maior quando comparado a outros métodos,
porém, exige um alto custo computacional, pois, necessita calcular da matriz inversa
a cada iteração durante o processo;
ii) Quando o método converge, a convergência é quadrática.
iii) O método de Newton converge se:
a) As funções fi(x1, x2, ..., xn) para i = 1, ..., n e suas derivadas parciais até se-
gunda ordem sejam continuas e limitadas numa vizinhança V contendo a raiz;
b) O determinante do Jacobiano J(X) é diferente de zero em V ;
c) O chute inicial X(0) deve ser su�cientemente próxima da raiz.
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1.4 Método de Newton-Raphson Modi�cado
O Método de Newton Modi�cado consiste em manter a matriz Jacobiano calculada na
primeira iteração, constante em todo o processo iterativo. Dessa forma, a função iterativa
do método de Newton Modi�cado é dada por:
X(k+1) = X(k) −
[
J
(
X(0)
)]−1 · F(X(k)) ∀ k = 0, 1, 2, ...., n (1.5)
Exemplo 1.4 Dado o sistema:
F (x, y) =
 x+ y − 3 = 0x2 + y2 − 9 = 0
Resolva o sistema aplicando o método de Newton Modi�cado, com um chute inicial
X(0) = (1; 5)T e um erro inferior a 10−1. Use como critério de parada ||F (X(k+1))|| < �.
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1.4.1 Características do Método de Newton Modi�cado
O número de iterações necessárias para a convergência é normalmente maior do que o
método de Newton-Raphson, porém o custo computacional de cada iteração tende a ser
signi�cativamente menor, pois, não necessita calcular a matriz inversa apartir da segunda
iteração.
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1.5 Lista de Exercícios
1. Encontre a matriz jacobiana dos seguintes sistemas não-lineares.
(a)

3x21 + 2x
2
2 − x2 − 2x3 = 0
x21 − 8x22 + 10x3 = 0
x21
7x2x3
− 1 = 0
(b)

x1 − cos(x2x3)− 0.5 = 0
x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin(x3) + 1 = 0
e−x1x2 + 20x3 +
10pi − 3
3
= 0
2. Usando o método de Newton determine, com precisão de 10−3, uma raiz para cada
um dos seguintes sistemas não-lineares. Faça a interpretação geométrica da solução
de cada sistema.
(a)
 x(x+ 1) + 2y = 12(x− 1)2 + (y − 3)2 = 9 , com chute inicial x(0) =
 2
1

(b)
 (x− 1)2 + y2 = 4x2 + (y − 1)2 = 4 com chute inicial x(0) =
 2
1

3. Ache com precisão � ≤ 10−1 a solução dos sistemas, pelos os métodos de Newton e
Newton Modi�cado.
(a)
 x2 − y2 = 12xy = 0 , com chute inicial x(0) =
 −1
0.5

(b)
 x2 + y2 = 4y + ex = 4 com chute inicial x(0) =
 1
1.5

4. Ache com precisão � ≤ 10−1 a solução dos sistemas, pelos os métodos de Newton e
Newton Modi�cado. Use o seguinte critério de parada ||F (X(k+1))|| < �.
(a) F (X) =
 3x2y − y3 = 4x2 + xy3 = 9 com chute inicial x(0) =
 −2.9
0.1

(b) F (X) =
 sin(x)e−y − y2 = 0cos(x)e−y − y3 = 0 com chute inicial x(0) =
 0.5
1

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5. Dado o sistema:F (x, y) =
 (x− y + 0.25)e−x
2−y3
2x2 + cos(y)
a) Determine o jacobiano de F (x, y);
b) Resolva o sistema aplicando o método de Newton, com um chute inicial
X(0) = (1; 0)T e um erro inferior a 10−1.
6. Resolva o sistema
 x1 + 3 log10(x1)− x22 = 02x21 − x1x2 − 5x1 + 1 = 0 , usando o método de Newton
com um chute inicial x(0) = [1;−2]T , e um erro de 10−1.
7. Resolva o sistema não linear F (x) =

x21 + x
2
2 + x
2
3 − 1 = 0
2x21 + x
2
2 − 4x3 = 0
3x21 − 4x2 + x23 = 0
, usando o método
de Newton com um chute inicial x(0) = [0.5; 0.5; 0.5]T , até a iteração(k = 1).
8. Duas estações elétricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais econô-
mica possível. O custo total de operação das duas estações é dado por:
f(x1, x2) = 0.1 + 0.01x1x2 + 0.15x
4
2 + 0.01x
4
1 − 0.25(x1 + x2 − 100)
Em que x1 e a energia fornecida pela primeira estação e x2 e a energia fornecida
pela segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o
custo total de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto
(2.0, 0.5)T e duas iteracões.
9. Implemente computacionalmente o método de Newton e Newton Modi�cado e apli-
que nos sistemas a seguir com precisão � ≤ 10−5. Compare o número de iterações
fazendo simulação com chute iniciais iguais e diferentes para ambos os métodos.
(a)
 x2 + y2 = 4y + ex = 4
(b)
 x3 − 3xy2 = 13x2y + y3 = 0
(c)
 x21 + x22 = 2ex1−2 + x32 = 2
(d)
 x2 + y2 = 1−
√
y
y + sin(y) = x− e−x2
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(e)
 x1 − x2 sin(x1) = 0x1 − x2 + cos(x1x2) = 0 (f)
 x− 6
√
x+ y − 6√y + 14 = 0
xy = 81
10. Resolva o sistema
 4x1 − x
3
1 + x2 = 0
−x21
9
+
4x2 − x22
4
= −1
, usando o programa do método
de Newton com um chute inicial x(0) = (−1;−2)T , e um erro de 10−4.
11. Resolva o sistema
 ln(x2 + y2) − sin(xy) = ln(2) + ln(pi)ex−y + cos(xy) = 0 , usando o pro-
grama do método de Newton com um chute inicial x(0) = (2; 2)T , e um erro de
10−6.
12. Resolva o sistema

