A BOLA DE FUTEBOL UM BOM EXERCICIO DE INVESTIGACAO MATEMATICA

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A BOLA DE FUTEBOL, UM BOM EXERCÍCIO DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA. 
Elda Vieira Tramm 
Faculdade de Educação da Universidade Federal da Bahia (aposentada) 
Projeto UNEB 2000 - Lauro de Freitas 
etramm@gmail.com 
 
RESUMO 
No ensino fundamental e médio, tal como no ensino superior, cada vez mais, existem 
profissionais que empreendem pesquisas sobre a sua própria prática profissional. 
Fazem-no porque sentem necessidade de compreender melhor a natureza dos 
problemas com que se defrontam, para poder transformar sua prática e as suas 
condições de trabalho. Esta comunicação nasce de um trabalho realizado com alunos 
do ensino fundamental (3ª e 4ª série) no intuito de responder as questões: Os alunos 
conseguem investigar questões matemáticas? Os professores são capazes de 
promover este tipo de trabalho nas suas aulas? Que condições são necessárias para 
que isso aconteça? De seguida, descreve a intervenção pedagógica, cujo objetivo era 
explorar e investigar os poliedros, nomeadamente os de Platão, tendo como meta a 
construção de uma bola de futebol, sendo esta o elemento do desejo e da cultura do 
educando. E finalmente o artigo analisa o que esse trabalho representou para os 
diversos participantes envolvidos e o papel da Escola como um elemento facilitador na 
construção do elo entre a Matemática formal (icosaedro truncado) e a Matemática não 
formal (bola de futebol). 
 
Palavras-chave: investigação matemática, formação continuada do professor, 
conhecimento coletivo. 
 
1. Introdução 
Esta comunicação é fruto de um trabalho de cunho investigativo, que tem os 
seus pressupostos assentes em leituras que venho realizando na última década, 
nomeadamente, relacionadas com as contribuições para a educação feitas por Piaget 
(1985), Vygotsky (1979, 1996), Freudenthal (1978, 1983), Paulo Freire e D’Ambrósio 
(1986). 
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Assim, concebo o educando como um sujeito inteligente1, social2 e que possui 
seus próprios desejos e a sua cultura3. Ao planejar e implementar a presente 
intervenção, tive em conta estes aspectos bem como o ambiente de aprendizagem, 
visto que o educando deverá ser o agente de sua própria formação. 
Para que um ambiente de aprendizagem se torne facilitador e significativo 
entendo que deve, minimamente, atender duas condições. Em primeiro lugar, a 
aprendizagem tem que ter significado para o educando e este significado deve estar 
vinculado à sua funcionalidade, ou seja, os conhecimentos adquiridos devem ser 
efetivamente utilizados. Em segundo lugar, o processo mediante o qual se produz a 
aprendizagem requer uma intensa atividade por parte do educando, tanto de natureza 
externa como de natureza interna4. Por esta razão a atividade pedagógica deverá ter 
cunho investigativo, uma vez que ela favorece a construção de objetos, a exploração, 
a descoberta de conceitos matemáticos embutidos, a conjectura de situações que 
surgem no decorrer da intervenção, sejam elas intencionais ou não. O aprendiz, desta 
forma, torna-se um sujeito ativo na sua aprendizagem, apropriando-se do saber, ao 
tornar este processo uma viagem única e intransmissível. 
Agradeço aos matemáticos, que nos brindaram com a classificação dos 
poliedros convexos, o que me levou a identificar, de imediato, o elemento da cultura do 
educando, e ao Prof. Hans Freudenthal, pela sua luta a favor da inclusão da 
Geometria5 no ensino da Matemática, que assumi como verdadeira e passível de ser 
concretizada. Estes apoios indiretos deram-me segurança e ousadia para investir na 
elaboração de propostas pedagógicas que concretizam uma investigação matemática . 
 
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 Piaget via a “criança como um construtor activo de suas estruturas intelectuais...” pode-se 
concluir que o homem não nasce inteligente, ele torna-se inteligente. 
 
2
 Para Vygotsky, “a relação entre o significado de uma palavra, o pensamento e a linguagem é 
tão estreita que é quase impossível distinguir entre o fenómeno da fala e um fenómeno do 
pensamento”. 
 
