Lista5 2012 AL

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Lista 5 de Álgebra Linear - 2012/01
Mudança de Base
1. Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {
√
3, 1), (
√
3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases
ordenadas de R2. Encontre a matrizes mudança de base:
(a) i. [I]β1β ii. [I]
β
β1
iii. [I]ββ2 iv. [I]
β
β3
.
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base:
i. β ii. β1 iii. β2 iv. β3.
(c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β1 são dadas por [u]β1 =
[
4
0
]
. Quais as coorde-
nadas do vetor u em relação à base:
i. β ii. β2 iii. β3
2. Sejam P3 =
{
p = ax2 + bx+ c | a, b, c ∈ R} , α = {1 + x, x− x2, 1− 2x− x2} e β = {1 + x2, x, x+ x2}.
(a) Determine [I]βα .
(b) Se [p]α =
12
4
 , determinar [p]β .
(c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item (b) acima.
3. Considere o seguinte subespaço de M2 :W =
{[
a b
c d
]
| d = 0
}
. Sejam
α =
{[
1 1
1 0
]
,
[
1 −1
1 0
]
,
[
1 1
−1 0
]}
β =
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
0 0
]}
(a) Detemine [I]αβ
(b) Se [v]β =
 pie
0
 , determine [v]α .
4. Sejam α e β bases de R3. Determine a base β sabendo que α = {(1,−1, 0), (0, 1, 0), (0, 0,−1)} e a matriz
mudança de base de α para β é
[I]αβ =
 1 0 00 2 1
−1 1 1

5. Seja α =
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
2 1
−2 0
)}
uma base para um subespaço de M2×2 e [I]αβ =
1 0 −11 1 −1
2 −1 2

onde β é também uma base para um subespaço de M2×2
(a) Determine a base β.
2
(b) Se [v]α =
 1−2
1
 , determine [v]β.
6. Seja E um espaço vetorial qualquer e α = {u1, u2, u3} uma base de E. Considere ainda os vetores
v1 = u1 + u2, v2 = 2u1 + u2 − u3 e v3 = −u2.
(a) Determine a matriz S de mudança da base β = {v1, v2, v3} para a base α = {u1, u2, u3}.
(b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 + v2 − v3 na base {u1, u2, u3}.
7. Sejam α e β bases de um espaço vetorial V
(a) Mostre que det
(
[I]αβ [I]
β
α
)
= 1
(b) Determine [I]αα
Respostas
1. a) i. [I]β1β =
[−1 1
1 1
]
ii. [I]ββ1 =
[−12 12
1
2
1
2
]
iii. [I]ββ2 =
[√
3
6
1
2√
3
6 −12
]
iv. [I]ββ3 =
[
1
2 0
0 12
]
b) i. [v]β =
(
3
−2
)
ii. [v]β1 =
(−52
1
2
)
iii. [v]β2 =
(√
3
6 − 1√
3
6 + 1
)
iv. [v]β3 =
(
3
2
−1
)
c) i. [u]β =
(−4
4
)
ii. [u]β2 =
(
−2
√
3
3 + 2
−2
√
3
3 − 2
)
iii. [u]β3 =
(−2
2
)
2. a) [I]αβ =
 1 1/4 1/2−1 1/4 −1/2
1 −1/4 −1/2
 . b) [p]β =
 7/2−5/2
−3/2

c) p(x) = 5 + 5x− 6x2
3. a) [I]αβ =
 1 1 −11 −1 1
−1 1 −1

b) [v]α =
pi+e2pi
2
e
2

4. β = {(1,−2,−2), (0, 1, 1), (0,−1,−2)}
5. a) β =
{(−54 −32
1
2 0
)
,
(
3
4
3
2
1
2 0
)
,
(
3
4
1
2
−12 0
)}
b) [v]α =
 0−2
6

6. a) [I]βα =
1 2 01 1 −1
0 −1 0

b) [w]α =
 33
−1

7. b) [I]αα = In