Apostila Juliana

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Coronel Fabriciano 
Agosto de 2009 
Professor: Aloísio de Castro Gomes Júnior Versão 1.0 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 1 
 
Unileste-MG Prof. Aloísio de Castro 
Introdução 
 
A SOLUÇÃO NUMÉRICA 
 
Objetivo: tornar simples a resolução de problemas científicos, como por exemplo, a 
equação abaixo: 
 
dxe
x


1
0
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O PROCESSO ITERATIVO 
 
 Método de cálculo infinito 
Problema 
Real 
Levantamento 
dos Dados 
Construção do 
Modelo 
Escolha do 
Método 
Numérico 
Implementação 
Computacional 
Análise dos 
Resultados 
Obtidos 
Se necessário, 
reformular o 
modelo ou escolher 
um novo método 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 2 
 
Unileste-MG Prof. Aloísio de Castro 
 
 Produz uma sequência de aproximações para a solução: 
*
13210 ...,,,...,,,,, xxxxxxx kk 
 
 
 O valor obtido a cada passo depende do valor obtido no passo anterior. 
 
 Existe convergência? 
 
O Método Iterativo 
 
 Quando parar? 
 
 Tome 
kxx 
*
 
 
 Condições de Parada: 
 
 
suplim_)(inflim_ *  xg
 
 Erro absoluto = 
tolxx kk  1
 
 Erro relativo = 
tol
x
xx
k
kk 
 1 
 
ernum_max_itk
 
 
ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 
 
 Erros de Modelagem 
 
 Erro de Representação de Ponto Flutuante 
 
 Erro de arredondamento 
 
 Erro de truncamento 
 
 Erro por estouro de memória 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 3 
 
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Capítulo 1: 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Propõe-se, neste capítulo, apresentar métodos numéricos para resolver sistemas 
lineares postos na forma: 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
Ou equivalente: 
 
 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗 =1
= 𝑏𝑖 ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
isto é, resolveremos sistemas lineares onde o número de equações é igual ao de 
incógnitas. 
 
 Na forma matricial, um sistema linear é representado por; 
 
𝐴𝑥 = 𝑏 
onde: 
 
𝐴 = 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
  Matriz dos Coeficientes 
𝑥 = 
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
  Vetor das variáveis (ou incógnitas) 
𝑏 = 
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
  Vetor dos termos independentes 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 4 
 
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 É comum também representar o sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 pela sua matriz aumentada, isto é, 
por: 
 
 𝐴 𝑏 = 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 | 𝑏1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 | 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 | 𝑏𝑛
 
 
 Aplicações: Cálculos de tensão de estruturas metálicas, cálculo de razão de 
escoamento num sistema hidráulico, sistemas de produção com matéria-prima ou 
recursos escassos, etc... 
 
 Definição: Denomina-se vetor solução (ou simplesmente solução) de um sistema 
𝐴𝑥 = 𝑏 e denota-se por 𝑥 = 𝑥 1 𝑥 2 ⋯ 𝑥 𝑛 𝑡 ao vetor das variáveis que contém os 
elementos 𝑥𝑗 , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛, que satisfazem a todas as equações do sistema. 
 
2. SISTEMAS TRINAGULARES 
 
2.1. Sistema Triangular Superior 
 
 Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 em que: 
 
𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑗 < 𝑖, 
 
ou seja, o sistema da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
+ 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎33𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
 Tais sistemas são resolvidos por substituições retroativas, através de equações da 
forma: 
 
𝑥𝑖 =
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑎𝑖𝑖
 ∀𝑖 = 𝑛, … , 1 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 5 
 
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2.1. Sistema Triangular Inferior 
 
 Denomina-se sistema triangular inferior a todo sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 em que: 
 
𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑗 > 𝑖, 
 
ou seja, o sistema da seguinte forma: 
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
 Tais sistemas são resolvidos por substituições progressivas, através de equações da 
forma: 
 
𝑥𝑖 =
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑖−1
𝑗=1
𝑎𝑖𝑖
 ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 
 
3. MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
 Métodos Diretos 
 
 Métodos Iterativos 
 
4. MÉTODOS DIRETOS 
 
 São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de 
arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. 
 