3
 Paulo Freire e D’ Ambrósio “… ao se considerar de forma integrada conteúdos, objectivos e 
métodos, considerações de natureza socio cultural estarão permanentemente em jogo. É aí 
que é fundamental a capacidade do professor de reconhecer no aluno um determinante na 
definição dos objectivos na prática pedagógica.” 
 
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 Nesta, o aprendiz estabelece relações entre o novo conteúdo e os elementos já disponíveis 
em sua estrutura cognitiva; julga, decide ou não a pertinência deste conteúdo e 
finalmenteconstrói novas matizes. A este processo de natureza interna Piaget denomina-o de 
assimilação e acomodação deste objecto/conteúdo. 
 
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 Freudenthal sempre defendeu “a inclusão da geometria na aprendizagem matemática e se 
possível o mais cedo possível. Não defendia a matemática euclidiana como objecto ideal para 
pensar dedutivamente”. Para ele, “Matemática é organizar áreas de experiência; a geometria, 
neste sentido se presta para matematizar experiências espaciais. Eis uma óptima oportunidade 
para a criança experimentar a organização local.” (1978, pp. 276-292). 
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É neste contexto que nasceu a presente intervenção pedagógica, cujo objetivo 
era explorar e investigar os poliedros, nomeadamente os de Platão, tendo como meta 
a construção da bola de futebol, surgindo esta última como um elemento do desejo e 
da cultura do educando. Eis o elo que precisávamos para matematizar a realidade do 
aluno6. 
Esta intervenção tem subjacente a idéia defendida por Freudenthal “que a 
Geometria é a compreensão do espaço em que a criança vive, respira e se move. O 
espaço que a criança deve aprender a conhecer, explorar e conquistar de modo a 
poder aí viver, respirar e mover-se melhor. Utilizo a Geometria (espaço e plano) 
porque ela se presta muito bem para a aprendizagem da matematização da realidade 
e para a realização de descobertas que sendo feitas com os próprios olhos e mãos 
são mais convincentes e surpreendentes”. Freudenthal trabalhou para abrir a 
Matemática para todos e nunca diminuiu a exigência de um intelectual, de um 
pensador científico. 
Espero que esta comunicação contribua para enriquecer o debate e para 
clarificar o tipo de atividade de investigação que nós, educadores, desejamos para 
nossas escolas no pressuposto que a Matemática é “assunto de todos e todos somos 
responsáveis por tornar este instrumento de organização do mundo, da vida, do 
quotidiano, acessível às crianças e jovens deste país” (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 
1999). 
2. A investigação proposta 
 Atentemos na seguinte questão: “Existe um elemento na cultura do aluno, que 
faça parte do seu desejo, que nos sirva de ponte para o estudo da Geometria, no 
ensino Fundamental?” 
Para lhe podermos responder, é necessário que haja um acompanhamento 
destes alunos, que sofreram a intervenção pedagógica, em diferentes momentos da 
sua vida acadêmica posterior ao 1º ciclo (prova de aferição, desempenho no 2º ciclo). 
A intervenção pedagógica que é referida neste relato tem sido por mim 
realizada através de professores do ensino básico e dos seus alunos 3º e 4º anos de 
escolaridade, em Portugal. No Brasil, encontra-se, em fase de testagem da 
metodologia, das atividades e dos materiais pedagógicos bem como o campo 
conceptual escolhido (poliedros de Platão). 
 
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 Esta matematizacao é defendida pelo grupo de pesquisa do Instituto Freudenthal (www.fi.ru.nl), 
onde estudei 3 anos, e é chamada de Matemática Realista. Em sua homenagem construí o site com 
este nome: Matemática Realista (http://www.prof2000.pt/users/eldita). 
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Como a investigação matemática traduz numa rica experiência/caminhada 
realizada, em parceira, com professoras7 e seus alunos, acredito ser válido socializar 
esta etapa, esperando com isto conquistar alguminteresse de algum pesquisador, 
desta área. O ponto central deste relato é as reações dos alunos, frente às atividades 
propostas. Mas sei, de antemão, que ficará o sentimento que falta algo a contar e por 
outro lado, tendo a certeza que a socialização deste trabalho ganhara adeptos e com 
isto esta experiência será enriquecida. 
3. A metodologia de trabalho 
 Esta intervenção pedagógica pode resumir-se em três momentos: (i) 
construção do contrato de trabalho, (ii) estudo de poliedros, nomeadamente, os de 
Platão, e (iii) construção da bola de futebol. 
Momento I – Construção do contrato de trabalho 
Este momento tem por base a seguinte proposta: 
Que tal construir uma bola de futebol? (tema lançado). 
Geralmente esta proposta é aceite com muito entusiasmo pelos alunos. 
Depois, vamos pensar junto o que precisamos para construir a bola de futebol 
(planejamento). 
Com a bola de futebol em mãos, passamos a discutir e planear com os alunos, 
o que será necessário fazer para construir uma bola de futebol. Chegamos à 
conclusão que a ferramenta que nos ajudaria, seria o estudo dos poliedros. Firmamos 
deste modo, um contrato de trabalho verbal, pois sabemos que a aquisição de 
conhecimentos significa um trabalho árduo, com muita persistência, organização e 
disciplina. 
Feito isto, passamos à ação. 
Momento II – Estudo de poliedros, nomeadamente, os de Platão 
 
