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Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN 17 de novembro de 2009 Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Determinando Primitivas Uma func¸a˜o F (x) e´ uma primitiva de f (x) em um intervalo I se F ′(x) = f (x) para qualquer x em I. I Encontrar F (x) a partir de f (x) chama-se primitivac¸a˜o ou antiderivac¸a˜o. I Exemplo: Se f (x) = 2x , enta˜o pode ser F (x) = x2. Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Se F e´ uma primitiva de f em um intervalo I, enta˜o a primitiva mais geral de f em I e´ F (x) + C (1) onde C e´ uma constante arbitra´ria. I A fam´ılia de func¸o˜es F (x) + C sa˜o gra´ficos onde cada um e´ uma translac¸a˜o vertical do outro. I Exemplo: Se f (x) = 2x , a resposta completa e´ que F (x) = x2 + C . Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios 1. Determinar a primitiva de: a) f (x) = x5 b) g(x) = 1√ x c) h(x) = sen(2x) d) i(x) = cos ( x 2 ) e) j(x) = e−3x f) k(x) = 2x 2. Escrever a primitiva mais geral de f (x) = 3√ x + sen(2x). Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Regras de Linearidade para Primitivas Se F (x) + C e G (x) + C sa˜o as primitivas de f (x) e g(x), respectivamente, temos que I Regra da Multiplicac¸a˜o: A derivada de kf (x), sendo k uma constante, e´ kF (x) + C I Regra da Oposta: A derivada de −f (x), e´ −F (x) + C I Regra da Soma ou da Diferenc¸a: A derivada de f (x)± g(x) e´ F (x)± G (x) + C Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Encontrar uma primitiva y(x) de uma func¸a˜o f (x) e´ resolver a equac¸a˜o dy dx = f (x) (2) que e´ uma equac¸a˜o diferencial. I Para encontrar a constante da primitiva, especificamos uma condic¸a˜o inicial, y(x0) = y0. I A equac¸a˜o diferencial junto com a condic¸a˜o inicial e´ um problema de valor inicial. Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Exemplo: a primitiva de f (x) = sen x que satisfac¸a F (0) = 3 e´ I encontramos a primitiva geral F (x) = − cos x + C I aplicamos a condic¸a˜o inicial F (0) = − cos 0 + C = 3 ou seja C = 4. I A primitiva desejada e´ F (x) = − cos x + 4 Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Determinando Primitivas Exerc´ıcios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios 1. Determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x , y) e´ 3x2 sabendo que ela deve passar pelo ponto (1,−1). 2. Um bala˜o que sobe a uma taxa de 12pe´s/s, esta´ a uma altura de 80pe´s aima do solo quando um pacote e´ jogado. Quanto tempo o pacote demora para chegar ao solo? Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Integral Indefinida O conjunto de todas as primitivas de f e´ a integral indefinida de f em relac¸a˜o a x , denotada por∫ f (x) dx (3) I ∫ e´ o s´ımbolo da integral I A func¸a˜o f e´ o integrando da integral e x e´ a varia´vel de integrac¸a˜o. I A integral ∫ (x2 − 2x + 5)dx e´∫ (x2 − 2x + 5)dx = x 3 3 − x2 + 5x + C (4) Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Alguns procedimentos sa˜o utilizados para adequar integrais a fo´rmulas ba´sica I Fazer uma substituic¸a˜o. I Completar quadrados. I Usar uma identidade trigonome´trica. I Eliminar uma raiz quadrada. I Reduzir uma frac¸a˜o impro´pria. ISeparar uma frac¸a˜o. I Multiplicar por uma fo´rmula unita´ria. Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o A regra da substituic¸a˜o e´ dada por∫ f (g(x))g ′(x)dx = ∫ f (u)du (5) onde u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel cuja imagem e´ um intervalo I , e f e´ cont´ınua em I . I Exemplo: Calcular ∫ 2x−9√ x2−9x+1dx . Considerando u = x2 − 9x + 1, du = (2x − 9)dx temos 2x − 9√ x2 − 9x + 1 dx = ∫ du√ u = ∫ u− 1 2 du = 2u 1 2 + C = 2 √ x2 − 9x + 1 + C Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Calcular ∫ dx√ 8x−x2 . I Completamos o quadrado 8x − x2 = −(x2 − 8x) = −(x2 − 8x + 16)− 16 = 16− (x − 4)2 (6) (7) I Assim, ∫ dx√ 8x − x2 = ∫ dx√ 16− (x − 4)2 (8) I Com a = 4 e u = x − 4, temos que du = dx e∫ dx√ 16− (x − 4)2 = ∫ du√ a2 − u2 = = 2 sen−1 (u a ) + C = sen−1 ( x − 4 4 ) + C Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Calcular ∫ (sec x + tg x)2dx . I Expandindo o integrando (sec x + tg x)2 = sec2 x + 2 sec x tg x + tg2 x I Substituindo a identidade trigonome´trica tg2 x + 1 = sec2 x temos∫ (sec x + tg x)2dx = ∫ (2 sec2 x + sec x tg x − 1)dx = 2 ∫ sec2 xdx + 2 ∫ sec x tg xdx − ∫ dx = 2 tg x + 2 sec x − x + C . (9) Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Calcular ∫ √ 1 + cos(4x)dx I Usamos a identidade trigonome´trica: cos2 θ = 1 + cos(2θ) 2 → 1 + cos 4x = 2 cos2(2x). I Reescrevemos a integral∫ √ 1 + cos(4x)dx = ∫ √ 2 cos2 2xdx = √ 2 ∫ | cos 2x |dx . I Quando cos 2x > 0, temos √ 2 ∫ | cos 2x |dx = √ 2 ∫ cos 2xdx = √ 2 ( sen 2x 2x ) . I Quando cos 2x < 0, temos √ 2 ∫ | cos 2x |dx = − √ 2 ∫ cos 2xdx = − √ 2 ( sen 2x 2x ) . Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Calcular ∫ 3x2−7 3x+2 dx . I Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto, 3x2 − 7 3x + 2 = x + 3 + 6 3x + 2 I Reescrevemos a integral∫ 3x2 − 7x 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3 + 6 3x + 2 ) dx = x2 2 − 3x + 2 ln |3x + 2|+ C Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Calcular ∫ 3x+2√ 1−x2 dx . I Separando as frac¸o˜es∫ 3x + 2√ 1− x2 dx = ∫ 3x√ 1− x2 dx + ∫ 2√ 1− x2 dx I Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx ,∫ 3x√ 1− x2 dx = − 3 2 ∫ du√ u = −3 2 ∫ u− 1 2 du = −3 2 ( u 1 2 1 2 ) + C1 = −3 √ 1− x2 + C1 Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes I Fazendo a segunda integral,∫ 2√ 1− x2 dx = 2 ∫ dx√ 1− x2 = 2 sen−1 x + C2 I A soluc¸a˜o final e´∫ 3x + 2√ 1− x2 dx = −3 √ 1− x2 + C1 + 2 sen−1 x + C2 = −3 √ 1− x2 + 2 sen−1 x + C onde juntamos as constantes C1 + C2 = C . Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Calcular ∫ sec xdx . I Multiplicando o integrando por uma forma unita´ria,∫ sec xdx = ∫ sec x .1dx = ∫ sec x sec x + tg x sec x + tg x dx = ∫ sec2 x + sec x tg x sec x + tg x dx I Utilizando u = tg x + sec x e du = (sec2 x + sec x tg x)dx , temos∫ sec2 x + sec x tg x sec x + tg x dx = ∫ du u = ln |u|+ C = ln | sec x + tg x |+ C . Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Calcular ∫ 3x2−7 3x+2 dx . I Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto, 3x2 − 7 3x + 2 = x + 3 + 6 3x + 2 I Reescrevemos a integral∫ 3x2 − 7x 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3 + 6 3x + 2 ) dx = x2 2 − 3x + 2 ln |3x + 2|+ C Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Calcular ∫ 3x+2√ 1−x2 dx . I Separando as frac¸o˜es∫ 3x + 2√ 1− x2 dx = ∫ 3x√ 1− x2 dx + ∫ 2√ 1− x2 dx I Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx ,∫ 3x√ 1− x2 dx = − 3 2 ∫ du√ u = −3 2 ∫ u− 1 2 du = −3 2 ( u 1 2 1 2 ) + C1 = −3 √ 1− x2 + C1 Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es Integrac¸a˜o por Partes I Fazendo a segunda integral,∫ 2√ 1− x2 dx = 2 ∫ dx√ 1− x2 = 2 sen −1 x + C2 I A soluc¸a˜o final e´∫ 3x + 2√ 1− x2 dx = −3 √ 1− x2 + C1 + 2 sen−1 x + C2 = −3 √ 1− x2 + 2 sen−1 x + C onde juntamos as constantes C1 + C2 = C . Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x , a regra do produto diz que d dx [f (x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) que fazemos∫ d dx [f (x)g(x)] = ∫ [f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)] dx = ∫ f ′(x)g(x)dx + ∫ f (x)g ′(x)dx Ou seja, ∫ f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)− ∫ g(x)f ′(x)dx I A fo´rmula geral para a integrac¸a˜o por partes e´∫ u dv = u v − ∫ v du Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios Exemplo 1: Determinar ∫ x cos xdx . I Com u = x e dv = cos xdx temos v = sen x du = dx . I Integrando por partes∫ x cos xdx = x sen x − ∫ sen xdx = x sen x + cos x + C . (10) Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios Exemplo 2: Outras opc¸o˜es da aplicac¸a˜o da integrac¸a˜o por partes para a integral ∫ x cos xdx . 1. Assumir u = 1 e dv = x cos xdx na˜o serve pois na˜o sabemos encontrar v . 2. Tomar u = x cos x e dv = dx leva-nos a du = (cos x − x sen x)dx v = x Assim,∫ x cos xdx = x2 cos x − ∫ (x cos x − x2 sen x)dx sendo a integral final mais complicada que a inicial. 3. Finalmente, considerar u = cos x e dv = xdx nos da´ du = − sen xdx v = x 2 2 resultando em∫ x cos xdx = x2 2 cos x − ∫ x2 2 sen xdx que tambe´m e´ um problema pior que o inicial. Ca´lculo I - Integral Indefinida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Primitivas Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios Exerc´ıcios Calcule as seguintes integrais: 1. ∫ ln xdx 2. ∫ x2exdx 3. ∫ ex cos xdx Primitivas Determinando Primitivas Exercícios Regras de Linearidade para Primitivas Problema de Valor Inicial e Equações Diferenciais Exercícios Técnicas de Integração Integral Indefinida Adequando integrais a fórmulas básicas Técnicas de Integração - A Regra da Substituição Técnicas de Integração - Completando os Quadrados Técnicas de Integração - Usando uma identidade trigonométrica Técnicas de Integração - Eliminando uma Raiz Técnicas de Integração - Fração Imprópria Técnicas de Integração - Separando Frações Técnicas de Integração - Multiplicando por uma Forma Unitária Técnicas de Integração - Fração Imprópria Técnicas de Integração - Separando Frações Integração por Partes Técnicas de Integração - Integração por Partes Exercícios
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