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. Ca´lculo Diferencial e Integral (Notas de aula - em construc¸a˜o) Prof. Jairo Kra´s Mengue 2015 2 Cap´ıtulo 1 Revisa˜o do estudo de func¸o˜es 1.1 conceitos iniciais Dados nu´meros reais a < b vamos usar as seguintes notac¸o˜es para intervalos: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b} [a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x} (−∞,+∞) = R Exemplo 1 - 1 - Supondo-se que o prec¸o de uma substaˆncia seja de R$ 5,00 por ml, qual sera´ o valor total da compra? 2 - Deve-se preparar uma mistura a partir de duas substaˆncias A e B, mantendo- se a proporc¸a˜o de 20g da substaˆncia B para cada 15g da substaˆncia A. Quantos gramas da substaˆncia B devem ser usadas na mistura? Em ambos os problemas a resposta mais natural e´: Depende... No exemplo 1, o valor total da compra esta´ em func¸a˜o da quantidade da substaˆncia adquirida e no segundo exemplo a quantidade, em gramas, da substaˆncia B a ser usada depende da quantidade, em gramas, da substaˆncia A usada na mistura. Exemplo 1: Quantidade em ml custo total da compra em R$ 1 5 2 10 3 15 3, 5 17, 50 10, 2 51 x 5 · x 3 4 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES Exemplo 2: substaˆncia A em gramas substaˆncia B em gramas 15 20 3 4 6 8 1 4/3 x 43 · x Definic¸a˜o 2 Uma func¸a˜o f : D → R e´ uma regra que para cada nu´mero x do conjunto D ⊆ R associa um u´nico nu´mero real denotado por f(x). Exemplo 3 A´rea do quadrado em func¸a˜o da medida de um de seus lados: x (medida de um dos lados) f(x) (a´rea do quadrado) 1 1 3 9 7 49 1, 32 1, 7424 x x2 Escrevemos: f(1) = 1, f(3) = 9 f(1, 32) = 1, 7424 e em geral f(x) = x2. Na definic¸a˜o acima o conjunto D e´ chamado domı´nio da func¸a˜o. Este con- junto pode estar explicitamente informado, ou em alguns casos na˜o ser ex- plicitamente fornecido, neste caso vamos adotar o padra˜o de considerar como domı´nio o maior conjunto poss´ıvel, levando-se em considerac¸a˜o: a. a poss´ıvel fo´rmula da func¸a˜o b. o problema proposto. Exemplo 4 (caso b.) No exemplo da a´rea do quadrado acima, na˜o e´ na- tural considerarmos nu´meros negativos no domı´nio da func¸a˜o. Escrevemos Dom(f) = [0,+∞). Exemplo 5 (caso b.) per´ımetro de um quadrado em func¸a˜o da medida de um de seus lados: f(x) = 4x, Dom(f) = [0,+∞). Exemplo 6 (caso a.) f(x) = 2x−5 , Dom(f) = R− {5} g(x) = √ x− 8, Dom(g) = [8,+∞) h(x) = 1√ x−1 , Dom(h) = (1,+∞) Para uma compreensa˜o do comportamento global da func¸a˜o uma ferramenta u´til e´ dada por seu gra´fico. Definic¸a˜o 7 O gra´fico de f e´ o conjunto dos pontos coordenados da forma (a, f(a)) onde a ∈ Dom(f). Exemplo 8 f : [0, 4)→ R, f(x) = 2x. 1.2. FUNC¸A˜O LINEAR 5 (5, 13) na˜o esta´ no gra´fico de f pois 5 /∈ Dom(f) (4, 6) na˜o esta´ no gra´fico de f pois 4 /∈ Dom(f) (−1, −2) na˜o esta´ no gra´fico de f pois −1 /∈ Dom(f) (2, 5) na˜o esta´ no gra´fico de f pois f(2) 6= 5 (3, 7) na˜o esta´ no gra´fico de f pois f(3) 6= 7 (3, 6) esta´ no gra´fico de f pois 3 ∈ Dom(f) e f(3) = 6 Exemplo 9 f : [−2, 2] → R, f(x) = x2 e g : [0, 2] → R, g(x) = x2. Sa˜o func¸o˜es diferentes. Observe seus gra´ficos Teste da reta vertical: Qualquer reta vertical corta o gra´fico de uma func¸a˜o em no ma´ximo um ponto. Observac¸o˜es: - Tanto a func¸a˜o quanto a varia´vel podem ser representadas por diversas letras. Exemplos: f(x) = 2x, g(t) = t2, h(s) = 3s. - E´ comum denotarmos f(x) pela letra y. Exemplo: y = x2. Neste caso se escolhemos x = 3 enta˜o obtemos y = 9. Se escolhemos x = 2 obtemos y = 4. 1.2 Func¸a˜o linear f(x) = m · x, m constante fixada. Exemplo 10 Em cada gra´fico observe a inclinac¸a˜o da reta e o valor da cons- tante m na equac¸a˜o y = mx 6 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES O gra´fico da func¸a˜o linear f(x) = m · x e´ uma reta no plano cartesiano contendo a origem (0, 0). O nu´mero m e´ chamado coeficiente angular ou inclinac¸a˜o da reta. 1.3 Func¸a˜o afim f(x) = m · x+ h com m, h constantes fixadas. Exemplo 11 - - O gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m ·x+h e´ uma reta no plano cartesiano, obtida deslocando-se o gra´fico da func¸a˜o linear g(x) = m · x em h unidade(s) 1.3. FUNC¸A˜O AFIM 7 para cima/baixo se h e´ positivo/negativo. - O gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m · x+ h e´ uma reta no plano cartesiano com inclinac¸a˜o m e contendo o ponto (0, h). Teorema 12 Fixados quaisquer dois pontos distintos (a, f(a)) e (b, f(b)) do gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m · x+ h temos: ∆y ∆x = f(b)− f(a) b− a = m (coef. angular). Exemplo 13 f(x) = 5x+ 3. Escolhendo-se os nu´meros a = 2 e b = 7 para a varia´vel x temos: (2, 13) e (7, 38) no gra´fico Para esta escolha ∆y ∆x = f(7)− f(2) 7− 2 = 38− 13 7− 2 = 25 5 = 5 coef. angular Escolhendo-se os nu´meros a = 4 e b = 3 para x temos: (4, 23) e (3, 18) no gra´fico Para esta escolha ∆y ∆x = f(3)− f(4) 3− 4 = 18− 23 3− 4 = −5 −1 = 5 coef. angular Note que para qualquer escolha teremos ∆y ∆x = f(b)− f(a) b− a = (5 · b+ 3)− (5 · a+ 3) b− a = 5 · b− 5 · a b− a = 5(b− a) (b− a) = 5. Observac¸a˜o: A letra grega ∆ (delta) e´ comumente usada para representar uma variac¸a˜o. Quando escrevemos y = f(x), a expressa˜o f(b) − f(a) corres- ponde a uma variac¸a˜o de y enquanto b − a corresponde a uma variac¸a˜o de x. A expressa˜o ∆y∆x = f(b)−f(a) b−a e´ chamada de uma taxa de variac¸a˜o e compara a variac¸a˜o de y com a variac¸a˜o de x. O teorema acima afirma que em uma func¸a˜o afim y = m · x+ h a taxa de variac¸a˜o e´ constante. “Para cada unidade adicionada a coordenada x de um ponto no gra´fico temos que a coordenada y sofre um acre´scimo de m unidades”. Equac¸a˜o da reta dados um ponto e sua inclinac¸a˜o: Ponto: (x0, y0) Inclinac¸a˜o: m Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) Exemplo 14 Equac¸a˜o da reta de inclinac¸a˜o m = 3 e contendo o ponto (2,−7): y−y0 = m(x−x0) =⇒ y−(−7) = 3(x−2) =⇒ y+7 = 3(x−2) =⇒ y = 3x−13. 8 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES 1.4 Func¸a˜o quadra´tica f(x) = ax2 + bx+ c com a, b, c constantes e a 6= 0. O gra´fico sera´ uma para´bola coˆncava para cima, se a > 0coˆncava para baixo, se a < 0 Ve´rtice em x0 = −b 2a Corte com o eixo y em f(0) = c Corte(s) com o eixox em x1 = −b−√b2−4ac 2a e x2 = −b+√b2−4ac 2a Exemplo 15 f(x) = 3x2 + 3x− 6 - Coˆncava para cima - Corte com o eixo y em f(0) = −6 - Cortes com o eixo x em: x1 = −2 e x2 = 1 -ve´rtice: x0 = −b2a = −32·3 = −12y0 = f(x0) = f(−1/2) = 3 · 14 + 3 · (−12)− 6 = −274 Exemplo 16 f(x) = −x2 + 6x− 11 - coˆncava para baixo - corte com o eixo y em: f(0) = −11 - corte(s) com o eixo x: Na˜o ha´. 1.5. FUNC¸A˜O POLINOMIAL E RACIONAL 9 -ve´rtice: x0 = −b2a = −62·(−1) = 3y0 = f(x0) = f(3) = −9 + 18− 11 = −2 1.5 Func¸a˜o polinomial e racional Func¸a˜o polinomial: f(x) = anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 Func¸a˜o racional: f(x) = p(x) q(x) , com p(x), q(x) func¸o˜es polinomiais Obs: O domı´nio de uma func¸a˜o racional na˜o conte´m os nu´meros que anulam o polinoˆmio no denominador. Exemplo 17 f(x) = x2 − x+ 3 x2 − 4 . 10 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES Note que os nu´meros −2 e 2 na˜o pertencem ao domı´nio de f pois anulam a expressa˜o x2 − 4 no denominador da frac¸a˜o. Observe o comportamento do gra´fico em valores pro´ximos a estes nu´meros. Observe tambe´m o comportamento do gra´fico para x > 4 e para x < −6. Exemplo 18 f(x) = x2 − 1 x+ 1 Note que o nu´mero −1 na˜o pertence ao domı´nio de f pois anula a ex- pressa˜o x + 1 no denominador da frac¸a˜o. Observe no entanto que o gra´ficoacima apresentado por um recurso computacional transmite a impressa˜o de que f(−1) = −2. Ale´m disso o gra´fico aparenta ser uma linha reta de in- clinac¸a˜o m = 1 e contendo o ponto (0,−1). Este seria o gra´fico da func¸a˜o afim g(x) = x− 1. Isso e´ natural se observarmos que x2 − 1 x+ 1 = (x− 1)(x+ 1) x+ 1 = x− 1 se x 6= −1 Como o nu´mero −1 na˜o esta´ no domı´nio de f costumamos fazer a repre- sentac¸a˜o gra´fica na forma abaixo: 1.6 Func¸o˜es seno e cosseno Dado qualquer c´ırculo, sua circunfereˆncia e´ um pouco maior que o triplo de seu diaˆmetro. 1.6. FUNC¸O˜ES SENO E COSSENO 11 O valor para o quociente circunfereˆncia diaˆmetro independe do tamanho do c´ırculo, sendo este nu´mero denotado por pi. Temos que pi ≈ 3, 1415926 A partir deste momento vamos considerar fixado um c´ırculo com centro na origem do plano cartesiano, cujo raio mede 1 unidade. Neste caso, sua circunfereˆncia ira´ medir 2pi unidades. Fixamos tambe´m o ponto (1, 0) no plano cartesiano, que pertence ao c´ırculo. Dado um nu´mero real θ vamos associar a este nu´mero um ponto do c´ırculo denotado por R(θ), da seguinte forma: 1 - Se θ = 0 enta˜o R(θ) = (1, 0) 2 - Se θ > 0, devemos percorrer a partir do ponto (1, 0), no sentido anti-hora´rio, um arco de c´ırculo de comprimento θ. O extremo final deste arco sera´ o ponto R(θ) 3 - Se θ < 0, devemos percorrer a partir do ponto (1, 0), no sentido hora´rio, um arco de c´ırculo de comprimento θ. O extremo final deste arco sera´ o ponto R(θ). Na representac¸a˜o em figuras a letra R sera´ omitida: Note que para cada nu´mero real θ, o ponto do c´ırculo associado tera´ duas coordenadas (que sa˜o nu´meros entre −1 e 1) R(θ) = (c(θ), s(θ)). - A primeira coordenada, c(θ) e´ conhecida como func¸a˜o cosseno e denotada por cos(θ). 