 Regra de Cramer – computador que efetua uma operação aritmética em 10-8 
segundos gastaria cerca de 36 dias para resolver um sistema de ordem n=15. 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 6 
 
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 Transformações Elementares: 
 
1. Trocar duas equações: 
Ex.: 
𝐿𝑖 ← 𝐿𝑗 ; 
𝐿𝑗 ← 𝐿𝑖 ; 
 
2. Multiplicar uma equação por uma constante não-nula: 
Ex.: 
𝐿𝑗 ← 𝑐 × 𝐿𝑗 ; 𝑐 ∈ ℝ, 𝑐 ≠ 0 
 
3. Adicionar a uma equação um múltiplo de uma outra equação: 
𝐿𝑗 ← 𝐿𝑗 + 𝑐 × 𝐿𝑖 ; 𝑐 ∈ ℝ 
 
 Sistemas Equivalentes: Dois sistemas 𝐴𝑥 = 𝑏 e 𝐴 𝑥 = 𝑏 se dizem equivalentes se a 
solução de um for também a solução de outro. 
 
TEOREMA: Seja 𝐴𝑥 = 𝑏 um sistema linear. Aplicando-se somente transformações 
elementares sobre as equações de 𝐴𝑥 = 𝑏, obtemos um novo sistema 𝐴 𝑥 = 𝑏 , sendo 
que 𝐴𝑥 = 𝑏 e 𝐴 𝑥 = 𝑏 são equivalentes. 
 
4.1. Método de Gauss 
 
 Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um sistema 
𝐴𝑥 = 𝑏 até que, depois de 𝑛 − 1 passos, se obtenha um sistema triangular superior 
𝑈𝑥 = 𝑐, equivalente ao sistema dado, sistema esse que é resolvido por substituições 
retroativas. 
 
 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 | 𝑏1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 | 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 | 𝑏𝑛
 
 
𝐴𝑥=𝑏
 
𝑎′11 𝑎′12 ⋯ 𝑎′1𝑛 | 𝑏′1
0 𝑎′22 ⋯ 𝑎′2𝑛 | 𝑏′2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮
0 0 ⋯ 𝑎′𝑛𝑛 | 𝑏′𝑛
 
 
𝑈𝑥=𝑐
 
 
 
 
Transf. 
 
Elementares 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 7 
 
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 Descrição do Método: 
 
Para descrevermos o método, consideraremos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1.1: 
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 5
4𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 3
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = −1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 8 
 
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Exemplo 1.2: 
6𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 7
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7
3𝑥1 + 2𝑥2 + 8𝑥3 = 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Avaliação do resíduo/erro: 
 
 O erro  produzido por uma solução 𝑥 do sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 pode ser avaliado pela 
expressão: 
𝜀 = max
1≤𝑖≤𝑛
 𝑟𝑖 
 
Onde 𝑟𝑖 é a i-ésima componente do vetor resíduo 𝑟𝑖, o qual é dado por: 
𝑅 = 𝑏 − 𝐴𝑥 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 9 
 
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Exemplo 1.3: Avalie o erro cometido ao resolver o exemplo 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Complexidade: 
 
O Método de Gauss tem complexidade polinomial 𝑂(𝑛3). Em um computador que 
efetua uma operação aritmética em 10-8 segundos o método gastaria cercade 
0,0000257 segundos para resolver um sistema de ordem n=15. 
 
 Desvantagens do método de Gauss: 
 
(a) Não pode ser aplicado quando o pivô for nulo. 
 
(b) Os erros de arredondamento cometidos durante um passo da obtenção do sistema 
linear se propagam para os passos seguintes, podendo comprometer a validade da 
solução obtida. 
 
