cap 12 - rolamento

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Rolamento, Torque e 
Momento Angular
Capítulo 12
Física 1 – Prof. Fernando Pilotto
UERGS - Guaíba
Rolamento 
• O rolamento é uma combinação de 
translação (movimento linear) e rotação
A curva descrita pelo 
ponto na extremidade 
da roda é uma 
ciclóide.
• A roda (e a bicicleta) desloca-se com 
velocidade vCM e percorre uma distância s
• Essa distância s é igual ao arco que a 
roda girou
θrs =
• Dividindo pelo intervalo de tempo t,
• Se houver aceleração,
θrs =
t
r
t
s θ
= ωrvCM =
dt
d
r
dt
dvCM ω
= αraCM =
ωrvCM =
A velocidade tangencial 
(que é igual a vCM) está
relacionada à velocidade 
angular
A roda como um todo 
move-se com a velocidade 
vCM
Energia cinética
• Enquanto a roda rola, ela executa dois 
movimentos: translação e rotação
22
2
1
2
1
ωCMCM ImvK +=
Momento de inércia em 
relação ao eixo que passa pelo 
centro de massa
Rolamento e atrito
• No rolamento, a roda não desliza sobre o 
chão (quando há deslizamento, o pneu 
“canta”, a roda gira e o carro não se 
move)
• O que impede o deslizamento é a força de 
atrito
• Como o ponto P está momentaneamente 
parado, o que conta é a força de atrito 
estático
Por que o carro vai para frente...
• O motor do carro aplica um 
torque às rodas
• O torque imprime uma 
aceleração angular à roda
• A força de atrito impede o 
deslizamento
• Essa é a única força externa 
atuando sobre a roda, e é
ela que faz a roda se mover 
para frente
ατ I=
αraCM =
CMmaF =
Rolando rampa abaixo...
• A aceleração do centro 
de massa é dada por
• A força normal é
• A força máxima de atrito 
estático é
CMs mafmg =−θsin
θcosgN FF =
Nss Ff µ=max,
mgFg =
• O torque de uma força é
dado por
• A força peso age sobre o 
centro de massa: r = 0 e o 
torque é nulo
• A força normal passa pelo 
centro do objeto e sua 
componente perpendicular 
ao vetor r é nula
• Somente a força de atrito 
produz torque
sRf=τ
ατ I=
φτ sinrF=
• Como o corpo está rolando, as acelerações 
linear e angular estão relacionadas
• Juntando tudo, temos
αRaCM =
CMs mafmg =−θsin
θcosgN FF =
Nss Ff µ=max,
mgFg =
αRaCM =
αIRf s =
αRaCM =
αIRf s =
CMs mafmg =−θsin
R
aCM
=α
2R
Ia
R
If CMs == α
CM
CM ma
R
Ia
mg =− 2sinθ
2
sin
R
I
m
mg
aCM
+
=
θ
2/1
sin
mRI
g
aCM +
=
θ
Ioiô
• O ioiô é análogo ao 
exemplo anterior
• A inclinação da rampa é de 
90º e a força de atrito é
substituída pela tensão na 
corda
2/1 mRI
g
aCM +
=
Torque 
φτ
τ
sinrF
Fr
=
×=
rrr
Momento angular
• Momento linear
• Momento angular
vmp rr =
( )vrmpr rrrrlr ×=×=
φsinmrv=l
2ª Lei de Newton
• Força e momento linear
• Momento angular
dt
pdF
r
r
=∑
( )vrm rrlr ×=
( ) 





×+





×=×=
dt
vd
rmv
dt
rd
mvr
dt
d
m
dt
d rrrrrrl
r
( ) ∑×+=×+×= Frdt
pd
rvvm
dt
d rrrrrrl
r
0 dt
dl
r
r
=∑τ
Momento angular de um sistema 
de partículas
Momento angular do corpo rígido
• Um corpo rígido 
(composto por partes 
que não se movem 
umas em relação às 
outras) gira em torno 
de um eixo fixo
• A velocidade angular 
do corpo é w
• O momento angular de um 
elemento de massa 
relativamente ao ponto O é
• O vetor momento angular 
tem componentes ao longo 
dos eixos x, y e z
• Vamos calcular a 
componente no eixo z, que é
o eixo de rotação
( )vrm rrlr ×∆=
iiiiiii vrmvrm ∆=°∆= 90sinl
• A velocidade do elemento de 
massa pode ser escrita 
como
θθ sinsin iiiiiz vrm∆== ll
iiiiz vrm ⊥∆=l
ωii rv ⊥=
ω2iiiz rm ⊥∆=l
• O momento angular total é
• Portanto o momento angular é
dado pelo momento de inércia 
vezes a velocidade angular
ωω 




 ∆=∆== ∑∑∑
=
⊥
=
⊥
=
n
i
ii
n
i
ii
n
i
izz rmrmL
1
2
1
2
1
l
ωILz =
Conservação do momento angular
• Vimos que a variação do momento 
angular está associada ao torque externo
• Se o torque externo for nulo, o momento 
angular total é constante
constL =
r
O pião humano
ωILz = Momento de inércia grandeVelocidade angular pequena
Momento de inércia pequeno
Velocidade angular grande
Torque externo 
nulo, momento 
angular constante
• Video balé
Salto ornamental
• O momento angular é
constante durante o 
salto
• Quando o atleta junta 
o corpo, a velocidade 
angular aumenta
• A trajetória é
parabólica
Observação: as seções 12.10, “Precessão de um Giroscópio”, e 12.11, 
“Quantização do Momento Angular”, não caem na prova.