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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 11 Questão 1 Um elétron descreve uma trajetória circular de raio igual a ʹ ή ͳͲିଶ�݉ de modo tal que sua velocidade é ሺͲǡͷ ͲǡͲͳݐሻܿ. Calcule o ângulo entre a força e a aceleração para ݐ ൌ ͳͲ�ݏ. Resolução: As acelerações tangencial e centrípeta são dadas, respectivamente por: ܽ௧ ൌ ͲǡͲͳܿ ؆ ͵ ή ͳͲ�݉ ή ݏିଶ (1.1) E ܽ ൌ ݒ ଶܴ ൌ Ͳǡ͵ܿଶʹ ή ͳͲିଶ ؆ ͳǡʹ ή ͳͲଵ଼�݉ ή ݏିଶ (1.2) Em que ݒ ൌ Ͳǡܿ é a velocidade no instante ͳͲ�ݏ. Para essa velocidade o fator de Lorentz assume o valor de: ߛ ൌ ͳǡʹͷ. Para as forças, veja, por exemplo, Física 4-10, eqs.: (8.2) e (8.3). Assim, teremos para as forças tangencial e centrípeta, respectivamente, os valores: ܨ௧ ൌ ߛଷ݉ܽ௧ ؆ ͷǡ͵Ͷ ή ͳͲିଶସ�ܰ (1.3) E ܨ ൌ ߛ݉ܽ ؆ ͳǡͺͶͷ ή ͳͲିଵଶ�ܰ (1.4) Em que ݉ ൌ ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ݇݃. Agora, vamos representar as acelerações e as forças em um plano cartesiano (figura 1.1). Figura 1.1 Para o ângulo ߙଵ, temos: ݐ݃ߙଵ ൌ ܽ௧ܽ ֜ ߙଵ ؆ ሺͳǡͲ ή ͳͲିଵሻι (1.5) E para o ângulo ߙଶ, teremos: ݐ݃ߙଶ ൌ ܨ௧ܨ ֜ ߙଶ ؆ ሺͳǡͷ ή ͳͲିଵሻι (1.6) Assim, o ângulo entre a aceleração e a força será: ߙଶ െ ߙଵ ؆ ሺͲǡͷͻ ή ͳͲିଵሻι (1.7) Questão 2 Prove que a equação da trajetória de uma partícula sob a ação de uma força constante na dinâmica relativística para o lançamento horizontal é dada por: ݕ ൌ ாబி ܿݏ݄ ቀிή௫ήబቁ െ ாబி . Em que ܧ�� são, respectivamente, a energia total e o momento linear iniciais da partícula. Resolução: Considere o lançamento da partícula representado pela figura 2.1 abaixo. Figura 2.1 Para o movimento da partícula, temos: ࡲࢉ ࢻ ࢇ࢚ ࢉ ࢇࢉ ࡲ࢚ ࢇ ࡲ ࢻ ࢻ െ ࢻ Ͳ ܨ ܨ ή ݐ ܣ ݔ ݕ Ͳ www.profafguimaraes.net 2 ݀௫݀ݐ ൌ Ͳ���� ݀௬݀ݐ ൌ ܨ (2.1) Logo, resolvendo (2.1), teremos: ௫ ൌ ��௬ ൌ ܨݐ (2.2) A energia total da partícula no instante inicial é dada por: ܧ ൌ ܿට݉ଶܿଶ ଶ (2.3) A energia total no instante ݐ será: ܧ ൌ ܿට݉ଶܿଶ ଶ ሺܨݐሻଶ ܧ ൌ ටܧଶ ሺܿܨݐሻଶ (2.4) Utilizando a relação ݒԦ ൌ ܿଶԦ ܧΤ (veja, por exemplo, Física 4-10, questão 13), teremos: ݒ௫ ൌ ܿଶ௫ܧ ൌ ܿଶඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ (2.5) E ݒ௬ ൌ ܿଶ௬ܧ ൌ ܿଶܨݐඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ (2.6) Agora, poderemos integrar as equações (2.5) e (2.6). Assim: ݒ௫ ൌ ݀ݔ݀ݐ ൌ ܿଶඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ ݔ ൌ ܿଶන ݀ݐඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ் ݔ ൌ ܿܨ ܽݎܿݏ݄݁݊ ܿܨܶܧ (2.7) E para ݕ: ݒ௬ ൌ ݀ݕ݀ݐ ൌ ܿଶܨݐඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ ݕ ൌ ܿଶܨන ݐ�݀ݐඥܧଶ ሺܿܨݐሻଶ் ݕ ൌ ܧܨ ඨͳ ൬ܿܨܶܧ ൰ଶ െ ͳ (2.8) Para as integrais temos: න ݀ݔξݔଶ ܽଶ ൌ൞݈݊ ቀݔ ඥݔଶ ܽଶቁܽݎܿݏ݄݁݊ ܽݔ (2.9) E න ݔ�݀ݔξݔଶ ܽଶ ൌ ඥݔଶ ܽଶ (2.10) Veja por exemplo: M. R. Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Ed. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1973. Agora, do resultado (2.7), temos: ݏ݄݁݊ ܨݔܿ ൌ ܿܨܶܧ (2.11) Substituindo (2.11) em (2.8) e lembrando que ܿݏ݄ ܽ ൌ ξͳ ݏ݄݁݊ଶܽ, teremos: ݕ ൌ ܧܨ ܿݏ݄ ൬ܨݔܿ൰ െ ͳ൨ (2.12) Obs.: Para um lançamento não relativístico, temos: ݕ ൌ ܨͶܭ ή ݔଶ (2.13) www.profafguimaraes.net 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1 2 3 4 v/c E/mc2 Em que ܭ é a energia cinética inicial. A expressão dada por (2.13) representa um arco de parábola. Então, no limite clássico, ou seja, quando ܿ ՜ λ, a expressão (2.12) deve resultar em (2.13). Para tanto, devemos expandir a função cosseno hiperbólica, cuja expressão é dada por: ܿݏ݄ݔ ؆ ͳ ݔଶʹǨ (2.14) Veja por exemplo: M. R. Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Ed. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1973. Ao passo que: ܧܿଶଶ ՜ஶሱۛ ሮ ͳʹܭ� (2.15) Feito isso a expressão dada em (2.12) resulta em (2.13). Questão 3 Demonstre que ݒ ܿΤ ൌ ሾͳ െ ሺ݉ܿଶ ܧΤ ሻଶሿଵ ଶΤ . A partir dessa relação calcule a velocidade de uma partícula, quando ܧ é (a) igual à sua energia e repouso, (b) duas vezes a sua energia de repouso, (c) 10 vezes a sua energia de repouso e (d) mil vezes a sua energia de repouso. Faça um gráfico de ݒ ܿΤ contra ܧ ݉ܿଶΤ . Resolução: Observando o triângulo da questão 13 de Física 4- 10, podemos escrever: ܿݒ ൌ ܿܧ (3.1) Também, desse mesmo triângulo, temos: ܧ ൌ ඥ݉ଶܿସ ሺܿሻଶ (3.2) Assim, utilizando (3.1) em (3.2), teremos: ܧଶ ൌ ݉ଶܿସ ൬ݒܿܧ൰ଶ ܧଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൌ ݉ଶܿସ ܿݒ ൌ ͳ െ ቆ݉ܿଶܧ ቇଶ൩ଵଶ (3.3) a) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ݉ܿଶ: ݒ ൌ Ͳ (3.4) b) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ʹ݉ܿଶ: ݒ ؆ Ͳǡͺܿ (3.5) c) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ͳͲ݉ܿଶ: ݒ ؆ Ͳǡͻͻͷܿ (3.6) d) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ͳͲͲͲ݉ܿଶ: ݒ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͻͻͷܿ (3.7) O gráfico solicitado se encontra na figura 3.1 abaixo. Figura 3.1 Questão 4 A energia cinética de uma certa partícula pode ser escrita como ܿ por um erro na energia total não maior que 1%. Qual é a sua velocidade mínima? Qual seria a energia cinética, em eV, de www.profafguimaraes.net 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,5 1 1,5 2 p/mc K/mc2 um elétron e de um próton que se movessem com essa velocidade? Resolução: Sabemos que a energia total de uma partícula é igual a sua energia cinética mais a energia de repouso. Então: ܧ ൌ ܭ ݉ܿଶ (4.1) E, utilizando (3.2), podemos escrever: ܭ ݉ܿଶ ൌ ඥ݉ଶܿସ ሺܿሻଶ (4.2) Então, se ܭ ൌ ܿ, podemos desprezar a energia de repouso em (4.1) e escrever: ܧᇱ ؆ ܭ (4.3) Agora, comparando (4.3), com (4.1), teremos: ܧ െ ܧᇱ ൌ ͲǡͲͳܧ ܭ ݉ܿଶ െ ܭ ൌ ͲǡͲͳܧ ݉ܿଶ ൌ ͲǡͲͳܧ (4.4) O resultado de (4.4) mostra que a energia de repouso, para esse caso, representa só 1% da energia total. O restante da energia total é dado pela energia cinética. Se fóssemos representar