12 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES - A segunda coordenada, s(θ) e´ conhecida como func¸a˜o seno e denotada por sen(θ). Exemplo 19 Abaixo, para uma estimativa do cosseno de alguns nu´meros, olhamos para a primeira coordenada do ponto R(θ). Para uma estimativa do seno olhamos para a segunda coordenada: θ cos(θ) aproximado 0 1 1 0, 54 pi/2 0 2 −0, 42 3 −0, 99 pi −1 θ sen(θ) aproximado 0 0 1 0, 84 pi/2 1 2 0, 91 3 0, 14 pi 0 As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o perio´dicas com per´ıodo 2pi, mais precisamente sen(θ + 2pi) = sen(θ), cos(θ + 2pi) = cos(θ). Gra´ficos: Para representac¸a˜o no sistema cartesiano vamos usar a tradici- onal varia´vel x no lugar de θ. Ao mesmo tempo y representa sen(x) ou cos(x) respectivamente. Proposic¸a˜o 20 Para todo θ ∈ R, sen2(θ) + cos2(θ) = 1 Exemplo 21 Para θ = pi/4 temos que sen(θ) = cos(θ). Denotando este valor por a obtemos: 1.7. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 13 1 = a2 + a2 = 2a2 =⇒ a2 = 1/2 =⇒ a = 1√ 2 = √ 2 2 . Assim sen(pi/4) = √ 2 2 e cos(pi/4) = √ 2 2 . Exemplo 22 Para θ = pi/6 temos que sen(θ) = 12 . Denotando cos(θ) por b obtemos: 1 = (1/2)2 + b2 =⇒ b2 = 1− 1/4 =⇒ b2 = 3 4 =⇒ b = √ 3 2 . Assim sen(pi/6) = 1/2 e cos(pi/6) = √ 3 2 Exemplo 23 Para θ = pi/3 temos que cos(θ) = 12 . Denotando sen(θ) por b obtemos: 1 = b2 + (1/2)2 =⇒ b2 = 3 4 =⇒ b = √ 3 2 . Assim sen(pi/3) = √ 3 2 e cos(pi/3) = 1/2 1.7 Func¸a˜o exponencial Fixado b > 0 e n ∈ N temos: bn = b · b · ... · b︸ ︷︷ ︸ n vezes , b−n = 1 bn , b 1 n = n √ b, b0 = 1. Se r = p/q e´ racional, com p ∈ Z e q ∈ N∗ calculamos (do ponto de vista pra´tico sera´ por aproximac¸o˜es) bp/q = q √ bp. Se α e´ irracional calculamos bα por aproximac¸o˜es. Definic¸a˜o 24 (Func¸a˜o exponencial de base b > 0) - y = bx. 14 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES Exemplo 25 Exponencial de base 10. x −2 −1 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 y (aproximado) 0, 01 0, 1 1 3, 16 10 31, 6 100 316, 2 1000 3162, 3 Note que para f(x) = 10x, f(0) = 100 = 1 e f(x+ 1) = 10x+1 = 10 · 10x = 10 · f(x). “Quando somamos uma unidade ao valor de x o valor de y correspondente e´ multiplicado por 10”. Exemplo 26 Exponencial de base 2. x −2 −1 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 y (aproximado) 0, 25 0, 5 1 1, 4142 2 2, 8284 4 5, 6568 8 11, 3137 Note que para f(x) = 2x, f(0) = 20 = 1 e f(x+ 1) = 2x+1 = 2 · 2x = 2 · f(x). “Quando somamos uma unidade ao valor de x o valor de y correspondente e´ multiplicado por 2”. Exemplo 27 Exponencial de base 12 . Note que o gra´fico de g(x) = ( 1 2 )x e´ sime´trico ao gra´fico de f(x) = 2x em relac¸a˜o ao eixo y. De fato, vale que f(−x) = 2−x = ( 1 2 )x = g(x). Propriedades da func¸a˜o exponencial: 1. f(a+ b) = f(a) · f(b) 2. f(a− b) = f(a) f(b) 3. f(0) = 1 1.8. OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES 15 4. Se f(x) = bx e g(x) = (1/b)x enta˜o os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo y. Ou seja f(−x) = g(x). Uma base especial que sera´ estuda ao longo do texto e´ obtida pelo nu´mero e ≈ 2, 718. O valor exato de e e´ dado por e = 2 + 1 2 + 1 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + 1 2 · 3 · 4 · 5 + ..., uma soma que envolve infinitas parcelas. Podemos obter aproximac¸o˜es do nu´mero e somando-se uma quantidade finita de parcelas. Por exemplo, 2 + 1 2 + 1 2 · 3 = 2, 6666... 2 + 1 2 + 1 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 = 2, 70833333... 1.8 Operac¸o˜es envolvendo func¸o˜es Definic¸a˜o 28 Se a e´ um nu´mero no domı´nio das func¸o˜es f e g definimos, (f + g)(a) = f(a) + g(a) (f − g)(a) = f(a)− g(a) (f · g)(a) = f(a) · g(a) f g (a) = f(a) g(a) , se g(a) 6= 0. Exemplo 29 Se f(x) = 2/x e g(x) = 5x−2 enta˜o (f + g)(x) = 2 x + 5 x− 2 = 2(x− 2) + 5x x(x− 2) = 7x− 4 x(x− 2) . Note que Dom(f + g) na˜o conte´m os nu´meros 0 e 2. (f/g)(x) = 2/x 5/(x− 2) = 2(x− 2) 5x Embora a expressa˜o esteja definida em x = 2, este nu´mero na˜o pertence ao domı´nio de (f · g) pois na˜o pertence ao domı´nio de g. Se f(x) = 2/x e g(x) = x/3 enta˜o (f · g)(x) = 2/3. Embora esta expressa˜o esteja definida em x = 0, este nu´mero na˜o pertence ao domı´nio de f · g pois na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o f . Ale´m das 4 operac¸o˜es acima (compat´ıveis com as operac¸o˜es envolvendo nu´meros) as func¸o˜es admitem a operac¸a˜o de composic¸a˜o. Definic¸a˜o 30 Dadas func¸o˜es f : A → R e g : B → R, se f(x) ∈ B para todo x ∈ A podemos definir uma nova func¸a˜o h : A→ R por h(x) = g ◦ f onde (g ◦ f)(x) = g(f(x)) e´ a composta de f e g. Exemplo 31 f(x) = x+ 2 e g(x) = x2 (g ◦ f)(1) =? f(1) = 3 e g(3) = 9 enta˜o (g ◦ f)(1) = 9. 16 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES (g ◦ f)(5) =? f(5) = 7 e g(7) = 49 enta˜o (g ◦ f)(5) = 49. Outra forma (g ◦ f)(10) = g(f(10)) = g(10 + 2) = g(12) = 122 = 144. (g ◦ f)(0) = g(f(0)) = g(2) = 22 = 4. Em geral, usando a varia´vel auxiliar t: (g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(t+ 2) = (t+ 2)2 = t2 + 4t+ 4 ou seja (trocando t por x) (g ◦ f)(x) = x2 + 4x+ 4. Exemplo 32 As func¸o˜es f ◦ g e g ◦ f sa˜o em geral diferentes. Dadas f(x) = x/2 e g(x) = 3x2 + 1. Comparando-se o que acontece em x = 4 obtemos (f ◦ g)(4) = f(g(4)) = f(3 · 42 + 1) = f(49) = 24, 5 (g ◦ f)(4) = g(f(4)) = g(4/2) = g(2) = 3 · 22 + 1 = 13. Note que em geral (g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(t/2) = 3t2/4 + 1 =⇒ (g ◦ f)(x) = 3x 2 + 4 4 . (f ◦ g)(t) = f(g(t)) = f(3t2 + 1) = 3t 2 + 1 2 =⇒ (f ◦ g)(x) = 3x 2 + 1 2 . Func¸a˜o inversa Definic¸a˜o 33 Dadas f : A → R e g : B → R, dizemos que f e g sa˜o func¸o˜es inversas se (f ◦ g)(x) = x para todox ∈ B e (g ◦ f)(x) = x para todox ∈ A. Notac¸a˜o: f−1 denota a inversa de f . Exemplo 34 f(x) = 2x+ 3 e g(x) = x−32 sa˜o func¸o˜es inversas. De fato, (f ◦ g)(t) = f(g(t)) = f( t− 3 2 ) = 2 ( t− 3 2 ) + 3 = t (g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(2t+3) = (2t+ 3)− 3 2 = t. Exemplo 35 Determine a func¸a˜o inversa de f(x) = 7x+ 2. Soluc¸a˜o: Escrevendo y = 7x+2 temos que os valores de y sa˜o determinados pelas escolhas dos valores de x. A func¸a˜o inversa busca determinar os valores de x a partir das escolhas de valores de y. Para isso observamos que y = 7x+ 2⇐⇒ y − 2 = 7x⇐⇒ y − 2 7 = x. A func¸a˜o inversa e´ dada por f−1(y) = y−27 . Ou, na tradicional varia´vel x, f−1(x) = x−27 . Note que se f(a) = b enta˜o f−1(b) = a. 1.8. OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES 17 Exemplo 36 Considere a func¸a˜o f : R→ R, f(x) = x2. Supondo ser poss´ıvel calcularmos sua inversa, qual seria o valor de f−1(4)? Como f(2) = 4, devemos ter f−1(4) = 2. Como f(−2) = 4, devemos ter tambe´m f−1(4) = −2. Isso contradiz a definic¸a˜o de func¸a˜o. A func¸a˜o f na˜o possui inversa. Teste da reta horizontal: Se f e´ invert´ıvel, cada reta horizontal encontra seu gra´fico em no ma´ximo um ponto. Note que o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 na˜o verifica o teste da reta hori- zontal. A reta horizontal de altura y = 4 encontra o gra´fico de y = x2 em dois pontos. Esta func¸a˜o na˜o e´ invert´ıvel. Exemplo 37 A func¸a˜o f : [0,+∞) → R, f(x) = x2 e´ invert´ıvel. Sua inversa e´ dada por g : [0,+∞)→ R, g(x) = √x. Note que os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a reta y = x. Note que para f invert´ıvel sa˜o equivalentes: 18 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES (a, b) esta´ no gra´fico de f f(a) = b f−1(b) = a (b, a) esta´ no gra´fico de f−1 Os gra´ficos de f e f−1 sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a reta y = x. Exemplo 38 Se restringirmos a func¸a˜o seno ao intervalo [−pi/2, pi/2], o gra´fico correspondente ira´ satisfazer o teste da reta horizontal. A inversa de sen(x), x ∈ [−pi/2, pi/2] e´ conhecida como func¸a˜o arco-seno, y = arcsen(x), x ∈ [−1, 1]. 1.9 Func¸a˜o logaritmo Se b > 0, b 6= 1 temos que o gra´fico da func¸a˜o exponencial y = bx verifica o teste da reta horizontal. A inversa da func¸a˜o exponencial e´ chamada de func¸a˜o logar´ıtmica e denotada por y = logb(x), x > 0. Exemplo 39 Para a base b = 2 temos os gra´ficos abaixo: Colocados em um mesmo sistema de coordenadas e´ poss´ıvel observar-se a simetria em relac¸a˜o a reta y = x: 1.10. EXERCI´CIOS 19 Temos que log2(a) = b se 2 b = a, assim: log2(8) = 3, log2(4) = 2, log2(2) = 1, log2(1) = 0, log2(1/2) = −1. Propriedades: 1. logb(b x) = x (func¸o˜es inversas) 2. blogb(x) = x, x > 0 (func¸o˜es inversas) 3. logb(1) = 0 (consequeˆncia de 1. com x=0) 4. logb(α · β) = logb(α) + logb(β), α > 0, β > 0 5. logb(α/β) = logb(α)− logb(β), α > 0, β > 0 6. logb(x α) = α logb(x), x > 0 Vamos trabalhar com uma base especial dada por e ≈ 2, 71828. Neste caso a func¸a˜o logar´ıtmica e´ chamada de logaritmo natural e denotada por y = ln(x), x > 0. Abaixo apresentamos os gra´ficos da func¸a˜o exponencial natural y = ex e da func¸a˜o logaritmo natural y = ln(x) em um mesmo sistema de eixos. 