Para contornar o problema (a) e minimizar o problema (b), a idéia é usar uma 
estratégia de pivoteamento. 
 
4.2. Método de Gauss com Pivotação Parcial 
 
 A estratégia do pivoteamento consiste em: 
 
(i) No início da etapa 𝑘 de eliminação, escolher para pivô o maior elemento, em 
módulo, dentre os coeficientes. 
 
(ii) Trocar as linhas 𝑘 e 𝑖 se necessário. 
 
Exemplo 1.4: 
Resolver o sistema linear a seguir, avaliando o erro cometido em cada caso: 
 
0,0002𝑥1 + 2𝑥2 = 5
2𝑥1 + 2𝑥2 = 6
 
a) método de Gauss 
b) método de Gauss com pivoteamento parcial. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 10 
 
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Exemplo 1.5: Resolver o sistema abaixo, usando o método de Gauss com pivotação 
parcial e avalie o erro cometido. 
 
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = −2
4𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 10
5𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 9
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 11 
 
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5. MÉTODOS ITERATIVOS 
 
Tratam-se de métodos nos quais a solução 𝑥 de um sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 é obtida 
como limite de uma seqüência de aproximações sucessivas 𝑥 (0), 𝑥 (1), 𝑥 (2), … , 𝑥 (𝑘), … , 
sendo dada uma aproximação inicial 𝑥 (0), isto é: 
𝑥 = lim
𝑘→∞
𝑥 (𝑘) 
 
5.1. MÉTODO DE JACOBI 
 
Seja o sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 em sua forma expandida: 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 12 
 
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Explicitemos 𝑥1na primeira equação, 𝑥2 na segunda equação e assim sucessivamente. 
 
𝑥1 =
𝑏1 − (𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 )
𝑎11
 
 
𝑥2 =
𝑏2 − (𝑎21𝑥1 + 𝑎23𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛)
𝑎22
 
 
⋮ 
 
𝑥𝑛 =
𝑏𝑛 − (𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ,𝑛−1𝑥𝑛−1)
𝑎𝑛𝑛
 
 
O Método de Jacobi consiste na seguinte seqüência de passos: 
 
(i) Escolher uma aproximação inicial 𝑥(0) = 𝑥1
(0)
𝑥2
(0)
… 𝑥𝑛
(0) 
𝑡
 arbitrária. 
 
(ii) Gerar aproximações sucessivas 𝑥(𝑘) a partir de 𝑥(𝑘−1) com base nas seguintes 
equações de iteração: 
 
𝑥1
(𝑘)
=
𝑏1 − (𝑎12𝑥2
(𝑘−1)
+ 𝑎13𝑥3
(𝑘−1)
+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
)
𝑎11
 
 
𝑥2
(𝑘)
=
𝑏2 − (𝑎21𝑥1
(𝑘−1)
+ 𝑎23𝑥3
(𝑘−1)
+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
)
𝑎22
 
 
⋮ 
 
𝑥𝑛
(𝑘)
=
𝑏𝑛 − (𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘−1)
+ 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘−1)
+ ⋯ + 𝑎𝑛 ,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘−1)
)
𝑎𝑛𝑛
 
 
(iii) Interromper o processo quando um dos critérios abaixo for satisfeito: 
 
(1) max1≤𝑖≤3 𝑥𝑖
(𝑘)
− 𝑥𝑖
(𝑘−1)
 < 𝜀 
(2) 𝑘 > 𝐼𝑇𝐸𝑅𝑀𝐴𝑋, onde ITERMAX é o número máximo de iterações. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 13 
 
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Exemplo 1.6 : Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi usando como 
aproximação inicial 𝑥(0) = 0 0 0 𝑡 e como critério de parada max1≤𝑖≤3 𝑥𝑖
(𝑘)
− 𝑥𝑖
(𝑘−1)
 <
0,002 ou 𝑘>10 iterações: 
 