o triângulo retângulo dessa relação, dado na questão 13 de Física 4-10, o cateto que representa a energia de repouso, seria muito pequeno em comparação com a hipotenusa (energia total) e o cateto do momento linear (ܿ). Agora, utilizando a relação (3.3) juntamente com o resultado de (4.4), teremos: ݒ ൌ ܿሾͳ െ ͲǡͲͳଶሿభమ ݒ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͷܿ (4.5) Lembrando que o momento é dado por: ൌ ݉ݒටͳ െ ݒଶܿଶ (4.6) Então, poderemos calcular a energia cinética, de acordo com o enunciado. Para o elétron: ܭ ൌ ܿ ֜ ܭ ൌ ݉ݒܿටͳ െ ݒଶܿଶ ܭ ؆ ͳͲͲ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή Ͳǡͻͻͻͻͷ ή ͻ ή ͳͲଵ ܭ ؆ ͺǡʹ ή ͳͲିଵଶܬ ؆ ͷͳǡ͵ܯܸ݁ (4.7) Para o próton: ܭ ൌ ܿ ֜ ܭ ൌ ݉ݒܿටͳ െ ݒଶܿଶ ܭ ؆ ͳͲͲ ή ͳǡ ή ͳͲିଶ ή Ͳǡͻͻͻͻͷ ή ͻ ή ͳͲଵ ܭ ؆ ͳǡͷ ή ͳͲି଼ܬ ؆ ͻ͵ǡͺ�ܩܸ݁ (4.8) Questão 5 Prove que a quantidade de movimento de uma partícula pode ser escrita como: ൌ ൫మାଶమ൯భమ . Faça um gráfico de como função de మ. Resolução: Utilizando (4.2), teremos: ሺܭ ݉ܿଶሻଶ ൌ ݉ଶܿସ ሺܿሻଶ ܿ ൌ ሺܭଶ ʹܭ݉ܿଶሻଵଶ ൌ ሺܭଶ ʹܭ݉ܿଶሻଵଶܿ (5.1) O gráfico está representado na figura 5.1 abaixo. Figura 5.1 www.profafguimaraes.net 5 Questão 6 Elétrons são acelerados até que tenham uma energia cinética de ͳͲଽ�ܸ݁. Calcule (a) a razão de suas massas para a massa de repouso, (b) a razão de suas velocidades para a velocidade da luz, (c) a razão de suas energias totais para a energia da massa de repouso. Repita o mesmo problema para prótons de mesma energia. Resolução: a) A relação entre a massa de repouso com a massa relativística é dada por: ݉݉ ൌ ߛ ൌ ͳටͳ െ ݒଶܿଶ (6.1) No entanto se faz necessário encontrar o fator de Lorentz. A energia cinética por sua vez é dada por: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉ܿଶ (6.2) A energia de repouso do elétron vale ݉ܿଶ ൌ ͷǡͳ ήͳͲହ�ܸ݁, assim, substituindo em (6.2),teremos: ߛ ൌ ͳͲଽ ͷǡͳ ή ͳͲହͷǡͳ ή ͳͲହ ؆ ͳǡͻ ή ͳͲଷ (6.3) Agora, com o resultado fornecido por (6.3), poderemos substituir em (6.1), assim, teremos: ݉݉ ൌ ͳǡͻ ή ͳͲଷ (6.4) b) A partir do resultado (6.3), poderemos determinar a razão solicitada que será dada por: ܿݒ ൌ ඨͳ െ ͳߛଶ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͻͻͺ (6.5) c) A partir do resultado (6.3), também poderemos determinar a razão entre as energias: ܧ݉ܿଶ ൌ ߛ ؆ ͳǡͻ ή ͳͲଷ (6.6) Para o próton, a energia de repouso vale: ݉ܿଶ ൌ ͻǡͶ ή ͳͲ଼�ܸ݁ (6.7) Logo, para o próton, com a energia cinética de ͳͲଽ�ܸ݁, teremos: ߛ ൌ ݉݉ ؆ ʹ (6.8) Para a razão entre as velocidades: ܿݒ ؆ Ͳǡͺ (6.9) A razão entre as energias: ܧ݉ܿଶ ؆ ʹ (6.10) Questão 7 Como energia/velocidade têm a dimensão de quantidade de movimento, foi introduzida a unidade ܯܸ݁Ȁܿ como uma unidade conveniente para a quantidade de movimento de partículas elementares. Dê o valor dessa unidade em ݉ ή ݇݃ ή ݏିଵ. Calcule, em termos dessa unidade, a quantidade de movimento de um elétron