1.10 Exerc´ıcios Q1 - Determine quais dos pontos esta˜o no gra´fico da func¸a˜o f(x) = (x− 3)2: a) (1,−4) b) (2, 1) c)(9, 0) d)(0, 9) e)(5, 4) Q2 - Determine quais dos pontos esta˜o no gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2− 3x , cujo domı´nio considerado e´ o intervalo (2, 7]: 20 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES a) (1,−2) b) (2, 52), c) (52 ,−54), d) (10, 99710 ) e) (3, 8) f) (6, 712 ) Q3 - Determine a inclinac¸a˜o e fac¸a um esboc¸o da reta que passa pelos pontos de coordenadas: a) (1,3) e (3,7) b) (2,5) e (0,7) c) (0,0) e (3,5) d) (2,4) e (5,4). Q4 - Determine o valor de a e b na func¸a˜o f(x) = ax + b, sabendo que seu gra´fico e´ uma reta: a) com inclinac¸a˜o 5 e contendo o ponto (1, 8) b) com inclinac¸a˜o -3 e contendo o ponto (2, 4) c) com inclinac¸a˜o 0 e contendo o ponto (5, 1) d) com inclinac¸a˜o -2 e contendo o ponto (15 , 3 7) Q5 - Determine o domı´nio da func¸a˜o: a) f(x) = √ 2x+ 3 b) g(t) = 13t+7 , c) h(s) = s 2 − s√ 9−2s d) f(x) = 5. e) g(x) = √ x− 1 f) h(x) = 2 x2+3 g) f(x) = 5x+1 x2−4 . Q6 - Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o, destacando o ve´rtice da para´bola e as poss´ıveis intersec¸o˜es com os eixos: a)f(x) = 2x2 + 2x− 4 b)f(x) = −3x2 + x c)f(x) = x2 − 4x+ 14 d)g(x) = 3x2 − 18x+ 15 e)f(x) = −x2 + 4x− 3 f)g(x) = x2 − 9 Q7 - Determine f ◦ g e g ◦ f onde: a) f(x) = 3x− 5, g(x) = x2 − 1 b) f(x) = 5x+ 2 g(x) = x5 − 2 c) f(x) = 2x , g(x) = 1 2x d) f(x) = x+ 2 g(x) = 3x− 1 Q8 - Determine func¸o˜es y = y(u) e u = u(x) sabendo que: (obs. ha´ mais de uma resposta poss´ıvel) a) y(u(x)) = 3x+ 5 b) y(u(x)) = cos(x2 + 1) c) y(u(x)) = sen(cos(x)) + 3 d) y(u(x)) = sen(x) + 1sen(x) e) y(u(x)) = cos(x)−5cos(x) f) y(u(x)) = (sen(x))2 + sen(x)2 g) y(u(x)) = sen(x 2) cos(x2) Q9 - Determine a func¸a˜o f−1 (inversa de f): a) f(x) = x+ 3 b) f(x) = 8x 1.10. EXERCI´CIOS 21 c) f(x) = 8x+ 3 d) f(x) = x3 + 5 e) f(x) = 7x− 49 f) f(x) = 3x g)f(x) = 3 √ x+ 1− 3 h)f(x) = (x−2) 3+5 7 i)f(x) = (x− 1)2 + 2, com domı´nio [1,+∞) j)f(x) = x Q10 - Determine: a) log2(64) b) log5(625) c) log10(10 5) d) ln(e) e) ln(e3) f) eln(5) Q11 - Determine o valor de x: a) e2x = e6 b) ln(e3x) = 18 c) e2 ln(x) = 9 d) ln(2e)− ln(2x) = 1 e) ln(x2)− ln(x) = 0 f) ln(ex) + ln(e3) = 5 Q12 - Sabendo que sen(pi/4) = cos(pi/4) = √ 2 2 sen(pi/6) = 1/2 e cos(pi/6) = √ 3/2, determine: a)sen(3pi) b)sen(7pi/2) c)cos(7pi4 ) d)cos( 3pi 4 ) e)sen(9pi4 ) f)sen(−pi/4) g)sen(pi/3), h)cos(pi/3) i)sen(−pi/6) j)cos(−pi/6) k)sen(5pi/6) l)cos(5pi/6) Respostas Q1 - b, d, e. Q2 - e, f Q3 - inclinac¸o˜es: a) 2 , b) -1, c) 5/3 , d) 0 Q4 - a)5x+3, b) -3x+10, c) 0x+1, d) −2x+ 2935 Q5 - a) Dom(f) = [−32 ,+∞) b) Dom(g) = R− {−7/3} c) Dom(h) = (−∞, 9/2) d) Dom(f) = R e) Dom(g) = [1,+∞) f) Dom(h) = R g) Dom(f) = R− {−2, 2} Q6 - a) eixo x: 1 e -2, eixo y: -4 ve´rtice (−1/2,−9/2) b) eixo x: 1/3 e 0, eixo y: 0 ve´rtice (1/6, 1/12) c) eixo x: na˜o ha´ eixo y: 14 ve´rtice (2, 10) d) eixo x: 1 e 5, eixo y: 15 ve´rtice (3,−12) e) eixo x: 1 e 3, eixo y: -3 ve´rtice (2, 1) f) eixo x: -3 e 3, eixo y: -9 ve´rtice (0,−9) Q7 - a) (f ◦ g)(x) = 3x2 − 8 (g ◦ f)(x) = 9x2 − 30x+ 24 b) (f ◦ g)(x) = x− 8 (g ◦ f)(x) = x− 8/5 c) (f ◦ g)(x) = 4x (g ◦ f)(x) = x4 22 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES d) (f ◦ g)(x) = 3x+ 1 (g ◦ f)(x) = 3x+ 5 Q9- a) f−1(x) = x− 3 b)f−1(x) = x/8 c)f−1(x) = x−38 d)f−1(x) = (x− 5)1/3 e)f−1(x) = x7 + 7 f)f−1(x) = 3/x g) f−1(x) = (x+3)3−1, h) f−1(x) = 3√7x− 5+2, i) f−1(x) = √x− 2+1, x ≥ 2 j) f−1(x) = x Q10− a)6 b)4 c)5 d)1 e)3 f)5 Q11− a)3 b)6 c)3 d)1 e)1 f)2 Q12 - a) 0 b)− 1 c) √ 2 2 d)− √ 2 2 e) √ 2 2 f)− √ 2 2 g) √ 3/2 h)1/2 i)− 1/2 j)√3/2 k)1/2 l)−√3/2 Cap´ıtulo 2 Limites 2.1 Definic¸o˜es Como motivac¸a˜o para os conceitos apresentamos neste cap´ıtulo apresentamos alguns exemplos e comenta´rios Exemplo 40 Iniciamos buscando entender a expansa˜o decimal do nu´mero α = √ 2. Para isso vamos supor que a func¸a˜o y = √ x e´ crescente, ou seja se a < b enta˜o √ a < √ b. Como α = √ x obtemos que α2 = 2. Como 11 = 1 e 22 = 4 conclu´ımos que 1 < α < 2. Em particular a expansa˜o decimal de α sera´ da forma α = 1, a1a2a3a4a5... onde os d´ıgitos a1, a2, etc precisam ser determinados. Para determinarmos o d´ıgito a1 calculamos (1, 1) 2, ..., (1, 9)2. Como (1, 4)2 = 1, 96 e (1, 5)2 = 2, 25 conclu´ımos que 1, 4 < α < 1, 5. Em particular α = 1, 4a2a3a4.... Para determi- narmos o d´ıgito a2 calculamos (1, 41) 2, ..., (1, 49)2. Como (1, 41)2 = 1, 9881 e (1, 42)2 = 2, 0164 conclu´ımos que α = 1, 41a3a4a5... E´ matematicamente demonstrado que este processo nunca ira´ acabar. Na˜o e´ poss´ıvel obtermos √ 2 a partir de uma ex- pansa˜o finita.Assim em cada nova iterac¸a˜o do processo o que conseguimos obter e´ uma melhor aproximac¸a˜o da expansa˜o de √ 2. Note no entanto que fi- xado qualquer valor de erro admiss´ıvel � e´ poss´ıvel obtermos uma aproximac¸a˜o de √ 2 com erro menor que �. Por exemplo, 1,4 e´ uma aproximac¸a˜o de √ 2 com erro menor que 110 . 1,41 e´ uma aproximac¸a˜o de √ 2 com erro menor que 1100 . 23 24 CAPI´TULO 2. LIMITES Exemplo 41 Qual o valor mais natural para resultado da soma: S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ...? Temos: 1 2 + 1 4 = 3 4 = 1− 1 4 . 1 2 + 1 4 + 1 8 = 7 8 = 1− 1 8 . 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 15 16 = 1− 1 16 . Note que quanto mais parcelas somamos, mais pro´ximo o resultado fica de 1. Fixado qualquer valor de erro admiss´ıvel �, basta somarmos um nu´mero suficiente grande de parcelas para que o resultado seja pro´ximo de 1 com erro menor que �. Definic¸a˜o 42 Dizemos que f(x) tende a L quando x tende ao nu´mero a se para qualquer erro � > 0 fixado, temos que f(x) ∈ (L− �, L+ �) para todo x 6= a suficientemente pro´ximo de a. Notac¸a˜o: lim x→a f(x) = L. Do ponto de vista informal, dizemos que: “quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de L”. Na definic¸a˜o acima escrevemos “para todo x 6= a suficientemente pro´ximo de a”. Ao analisarmos o limite quando x tende ao nu´mero a na˜o consideramos o valor f(a), mas os valores de f(x) em nu´meros pro´ximos, mas diferentes de a. Exemplo 43 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que: f(2) = 4, mas lim x→2 f(x) = 2. f(5) = 3, e lim x→5 f(x) = 3. 2.1. DEFINIC¸O˜ES 25 Definic¸a˜o 44 (limites laterais) Dizemos que f(x) tende a L quando x tende ao nu´mero a pela esquerda, se para qualquer erro � > 0 fixado, temos que f(x) ∈ (L− �, L+ �) para todo x < a suficientemente pro´ximo de a. Notac¸a˜o: lim x→a− f(x) = L. Dizemos que f(x) tende a L quando x tende ao nu´mero a pela direita, se para qualquer erro � > 0 fixado, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �) para todo x > a suficientemente pro´ximo de a. Notac¸a˜o: lim x→a+ f(x) = L. Exemplo 45 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que: f(2) = 4, lim x→2− f(x) = 3, lim x→2+ f(x) = 2 f(5) = 1, lim x→5− f(x) = 2, lim x→5+ f(x) = 1 Limites infinitos: lim x→a f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para x 6= a suficientemente pro´ximo de a. lim x→a f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para x 6= a suficientemente pro´ximo de a. Definic¸o˜es ana´logas ocorrem para limites laterais. Exemplo 46 A func¸a˜o f(x) = 1x−3 satisfaz: lim x→3+ f(x) = +∞, lim x→3− f(x) = −∞ 26 CAPI´TULO 2. LIMITES Limites no infinito lim x→+∞ f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para x suficientemente maior que zero. lim x→+∞ f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para x suficientemente maior que zero. lim x→+∞ f(x) = L se para qualquer erro � > 0 fixado temos que f(x) ∈ (L−�, L+�) para todo x suficientemente maior que zero. lim x→−∞ f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para x suficientemente menor que zero. lim x→−∞ f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para x suficientemente menor que zero. lim x→−∞ f(x) = L se para qualquer erro � > 0 fixado temos que f(x) ∈ (L−�, L+�) para todo x suficientemente menor que zero. Exemplo 47 As func¸o˜es f(x) = x4 e g(x) = x3 satisfazem: lim x→−∞ f(x) = +∞ e limx→+∞ f(x) = +∞ lim x→−∞ g(x) = −∞ e limx→+∞ g(x) = +∞ Exemplo 48 A func¸a˜o exponencial natural f(x) = ex satisfaz lim x→−∞ e x = 0 e lim x→+∞ e x = +∞. A func¸a˜o logaritmo natural g(x) = ln(x) satisfaz lim x→0+ ln(x) = −∞ e lim x→+∞ ln(x) = +∞. 2.2. PROPRIEDADES BA´SICAS 27 Exemplo 49 A func¸a˜o f(x) = sen(x)x satisfaz: limx→+∞ sen(x) x = 0. 2.2 Propriedades ba´sicas Casos ba´sicos: 28 CAPI´TULO 2. LIMITES Propriedades: Se lim x→a f(x) = L e limx→a g(x) = H enta˜o 1. lim x→a(f(x) + g(x)) = L+H 2. lim x→a(f(x)− g(x)) = L−H 3. lim x→a(f(x) · g(x)) = L ·H 4. lim x→a f(x) g(x) = L/H se H 6= 0. 5. lim x→a(k · f(x)) = k · L 2.3 Limites envolvendo func¸o˜es polinomiais Exemplo 50 lim x→3 x2 = lim x→3 x · x = (lim x→3 x)( lim x→3 x) = 3 · 3 = 9. e lim x→3 x3 = lim x→3 x · x · x = (lim x→3 x)( lim x→3 x)( lim x→3 x) = 3 · 3 · 3 = 27. Em geral lim x→3 xn = 3n. Proposic¸a˜o 51 lim x→ax n = an. Exemplo 52 lim x→5 (3x2 + 8x) = 3 lim x→5 x2 + 8 lim x→5 x = 3 · 52 + 8 · 5 = 115. e lim x→−2 (4x3 + 3x2 − x− 2) = 4 lim x→−2 x3 + 3 lim x→−2 x2 − lim x→−2 x− lim x→−2 2 = = 4 · (−2)3 + 3(−2)2 − (−2)− 2 = −32 + 12 = −20. Proposic¸a˜o 53 Se y = p(x) e´ uma func¸a˜o polinomial enta˜o lim x→a p(x) = p(a). 