Cap 01 2a aula SISTEMA DE FORÇAS

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1.2. Componentes Retangulares (cont.)
1.2.2. Caso Tridimensional
Considere agora uma força F no espaço:
x y zF F F= + +x y zF = F +F +F i j k
Onde:
cos ; cos ; cosx x y y z zF F F F F Fθ θ θ= = =
, ,x y z
, ,x y zF F F → Componentes escalares de F em relação 
ao sistema xyz adotado.
As componentes de F podem ser dadas por:
Sendo: θ θ θ → Ângulo entre F e os vetores unitários i, j e k respectivamente. São 
chamados de ângulos diretores do vetor F.
É comum também denominar: cos ; cos ; cosx y zl m nθ θ θ= = =
2 2 2 1l m nOnde: , ,l m n→ Cossenos diretores do vetor F. E ainda: + + =
1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
Sendo assim, pode-se escrever:
( ) ( )
cos cos cos
cos cos cos
x y z x y z
x y z
F F F F F F
F F l m n
θ θ θ
θ θ θ
= + + = + +
= + + = + +
F i j k i j k
i j k i j k
Chamando , tem-se:( )l m n= + +Fλ i j k
F= FF λ Vetor unitário na DIREÇÃO e SENTIDO de F, →Fλ
Para se determinar as componentes da força F, existem duas formas básicas:
i) Quando se conhece dois pontos pertencentes à linha de ação da Força:
Fλ
Tem-se que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
x x y y z zAB
AB x x y y z z
− + − + −= =
− + − + −F
i j k
λ
uuur
Assim: F= FF λ
OBS: Fazendo-se¨ , obtém-se -FBA
uuur
1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
ii) Quando se conhece dois ângulos que orientam a linha de ação da Força:
Sendo os ângulos φ e θ conhecidos, tem-se: 
zF Fsenφ=
cosxyF F φ=
Sendo os ângulos φ e θ conhecidos, tem-se: 
cosx xy
y xy
F F
F F sen
θ
θ
=
=
Assim: x y zF F F= + +F i j k
EXEMPLO 2: O cabo AB exerce uma tensão de 2kN no suporte em A. Determine as
componentes retangulares da força.
1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
1.3. Momento de uma força
1.3.1. Caso Bidimensional – Momento em torno de um ponto
Um força, quando aplicada em um dado corpo sólido, tende a movê-lo segundo sua direção e 
também rotacioná-lo em torno de um eixo que não intercepte e nem seja paralelo em relação 
à linha de ação dessa força. Essa tendência de rotação é quantificada através do conceito de 
MOMENTO DE UMA FORÇA ou TORQUE. Considere o bloco apoiado no solo submetido a 
uma força F:
F
y
xo
r
A
Definindo-se a posição “A” (ponto de aplicação da força) pelo vetor posição r em relação ao 
ponto “o”, o momento da F em relação a “o” é dado, na forma vetorial, pelo produto:
M = r×F
O módulo do vetor M é dado por:
M Frsen Fdθ= =
θ
d
OBS: A distância “d” é BRAÇO DE ALAVANCA da força. É a 
distância entre sua linha de ação e o ponto “o”.
1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon
Considere o sistema de forças concorrentes em um mesmo ponto:
y
xo
r
1F
2F
3F
nF L Sendo:
1 2 3 n+ + + +R = F F F FL
O momento da resultante em relação ao ponto 
“o” é dado por:
RM = r×R
Então:
( )1 2 3R n+ + + +M = r× F F F FL
Aplicando a propriedade distributiva, ou seja:
1 2 3
1 1
n n
R n i i
i i= =
+ + + + = =∑ ∑M = r×F r×F r×F r×F r×F ML
CONCLUSÃO: A soma dos momentos de um sistema de forças concorrentes em relação 
a um ponto é igual ao momento de sua resultante em relação a esse mesmo ponto.
EXEMPLO 3: Determine o momento da força em relação ao ponto A.
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon (cont.)