com uma energia de ͷǡͲ�ܯܸ݁. Repita o cálculo para um próton com uma energia total de ʹ ή ͳͲଷ�ܯܸ݁. Resolução: Substituindo os valores teremos: ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ ൌ ͳǡ ή ͳͲିଵଷ ή ሺ͵ ή ͳͲ଼ሻିଵ ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ ൌ ͷǡ͵͵ ή ͳͲିଶଶ�݇݃ ή ݉ ή ݏିଵ (7.1) Para o elétron (a energia de repouso é dada na questão 6) o fator de Lorentz terá o seguinte valor: www.profafguimaraes.net 6 ܧ݉ܿଶ ൌ ߛ ൌ ͷ ή ͳͲͷǡͳ ή ͳͲହ ൌ ͻǡͺ (7.2) Para a sua energia cinética, teremos: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉ܿଶ ܭ ൌ ͶǡͶͻ ή ͳͲ�ܸ݁ (7.3) Agora, utilizando a relação (5.1), juntamente com o resultado de (7.3), teremos: ൌ ሺܭଶ ʹ݉ܿଶܭሻభమܿ ؆ Ͷǡͻ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ (7.4) Para o próton, utilizando a energia de repouso dada em (6.7), e utilizando o mesmo procedimento, teremos: ܧ݉ܿଶ ൌ ߛ ൌ ʹ ή ͳͲଽͻǡͶ ή ͳͲ଼ ؆ ʹǡͳ͵ (7.5) A energia cinética: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉ܿଶ ܭ ൌ ͳͲଽ�ܸ݁ (7.6) E para o momento linear relativístico: ൌ ሺܭଶ ʹ݉ܿଶܭሻభమܿ ؆ ͳǡ ή ͳͲଷ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ (7.7) Questão 8 Determine a energia total e a velocidade de um elétron com uma quantidade de movimento de ͲǡͲ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ. Repita para o próton. Resolução: A energia total pode ser encontrada utilizando (3.2). Assim, teremos: ܧ ൌ ඥ݉ଶܿସ ሺܿሻଶ (8.1) Utilizando a energia de repouso do elétron e o valor do momento linear, teremos: ܧ ൌ ඥሺͷǡͳ ή ͳͲହሻଶ ሺͲǡ ή ͳͲሻଶ ܧ ؆ ǡͻ ή ͳͲହ�ܸ݁ (8.2) A relação entre a energia total e a energia de respouso é exatamente o fator de Lorentz, como em (7.2). Assim, teremos: ܧ݉ܿଶ ൌ ߛ ൌ ǡͻ ή ͳͲହͷǡͳ ή ͳͲହ ؆ ͳǡͷͷ (8.3) Utilizando o fator de Lorentz, teremos: ቆͳ െ ݒଶܿଶቇିభమ ൌ ͳǡͷͷ ܿݒ ؆ Ͳǡ (8.4) E para o próton: ܧ ൌ ඥሺͻǡͶ ή ͳͲ଼ሻଶ ሺͲǡ ή ͳͲሻଶ ܧ ؆ ͻͶͲǤͲͲͲǤͳͻͳǡͷ�ܸ݁ (8.5) O fator de Lorentz será então: ܧ݉ܿଶ ൌ ߛ ൌ ͻͶͲǤͲͲͲǤͳͻͳǡͷͻǡͶ ή ͳͲ଼ ؆ ͳǡͲͲͲͲͲͲʹͲͶ (8.6) Logo, a velocidade será: ቆͳ െ ݒଶܿଶቇିభమ ൌ ͳǡͲͲͲͲͲͲʹͲͶ ܿݒ ؆ ͲǡͲͲͲͶ (8.7) Questão 9 Deduza a lei relativística, para a transformação da quantidade de movimento e da energia, escrevendo: www.profafguimaraes.net 7 ԢሬሬሬԦ ൌ బᇱሬሬሬሬԦටଵିೇᇲమమ e ܧᇱ ൌ బమටଵିೇᇲమమ . E exprimindo ܸԢ em termos da velocidade ܸ medida por O e a velocidade relativa ݒ, usando para isso as equações dadas em (20.1), questão 20 em Física 4-10. [Sugestão: utilize as relações dadas no enunciado da questão 20 em Física 4-10]. Resolução: Para o momento linear temos: ԢሬሬሬԦ ൌ Ԣ௫ᇱݔԢ Ԣ௬ᇱݕԢ Ԣ௭ᇱݖԢ (9.1) Poderemos escrever, para o componente x’ do momento linear: Ԣ௫ᇱ ൌ ܸ݉Ԣ௫ᇱටͳ െ ܸԢଶܿଶ (9.2) Utilizando as relações da transformação da velocidade e também a sugestão fornecida teremos: ᇱ௫ᇲ ൌ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ή ݉ ή ܸᇱ௫ᇲ Ԣ௫ᇱ ൌ ሺ ௫ܸ െ ݒሻ݉ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ (9.3) Agora, lembrando que: ௫ ൌ ݉ ௫ܸටͳ െ ܸଶܿଶ ���݁���ܧ ൌ ݉ܿ ଶටͳ െ ܸଶܿଶ (9.4) Podemos substituir (9.4) em (9.3). Logo: Ԣ௫ᇱ ൌ ௫ െ ݒܧܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ (9.5) Para o componente y, teremos: ᇱ௬ᇲ ൌ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ή ݉ ή ܸᇱ௬ᇲ ᇱ௬ᇲ ൌ ݉ ή ௬ܸ ή ටͳ െ ݒଶܿଶට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ Ԣ௬ᇱ ൌ ݉ ௬ܸටͳ െ ܸଶܿଶ ൌ ௬ (9.6) O mesmo ocorre para o componente z. E para a energia, teremos: ܧᇱ ൌ ݉ܿଶ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ܧᇱ ൌ ܧ െ ௫ݒටͳ െ ݒଶܿଶ (9.7) Questão 10 Prove que a lei geral para a transformação de força quando a partícula não está em repouso em relação a O’ é: ܨԢ௫ᇱ ൌ ܨ௫ െ ቆ ೡೇమଵିೡೇೣమ ቇܨ௬ െ ቆ ೡೇమଵିೡೇೣమ ቇܨ௭, ܨԢ௬ᇱ ൌ ටଵିೡమమଵିೡೇೣమ ܨ௬, ܨԢ௭ᇱ ൌ ටଵିೡమమଵିೡೇೣమ ܨ௭. Onde ܸ é a velocidade da partícula em relação a O. Resolução: Vamos determinar a componente da força no eixo x. O referencial O’ terá para o momento linear, a transformação dada em (9.5). E para o tempo, a transformação dada será: www.profafguimaraes.net 8 ݐᇱ ൌ ݐ െ ݒݔܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ (10.1) O que conduz a: ݀ݐᇱ ൌ ۉۇͳ െ ݒ ௫ܸܿଶටͳ െ ݒଶܿଶیۊ݀ݐ (10.2) Levando em consideração que a partícula não está em repouso em relação a O e nem em repouso em relação a O’. Tanto que ௫ܸ ൌ ௗ௫ௗ௧ é a velocidade da partícula com relação ao referencial O. A velocidade do referencial O’ com relação ao referencial O é ݒ. Agora, devemos procurar a taxa de variação instantânea do momento linear e para tanto, vamos procurar a derivada da expressão (9.5). Assim, teremos: ܨԢ௫ᇱ ൌ ݀Ԣ௫ᇱ݀ݐԢ ൌ ͳටͳ െ ݒଶܿଶ ή ݀݀ݐԢ ൬௫ െ ݒܧܿଶ ൰ (10.3) As grandezas ௫ e ܧ (o momento linear em ݔ e a energia total) são medidos no referencial O, logo, devemos derivar em ݐ e não em ݐǯ. Com o auxílio de (10.2), teremos: ܨԢ௫ᇱ ൌ ͳቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ݀௫݀ݐ െ ܿݒଶ ή ݀݀ܧݐ ൨ (10.4) A energia total da partícula com relação ao referencial O é dada por: ܧ ൌ ܭ ݉ܿଶ (10.5) Em que ܭ é a energia cinética e ݉ é a massa de repouso. Assim, temos: ݀݀ܧݐ ൌ ݀݀ܭݐ ݀݀ܧݐ ൌ ݀݀ݐ ൫ܨԦ ή ݀ݎԦ൯ ൌ ܨ௫ ௫ܸ ܨ௬ ௬ܸ ܨ௭ ௭ܸ (10.6) Em (10.6), a variação da energia cinética resulta do trabalho realizado pela força aplicada na partícula medida no referencial O. Sendo essa força constante (em O). Substituindo o resultado (10.6) em (10.4) e lembrando que ܨ௫ ൌ ௗೣௗ௧ , teremos: ܨᇱ௫ᇲ ൌ ͳቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ቂܨ௫ െ ܿݒଶ ൫ܨ௫ ௫ܸ ܨ௬ ௬ܸ ܨ௭ ௭ܸ൯ቃ ܨԢ௫ᇱ ൌ ܨ௫ െ ൦ ݒ ௬ܸܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ൪ ܨ௬ െ ݒ ௭ܸܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ܨ௭ (10.7) Para o componente ݕ, temos, de (9.6): ܨᇱ௬ᇲ ൌ ݀ᇱ௬ᇲ݀ݐᇱ ൌ ݀௬݀ݐԢ ܨԢ௬ᇱ ൌ ටͳ െ ݒଶܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ή ܨ௬�Ǣ �ܨ௬ ൌ ݀௬݀ݐ (10.8) Idem para o componente ݖ. Questão 11 Prove que a transformação