2.4. LIMITES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES RACIONAIS 29 Exemplo 54 lim x→−1 x4 + 3x− 7 = (−1)4 + 3(−1)− 7 = −9. lim x→5 x3 − 2x2 + 10 = (5)3 − 2(5)2 + 10 = 85. Limites no infinito Exemplo 55 - lim x→+∞(3x 5 − 10x2 + 2) = lim x→+∞x 5(3− 10 x3 + 2 x5 ) = lim x→+∞x 5 · 3 = +∞. lim x→+∞(−5x 3 + 7x) = lim x→+∞x 3(−5 + 7 x2 ) = lim x→+∞x 3 · (−5) = −∞. lim x→−∞(−7x 6 + 15x4 − 1) = lim x→−∞x 6(−7 + 15 x2 − 1 x6 ) = lim x→−∞x 6 · (−7) = −∞. lim x→−∞(−5x 7 + 10x2 + x) = lim x→−∞x 7(−5 + 10 x5 + 1 x6 ) = lim x→−∞x 7 · (−5) = +∞. Proposic¸a˜o 56 Se an, an−1, ..., a1, a0 sa˜o constantes e an 6= 0: lim x→−∞(anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0) = lim x→−∞ anx n lim x→+∞(anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0) = lim x→+∞ anx n Exemplo 57 - lim x→+∞(7x 8 − 3x5 + 2) = lim x→+∞ 7x 8 = +∞ lim x→−∞(7x 8 − 3x5 + 2) = lim x→−∞ 7x 8 = +∞ lim x→+∞(5x 3 − 2x+ 1) = lim x→+∞ 5x 3 = +∞ lim x→−∞(5x 3 − 2x+ 1) = lim x→−∞ 5x 3 = −∞ lim x→+∞(−8x 5 + 4x4 + x) = lim x→+∞−8x 5 = −∞ lim x→−∞(−8x 5 + 4x4 + x) = lim x→−∞−8x 5 = +∞ 2.4 Limites envolvendo func¸o˜es racionais Limites no infinito Exemplo 58 - lim x→−∞ 3x4 + 2x3 + x 2x4 − x2 + x = limx→−∞ x4(3 + 2 1x + 1 x3 ) x4(2− 1 x2 + 1 x3 ) = lim x→−∞ 3x4 2x4 = 3 2 lim x→+∞ 7x5 + 4x3 + x2 x4 − x2 + x = limx→+∞ x5(7 + 4 1 x2 + 1 x3 ) x4(1− 1 x2 + 1 x3 ) = lim x→+∞ 7x5 x4 = lim x→+∞ 7x = +∞ lim x→+∞ 7x4 + 4x3 + x2 x7 − x2 + x = limx→+∞ x4(7 + 4 1x + 1 x2 ) x7(1− 1 x5 + 1 x6 ) = lim x→+∞ 7x4 x7 = lim x→+∞ 7 x3 = 0 Proposic¸a˜o 59 Se an, ..., a1, a0 e bm, ..., b1, b0 sa˜o constantes com an 6= 0 e bm 6= 0: lim x→−∞ anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b2x2 + b1x+ b0 = lim x→−∞ anx n bmxm lim x→+∞ anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b2x2 + b1x+ b0 = lim x→+∞ anx n bmxm Exemplo 60 - lim x→−∞ 9x6 + 4x5 + x3 2x5 − x4 + x = limx→−∞ 9x6 2x5 = lim x→−∞ 9x 2 = −∞ 30 CAPI´TULO 2. LIMITES lim x→+∞ 9x6 + 4x5 + x3 2x5 − x4 + x = limx→+∞ 9x6 2x5 = lim x→+∞ 9x 2 = +∞ lim x→−∞ 7x9 + 4x5 + x3 2x5 − x4 + x = limx→−∞ 7x9 2x5 = lim x→−∞ 7x4 2 = +∞ lim x→+∞ 7x9 + 4x5 + x3 2x5 − x4 + x = limx→+∞ 7x9 2x5 = lim x→+∞ 7x4 2 = +∞ lim x→+∞ 7x9 + 4x5 + x3 2x9 − x4 + x = limx→+∞ 7x9 2x9 = lim x→+∞ 7 2 = 7 2 lim x→−∞ 7x6 + 4x5 + x3 2x9 − x4 + x = limx→−∞ 7x6 2x9 = lim x→−∞ 7 2x3 = 0. 2.4. LIMITES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES RACIONAIS 31 Limites em valores do domı´nio: lim x→a P (x)Q(x) = P (a) Q(a) , se Q(a) 6= 0. Exemplo 61 lim x→1 7x6 + 4x5 + x3 2x9 − x4 + x = 7(1)6 + 4(1)5 + (1)3 2(1)9 − (1)4 + (1) = 12 2 = 6. Limites infinitos lim x→a− P (x) Q(x) = +∞ ou −∞ , se P (a) 6= 0 e Q(a) = 0. lim x→a+ P (x) Q(x) = +∞ ou −∞ , se P (a) 6= 0 e Q(a) = 0. Dividir o polinoˆmio Q(x) por (x− a). Exemplo 62 - lim x→2− x2 − 1 x2 − 4 = limx→2− x2 − 1 (x− 2)(x+ 2) = limx→2− x2 − 1 x+ 2 1 x− 2 = limx→2− 3 4 1 x− 2 = −∞ lim x→2+ x2 − 1 x2 − 4 = limx→2+ x2 − 1 (x− 2)(x+ 2) = limx→2+ x2 − 1 x+ 2 1 x− 2 = limx→2+ 3 4 1 x− 2 = +∞ Exemplo 63 - lim x→3− x2 + x x2 − 6x+ 9 = limx→3− x2 + x (x− 3)(x− 3) = limx→3− 12 (x− 3)2 = +∞ lim x→3+ x2 + x x2 − 6x+ 9 = limx→3+ x2 + x (x− 3)(x− 3) = limx→3+ 12 (x− 3)2 = +∞ 32 CAPI´TULO 2. LIMITES Indeterminac¸o˜es lim x→a− P (x) Q(x) com P (a) = Q(a) = 0. lim x→a+ P (x) Q(x) com P (a) = Q(a) = 0. Pode ocorrer qualquer tipo de resultado, dependendo das func¸o˜es P e Q. Dividir P (x) e Q(x) por (x− a). Exemplo 64 - lim x→3 x2 − 2x− 3 x2 − 5x+ 6 = limx→3 (x− 3)(x+ 1) (x− 3)(x− 2) = limx→3 (x+ 1) (x− 2) = 4 1 = 4. lim x→2 x2 + x− 6 x2 − 4 = limx→2 (x− 2)(x+ 3) (x− 2)(x+ 2) = limx→2 (x+ 3) (x+ 2) = 5 4 lim x→1 x3 + x2 − 3x+ 1 x2 − 4x+ 3 = limx→1 (x− 1)(x2 + 2x− 1) (x− 1)(x− 3) = limx→1 (x2 + 2x− 1) (x− 3) = −1 lim x→1 x2 − 2x+ 1 x2 − 1 = limx→1 (x− 1)(x− 1) (x− 1)(x+ 1) = limx→1 (x− 1) (x+ 1) = 0 lim x→1+ x2 − 1 x2 − 2x+ 1 = limx→1+ (x− 1)(x+ 1) (x− 1)(x− 1) = limx→1+ 2 (x− 1) = +∞ 2.5 Continuidade Dizemos que f e´ cont´ınua em x = a se f(a) esta´ definida e limx→a f(x) = f(a). As func¸o˜es que estudamos no cap´ıtulo 1, bem como as obtidas a partir de operac¸o˜es de soma, subtrac¸a˜o, produto, quociente e composic¸a˜o sa˜o cont´ınuas em seus domı´nios. Uma forte raza˜o para uma func¸a˜o na˜o ser cont´ınua esta´ na mudanc¸a de sua fo´rmula a partir de um determinado ponto. Exemplo 65 A func¸a˜o f(x) = 3x+ 1 se x ≤ 1x2 + 2 se x > 1 na˜o e´ cont´ınua em x = 1. De fato lim x→1+ f(x) = lim x→1+ x2 + 2 = 12 + 2 = 3 enquanto f(1) = 3 · 1 + 1 = 4. Exerc´ıcios: Q1 - Determine: a) lim x→+∞ 3x 2 + 5x3 − 4x5 2.5. CONTINUIDADE 33 b) lim x→+∞ 2x 2 + 3x− 1 c) lim x→−∞ 5x 4 − 2x+ 8 d) lim x→−∞−8x 6 + 7x3 e) lim x→−∞−2x 3 + 8x− 1 f) lim x→−∞ 5x 3 + 4x2 g) lim x→2 5x3 + 8x− 1 h) lim x→1 8x7 − 3x5 + 12 Q2 - Determine: a) lim x→+∞ −5x2 − 3x 8x2 + 7 b) lim x→−∞ 3x5 − 7x4 + 2x− 1 6x5 + 3x2 c) lim x→−∞ 5x4 − 2x+ 15 50x3 + 28x2 d) lim x→−∞ −8x7 + 12x3 + 5 2x4 + 8x3 − 1 e) lim x→+∞ 2x3 + 8x− 12 −8x+ 4 f) limx→−∞ −500x3 + 4x2 2x4 − 1 g) lim x→+∞ 1000x7 + 500x3 − 10 −x15 + 30x2 h) limx→+∞ 28x9 − 3x5 + 400 7x9 − 80x6 Q3 - Determine: a) lim x→2 x2 + 5x− 5 x2 + 3x+ 1 b) lim x→1 8x− 8 10x− 10 c) limx→3 (x− 2)(x− 3) 6x− 18 d) lim x→−5 (x+ 3)(x+ 5) (x− 1)(x− 5) e) limx→0 x2 − 2x x3 − x f) limx→1 x2 − 3x+ 2 x2 − 5x+ 4 g) lim x→3 x2 − x− 6 x2 − 9 h) limx→2 3x2 − 4 2x2 − 6 i) limx→4 x2 − x− 12 x2 + 16 j) lim x→3+ x3 − 2 x− 3 k) limx→2+ x2 − 8 x− 2 l) limx→1 x3 − 2x+ 1 x2 + x− 2 m) lim x→0 x4 − 2x x3 + x2 − 2x n) limx→2 x4 − 4x3 + 16 x2 − 4 o) limx→1 x3 − 3x+ 2 x2 + x Q4 - Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o satisfazendo: a) f(0) = 3, f(2) = 5, lim x→2 f(x) = 1, lim x→+∞ f(x) = 2, limx→−∞ f(x) = 2 b) f(0) = 4, f(1) = 4, lim x→1 f(x) = 5, lim x→−∞ f(x) = 5, limx→+∞ f(x) = −1 c) lim x→−∞ f(x) = −3, limx→+∞ f(x) =∞, f(x) 6= 0 para todo x ∈ R d) f(0) = −1, f(−1) = 0, lim x→−∞ f(x) = +∞, limx→+∞ f(x) = −∞ Q5 - Determine se a func¸a˜o e´ cont´ınua e fac¸a o esboc¸o de seu gra´fico: a) f(x) = x2 + x− 1, x ≤ 1x, x > 1 b) f(x) = x2, x ≤ 2x+ 1, x > 2 Respostas: Q1 - a)−∞ b) +∞ c) +∞ d)−∞ e) +∞ f)−∞ g)55 h)17 Q2 - a)− 5/8 b)1/2 c)−∞ d) +∞ e)−∞ f)0 g)0 h)4 Q3 - a)9/11 b)4/5 c)1/6 d)0 e)2 f)1/3 g)5/6 h)4 i)0 j) +∞ k)−∞ l)1/3 m)1 n)− 4 o)0. Q5 - a) e´ cont´ınua b) e´ descont´ınua em x = 2 34 CAPI´TULO 2. LIMITES Cap´ıtulo 3 Derivada 3.1 Taxa de variac¸a˜o me´dia Se f esta´ definida em [a, b], dizemos que ∆f ∆x = f(b)− f(a) b− a e´ a taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b]. Exemplo 66 Se f(x) = 3x+ 5, A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [1, 6] e´ dada por f(6)−f(1) 6−1 = 23−8 5 = 15 5 = 3 A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [2, 4] e´ dada por f(4)−f(2) 4−2 = 17−11 2 = 6 2 = 3 Observac¸a˜o: A taxa de variac¸a˜o me´dia de uma func¸a˜o afim f(x) = mx+ b e´ igual ao coeficiente angular m (inclinac¸a˜o da reta). Exemplo 67 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento 1. no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por f(1)−f(0) 1−0 = 1−0 1−0 = 1 no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(1) 2−1 = 4−1 2−1 = 3 no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(2) 3−2 = 9−4 3−2 = 5 no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(3) 4−3 = 16−9 4−3 = 7 Note que aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unidades. Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 1)− f(a) (a+ 1)− a = (a+ 1)2 − a2 1 = a2 + 2a+ 1− a2 1 = 2a+ 1 35 36 CAPI´TULO 3. DERIVADA Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9] variac¸a˜o me´dia (2a+ 1) 3 5 7 9 11 13 15 17 Exemplo 68 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento 2. no intervalo [0, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(0) 2−0 = 4−0 2 = 2 no intervalo [1, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(1) 3−1 = 9−1 2 = 4 no intervalo [2, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(2) 4−2 = 16−4 2 = 6 no intervalo [3, 5] a taxa e´ dada por f(5)−f(3) 5−3 = 25−9 2 = 8 Novamente, cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unida- des. Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 2] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 2)− f(a) (a+ 2)− a = (a+ 2)2 − a2 2 = a2 + 4a+ 4− a2 2 = 2a+ 2 Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 2] [1, 3] [2, 4] [3, 5] [4, 6] [5, 7] [6, 8] [7, 9] [8, 10] variac¸a˜o me´dia (2a+ 2) 4 6 8 10 12 14 16 18 Exemplo 69 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = 2x em intervalos de comprimento 1. no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por f(1)−f(0) 1−0 = 2−1 1−0 = 1 no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(1) 2−1 = 4−2 1 = 2 no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(2) 3−2 = 8−4 1 = 4 no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(3) 4−3 = 16−8 1 = 8 Aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ multiplicado por 2. Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 1)− f(a) (a+ 1)− a = 2a+1 − 2a 1 = 2 · 2a − 2a 1 = 2a 3.2. TAXA DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA E DERIVADA 37 Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9] variac¸a˜o me´dia (2a) 2 4 8 16 32 64 128 256 Interpretac¸a˜o geome´trica: A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b] e´ a inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico de f pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Exemplo 70A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que a taxa de variac¸a˜o me´dia de f no intervalo [4, 8] e´ dada por f(8)− f(4) 8− 4 = 4− 6 8− 4 = −2 4 = −1 2 . 