Cap2 Fenomenos

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CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
- Fluxo energia que entra no VC
- Fluxo energia que sai do VC
- Geração energia no VC
- Taxa variação energia armazenada
 no VC no instante t€ 
˙ E e
€ 
˙ E s
€ 
˙ E g
€ 
˙ E at
Num instante de tempo:
Num intervalo de tempo:
€ 
dEat
dt =
˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g
€ 
Ee + Eg − Es = ΔEat = ΔU + ΔEc + ΔEp( )
- Sistema fechado: troca de energia na forma de calor e trabalho
- Sistema aberto (VC): fluxo de energia também é devido ao fluxo 
de massa 1
Balanço de energia num sistema aberto (1 entrada e 1 saída):
 
€ 
˙ m u + pv
h
   +
V 2
2 + gz
" 
# 
$ $ 
% 
& 
' ' 
e
− ˙ m u + pv
h
   +
V 2
2 + gz
" 
# 
$ $ 
% 
& 
' ' 
s
+ ˙ E g + ˙ Q − ˙ W =
dEat
dt
Gás ideal com cp constante : Δh = cp (Te −Ts)
Fluido incompressível (cp = cv = c) : ue − us = c(Te −Ts)
Balanço de energia numa superfície
€ 
˙ E e − ˙ E s = 0
qcond" −qconv" −qrad" = 0
2
Unidades e Dimensões
Grandeza Dimensão Unidade (SI)
Comprimento L m
Massa M kg
Concentração C mol
Tempo t s 
Temperatura T K
Corrente elétrica I A
Força ML/t2 N=mkg/s2
Pressão e tensão M/Lt2 Pa=N/m2
Energia ML2/t2 J=Nm
Potência ML2/t3 W=J/s
3
EXEMPLO
Barra longa condutora, de resistência elétrica por unidade de
 comprimento Rr’, está inicialmente em equilíbrio térmico com
 o ambiente. O equilíbrio é perturbado quando uma corrente elétrica
 I passa através da barra. Desenvolva uma equação para determinar
 a variação da temperatura da barra com o tempo, durante a 
 passagem da corrente.
Hipóteses: T uniforme em cada tempo t; propriedades ctes
€ 
˙ E g − ˙ E s = ˙ E at =
d(ρcVT)
dt
˙ E g = I2Rr' L = ˙ Q V
˙ E s = h(πDL)(T −T∞) + εσ (πDL)(T 4 −Tsup4 )
I2Rr' L − h(πDL)(T −T∞) −εσ (πDL)(T 4 −Tsup4 ) = ρc
πD2
4 L
dT
dt
dT
dt =
I2Rr'
ρc(πD2 /4) −
4h
ρcD (T −T∞) −
4εσ
ρcD (T
4 −Tsup4 )
4
Capítulo 2 
INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
Lei de Fourier:
 
€ 
q''= −k∇T ou q = −kA∇T
Em coordenadas cartesianas :
q''= −k ∂T
∂x
qx "

ˆ i + ∂T
∂y
qy "

ˆ j + ∂T
∂z
qz "

ˆ k 
% 
& 
' 
' 
' 
( 
) 
* 
* 
* 
meio isotrópico
5
Meio não isotrópico: 
Condutividade térmica depende da 
direção
 ⇒ kx(=-qx”/∂T/∂x)≠ky≠kz
Em	geral,	ksólido>klíquido>kgás	
Sólidos em geral: k cai com T
Fluidos: - Gases: k cresce com T
 - Líquidos: k cai com T
Outras propriedades importantes: ρ, ν, 
cp, cv, α=k/ρcp
6
Equação da Condução de Calor
€ 
˙ E g = ˙ q dxdydz ˙ E at = ρc p
∂T
∂t dxdydz
˙ E at = ˙ E e + ˙ E g − ˙ E s
⇒ qx + q y + qz + ˙ q dxdydz − qx +dx − q y +dy − qz+dz = ρc p
∂T
∂t dxdydz
7
€ 
qx = −kdydz
∂T
∂x
q y = −kdxdz
∂T
∂y
qz = −kdxdy
∂T
∂z
$ 
% 
& 
& 
& 
' 
& 
& 
& 
€ 
⇒
∂
∂x k
∂T
∂x
$ 
% 
& 
' 
( 
) +
∂
∂y k
∂T
∂y
$ 
% 
& 
' 
( 
) +
∂
∂z k
∂T
∂z
$ 
% 
& 
' 
( 
) + ˙ q = ρc p
∂T
∂t
Equação de condução de calor em 
coordenadas cartesianas:
Para k constante:
 
€ 
∂ 2T
∂x2
# 
$ 
% 
& 
' 
( +
∂ 2T
∂y 2
# 
$ 
% 
& 
' 
( +
∂ 2T
∂z2
# 
$ 
% 
& 
' 
( +
˙ q 
k =
1
α
∂T
∂t
= 0 em reg.
permanente
   
8
€ 
q"= −k ∂T
∂r
ˆ e r +
1
r
∂T
∂θ
ˆ e θ +
1
r sinθ
∂T
∂φ
ˆ e φ
& 
' 
( 
) 
* 
+ 
1
r 2
∂
∂r kr
2 ∂T
∂r
& 
' 
( 
) 
* 
+ +
1
r 2 sin2θ
∂
∂φ
k ∂T
∂φ
& 
' 
( 
) 
* 
+ +
1
r 2 sinθ
∂
∂θ
k sinθ ∂T
∂θ
& 
' 
( 
) 
* 
+ + ˙ q = ρc p
∂T
∂t
€ 
q"= −k ∂T
∂r
ˆ e r +
1
r
∂T
∂θ
ˆ e θ +
∂T
∂z
ˆ e z
% 
& 
' 
( 
) 
* 
1
r
∂
∂r kr
∂T
∂r
% 
& 
' 
( 
) 
* +
1
r 2
∂
∂θ
k ∂T
∂θ
% 
& 
' 
( 
) 
* +
∂
∂z k
∂T
∂z
% 
& 
' 
( 
) 
* + ˙ q = ρc p
∂T
∂t
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:
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Exemplo:
Num certo instante de tempo, a distribuição de temperatura numa 
parede de 1m de espessura é: 
T(x) = a + bx+ cx2 ( T(0C), x(m)), a=9000C, b=-3000C/m, c=-500C/m2. 
A área da parede é 10 m2, e existe uma geração interna de calor 
(q=1000W/m3). As propriedades da parede são: ρ=1600kg/m3, 
k=40W/mK e cp=4kJ/kgK. Calcular:
1.  A taxa de calor transferido em x=0 e x=1m
A
qe qs
T(x)
q.
10