Integral Indefinidas

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INTEGRAIS INDEFINIDAS:
De�nição:
Dada uma função f de�nida no intervalo I ⊂ R,
Dizemos que a função F é uma primitiva de f em I se, e somente se, F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.
Exemplos:
1. Se f(x) = 2x temos que F (x) = x2 é primitiva de f em I = R.
Pois:
[
x2 ]′ = 2x.
2. Se f(x) = cos(x) temos que F (x) = sen (x) é primitiva de f em I = R.
Pois:
[
sen (x) ]′ = cos(x).
3. Se f(x) =
1
x
temos que F (x) = ln(x) é primitiva de f em I =] 0 , +∞ [.
Pois:
[
ln(x) ]′ =
1
x
.
4. Se f(x) =
1
x
temos que F (x) = ln(x) + 3 é primitiva de f em I =] 0 , +∞ [.
Pois:
[
ln(x) + 3 ]′ =
1
x
.
5. Se f(x) =
1
x
temos que F (x) = ln(x) +K, (
om K uma 
onstante) é primitiva de f em I =] 0 , +∞ [.
Pois:
[
ln(x) +K ]′ =
1
x
.
6. Se f(x) =
1
x
temos que F (x) = − ln(−x) +K, (
om K uma 
onstante) é primitiva de f em I =]−∞ , 0 [.
Pois:
[− ln(−x) +K ]′ = 1−x
( − x )′ = 1−x
( − 1 ) = 1
x
.
Teorema:
Dada uma função f de�nida no intervalo I ⊂ R,
Se F e G são primitivas de f em I então, existe uma 
onstante K tal que F (x) = G(x) +K, ∀k ∈ I.
Exemplo:
Seja f(x) =
1
x
, temos que F (x) = ln(x) e G(x) = ln(2x) são primitivas de f em I =] 0 , +∞ [.
Pois: [ ln(x) ]′ =
1
x
e [ ln(2x) ]′ =
1
2x
(2x)′ =
1
2x
(2) =
1
x
.
Pelo teorema anterior, existe uma 
onstante K tal que F (x) = G(x) +K, ∀x ∈ I =] 0 , +∞ [.
Ou seja, existe uma 
onstante K tal que ln(x) = ln(2x) +K, ∀x ∈ I =] 0 , +∞ [.
Observando que, ln(a b) = ln(a) + ln(b) a, b ∈ I =] 0 , +∞ [, temos:
ln(2x) = ln(2) + ln(x)⇒ F (x) = ln(x) = ln(2x)− ln(2) = G(x) +K, K = − ln(2).
Assim, 
omo F (x) = ln(x) e G(x) = ln(2x) são primitivas de f(x) =
1
x
existe uma 
onstante (no 
aso K = − ln(2) tal que F (x) = G(x) +K.
Exatamente 
omo a�rma o teorema!
1
O exemplo a
ima é apenas uma 
uriosidade.
Em geral não estamos interessados em en
ontrar a 
onstante que diferen
ia duas primitivas.
Em geral estamos interessados em en
ontar o 
onjunto de todas as primitivas de uma função em um dado intervalo.
Isto nos leva a próxima de�nição.
De�nição:
O 
onjunto de todas as primitivas de uma dada função f (na variável x) é 
hamada integral inde�nida de f .
A integral de f na variável x é denotada por:
∫
f(x) dx.
Onde
•
∫
é o símbolo de integral.
• A função f é o integrando da integral.
• x é a variável de integração.
Como duas primitivas diferem por uma 
onstante, quando 
al
ulamos uma integral inde�nida,
es
olhemos uma primitiva em parti
ular e somamos uma 
onstante.
Exemplos:
1. Podemos es
rever:∫
1
x
dx = ln(x) +K ou
∫
1
x
dx = ln(2x) +K ou
∫
1
x
dx = ln(x) + 3 +K
Mas, em geral, por simpli
idade, es
revemos:
∫
1
x
dx = ln(x) +K
2. Podemos es
rever:
∫
et dt = et +K
3. Podemos es
rever:
∫
senu du = −
osu+K
A notação para integral pode pare
er estranha!