3.2 taxa de variac¸a˜o instantaˆnea e derivada A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em a e´ dada por lim b→a f(b)− f(a) b− a se o limite existir. Notac¸o˜es: f ′(a) ou dfdx ∣∣∣ x=a Observac¸a˜o: Escrevendo h = b− a (e portanto b = a+ h) temos df dx ∣∣∣∣ x=a = lim h→0 f(a+ h)− f(a) h Exemplo 71 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f(x) = x2 em diferentes valores. 38 CAPI´TULO 3. DERIVADA f ′(1) = lim h→0 f(1 + h)− f(1) h = lim h→0 (1 + h)2 − 12 h = lim h→0 (1 + 2h+ h2)− 1 h = lim h→0 2h+ h2 h = lim h→0 2 + h = 2. f ′(2) = lim h→0 f(2 + h)− f(2) h = lim h→0 (2 + h)2 − 22 h = lim h→0 (4 + 4h+ h2)− 4 h = lim h→0 4h+ h2 h = lim h→0 4 + h = 4. f ′(3) = lim h→0 f(3 + h)− f(3) h = lim h→0 (3 + h)2 − 32 h = lim h→0 (9 + 6h+ h2)− 9 h = lim h→0 6h+ h2 h = lim h→0 6 + h = 6. Em geral, se queremos a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em um nu´mero x qualquer calculamos f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 (x+ h)2 − x2 h = lim h→0 (x2 + 2xh+ h2)− x2 h = lim h→0 2xh+ h2 h = lim h→0 2x+ h = 2x. Definic¸a˜o 72 (Derivada) - Fixada uma func¸a˜o f , consideramos a partir desta uma nova func¸a˜o f ′ dada por f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h . Chamamos a func¸a˜o f ′ de derivada da func¸a˜o f . O domı´nio da func¸a˜o f ′ e´ formado pelos pontos no domı´nio de f onde existe o limite acima. Dizemos que f e´ diferencia´vel nestes pontos. Exemplo 73 - Se f(x) = k, onde k e´ uma constante temos que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 k − k h = lim h→0 0 = 0. Se f(x) = mx+ b e´ uma func¸a˜o afim temos que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 (m(x+ h) + b)− (mx+ b) h = lim h→0 (mx+mh+ b)− (mx+ b) h = lim h→0 mh h = m. Reta tangente: A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a reta que conte´m este ponto (x0, y0) = (a, f(a)) e possui inclinac¸a˜o m = f ′(a). Exemplo 74 Reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (3, 9): inclinac¸a˜o: m = f ′(3) = 2 · 3 = 6 ponto: (x0, y0) = (3, 9) equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 9 = 6(x− 3) −→ y = 6x− 18 + 9 −→ y = 6x− 9 3.3. DERIVADA DA SOMA, DIFERENC¸A, PRODUTO POR CONSTANTE 39 Note na figura acima que, pro´ximo do ponto (3, 9), e´ dif´ıcil perceber a diferenc¸a entre a reta y = 6x− 9 e o gra´fico de f . Localmente, em torno do ponto (a, f(a)), a reta tangente e´ a reta que melhor se ajusta ao gra´fico de f . Exemplo 75 Derivada de f(x) = x3: f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 (x+ h)3 − x3 h = lim h→0 (x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)− x3 h = lim h→0 3x2 + 3xh+ h2 = 3x2. Proposic¸a˜o 76 Para n = 1, 2, 3, 4, ... d dx xn = nxn−1 Exemplo 77 - d dx x = 1, d dx x2 = 2x, d dx x3 = 3x2, d dx x4 = 4x3, d dx x5 = 5x4 3.3 Derivada da soma, diferenc¸a, produto por cons- tante Proposic¸a˜o 78 - d dx (f(x) + g(x)) = d dx f(x) + d dx g(x) d dx (f(x)− g(x)) = d dx f(x)− d dx g(x) d dx ((cte) · f(x)) = (cte) · d dx f(x) As fo´rmulas podem ser aplicadas nos pontos onde f e g sa˜o diferencia´veis. Exemplo 79 d dx (3x2 + 5x+ 10) = d dx (3x2) + d dx (5x) + d dx (10) = 3 · d dx (x2) + 5 · d dx (x) + d dx (10) = 3 · (2x) + 5 · (1) + 0 = 6x+ 5 d dx (5x7 + 4x4 + 8x2 + x) = d dx (5x7) + d dx (4x4) + d dx (8x2) + d dx x 40 CAPI´TULO 3. DERIVADA = 5 · d dx (x7) + 4 · d dx (x4) + 8 · d dx (x2) + d dx x = 5 · (7x6) + 4 · (4x3) + 8 · (2x) + 1 = 35x6 + 16x3 + 16x+ 1. d dx (8x6 + 3x5 + 2x3 + 7) = d dx (8x6) + d dx (3x5) + d dx (2x3) + d dx 7 = 8 · d dx (x6) + 3 · d dx (x5) + 2 · d dx (x3) + d dx 7 = 8 · (6x5) + 3 · (5x4) + 2 · (3x2) + 0 = 48x5 + 15x4 + 6x2. 3.4 Derivadas das func¸o˜es seno e cosseno Teorema 80 d dx sen(x) = cos(x) e d dx cos(x) = −sen(x) Exemplo 81 - A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi/2 tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois cos(pi/2) = 0). A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = −1 ( pois cos(pi) = −1). A reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois sen(pi) = 0). Exemplo 82 Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = cos(x)+ 2x no ponto (0, 1). Obtenha a equac¸a˜o desta reta: Soluc¸a˜o: dydx = d dxcos(x) + d dx2x = −sen(x) + 2. Enta˜o dy dx ∣∣∣∣ x=0 = −sen(0) + 2 = 2. Inclinac¸a˜o da reta tangente: m = 2 Ponto:(x0, y0) = (0, 1) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 2(x− 0) −→ y = 2x+ 1. Equac¸a˜o da reta tangente: y = 2x+ 1. 3.5. REGRA DO PRODUTO 41 3.5 Regra do Produto Teorema 83 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um nu´mero x enta˜o f · g e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) Em notac¸a˜o compacta escrevemos (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ Outra notac¸a˜o: d dx (f(x) · g(x)) = ( d dx f(x) ) g(x) + f(x) ( d dx g(x) ) . Exemplo 84 - (x3 · x2)′ = (x3)′(x2) + (x3)(x2)′ = (3x2)(x2) + (x3)(2x) = 3x4 + 2x4 = 5x4. O resultado e´ coerente ja´ que a func¸a˜o que derivamos era y = x3 · x2 = x5. Note tambe´m que (x3 · x2)′ 6= (x3)′(x2)′ pois (x3)′(x2)′ = (3x2)(2x) = 6x3. Geralmente: (f · g)′ 6= f ′ · g′ Exemplo 85 - d dx(sen(x) · x4) = ( d dxsen(x) ) x4 + sen(x) ( d dxx 4 ) = cos(x) · x4 + sen(x) · 4x3 (sen(x) · cos(x))′ = (sen(x))′(cos(x)) + (sen(x))(cos(x))′ = (cos(x))(cos(x)) + (sen(x))(−sen(x)) = cos2(x)− sen2(x). (sen2(x))′ = (sen(x) · sen(x))′ = (sen(x))′(sen(x)) + (sen(x))(sen(x))′ = 2sen(x)cos(x). Observac¸a˜o: A regra do produto pode ser deduzida a partir dos ca´lculos abaixo: (f · g)′(x) = lim h→0 f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x) h = lim h→0 f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x) h = lim h→0 [f(x+ h)− f(x)]g(x+ h) + f(x)[g(x+ h)− g(x)] h 42 CAPI´TULO 3. DERIVADA = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h g(x+ h) + lim h→0 f(x) g(x+ h)− g(x) h = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x). 3.6 Regra do quociente Teorema 86 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em x e g(x) 6= 0 enta˜o fg e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso( f(x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)− f(x)g′(x) (g(x))2 . Exemplo 87 Para x 6= 0: d dx ( x5 x2 ) = ( d dxx 5 ) (x2)− (x5) ( ddxx2) (x2)2 = ( 5x4 ) (x2)− (x5) (2x) (x2)2 = 5x6 − 2x6 x4 = 3x2 O resultado e´ coerente, pois y = ( x5 x2 ) = x3 para x 6= 0. Note que ( x5 x2 )′ 6= (x5)′ (x2)′ pois (x5)′ (x2)′ = 5x4 2x = 5 2x 3. Geralmente: ( f g )′ 6= f ′ g′ Exemplo 88( 3x2 + 4x− 1 x+ 1 )′ = (3x2 + 4x− 1)′(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(x+ 1)′ (x+ 1)2 = (6x+ 4)(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(1) (x+ 1)2 = (6x2 + 10x+ 4)− (3x2 + 4x− 1) (x+ 1)2 = 3x2 + 6x+ 5 (x+ 1)2 ( sen(x) x )′ = (sen(x))′ (x)− (sen(x)) (x)′ x2 = (cos(x)) (x)− (sen(x)) (1) x2 = xcos(x)− sen(x) x2 3.7 Regra da cadeia Teorema 89 Se g e´ diferencia´vel em x e f e´ diferencia´vel em g(x) enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em x e (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). Outra notac¸a˜o: Escrevendo u = g(x) e y = f(u) = f(g(x)) dy dx = dy du · du dx . Exemplo 90 ddx(sen(x 2)) =? escrevemos u = x2 e y = sen(u) (assim y = sen(x2)). dy dx = dy du · du dx = ( ddu sen(u) )( d dx x2 ) = (cos(u)) (2x) = cos(x2) · 2x. Exemplo 91 ddx(sen(x)) 3 =? escrevemos u = sen(x) e y = u3 (assim y = (sen(x))3). dy dx = dy du · du dx = ( d du u3 )( d dx sen(x) ) = ( 3u2 ) (cos(x)) = 3(sen(x))2 · cos(x). 3.8. DERIVADAS DAS FUNC¸O˜ES EXPONENCIAL E LOGARITMO 43 Exemplo 92 ddx(cos(3x 2 + 5)) =? escrevemos u = 3x2 + 5 e y = cos(u) (assim y = cos(3x2 + 5)). dy dx = dy du · du dx = ( d du cos(u) )( d dx (3x2 + 5) ) = (−sen(u)) (6x) = −(sen(3x2 + 5)) · 6x. 3.8 Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo Toda func¸a˜o exponencial f(x) = bx, b > 0 conte´m o ponto (0, 1) em seu gra´fico. Temos interesse na reta que conte´m este ponto e possui inclinac¸a˜o m = 1. Neste caso a reta possui equac¸a˜o y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 1(x− 0) −→ y = x+ 1. A escolha da base b = e ≈ 2, 71828 esta´ relacionada com esta reta. Mais precisamente, se quisermos que a reta y = x + 1 seja tangente ao gra´fico da func¸a˜o exponencial y = bx no ponto de abscissa x = 0 devemos considerar a base b = e. Abaixo apresentamos em um mesmo sistema de eixos os gra´ficos de y = 2x, y = 3x e da reta y = x+ 1. Ao fazermos uma ampliac¸a˜o para ana´lise em torno do ponto (0, 1) vemos que os gra´ficos de y = 2x e y = 3x localmente parecem retas com inclinac¸o˜es respectivamente menor e maior que 1. Abaixo apresentamos o gra´fico de y = ex e da reta y = x+ 1 em um mesmo sistema de eixos. Para f(x) = ex temos que f ′(0) = 1 (inclinac¸a˜o da reta tangente no ponto 44 CAPI´TULO 3. DERIVADA de abscissa x = 0). Lembrando que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h obtemos que (para x = 0) 1 = lim h→0 e0+h − e0 h = lim h→0 eh − 1 h . (∗) Teorema 93 ddxe x = ex. obs: d dx ex = lim h→0 ex+h − ex h = lim h→0 ex ( eh − 1 h ) = ex lim h→0 eh − 1 h (∗) = ex Teorema 94 ddx ln(x) = 1 x obs: Escrevendo u(x) = ln(x) temos eu(x) = x. Derivando ambos os lados em relac¸a˜o a x: d dx eu(x) = d dx (x) = 1. (1) O lado esquerdo da equac¸a˜o pode ser derivado pela regra da cadeia escrevendo y = eu = eu(x) temos d dx eu(x) = dy dx = dy du · du dx = eu · du dx (2) Por (1) e (2) obtemos eu · du dx = 1 Assim du dx = 1 eu = 1 x . Exemplo 95 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ln(x) no ponto (1, 0). Soluc¸a˜o: dy dx = d dx ln(x) = 1 x . Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx ∣∣∣ x=1 = 1. Ponto: (1,0) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 0 = 1(x− 1) −→ y = x− 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ex no ponto (2, e2). Soluc¸a˜o: dy dx = d dxe x = ex. Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx ∣∣∣ x=2 = e2 ≈ 7, 389. Ponto: (2, e2) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e2 = e2(x− 2) −→ y = e2x− e2. 3.8. DERIVADAS DAS FUNC¸O˜ES EXPONENCIAL E LOGARITMO 45 Exemplo 96 Calcule ddx(e 2x+1) : Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = 2x+ 1 e y = eu = e2x+1. d dx (e2x+1) = dy dx = dy du · du dx = ( d du eu )( d dx (2x+ 1) ) = (eu)(2) = e2x+1 · 2 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = e2x+1 no ponto de abscissa x = 0: Soluc¸a˜o: Inclinac¸a˜o: m = dydx ∣∣∣ x=0 = 2e2·0+1 = 2e. Ponto: (0, e2·0+1) = (0, e). Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e = 2e(x− 0) −→ y = 2ex+ e. Exemplo 97 Calcule ddx(cos(e x)): Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = ex e y = cos(u). dy dx = dy du · du dx = ( d du cos(u) )( d dx ex ) = (−sen(u))(ex) = −sen(ex)ex. Calcule ddx(cos(x)e x): Soluc¸a˜o: (Regra do produto) (cos(x)ex)′ = (cos(x))′(ex) + (cos(x))(ex)′ = (−sen(x))(ex) + (cos(x))(ex) = ex(cos(x)− sen(x)). 46 CAPI´TULO 3. DERIVADA Calcule ddx x3 ex : Soluc¸a˜o: (Regra do quociente)( x3 ex )′ = (x3)′(ex)− (x3)(ex)′ (ex)2 = (3x2)(ex)− (x3)(ex) (ex)2 = (3x2 − x3)(ex) (ex)2 = −x3 + 3x2 ex Exemplo 98 Calcule ddx(ln(x 3 + x2)): Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = x3 + x2 e y = ln(u) dy dx = dy du · du dx = ( d du ln(u) )( d dx (x3 + x2) ) = 1 u (3x2 + 2x) = 3x2 + 2x x3 + x2 Esta u´ltima expressa˜o pode ser reescrita como 3x+ 2 x(x+ 1) . Calcule ddx(cos(x) ln(x)): Soluc¸a˜o: (Regra do produto) (cos(x) ln(x))′ = (cos(x))′(ln(x)) + (cos(x))(ln(x))′ = (−sen(x))(ln(x)) + (cos(x))(1/x) Derivada da func¸a˜o exponencial em outra base Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que bx = ekx. O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, b = eln(b) ⇒ bx = ( eln(b) )x = eln(b)·x. Teorema 99 ddxb x = ln(b) · bx justificativa: Como bx = ekx temos ddxb x = ddxe kx. Para derivar o lado direito da equac¸a˜o usamos a regra da cadeia com u = kx e y = eu. Assim d dx bx = d dx ekx = dy dx = dy du · du dx = ( d du eu )( d dx (kx) ) = eu · k = kekx. Por fim basta observar que k = ln(b) e ale´m disso ekx = bx. Exemplo 100 - d dx 10x = ln(10) · 10x d dx 2x = ln(2) · 2x d dx (x2 · 10x) = (x2)′(10x) + (x2)(10x)′ = 2x · 10x + x2 · ln(10) · 10x = (2x+ ln(10)x2)10x Derivada da func¸a˜o logaritmo em outra base Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que logb(x) = ln(x) k . O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, como para x > 0 x = blogb(x) = eln(b)·logb(x) aplicando-se ln em ambos os lados ln(x) = ln(b) · logb(x) −→ logb(x) = ln(x) ln(b) . 3.9. A REGRA DE L’HOˆPITAL 47 Teorema 101 ddx logb(x) = 1 ln(b) 1 x . Exemplo 102 d dx log10(x) = 1 ln(10) 1 x d dx log2(x) = 1 ln(2) 1 x d dx (x2 · log10(x)) = (x2)′(log10(x)) + (x2)(log10(x))′ = 2x · log10(x) + x2 · 1 ln(10) 1 x = 2x · log10(x) + x ln(10) Exemplo 103 Fixado um nu´mero real r 6= 0 d dx xr = r · x(r−1), x > 0. Em particular d dx √ x = d dx x 1 2 = 1 2 x− 1 2 = 1 2 √ x , x > 0. De fato, como xr = eln(x r) = er ln(x), temos d dx xr = d dx er ln(x). Escrevendo u = r ln(x) e y = eu d dx xr = d dx er ln(x) = dy dx = dy du · du dx = eu · r x = er lnx · r x = xr · r x = rx(r−1). Observac¸a˜o: Dependendo do valor de r, a func¸a˜o y = xr pode estar definida para todo x ∈ R. Nestes casos a fo´rmula da derivada acima pode ser aplicada tambe´m para x ≤ 0. Por exemplo, y = 3√x esta´ definida para qualquer x ∈ R e d dx 3 √ x = d dx x 1 3 = 1 3 x− 2 3 . Note que a derivada de y = 3 √ x na˜o esta´ definida em x = 0. 3.9 A Regra de L’Hoˆpital Teorema 104 Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em um intervalo aberto con- tendo a, onde g′(x) 6= 0 nos pontos x 6= a deste intervalo. Suponha que lim x→a f(x) = limx→a g(x) = 0 e que lim x→a f ′(x) g′(x) = L onde L ∈ R, L = −∞ ou L = +∞. Enta˜o lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f ′(x) g′(x) = L. Observac¸a˜o: A Regra de L’Hoˆpital pode ser aplicada se trocarmos em todas as equac¸o˜es, x→ a por x→ a−, x→ a+, x→ −∞ ou x→ +∞. Exemplo 105 . 1. lim x→0 sen(x) = lim x→0 x = 0, lim x→0 sen(x) x L′H = lim x→0 cos(x) 1 = 1. 48 CAPI´TULO 3. DERIVADA 2. lim x→0 (ex − 1) = lim x→0 sen(x) = 0, lim x→0 ex − 1 sen(x) L′H = lim x→0 ex cos(x) = 1. 3. lim x→1 (x3 + 2x− 3) = lim x→1 (ln(x)) = 0, lim x→1 x3 + 2x− 3 ln(x) L′H = 3x2 + 2 1/x = 5. 4. lim x→+∞(1/x) = limx→+∞ ln(1 + 1/x) = 0, lim x→+∞ (1/x) ln(1 + 1/x) L′H = lim x→+∞ (−1/x2)1 1+1/x · (−1/x2) = 1. 5. lim x→pi sen(x) = limx→pi(cos(x) + 1) = 0, lim x→pi− sen(x) cos(x) + 1 L′H = lim x→pi− cos(x) −sen(x) = +∞. Teorema 106 Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em um intervalo aberto con- tendo a, onde g′(x) 6= 0 nos pontos x 6= a deste intervalo. Suponha que lim x→a f(x) =∞, limx→a g(x) =∞ e que lim x→a f ′(x) g′(x) = L onde L ∈ R, L = −∞ ou L = +∞. Enta˜o lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f ′(x) g′(x) = L. Acima, quando escrevemos limx→a f(x) = ∞ estamos considerando que limx→a f(x) = −∞ ou limx→a f(x) = +∞. Da mesma forma, quando es- crevemos limx→a g(x) = ∞ estamos considerando que limx→a g(x) = −∞ ou limx→a g(x) = +∞. Observac¸a˜o: A Regra de L’Hoˆpital pode ser aplicada se trocarmos em todas as equac¸o˜es, x→ a por x→ a−, x→ a+, x→ −∞ ou x→ +∞. Exemplo 107 . 1. lim x→0+ 1/x = +∞ e lim x→0+ ln(x) = −∞, lim x→0+ 1/x ln(x) L′H = lim x→0+ −1/x2 1/x = lim x→0+ −1/x = −∞ 2. lim x→+∞x = +∞ e limx→+∞ e x = +∞, lim x→+∞ x ex L′H = lim x→+∞ 1 ex = 0. 3. lim x→+∞x 2 = +∞ e lim x→+∞ e x = +∞, lim x→+∞ x2 ex L′H = lim x→+∞ 2x ex L′H = lim x→+∞ 2 ex = 0, onde usamos que lim x→+∞ 2x = +∞ e limx→+∞ e x = +∞, ao reaplicarmos a regra de L’Hoˆpital. 4. lim x→+∞x = +∞ e limx→+∞ ln(x) = +∞, lim x→+∞ ln(x) x L′H = lim x→+∞ 1/x 1 = 0. 3.10. EXERCI´CIOS 49 5. lim x→+∞(e 2x + x) = +∞ e lim x→+∞(e x + 2x) = +∞ lim x→+∞ e2x + x ex + 2x L′H = lim x→+∞ 2e2x + 1 ex + 2 L′H = lim x→+∞ 4e2x ex = +∞, onde usamos que lim x→∞(2e 2x + 1) = +∞ e lim x→+∞(e x + 2) = +∞ ao reaplicarmos a Regra de L’Hoˆpital. Exemplo 108 (indeterminac¸a˜o do tipo “0×∞”) . Calcule lim x→0+ x · ln(x). Soluc¸a˜o: Podemos escrever x · ln(x) = ln(x) 1/x onde lim x→0+ ln(x) = −∞ e lim x→0+ 1/x = +∞. Assim lim x→0+ x · ln(x) = lim x→0+ ln(x) 1/x L′H = lim x→0+ 1/x −1/x2 = 0. Exemplo 109 (indeterminac¸a˜o do tipo “00”) . Calcule limx→0+ xx. Soluc¸a˜o: Escrevemos y = y(x) = xx. Assim ln(y) = ln(xx) = x·ln(x). Portanto lim x→0+ ln(y) = lim x→0+ x · ln(x) = 0. Como a func¸a˜o exponencial e´ cont´ınua lim x→0+ y(x) = e[limx→0+ ln(y(x))] = e0 = 1. Assim limx→0+ xx = 1. Exemplo 110 (indeterminac¸a˜o do tipo “1∞”) . Calcule lim x→0 (x+ 1)(1/x). Soluc¸a˜o: Escrevemos y = (x + 1)(1/x). Assim ln(y) = 1x ln(x + 1) = ln(x+1) x . Portanto lim x→0 ln(y) = lim x→0 ln(x+ 1) x L′H = lim x→0 1 x+1 1 = 1. Como a func¸a˜o exponencial e´ cont´ınua lim x→0 y(x) = elimx→0 ln(y) = e1 = e. Assim lim x→0 (x+ 1)(1/x) = e. Observac¸a˜o: O mesmo me´todo pode ser usado para indeterminac¸o˜es do tipo “∞0”. 3.10 Exerc´ıcios Q1 - Calcule df dx : a) f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x+ 1 b) f(x) = 3x5 − 2x3 + 8 c) f(x) = 15x4 + 8x3 − 12x+ 2 d) f(x) = 5x12 − 12x2 + 4x− 3 50 CAPI´TULO 3. DERIVADA Q2 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde: a) f(x) = x2 + 3x− 2, a = 3 b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 8, a = −2 c) f(x) = x4 − 3x2 + 12, a = 1 d) f(x) = x5 − 8x2 + x− 5, a = 0 e) f(x) = −4x9 + 7x4 − 2x2 + 8x− 1, a = 0 f) f(x) = 8x4 + 7x3 − 2x, a = −1 Q3 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2+3x−1 no ponto de abscissa 3. Q4 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 2x3 + 7x− 1 no ponto de coordenadas (2, f(2)). Q5 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde: a) f(x) = x2 + 8 e a = 2 b)f(x) = 3x2 + 7x e a = 1 c)f(x) = x3 + 3x− 1 e a = −1 d)f(x) = 2x+ 3 e a = 4 e)f(x) = 7x− 8 e a = pi f)f(x) = 2x3 − 3 e a = 0 Q6 - Determine dydx : a) y = (3x2 + 1)(6x2 + x) b) y = (5x3 + x)(2x4 − 3x2) c) y = (−3x4 + 2x)(5x− 2) d) y = (2 + 7)(x2 − x) e) y = 2x+1x f) y = x 2−x x−1 g) y = 1 x2+2x Q7 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde: a) f(x) = x sen(x), e a = 0 b) f(x) = sen(x)cos(x), e a = pi/2 c) f(x) = x2cos(x) e a = pi d) f(x) = sen(x)x e a = pi/4 e) f(x) = x 2−3x+1 x e a = −2 f) f(x) = 1sen(x) e a = pi/2 Q8 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = sen(x) no ponto de coordenadas (pi2 , 1). Q9 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde: a)f(x) = sen(x) e a = 3pi2 b)f(x) = xcos(x) e a = 0 c)f(x) = x2sen(x) e a = pi d)f(x) = (cos(x))2 e a = pi/2. Q10 - Calcule dfdt onde: a) f(t) = t sen(t) + t cos(t) 3.10. EXERCI´CIOS 51 b) f(t) = (sen(t))2 c) f(t) = t 2 sen(t) d) f(t) = 1cos(t) e) f(t) = (t3 + 2)(t2 − 3t+ 1) f) f(t) = 1 tk , k ∈ {1, 2, 3, ...