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 Esta comunicação relata três investigações realizadas. Estas investigações sofreram a 
influência das atividades desenvolvidas na ação de formação “Novos ambientes de 
aprendizagem no ensino da Matemática”, dinamizadas pela autora desta comunicação. As 
Escolas Básicas envolvidas foram: 
• E.B.1 nº 10 – Setúbal, que envolveu duas professoras (apenas uma delas participou da ação 
de formação) e duas turmas do 3º ano do Ensino Fundamental. A escola ganhou o concurso 
AMM2000 (Ano Mundial da Matemática); 
• E.B.1 nº 10 que envolveu 7 professoras e 5 turmas, do 1º ao 4º ano do Ensino Fundamental; 
• E.B.1 nº 15 que envolveu 7 professoras e 5 turmas, do 1º ao 4º ano do Ensino Fundamental. 
A Escola ganhou premio no Concurso Pedro Nunes que premia as Escolas cujos alunos se 
destacam como os melhores em Matemática, em Portugal, em 2003. 
 
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Etapa 1: Descoberta de poliedros regulares (regras/limites) 
a) Construção e descoberta dos deltaedros (só triângulos equiláteros, usando 
palhinhas, anexo 1). 
Nesta fase, introduzimos a necessidade de etiquetar os poliedros feitos, com 
os seguintes dados: 
Nome do poliedro (que é inventando pelo aluno), 
Número de canudos utilizados (que em momento oportuno é substituído por 
arestas), 
Número de triângulos utilizados (que em momento oportuno é substituído por 
faces ) naturalmente, subentendem-se polígonos regulares. 
Número de bicos (que em momento oportuno é substituído por vértices). 
Logo na primeira aula, os alunos demonstram o interesse pelos poliedros, ao 
solicitar à professora o consentimento para levar o poliedro construído para casa. A 
professora não permite de imediato, pois precisa dos poliedros para continuar a 
investigação. Depois consente que levem para casa e sugere que levem palhinhas e 
agulhas para continuar a tarefa em casa. 
Nas três intervenções realizadas, a instrução por si só não basta. O aluno 
procura clarificar entre eles as regras colocadas pela professora para a construção dos 
poliedros. De início os alunos trabalham em equipa mas cada um por si. Depois 
naturalmente trabalham aos pares (se ajudam) (ver anexo 2). 
Como numa aula os alunos não esgotam a investigação dos deltaedros, a 
professora prepara um espaço na parede da sala, com o título Poliedros, para que os 
alunos afixem seus poliedros, devidamente etiquetados. Desta forma ela dá condições 
para que os alunos possam ter uma visão global dos poliedros construídos. A visão do 
todo, ajuda-os a descobrir regularidades, a classificar e organizar o pensamento do 
aluno. No final preenchem a ficha de registro. b) Construção e descoberta do 
cubo/hexaedro (só quadrados, usando palhinhas). 
Aqui, as crianças descobrem com surpresa, que o mesmo não fica em pé 
(anexo 3). Não aceitam este fato, cuja descoberta constitui uma desilusão. Propõe de 
imediato colocá-lo de pé. 
Surgem então diversas conjecturas. 
1º caso (2000) – E.B.1 10 – Setúbal: “Coloca-se uma palhinha atravessada”. 
Mesmo com problemas na linguagem a professora incentiva-os a desenhar sua 
idéia, o que é feito de imediato. Mas quando vão colocar em prática verificam que o 
tamanho da palhinha não é suficiente e dizem logo: “não dá”. 
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A professora socializa para a turma a conjectura (a descoberta), perguntando o 
porquê de aquilo acontecer. Os alunos sabem que precisam de uma palhinha maior. A 
professora explica que a conjectura da diagonal é boa e pergunta se eles são capazes 
de dizer exatamente a medida da diagonal. Uns envolvem-se em cálculos, outros 
usam o fio de lã para medir o trajeto da diagonal. A professora não aceita e pede que 
se desenrasquem com o que eles sabem. Ela aproveita para conversar sobre o papel 
da Matemática e a sua importância no nosso dia a dia. 
Surgem, então, várias conjecturas que são eliminadas por falta de argumentos 