Mas, quando apresentarmos a integral de�nida e sua relação 
om áreas de �guras planas
os símbolos
∫
("que é um S esti
ado") e o dx �
arão mais intuitivos.
Agora, vamos apresentar algumas propriedades.
Assim 
omo a operação derivação a operação integração tem algumas propriedades,
mas CUIDADO, as integrais tem pou
as propriedades!
Propriedades das Integrais:
Sejam f e g funções tais que
∫
f(x) dx = F (x) + C1 e
∫
g(x) dx = G(x) + C1 no intervalo I,
e seja k uma 
onstante, temos:
1.
∫ [
f(x) + g(x)
]
dx =
∫
f(x) dx +
∫
g(x) dx , em I.
A integral da soma é a soma das integrais.
2.
∫ [
f(x) − g(x) ] dx = ∫ f(x) dx− ∫ g(x) dx , em I.
A integral da subtração é a subtração das integrais.
2
3.
∫ [
k f(x)
]
dx = k
∫
f(x) dx , em I.
A integral de um número vezes uma função é o número vezes a integral da função.
CUIDADO não temos propriedades (análogas a estas) para o produto ou a divisão de funções!
Exemplos:
1.
∫ (
1
x
+ 1
)
dx =
∫ (
1
x
)
dx+
∫
(1) dx = lnx+ x+ C
2.
∫ (
2 cosx+
5
7x
− 3ex
)
dx = 2
∫
(cosx) +
5
7
∫ (
1
x
)
dx− 3
∫
(ex) dx = 2 senx+
5
7
lnx− 3ex + C
Em geral, es
revemos a integral sem os parenteses, ou seja,
onsideramos que o integrando é tudo que está entre o símbolo
∫
e o símbolo dx.
Assim, es
revemos
∫
x2 − cosx+ 1
3x
dx, no lugar de
∫ (
x2 − cosx + 1
3x
)
dx
Agora, 
omo para derivadas, vamos 
onstruir uma tabela de integrais.
Começaremos 
om 
ada linha da nossa tabela de derivadas gerando uma linha de nossa tabela de integrais.
Como f(x) = k⇒ f ′(x) = 0, temos: ∫ 0 dx = C .
Como f(x) = x⇒ f ′(x) = 1, temos: ∫ 1 dx = x+ C .
Vamos deixar esta linha de nossa tabela mais interessante:∫
k dx = k
∫
1 dx = k
(
x+ C
)
= kx+ kC, 
hamando kC de C˜, temos:
∫
k dx = kx+ C˜
Como f(x) = xk ⇒ f ′(x) = k xk−1, temos: ∫ k xk−1 dx = xk + C.
Mas, esta linha de nossa tabela de integrais está feia! Vamos usar as propriedades de integrais para melhorar.∫
k xk−1 dx = xk + C ⇒ k
∫
xk−1 dx = xk + C ⇒
∫
xk−1 dx =
1
k
(
xk + C
)⇒
∫
xk−1 dx =
1
k
xk +
C
k
⇒
Chamando
C
k
= C˜, e k de r temos:
⇒
∫
xr−1 dx =
1
r
xr + C˜,
Agora, para linha da nossa tabela �
ar ainda mais interessante, vamos fazer r − 1 = k ⇒ r = k + 1,
⇒
∫
xk dx =
1
k + 1
xk+1 + C˜ .
Como f(x) = senx⇒ f ′(x) = cosx, temos: ∫ cosx dx = senx+ C .
Como f(x) = cosx⇒ f ′(x) = −senx, temos: ∫ (− senx) dx = cosx+ C ⇒ − ∫ senx dx = cosx+ C ⇒
∫
senx dx = − cosx− C ⇒, hamando −C de C˜, temos: ∫ senx dx = − cosx+ C˜ .