} Q11 - Calcule f ′(x) onde: a) f(x) = sen(x3) b) f(x) = cos(x2 + 3x+ 1) c) f(x) = cos2(x) d) f(x) = (x3 + 4x2 − 2x+ 1)4 e) f(x) = (sen(x))3 + 3(sen(x))2 + 5 f) f(x) = sen(cos(x)) g) f(x) = sen( 1 x3 ) h) f(x) = sen(x2) + (cos(x))3 i) f(x) = (3x+ 2)5 + (2x− 8)4 j) f(x) = sen(x2)cos(x2) k) f(x) = (sen(x))2 + (cos(x))2 l) f(x) = (sen(x))5 + (cos(x))4 + sen(x)x − 2 Q12 - Calcule f ′(x) onde a) f(x) = x2ex b) f(x) = (x+ 1)ex c) f(x) = x.ln(x) d) f(x) = exln(x) e) f(x) = sen(x)ex f) f(x) = ln(x).sen(x) g) f(x) = xex h) f(x) = ln(x)x i) f(x) = e x ln(x) Q13 - Calcule f ′(x) onde a) f(x) = e5x b) f(x) = ln(5x) c) f(x) = ln(3)ex d) f(x) = ln(2) e) f(x) = sen(ex) f) f(x) = ln(ex) g) f(x) = cos(ln(x)) h) f(x) = esen(x) i) f(x) = ln(x3) Q14 - Usando que tg(x) = sen(x)cos(x) e sec(x) = 1 cos(x) mostre que a) d dx tg(x) = (sec(x))2 b) d dx sec(x) = sec(x) · tg(x) Q15 - Calcule a) lim x→1 x2 + x− 2 ln(x) b) lim x→0 ln(x+ 1) sen(x) c) lim x→0 ex + x2 − 1 ex − cos(x) 52 CAPI´TULO 3. DERIVADA d) lim x→1 x2 + x x+ ln(x) e) lim x→1 ex − e sen(pix) f) lim x→−1 x3 + x2 ln(−x) g) lim x→0 ex + x cos(x) + x h) lim x→0+ ex − 1 x2 i) lim x→2 2cos(pix)− x sen(pix) j) lim x→1 ln(x) ex − 2 k) lim x→1+ x− 1 x2 − 2x+ 1 l) lim x→2− −ex + e2 x2 − 4x+ 4 m) lim x→0− ex − 1 ex − x− 1 n) lim x→+∞ √ x ln(x) o) lim x→+∞ ex + x ln(x) p) lim x→0+ ln(x) (1/x)2 q) lim x→0+ ln(x) x+ ln(x) r) lim x→+∞(x) (1/x) s) lim x→0+ (x2 + x+ 1)(1/x) t) lim x→0+ (x)(x 2) Respostas: Q1) - a)15x2 + 4x− 3 b)15x4 − 6x2 c)60x3 + 24x2 − 12 d)60x11 − 24x+ 4 Q2) - a)9 b)4 c)− 2 d)1 e)8 f)− 13 Q3) 9 Q4) 31 Q5) -a) y = 4x+4 b) y = 13x−3 c) y = 6x+1 d) y = 2x+3 e) y = 7x−8 f)y = −3. Q6) a) dydx = (6x)(6x 2 + x) + (3x2 + 1)(12x+ 1) b) dydx = (15x 2 + 1)(2x4 − 3x2) + (5x3 + x)(8x3 − 6x) c) dydx = (−12x3 + 2)(5x− 2) + (−3x4 + 2x)(5) d) dydx = 9(2x− 1) e) dydx = −1 x2 f) dydx = 1 se x 6= 1 g) dydx = − 2x+2(x2+2x)2 Q7 - a) 0 b) − 1 c) − 2pi d) ( √ 2/2)(pi/4)−√2/2 (pi/4)2 = 2 √ 2(pi−4) pi2 e) 3/4 f) 0 Q8 - 0 Q9 - a) y = −1 b) y = x c) y = −pi2x+ pi3 d) y = 0 Q10 - a) sen(t)+cos(t)+ t(cos(t)−sen(t)) b) 2sen(t)cos(t) c) 2tsen(t)−t2cos(t) (sen(t))2 d) sen(t) cos2(t) e)5t4 − 12t3 + 3t2 + 4t− 6 f) −k tk+1 Q11 - a) cos(x3)3x2 b) − sen(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3) c) − 2sen(x)cos(x) d) 4(x3 + 4x2 − 2x+ 1)3(3x2 + 8x− 2) e) 3sen2(x)cos(x) + 6sen(x)cos(x) f) − cos(cos(x))sen(x) g) − 3cos(x−3)x−4 h) cos(x2)2x− 3cos2(x)sen(x) i)15(3x+ 2)4 + 8(2x− 8)3 j) 2x(cos2(x2)− sen2(x2)) k) 0 l) 5(sen(x))4cos(x)− 4(cos(x))3sen(x) + cos(x)x−sen(x) x2 Q12 -a) f ′(x) = (x2 + 2x)ex b) f ′(x) = (x+ 2)ex c) f ′(x) = ln(x) + 1 d) f ′(x) = (ln(x) + 1/x)ex e) f ′(x) = (sen(x) + cos(x))ex f) f ′(x) = sen(x)x + ln(x)cos(x) g) f ′(x) = 1−xex h) f ′(x) = 1−ln(x) x2 i)f ′(x) = e x(ln(x)−1/x) (ln(x))2 Q13 - a) f ′(x) = 5e5x b) f ′(x) = 1/x c) f ′(x) = ln(3)ex d) f ′(x) = 3.10. EXERCI´CIOS 53 0 e) f ′(x) = cos(ex)ex f) f ′(x) = 1 g) f ′(x) = − sen(ln(x))x h) f ′(x) = esen(x)cos(x) i) f ′(x) = 3/x. Q15 - a) 3 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) −e/pi f) -1 g) 1 h) +∞ i) −1/pi j) 0 k) +∞ l) +∞ m) −∞ n) +∞ o) +∞ p) 0 q) 1 r) 1 s) e t) 1 54 CAPI´TULO 3. DERIVADA Cap´ıtulo 4 Aplicac¸o˜es 4.1 Aplicac¸a˜o: crescimento e decrescimento Dizemos que uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ decrescente em um intervalo I se f(x1) > f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I. Exemplo 111 A func¸a˜o f(x) = x2 e´ crescente em [0,+∞) e decrescente em (−∞, 0]. 55 56 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES Teorema 112 Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de (a, b) e cont´ınua em [a, b] - Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ crescente em [a, b] - Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ decrescente em [a, b] Exemplo 113 Determine os intervalos de [0, 2pi] onde f(x) = sen(x) e´ cres- cente ou decrescente. Soluc¸a˜o: ddxsen(x) = cos(x). Assim f(x) = sen(x) e´ crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] (1◦ e 4◦ quadran- tes) f(x) = sen(x) e´ decrescente no intervalo [pi/2, 3pi/2] (2◦ e 3◦ quadrantes) Exemplo 114 determine os intervalos onde f(x) = x3 − 3x e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente. Soluc¸a˜o: f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1). A func¸a˜o f ′(x) tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima. Para determinarmos os intervalos onde f ′ > 0 e´ u´til determinarmos os pontos onde f ′ e´ nula. 3(x2 − 1) = 0 −→ x2 − 1 = 0 −→ x = −1 ou x = 1. Assim, f ′(x) > 0 quando x ∈ (−∞,−1) ou x ∈ (1,+∞) f ′(x) < 0 quando x ∈ (−1, 1). Portanto: 4.2. MA´XIMOS E MI´NIMOS LOCAIS 57 f e´ crescente nos intervalos (−∞,−1] e [1,+∞) f e´ decrescente no intervalo [−1, 1] Exemplo 115 Determine os intervalos onde f(x) = ex(x2 − 3x) e´ crescente. Soluc¸a˜o: f ′(x) = (ex)′(x2−3x)+(ex)(x2−3x)′ = (ex)(x2−3x)+(ex)(2x−3) = ex(x2−x−3). Para determinarmos os intervalos onde f ′ e´ positiva, observamos que no produto ex(x2 − x − 3) o termo ex sera´ sempre positivo. Enta˜o f ′ > 0 nos intervalos onde x2−x−3 > 0. Como y = x2−x−3 tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima, devemos entender em quais pontos x2−x−3 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara temos: x1 = 1−√13 2 ≈ −1, 30 e x2 = 1 + √ 13 2 ≈ 2, 30. Assim, f ′(x) = ex(x2−x− 3) e´ positiva quando x ∈ (−∞, 1− √ 13 2 ) ou x ∈ (1+ √ 13 2 ,+∞) portanto f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1− √ 13 2 ] e [ 1+ √ 13 2 ,+∞). 4.2 Ma´ximos e mı´nimos locais Dizemos que um nu´mero real a ∈ Dom(f) e´ um ponto de ma´ximo local (ou relativo) de f se existe um intervalo aberto I contendo a tal que f(a) ≥ f(x) para todo x ∈ Dom(f)∩ I. Neste caso dizemos que f(a) e´ um valor de ma´ximo local (ou relativo). Analogamente, a ∈ Dom(f) e´ um ponto de mı´nimo local (ou relativo) de f se existe um intervalo I contendo a tal que f(a) ≤ f(x) para todo x ∈ Dom(f)∩I. Neste caso dizemos que f(a) e´ um valor de ma´ximo local (ou relativo). Exemplo 116 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que: x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local de f (considere por exemplo o intervalo I = (0, 2)) 58 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES x = 1, 5 e´ um ponto de ma´ximo local de f (considere por exemplo o intervalo I = (1, 2)) x = 2, 5 e´ um ponto de mı´nimo local de f (considere por exemplo o intervalo I = (2, 3)) f tambe´m possui um ma´ximo relativo nos pontos x = 4 e x = 7 e um mı´nimo relativo nos pontos x = 5 e x = 8. Note que f(7) = 2 e´ um valor de ma´ximo local enquanto f(2, 5) = 3 e´ um valor de mı´nimo local. Definic¸a˜o 117 Um nu´mero a ∈ Dom(f) e´ chamado de ponto cr´ıtico de f se f ′(a) = 0 ou se f na˜o e´ diferencia´vel em a. Teorema 118 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo a. Se a e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo local de f enta˜o a e´ um ponto cr´ıtico de f . Exemplo 119 Determinar os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos e os va- lores de ma´ximo e mı´nimo relativos da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x− 4. Soluc¸a˜o: f ′(x) = 3x2 − 3 −→ Pontos cr´ıticos: 3x2 − 3 = 0 −→ x = −1 e x = 1. Como f ′(x) tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima, obtemos a seguinte representac¸a˜o informal: Conclu´ımos que x = −1 e´ um ponto de ma´ximo local e que f(−1) = −2 e´ um valor de ma´ximo local. Ale´m disso, x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local e f(1) = −6 e´ um valor de mı´nimo local. 4.2. MA´XIMOS E MI´NIMOS LOCAIS 59 Teorema 120 (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em x = a e I = (a− �, a+ �) um intervalo aberto contendo a. - Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a− �, a)f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, a+ �) enta˜o x = a e´ um ponto de ma´ximo local. - Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a− �, a)f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, a+ �) enta˜o x = a e´ um ponto de mı´nimo local. - Se f ′(x) tem o mesmo sinal em (a− �, a) e (a, a+ �) enta˜o x = a na˜o e´ ponto de ma´ximo ou mı´nimo local. Exemplo 121 Determinar os pontos cr´ıticos de f(x) = (x− 2)ex e classifica´- los: Soluc¸a˜o: f ′(x) = (x− 1)ex −→ Pontos cr´ıticos: (x− 1)ex = 0 −→ x = 1. Como ex > 0 para todo x temos que os sinais de f ′ sa˜o determinados pelo fator (x− 1). Conclu´ımos que x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local. 60 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES 4.3 Ma´ximos e mı´nimos absolutos Definic¸a˜o 122 Dizemos que x0 ∈ I e´ um ponto de ma´ximo absoluto de f no intervalo I se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ I. Analogamente, x0 ∈ I e´ um ponto de mı´nimo absoluto de f no intervalo I se f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ I. Teorema 123 Se f e´ cont´ınua sobre um intervalo fechado I = [a, b] enta˜o f tem pelo menos um ponto de ma´ximo absoluto e um ponto de mı´nimo absoluto em I. Ale´m disso, se x0 e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo absoluto enta˜o x0 e´ um ponto cr´ıtico ou x0 = a ou x0 = b. Exemplo 124 Determine o maior e o menor valor que f(x) = x 3 3 + x2 2 −2x− 56 assume restrita ao intervalo I = [−3, 2]. Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e o intervalo I e´ fechado, o maior (analogamente menor) valor sera´ atingido em a = −3, b = 2 ou em um ponto cr´ıtico. f ′(x) = x2 +x−2 −→ Pontos cr´ıticos: x2 +x−2 = 0 −→ x = −2 ou x = 1. Candidatos: -3, 2, -2, 1 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos) f(−3) = 2 3 , f(2) = −1 6 , f(−2) = 5 2 , f(1) = −2. Menor valor atingido: f(1) = −2 (em um ponto cr´ıtico) Maior valor atingido: f(−2) = 52 (em um ponto cr´ıtico). Exemplo 125 Determine o maior e o menor valor que f(x) = x 3 3 + x2 2 −2x− 56 assume restrita ao intervalo I = [−3, 3]. Temos a mesma func¸a˜o, mas agora analisada em um intervalo diferente. Candidatos: -3, 3, -2, 1 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos) f(−3) = 2 3 , f(3) = 20 3 , f(−2) = 5 2 , f(1) = −2. 4.4. PROBLEMAS 61 Menor valor atingido: f(1) = −2 (em um ponto cr´ıtico) Maior valor atingido: f(3) = 203 (em um dos extremos do intervalo). Exemplo 126 Determine o maior e o menor valor que f(x) = 3x2ex assume restrita ao intervalo I = [−3, 3]. Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e o intervalo I e´ fechado, o maior (analogamente menor) valor sera´ atingido em a = −3, b = 3 ou em um ponto cr´ıtico. f ′(x) = 3(x2+2x)ex −→ Pontos cr´ıticos: 3(x2+2x)ex = 0 −→ x = −2 ou x = 0. Candidatos: -3, 3, -2, 0 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos) f(−3) = 27e−3, f(3) = 27e3, f(−2) = 12e−2, f(0) = 0. Menor valor atingido: f(0) = 0 (em um ponto cr´ıtico) Maior valor atingido: f(3) = 27e3 ≈ 542, 31 (em um dos extremos do inter- valo). Exemplo 127 Determine o maior e o menor valor que f(x) = 3x2ex assume restrita ao intervalo I = [−3,−1]. Soluc¸a˜o: Temosa mesma func¸a˜o agora analisada em um intervalo diferente. Note que x = 0 na˜o pertence ao intervalo. Candidatos: -3, -1, -2 (extremos do intervalo e o ponto cr´ıtico que pertence ao intervalo) f(−3) = 27e−3 ≈ 1, 34, f(−1) = 3e−1 ≈ 1, 10, f(−2) = 12e−2 ≈ 1, 62. Menor valor atingido: f(−1) = 3e−1 (em um ponto cr´ıtico) Maior valor atingido: f(−2) = 12e−2 (em um dos extremos do intervalo). 4.4 Problemas Exemplo 128 Determine as dimenso˜es do campo retangular de maior a´rea que pode ser cercado com 844 metros de tela. Soluc¸a˜o: 62 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES A´rea: A = x · y Vı´nculo: (per´ımetro) 2x+ 2y = 844 −→ y = 422− x A´rea em func¸a˜o de x: A(x) = x · (422− x) = −x2 + 422x, Dom(A) = [0, 422]. Os extremos do intervalo representam casos degenerados e sera˜o inclu´ıdos no domı´nio (para termos um intervalo fechado) quando a func¸a˜o puder ser calcu- lada nestes nu´meros. Queremos maximizar A(x) = −x2 + 422x sobre o intervalo I = [0, 422]. O ma´ximo ira´ ocorrer em um dos extremos do intervalo ou em um ponto cr´ıtico da func¸a˜o. A′(x) = −2x+ 422 −→ Pontos cr´ıticos: − 2x+ 422 = 0 −→ x = 211. Candidatos: 0, 422, 211 (extremos do intervalo e ponto cr´ıtico) A(0) = 0 · (422− 0) = 0, A(422) = 422 · (422− 422) = 0, A(211) = 211 · (422− 211) = 211 · 211 = 44521 Conclusa˜o: A maior a´rea poss´ıvel e´ de 44521m2 quando as dimenso˜es sa˜o x = 211m e y = 422 − x = 211m. Neste caso o terreno tera´ a forma de um quadrado. Exemplo 129 Determinar a caixa de base quadrada com maior volume que pode ser produzida com 96 cm2 de material. Soluc¸a˜o: Volume: V = x2y Vı´nculo: (a´rea lateral) 2x2 + 4xy = 96 → y = 24x − x2 . Volume em func¸a˜o de x: V (x) = x2( 24 x − x 2 ) = 24x− x 3 2 , Dom(V ) = [0, √ 48]. Novamente os extremos do intervalo representam casos degenerados. Note que se x = 0 e´ imposs´ıvel obtermos 2x2 + 4xy = 96 (v´ınculo). Queremos maximizar V (x) = 24x− x32 restrita ao intervalo [0, √ 48]. V ′(x) = 24− 3x 2 2 −→ Pontos cr´ıticos: 3x 2 2 = 24 −→ x = −4 ou x = 4. 4.5. DERIVADA SEGUNDA 63 Candidatos: 0, √ 48, 4 (extremos do intervalo e ponto cr´ıtico dentro do inter- valo) V (0) = 0, V ( √ 48) = 0, V (4) = 42(244 − 42) = 16(6− 2) = 64 Conclusa˜o: O maior volume poss´ıvel e´ de 64 cm3 quando as dimenso˜es sa˜o x = 4 cm e y = 24x − x2 = 4 cm. Neste caso a caixa tera´ a forma de um cubo. 4.5 Derivada Segunda A derivada de f e´ uma func¸a˜o denotada por f ′. A derivada de f ′ e´ uma func¸a˜o denotada por f ′′ e chamada de derivada segunda de f . Exemplo 130 f(x) = 5x4 + 3x2 − 2x+ 4 f ′(x) = 20x3 + 6x− 2 f ′′(x) = 60x2 + 6 g(x) = x · sen(x) g′(x) = (1)(sen(x)) + (x)(cos(x)) g′′(x) = [cos(x)] + [(1)(cos(x)) + (x)(−sen(x))] = 2 · cos(x)− x · sen(x) h(x) = 1x h′(x) = − 1 x2 h′′(x) = 2 x3 Definic¸a˜o 131 Dada uma func¸a˜o f , diferencia´vel em um intervalo aberto I, dizemos que - f e´ coˆncava para cima em I se f ′ e´ crescente em I. - f e´ coˆncava para baixo em I se f ′ e´ decrescente em I. Teorema 132 Supondo que f ′′ esta´ definida em um intervalo aberto I temos: - Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I enta˜o f e´ coˆncava para cima em I. - Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I enta˜o f e´ coˆncava para baixo em I. Definic¸a˜o 133 Se f e´ cont´ınua em a e troca de concavidade em x = a enta˜o dizemos que (a, f(a)) e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f . Exemplo 134 Gra´fico de f(x) = x3 − 3x2. Soluc¸a˜o: Corte com eixo y: f(0) = 0 Corte com eixo x: x3 − 3x2 = 0 → x2(x− 3) = 0 → x = 0 ou x = 3. Pontos cr´ıticos: f ′(x) = 3x2 − 6x → 3x(x− 2) = 0 → x = 0 ou x = 2. 64 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES Para o esboc¸o do gra´fico e´ u´til calcularmos o valor de f nestes pontos cr´ıticos. f(0) = 0 e f(2) = 23 − 3 · 22 = −4. Crescimento/decrescimento: - f e´ crescente nos intervalos (−∞, 0] e [2,+∞) - f e´ decrescente no intervalo [0, 2]. x = 0 e´ um ponto de ma´ximo local x = 2 e´ um ponto de mı´nimo local Concavidades: f ′′(x) = 6x− 6 - f e´ coˆncava para cima em (1,+∞) - f e´ coˆncava para baixo em (−∞, 1) - o ponto (1, f(1)) = (1,−2) e´ um ponto de inflexa˜o. Teste da Derivada segunda: Suponha que f seja duas vezes diferencia´vel em a. - Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) > 0, enta˜o f tem um mı´nimo relativo em a - Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) < 0, enta˜o f tem um ma´ximo relativo em a - Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) = 0, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel obtermos conclusa˜o por este teste. Exemplo 135 Para f(x) = ex 2−6x temos f ′(x) = ex 2−6x(2x− 6) → ponto cr´ıtico: 2x− 6 = 0 → x = 3. f ′′(x) = ex 2−6x(2x− 6)2 + ex2−6x · 2 → f ′′(3) = 2e−9 > 0 Portanto o ponto cr´ıtico x = 3 e´ um ponto de mı´nimo local. Exemplo 136 Para constantes a, b e c, com a 6= 0 e f(x) = ax2 +bx+c temos f ′(x) = 2ax+ b → ponto cr´ıtico: 2ax+ b = 0 → x = −b 2a (ve´rtice) 4.6. EXERCI´CIOS 65 Como f ′′(x) = 2a temos que se a > 0 enta˜o o ponto cr´ıtico x = −b2a e´ um ponto de mı´nimo local. Se a < 0 enta˜o o ponto cr´ıtico x = −b2a e´ um ponto de ma´ximo local. Exemplo 137 Analise a func¸a˜o f(x) = sen(x) nos pontos a = pi2 e a = pi. Soluc¸a˜o: f ′(x) = cos(x) e f ′′(x) = −sen(x). Para a = pi/2 temos f ′(pi/2) = cos(pi/2) = 0 (pi/2 e´ ponto cr´ıtico). Como f ′′(pi/2) = −sen(pi/2) = −1 temos que o ponto cr´ıtico a = pi/2 e´ um ponto de ma´ximo local. Para a = pi temos f ′(pi) = cos(pi) = −1. Portanto pi na˜o e´ ponto cr´ıtico. Note no entanto que f ′′(x) = −sen(x) troca de sinal em pi, portanto (pi, f(pi)) = (pi, 0) e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f . 4.6 Exerc´ıcios Q1 - Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´ decres- cente, sendo: a) f(x) = x3 − 27x+ 2 b) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1 c) f(x) = −2x3 + 15x2 − 36x+ 1 d) f(x) = (sen(x))2 para x ∈ [0, 2pi] e) f(x) = (sen(x))3 para x ∈ [0, 2pi] f) f(x) = (x2 + x)ex g) f(x) = x ln(x), x > 0 Q2 - Determine o(s) ponto(s) cr´ıticos e os pontos de ma´ximo ou mı´nimo relativo(s) das func¸o˜es abaixo: a) f(x) = x2 + 5x− 14 b) f(x) = 3x2 + 6x− 5 c) f(x) = x3 − x2 − x+ 8 d) f(x) = x3 + 2 e) f(x) = (sen(x))3 para x em (0, pi) Q3 - Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e analise se estes sa˜o pontos de ma´ximo ou mı´nimo relativos: a) f(x) = e(x 2) b) f(x) = xex c) f(x) = e(x 2−x) d) f(x) = x2ex e) (ln(x))2, x > 0 f) (ln(x))3, x > 0 Q4 - Determine o maior e o menor valor que a func¸a˜o f assume, restrita ao intervalo I, onde a)f(x) = x2 + 4x− 12 e I = [1, 5] b)f(x) = x2 − 4x− 12 e I = [1, 4] c)f(x) = x2 − x+ 3 e I = [0, 4] d)f(x) = x2 + x− 4 e I = [−1, 1] e)f(x) = sen2(x) e I = [0, pi] f)f(x) = sen(x) + cos(x) e I = [0, pi/2] g)f(x) = 2x3 +3x2 e I = [−1, 1] h)f(x) = 2x3−9x2 +12x+1 e I = [0, 2] 66 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES Q5 - Deseja-se construir dois cercados retangulares de medidas iguais e com um lado em comum. Sabendo que a tela custa R$10, 00 por metro linear e que deseja-se gastar no ma´ximo R$240, 00 na compra de tela, determine a maior a´rea que cada cercado pode conter. Q6 - Deseja-se construir uma caixa de base quadrada e sem tampa. O custo do material para confecc¸a˜o da base e´ de R$20, 00 por dm2 e o custo de material para confecc¸a˜o das faces laterais e´ de R$5, 00 por dm2. Determine o maior volume que a caixa pode ter sendo constru´ıda com um custo total de R$300, 00. Q7 - Deseja-se construir uma calc¸ada retangular e um cercado de tela em volta desta. A calc¸ada tem um custo de R$100, 00 por m2 e a tela um custo de R$10, 00 por metro. Determine as dimenso˜es da calc¸ada com a´rea de 25m2 que resulta no menor custo total poss´ıvel (custo da calc¸ada mais custo da tela). Q8 - Calcule f ′′(x) onde: a) f(x) = 3x5 + 2x4 − 8x2 + 1 b) f(x) = sen(x) + cos(x) c) f(x) = x.cos(x) d) f(x) = 8x3 − 12x+ 1 e) f(x) = sen(x) +
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