convincentes até à conjectura do balão, o que toda a turma de imediato aceita. A 
professora (que está surpresa e eu também) solicita minha ajuda. Digo que é uma 
excelente sugestão e que nunca havia pensado nisto. Então peço que expliquem mais 
a idéia. 
O aluno explica para os demais. Então, todos adotam o balão. Fica-se com a 
sensação que não é uma boa conjectura, mas foi a que eles puderam chegar. 
2º caso (2º semestre de 2000/01) – E.B.1 nº. 09 – Setúbal. 
Passou-se da mesma forma que a anterior (nesta ação de formação as 
professoras construíram o dodecaedro com o polidron e o zoomtool). 
3º caso (1º semestre de 2001/02) – E.B.1 nº 15 – Lisboa. 
Neste grupo surgiram duas conjecturas: 
1. Colocar plasticina (massa de modelar) nos vértices. A professora 
socializa para a turma a conjectura (a descoberta), perguntando o 
porquê de aquilo acontecer. Eles concluem que assim a palhinha fica 
em pé. Neste momento a professora pergunta qual o papel da plasticina 
(massa de modelar). Depois de muita troca de idéias e da condução da 
professora, chega-se à conclusão que amarra os 3 canudos (arestas); 
2. Colocar 2 canudos em cruz (que são os eixos de simetria, horizontal e 
vertical). 
Ambas as conjecturas foram aceites. 
Estes alunos não aceitaram a bola de assoprar (anexo 4). Estas professoras 
utilizaram o polidron na construção do dodecaedro. 
Só no 3º curso concluímos que o material mais adequado seria os canudos no 
início (deltaedros e hexaedro) e, em seguida o polidron. O uso de canudos na 
construção dos deltaedros e do cubo facilita a descoberta da rigidez (triângulo) e a 
representação do cubo (espaço) no plano (papel). Ao movimentar o cubo em 
palhinhas fica visível linha paralela, ângulos, etc. Ou seja a planificação dos poliedros 
e a representação do espaço no plano aparece de maneira natural. 
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c) Construção e descoberta do dodecaedro (só pentágonos, usando palhinhas 
e polidron, ver anexo 5) 
d) Descoberta do impedimento na construção de um poliedro (só hexágonos, 
usando palhinhas e polidron, anexo 6) 
Neste momento concluiu-se a investigação dos poliedros. Investigação esta 
realizada supondo o aumento gradual dos lados do polígono. 
Com o hexágono os alunos descobrem que é impossível construir poliedros. 
Neste momento eles percebem que se trata de situação análoga à dos deltaedros 
(quando o número de triângulos eqüiláteros utilizados é 6). A professora incentiva-o a 
desenhar as duas situações e socializa para toda a conjectura descoberta, 
perguntando o porquê de aquilo acontecer. Surgeassim um ótimo gancho (motivação) 
para trabalharmos a construção do desenho do hexágono (representação) com as 
ferramentas da matemática (transferidor, compasso), a medida de ângulos, e a 
circunferência versus seis triângulos… 
Etapa 2: Formalização 
O pensamento formal (presente no ensino da gramática da língua materna e no 
ensino da Matemática) alfabetiza a criança, mas não se desenvolve de forma natural. 
Precisa de ações educativas para que o aluno se aproprie desta competência. Já o 
pensamento intuitivo, concreto, se aprende de maneira natural. Isto não significa que o 
aluno seja alfabetizado. 
Esta etapa envolve as seguintes atividades: 
• Descobrindo regularidades; 
• Registrando os elementos, de cada poliedro construído, na folha de registro; 
• Classificando os poliedros construídos em relação as faces (formados por 
triângulos, por quadrados, por pentágonos). 
Cada aluno possui sua folha de registro preenchida. 
Etapa 3: Poliedros regulares ou de Platão 
Finalmente, os alunos identificam aqueles que sempre apresentam a mesma 
imagem, apesar de trocarmos de posição. Eles chamaram estes poliedros de 
certinhos. A professora induz os alunos a observar quantas arestas parte de cada 
vértice. Descobrindo assim um padrão dos poliedros. Os poliedros (certinhos) que 