Como f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex, temos: ∫ ex dx = ex + C .
Como f(x) = lnx⇒ f ′(x) = 1
x
, temos:
∫
1
x
dx = lnx+ C .
3
Já temos uma tabela de integrais interessante,
mas 
omo integrar é mais difí
il que derivar (isto �
ará bem 
laro nas próximas aulas),
vamos abusar de nossos 
onhe
imentos de derivadas e fazer uma tabela de integrais mais 
ompleta!
Como f(x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a, temos:
∫
ax dx =
ax
ln a
+ C .
Como f(x) = tgx⇒ f ′(x) = sec2 x, temos:
∫
sec2x dx = tgx+ C .
Como f(x) = 
otgx⇒ f ′(x) = −
osse
2x, temos:
∫
osse
2x dx = −
otgx+ C .
Como f(x) = se
x⇒ f ′(x) = secx tgx, temos:
∫
secx tgx dx = se
x+ C .
Como f(x) = 
osse
x⇒ f ′(x) = −
osse
x 
otgx, temos:
∫
osse
x 
otgx dx = −
osse
x+ C .
Como f(x) = ar
senx⇒ f ′(x) = 1√
1− x2 , temos:
∫
1√
1− x2 dx = ar
senx+ C = sen
−1x+ C .
Como f(x) = ar
osx⇒ f ′(x) = − 1√
1− x2 , temos:
∫
− 1√
1− x2 dx = ar
osx+ C = 
os
−1x+ C.
Então, 
omo
∫
− 1√
1− x2 = −
∫
1√
1− x2 , ou seja, [−ar
senx]
′
= [−ar
osx]′ = − 1√
1− x2
podemos 
on
luir que existe uma 
onstante C tal que [ ar
senx ]− [ ar
osx ] = C.
Como sen (x) = 
os (90o − x), ou seja, sen (x) = 
os
( pi
2
− x
)
C =
pi
2
é esta 
onstante.
1
Como f(x) = ar
tgx⇒ f ′(x) = 1
x2 + 1
, temos:
∫
1
x2 + 1
dx = ar
tgx+ C = tg−1x+ C .
Como f(x) = ar
se
x⇒ f ′(x) = 1
x
√
1− x2 , temos:
∫
1
x
√
1− x2 dx = ar
se
x+ C = se
−1x+ C .
Pronto (ou quase), já temos uma bela tabela de integrais!
Na prova será forne
ida uma tabela de integrais ainda mais 
ompleta.
Para 
hegar a tabela da prova só falta estudar as funções hiperbóli
as, mas vamos deixar isto para outra aula!
Vamos agora rees
rever nossa tabela, nossas três propriedades (já apresentadas) das integrais e
fazer vários exemplos e exer
í
ios para �xar as propriedades e a própria tabela de integrais.
Observamos que é indiferente es
rever C, C˜, ou K na tabela, pois é uma 
onstante.
Na nossa tabela abaixo, optamos por usar C.
Vamos à tabela:
1
De qualquer forma não pre
isamos 
olo
ar os dois
(∫
1
√
1− x2
= ar
sen x e
∫
−
1
√
1− x2
= aros x
)
na tabela, basta um deles.
4
Tabela de Integrais:
1.
∫
0 dx = C.
2.
∫
1 dx = x+ C.
3.
∫
k dx = kx+ C.
4.
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ C.
5.
∫
senx dx = − cosx+ C.
6.
∫
cosx dx = senx+ C.
7.
∫
ex dx = ex + C.
8.
∫
1
x
dx = lnx+ C.
9.
∫
ax dx =
ax
ln a
+ C.
10.
∫
se
2 x dx = tgx+ C.
11.
∫
osse
2 x dx = −
otgx+ C.
12.
∫
se
x tgx dx = se
x+ C.
13.
∫
osse
x 
otgx dx = −
osse
x+ C.
14.
∫
1√
1− x2 dx = ar
senx+ C = sen
−1x+ C.