 
10𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
𝑥1 − 15𝑥2 + 𝑥3 = 32
2𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 6
 
 
Equações de Iteração 
k
 
)(
1
kx
 
)(
2
kx
 
)(
3
kx
 
)1()(
31
max 

 ki
k
i
i
xx
 
 
)(1
kx
 
 
 
)(2
kx
 
 
 
)(3
kx
 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
Este método difere do anterior apenas com relação às equações de iteração, as quais 
são: 
 
𝑥1
(𝑘)
=
𝑏1 − (𝑎12𝑥2
(𝑘−1)
+ 𝑎13𝑥3
(𝑘−1)
+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
)
𝑎11
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 14 
 
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𝑥2
(𝑘)
=
𝑏2 − (𝑎21𝑥1
(𝑘)
+ 𝑎23𝑥3
(𝑘−1)
+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
)
𝑎22
 
 
𝑥3
(𝑘)
=
𝑏2 − (𝑎31𝑥1
(𝑘)
+ 𝑎32𝑥2
(𝑘)
+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
)
𝑎33
 
 
⋮ 
 
𝑥𝑛
(𝑘)
=
𝑏𝑛 − (𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘)
+ 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘)
+ ⋯ + 𝑎𝑛 ,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘)
)
𝑎𝑛𝑛
 
 
 
Exemplo 1. 7: Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Seidel 
usando como aproximação inicial 𝑥(0) = 0 0 0 𝑡 e como critério de parada 
max1≤𝑖≤3 𝑥𝑖
(𝑘)
− 𝑥𝑖
(𝑘−1)
 < 0,002 ou 𝑘 > 10 iterações: 
 
 
10𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
𝑥1 − 15𝑥2 + 𝑥3 = 32
2𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 6
 
 
 
 
Equações de Iteração 
k
 
)(
1
kx
 
)(
2
kx
 
)(
3
kx
 
)1()(
31
max 

 ki
k
i
i
xx
 
 
)(1
kx
 
 
 
)(2
kx
 
 
 
)(3
kx
 
 
0 --------- 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
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5.3. CONVERGÊNCIA DOS MÉTODOS ITERATIVOS 
 
(i) CRITÉRIO DAS COLUNAS: É condição suficiente para que um sistema linear 
convirja usando um método iterativo que: 
 
 𝑎𝑗𝑗 > 𝑎𝑖𝑗 
𝑛
𝑖=1
𝑖≠𝑗
 ∀𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 
 
Ou seja, o elemento da diagonal principal tem que ser dominante na coluna. 
 
Além do mais, quanto mais próximo de zero estiver a relação 
 𝑎𝑖𝑗 
𝑛
𝑖=1
𝑖≠𝑗
 𝑎𝑗𝑗 
 mais rápida será 
a convergência. 
 
Exemplo 1.8: Verifique, usando o critério das colunas, se o sistema linear a seguir 
converge quando um método iterativo for aplicado. 
 
 
45𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 220
𝑥1 + 32𝑥2 − 3𝑥3 = 72
5𝑥1 − 𝑥2 − 50𝑥3 = 73
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ii) CRITÉRIO DAS LINHAS: É condição suficiente para que um sistema linear 
convirja usando um método iterativo que: 
 
 𝑎𝑖𝑖 > 𝑎𝑖𝑗 
𝑛
𝑗 =1
𝑗≠𝑖
 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 
 
Ou seja, o elemento da diagonal principal tem que ser dominante na linha. 
 
Além do mais, quanto mais próximo de zero estiver a relação 
 𝑎𝑖𝑗 
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑖
 𝑎𝑖𝑖 
 mais rápida será 
a convergência. 
 
Exemplo 1.9: Verifique, usando o critério das linhas, se o sistema linear a seguir 
converge quando um método iterativo for aplicado. 
 