x+ ex−1 + (y + z)3 − 27 = 0
ey−2
x
+ z3 − 10 = 0
z − sin(y − 2) + y3 − 7 = 0
, usando os programas dos
métodos de Newton e Newton Modi�cado com um chute inicial

x(0)
y(0)
z(0)
 =

4
4
4
,
e um erro de 10−3.
13. Resolva o sistema

6x1 − 2 cos(x2x3) = 1
9x2 +
√
x21 + sin(x3) + 1.06 = −0.9
60x3 + 3e
−x1x2 + 10pi = 3
, usando o programa do
método de Newton, com uma tolerância de 10−5 e um chute inicial de x(0) = (0, 0, 0)t.
14. Para combater um vírus que infectou um grupo de indivíduos vai ser administrado
um composto químico sintetizado com base em duas substâncias elementares x1 e
x2. Sabe-se que se forem administrados α miligramas de composto a cada indivíduo,
a concentração (mg/litro) de cada uma das substâncias elementares na circulação
sanguínea e dada implicitamente (para α ∈ [0, 5]) pelo sistema de equações: 16x1 − cos(α(x2 − 2x1)) = 016x2 + 0.75 sin(α(−x2 − 3x1)) = 0
Para α = 1, determine x1 e x2, usando o método iterativo de Newton Modi�cado.
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Use a seguinte aproximação inicial x(0) = (0.1; 0.01)T e termine o processo iterativo
considerando um erro inferior à 0.01.
15. Num colector solar, um balanço de energia na placa absorvente e na placa de vidro
produz o seguinte sistema de equações não lineares nas temperaturas absolutas da
placa absorvente (T1) e da placa de vidro (T2): (T 41 + 0.06823T1)− (T 42 + 0.05848T2) = 0.01509(T 41 + 0.05848T1)− (2T 42 + 0.11696T2) = 0
Encontre T1 e T2 usando o método iterativo de Newton, com uma aproximação
inicial T (0) = (0.30; 0.30)′ e um erro inferior a 10−2.
16. Visando determinar a pressão necessária para aterrar objetos em solo �rme, corpos
de prova são utilizados para fazer estas previsões. A pressão pode ser aproximada
por:
p = x1e
x2r + x3r
Onde x1, x2 e x3 dependem da distânica até onde o solo ainda é macio e r o raio
do corpo de prova cilíndrico. Utilizando três corpos de prova, conforme a �gura a
seguir:
Figura 1.1: Corpos de prova de raios diferentes enterrados a uma mesma profundidade.
A partir da �gura, pode-se montar um sistema para determinar as três constantes
e a expressão para a pressão. Sendo assim, o sistema é:
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
p1 = x1e
x2r1 + x3r1
p2 = x1e
x2r2 + x3r2
p3 = x1e
x2r3 + x3r3
Com três incógnitas, x1, x2 e x3. Determine as constantes supondo que um cilindro
de raio 10 cm requer uma pressão de 10 N para enterrar 1 m em um terreno lama-
cento, um de raio 20 cm necessita de 12 N para enterrar 1 m, e um de raio 30 cm
requer uma pressão de 15 N para enterrar essa distância. Obs: Tome como chute
inicial: x(0)= (5, 5,−5)t.
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Respostas
1. (a) J(X) =

6x1 4x2 − 1 −2
2x1 −16x2 10
2x1
7x2x3
−x21
7x22x3
−x21
7x2x23

(b) J(X) =

1 x3 sin(x2x3) x2 sin(x2x3)
2x1 −162(x2 + 0.1) cos(x3)
−x2e−x1x2 −x1e−x1x2 20

2. (a) x(4) =
 2.819673996
0.6148822783

(b) x(4) =
 1.8228756563
1.8228756563

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3. (a) Newton: x(3) =
 −0.9999909266
−0.0000221600

Newton Mod: x(2) =
 −0.9589990139
−0.0245003869

(b) Newton: x(2) =
 0.76634144745
1.84815259120

Newton Mod: x(2) =
 0.77446141410
1.82908123667

4. (a) Newton: x(2) =
 −3.0016226017
0.1481112445

Newton Mod: x(2) =
 −3.001640077
0.147812530

(b) Newton: x(3) =
 0.99045544901
0.65840296165

Newton Mod: x(3) =
 0.97189071205
0.65318186755

5. (a) J(X) =
 e−x2−y3(1 + (x− y + 0.25)(−2x)) e−x2−y3(−1 + (x− y + 0.25)(−3y2))
4x − sin(y)

(b) x(3) =
 0.64414617
2.546101285

6. x(3) =
 1.4588863588
−1.3967715200

7. x(1) =

0.78981681208
0.49662164778
0.36993245393

8. x(1) =
 1.823639672933
0.744404630599

9.
10.
11.
12.
13.
14.
18
CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Fernando Tosini
15.
16. x1 = 8.7701 ; x2 = 2.5980; e x3 = −13.7273.
19