satisfazem este critério têm o nome de Regulares ou de Platão. Neste momento, surge 
naturalmente a necessidade do estudo da origem destes poliedros apresentando desta 
forma uma nova necessidade que e a pesquisa na internet da historia dos poliedros de 
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Platão. O professor complementa esta pesquisa contando-lhes que cada um 
representa um dos 5 elementos do universo, segundo a interpretação de Kepler (ver 
Veloso, 1998). 
Momento III – Construção da bola de futebol 
Os alunos concretizam seu desejo ao construir a bola de futebol, que 
reconhece como um icosaedro truncado – poliedro semi-regular ou arquimediano. 
Deste modo desenvolve a sua auto estima e confiança em si e na escola. Foi 
concretizado o objetivo da Escola que é trabalhar a Matemática formal (icosaedro 
truncado) a partir da Matemática não formal (bola de futebol). 
4. Reflexão final 
Este processo de ensino-aprendizagem foi regulado com base nas 
observações das reações dos alunos e na análise das opiniões obtidas através das 
relatos dos alunos nas atividades. As três experiências realizadas permitiram-me fazer 
as seguintes conjecturas que mereceram a minha atenção e que agora partilho 
convosco. 
• A construção da bola de futebol se apresenta como um forte elo que aproxima 
a realidade do aluno dos conteúdos matemáticos; 
• O campo conceptual trabalhado – Poliedros de Platão – apresenta-se como 
adequado para se trabalhar geometria neste nível de ensino; 
• Os materiais de apoio utilizado prestam-se à descoberta de propriedades 
(rigidez de figuras) e à identificação de todos os elementos que compõem um poliedro; 
• As regras/limites impostas para a construção e descoberta de poliedros 
funcionam como regras de um jogo, pois foram aceites sem nenhum obstáculo; 
• As crianças gostaram de trabalhar este tema (poliedros regulares) estando 
sempre muito absorvidas pelas tarefas; 
• As tarefas que envolviam organização, sistematização e formalização de 
conteúdos matemáticos ajudam na realização de tarefas interdisciplinares; 
• Os professores envolvidos estiveram bastante entusiasmados com os 
resultados alcançados por seus alunos; 
• O despertar do interesse do professor pelo ensino da Matemática teve um 
papel preponderante no resultado alcançado; 
• O tempo gasto no estudo dos poliedros vem sendo diminuído de experiência 
para experiência; 
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• Os sujeitos envolvidos na experiência (formador, formadores e alunos) 
evoluíram ao longo do percurso (ação de formação, intervenção e reflexão crítica dos 
resultados), modificando sua atitude em relação ao papel da matemática. 
Transcrevo, a seguir, a reflexão que os professores da EB1 nº 15 – Lisboa 
fizeram a respeito de si próprios, ao finalizar a intervenção pedagógica em uma sala 
de aula: 
“O professor iniciou um percurso de inovação, reflexão e reorganização do 
ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de Matemática”. 
“Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente, a 
família… “ 
Anexos 
 
 
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Referências 
ABRANTES, P., Serrazina, L., & Oliveira, I. A matemática na educação básica. Lisboa: 
DEB do ME. 1999. 
D’AMBRÓSIO, U. Da realidade à ação: Reflexões sobre educação e matemática. São 
Paulo: Summus. 1986. 
FREUDENTHAL, H. Weeding and sowing: Preface to a science of mathematical 
education. Dordrecht: Reidel. 1978. 
FREUDENTHAL, H. Didactical phenomelogy of mathematical structures. Dordrecht: 
Reidel. 1983. 
PIAGET, J. O possível e o necessário: A evolução dos possíveis na criança. Porto 
Alegre: Artes Médicas. 1985. 
VELOSO, E. Geometria, temas actuais: Materiais para professores. Lisboa. IIE. 1998. 
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. Trad. M. Resende. Lisboa: Edições 
Antídoto. 1979. 
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo:Martins Fontes. 1996.