15.
∫
1
x2 + 1
dx = ar
tgx+ C = tg−1x+ C.
16.
∫
1
x
√
1− x2 dx = ar
se
x+ C = se
−1x+ C.
Nesta tabela: C, k, n, a são 
onstante reais, 
om n 6= −1, a > 0 e a 6= 1.
Observe que mesmo 
om esta tabela de integrais em um 
erto sentido grande,
ainda não sabemos integrar funções bem elementares tais 
omo f(x) = (2x+ 5)10 ou f(x) = lnx,
ou seja,
∫
(2x+ 5)10 =?,
∫
lnx dx =?
Para a primeira integral usaremos uma té
ni
a de integração 
hamada de substituição
e para a segunda uma té
ni
a de integração 
hamada integração por partes.
Como vo
ê pode presumir ainda vai ter muita integral!
5
Exer
í
ios (Integrais Imediatas):
1. Cal
ular as integrais:
(a)
∫
x
√
x dx
(b)
∫
s2 +
√
s
s3
ds
(
)
∫
x3 + 1
x
dx
(d)
∫
3u5 − 2u3 − 7u2 + 8 du
(e)
∫
1
x2 + 1
dx
(f)
∫
x dt
(g)
∫
2x+ t dt
(h)
∫
1√
1− x2 dx
(i)
∫
se
2 x dx
(j)
∫
tg
2 x dx
(k)
∫
3 dx
(l)
∫ √
x dx
(m)
∫
x−4 dx
(n)
∫
3
x5
dx
(o)
∫
3
x
+
1
x2
dx
(p)
∫
−8x2 + 3
x
dx
(q)
∫
7ex + 4 dx
(r)
∫
6 senx− 2 cosx dx
(s)
∫
sen
2 x+ cos2 x dx
6
Respostas dos Exer
í
ios (Integrais Imediatas):
1. Cal
ular as integrais:
(a)
∫
x
√
x dx =
2 x
5
2
5
+ C =
2 x
√
x
5
+ C
(b)
∫
s2 +
√
s
s3
ds = ln s+
2
3
s−
3
2 + C = ln s− 2
3 s
√
s
+ C
(
)
∫
x3 + 1
x
dx =
x3
3
+ lnx+ C
(d)
∫
3u5 − 2u3 − 7u2 + 8 du = u
6
2
− u
4
2
− 7u
3
3
+ 8u+ C
(e)
∫
1
x2 + 1
dx = ar
tgx+ C = tg−1x+ C
(f)
∫
x dt = x
∫
dt = x
∫
1dt = xt+ C
(g)
∫
2x+ t dt =
∫
2x dt+
∫
t dt = 2x
∫
dt+
∫
t dt = 2xt+
t2
2
+ C
(h)
∫
1√
1− x2 dx = ar
senx+ C = sen
−1 x+ C
(i)
∫
se
2 x dx = tgx+ C
(j)
∫
tg
2 x dx =∗
∫
se
2 x− 1 dx =
∫
se
2 x dx−
∫
1 dx = tgx− x+ C
(k)
∫
3 dx = 3x+ C
(l)
∫ √
x dx =
2
3
x
3
2 + C =
2
3
x
√
x+ C
(m)
∫
x−4 dx = − x
−3
3
+ C
(n)
∫
3
x5
dx =
∫
3x−5 dx = 3
x−4
−4 + C = −
3
4x4
+ C
(o)
∫
3
x
+
1
x2
dx =
∫
3
x
+ x−2 dx = 3 lnx+
x−1
−1 + C = 3 lnx−
1
x
+ C
(p)
∫
−8x2 + 3
x
dx = −8
3
x3 + 3 lnx+ C
(q)
∫
7ex + 4 dx = 7 ex + 4x+ C
(r)
∫
6 senx− 2 cosx dx = −6 cosx− 2 senx+ C
(s)
∫
sen
2 x+ cos2 x dx =
∫
1 dx = x+ C
7