Coordenadas Polares

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REVISÃO DE COORDENADAS POLARES EM R2
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da
medida de um ângulo em relação a um ponto �xo e a uma semirreta �xa. A Figura 1
ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. O ponto �xo, denotado por O, é
θ
r
o
A
P
Figura 1: Ponto P usando coordenadas polares
chamado pólo ou origem. A semirreta �xa OA é chamada eixo polar. O ponto P �ca bem
determinado através do par ordenado (r, θ), onde r representa a distância entre a origem e o
ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AOˆP. O segmento OP,
é chamado raio.
Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema
de Coordenadas Polares

x = r cos θ
y = r sin θ
r2 = x2 + y2
r =
√
x2 + y2
tan θ =
y
x
.
Algumas equações em coordenadas polares e seus respectivos grá�cos
Retas
1. θ = θ0 ou θ = θ0± npi, n ∈ Z é uma reta que passa pela pólo e faz um ângulo θ0 ou
θ0 ± npi radianos com o eixo polar.
2. r sin θ = a e r cos θ = b, com a, b ∈ R, são retas paralelas ao eixo polar e θ = pi
2
,
respectivamente.
Circunferências
1. r = a, a ∈ R é uma circunferência de raio |a|.
2. r = 2a cos θ é uma circunferência de raio |a|, com centro sobre o eixo polar e tangente
ao eixo θ = pi
2
de modo que
(i) se a > 0 o grá�co está à direita do pólo;
(ii) se a < 0 o grá�co está à esquerda do pólo.
1
3. r = 2b sin θ é uma circunferência de raio |b|, com centro sobre o eixo θ = pi
2
e tangente
ao eixo polar de modo que
(i) se b > 0 o grá�co está acima do pólo;
(ii) se b < 0 o grá�co está abaixo do pólo.
Limaçons
Equações do tipo r = a± b cos θ ou r = a± b sin θ, onde a, b ∈ R o grá�co varia conforme
os casos abaixo.
1. se b > a, então o grá�co tem um laço. Veja a Figura 2.
r=a-bcosθ r=a+bcosθ r=a+bsinθ r=a-bsinθ
Figura 2: Limaçons com laço
2. se b = a, então o grá�co tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
Cardióide. Veja a Figura 3.
r=a(1+ cos )θ r=a(1- cos )θ r=a(1- sin )θ r=a(1+ sin )θ
Figura 3: Cardióide
3. se b < a, então o grá�co não tem laço e não passa pelo pólo. Veja a Figura 4.
r=a - bcosθ r=a+bcosθ r=a+bsinθ r=a - bsinθ
Figura 4: Limaçons sem laço
2
Rosáceas
Equações do tipo r = a cos(nθ) ou r = a sin(nθ), onde a ∈ R e n ∈ N o grá�co varia
conforme os casos abaixo.
1. Se n é par temos uma rosácea com 2n pétalas. Veja a Figura 5.
r = acos(4 )θ r = asin(4 )θ
Figura 5: Rosáceas com 2n pétalas
2. Se n é ímpar temos uma rosácea com n pétalas. Veja a Figura 6.
r=a cos(5 )θ r=a sin(5 )θ
Figura 6: Rosáceas com n pétalas
Lemniscatas
Equações do tipo r2 = ±aa cos(2θ) ou r2 = ±a2 sin(2θ), onde a ∈ R. Os grá�cos para cada
caso estão na Figura 7.
3
r²=a²cos(2 )θ
r²=-a²cos(2 )θr²=a²sin(2 )θ
r²=-a²sin(2 )θ
Figura 7: Lemniscatas
Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais.
1. Espiral hiperbólica: rθ = a, a > 0.
2. Espiral de Arquimedes: r = aθ, a > 0.
3. Espiral logarítmica: r = eaθ.
4. Espiral parabólica: r2 = θ.
A Figura 8 ilustra estas espirais.
r =a ( >0)θ θ
(a, /2)pi
r =a ( <0)θ θ
(a, /2)pi
r=a ( 0)θ θ ³ r=a ( 0)θ θ£
r=e
aθ θr= θr=-
Figura 8: Espirais
4