para a quantidade de movimento e energia pode ser escrita na forma vetorial: ԢሬሬሬԦ ൌ Ԧ െ ሺԦή௩ሬԦሻ௩ሬԦ௩మ ߛ ቂሺԦή௩ሬԦሻ௩ሬԦ௩మ െ ா௩ሬԦమቃ, ܧᇱ ൌ ߛሺܧ െ Ԧ ή ݒԦሻ. Resolução: Previamente, vamos demonstrar a seguinte relação: www.profafguimaraes.net 9 ඨͳ െ ܸԢଶܿଶ ൌ ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ (11.1) Seja a transformação de velocidade, na forma vetorial, dada na questão 22 de Física 4-10: ܸԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ቈሬܸԦ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ (11.2) Tomando ܸԢሬሬሬԦ ή ܸԢሬሬሬԦ, teremos: ܸᇱሬሬሬሬԦ ή ܸᇱሬሬሬሬԦ ൌ ܸᇱଶ ܸԢଶ ൌ ͳߛଶ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈሬܸԦ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒԦݒଶ െ ߛݒԦή ቈሬܸԦ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒԦݒଶ െ ߛݒԦ ܸԢଶ ൌ ͳߛଶ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈܸଶ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ߛଶ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ െ ʹߛଶ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ ߛଶݒଶ ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈ ܸଶߛଶܿଶ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ߛଶܿଶݒଶ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ െ ʹ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ݒଶܿଶ ͳ െ ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ െ ܸଶܿଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿସ ඨͳ െ ܸԢଶܿଶ ൌ ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ (11.3) Na questão 20 de Física 4-10, demonstramos uma expressão parecida com (11.1). No entanto, a expressão demonstradanesta parte é mais geral, ou seja, a velocidade relativa (ݒ) entre os referenciais O e O’ não é paralela ao eixo ݔ (ݔǯ). Agora, vamos encontrar as transformações solicitadas na questão. Para o momento linear, temos: ԢሬሬሬԦ ൌ ܸ݉ԢሬሬሬԦටͳ െ ܸԢଶܿଶ (11.4) Vamos substituir em (11.4), as expressões dadas em (11.1) e (11.2). Logo, teremos: ᇱሬሬሬԦ ൌ ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯݉ߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ή ͳට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ቈሬܸԦ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ ᇱሬሬሬԦ ൌ ݉ ሬܸԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ሺߛ െ ͳሻݒଶ ۉۇ ݉ ሬܸԦ ή ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰یۊݒԦ െ ߛ݉ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ ൰ ԢሬሬሬԦ ൌ Ԧ െ ሺԦ ή ݒԦሻݒԦݒଶ ߛ ቈሺԦ ή ݒԦሻݒԦݒଶ െܧݒԦܿଶ (11.5) Em que ߛ ൌ ଵටଵିೡమమ e ܧ ൌ బమටଵିೇమమ . Agora, para a energia, temos: ܧᇱ ൌ ݉ܿଶටͳ െ ܸԢଶܿଶ (11.6) Utilizando (11.1) em (11.6), teremos: ܧᇱ ൌ ݉ܿଶට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ ܧᇱ ൌ ߛۉۇ ݉ܿଶට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ െ ݉ ሬܸԦ ή ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰یۊ ܧᇱ ൌ ߛሺܧ െ Ԧ ή ݒԦሻ (11.7)
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