 
45𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 220
𝑥1 + 32𝑥2 − 3𝑥3 = 72
5𝑥1 − 𝑥2 − 50𝑥3 = 73
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ii) CRITÉRIO DE SASSENFELD: Seja 
 
𝛽𝑖 =
 𝑎𝑖𝑗 ∗ 𝛽𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 
𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑖−1
𝑗=1
 𝑎𝑖𝑖 
 
 
É condição suficiente para que um sistema linear convirja usando um método iterativo 
que: 
 
𝛽 = max
1≤𝑖≤𝑛
𝛽𝑖 < 1 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 17 
 
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Além disso, quanto menor for 𝛽 mais rápida será a convergência. 
 
Exemplo 1.10: Verificar se há garantia de convergência do sistema a seguir usando 
um método iterativo: 
 
 
3𝑥1 + 𝑥3 = 3
𝑥1 − 𝑥2 = 1
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 9Notas de Aula de Cálculo Numérico 18 
 
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6. COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS 
 
Item Método Direto Método Iterativo 
Convergência A solução é sempre obtida. Há garantia de obter solução 
somente sob certas 
condições. 
Número de 
Operações 
É possível determinar a priori o 
número de operações 
necessárias. 
Não é possível determinar a 
principio a complexidade. 
Esparsidade Destrói a esparsidade da matriz 
durante a fase de eliminação. 
Preserva a esparsidade da 
matriz. 
Erros de 
Arredondamento 
Amplia os erros durante os 
cálculos. Essa ampliação pode 
ser minimizada usando técnicas 
de pivoteamento. 
Os erros de arredondamento 
não afetam as soluções 
obtidas em cada iteração. 
Apenas a solução final pode 
conter erro. 
 
 
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Exercícios: 
 
1.1) Resolva os Sistemas Lineares abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss, quando 
necessário reter 3 casas decimais. Avalie o resíduo de cada sistema. 
 
(a) 
20,10
90,6
60,64
32
3
3
3
21
21
21 














x
x
x
xx
xx
xx
 
(b) 
1
5
10
3
2
2
34
3
3
3
21
21
21














x
x
x
xx
xx
xx
 
 
(c) 
278,11
526,6
672,6
212,1
987,0
234,1
512,2459,3
250,1083,5
456,2023,1
3
3
3
21
21
21














x
x
x
xx
xx
xx
 
 
(d) 











12234
42323
12
722
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
1.2) Resolva os Sistemas Lineares (a), (c) e (d) do exercício anterior usando o Método de 
Eliminação de Gauss com pivotação parcial, quando necessário reter 3 casas decimais. Avalie o 
resíduo de cada sistema. 
 
1.3) Verifique, usando o critério de Sassenfeld, se os sistemas abaixos podem ser resolvidos 
através de métodos iterativos e em seguida resolva-os utilizando o método de Jacobi com 
10k
iterações, explicitando as equações de iteração. Considere a solução 
 tx 00000 
 
como aproximação inicial e precisão 
01,0
. 
 
(a) 
 
 
 
−75𝑥1 + 14𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 115
8𝑥1 + 65𝑥2 − 4𝑥3 − 2𝑥4 = 96
5𝑥1 − 7𝑥2 + 42𝑥3 + 5𝑥4 = 149
2𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 − 30𝑥4 = 13
 
 
(b) 
−75𝑥1 + 12𝑥2 + 5𝑥3 = −326
10𝑥1 + 60𝑥2 + 5𝑥3 = −130
−3𝑥1 − 2𝑥2 + 45𝑥3 = 84
 
 
1.4) Resolva os sistemas lineares do exercício anterior utilizando o método de Gauss-Seidel 
com 
10k
iterações, explicitando as equações de iteração. Considere a solução 
 tx 0000)0( 
 como aproximação inicial e precisão 
01,0
. 
 
 
1.5) Uma forma mais simples de verificar se haverá convergência, quando da aplicação de 
métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, na resolução de um sistema de equações é a utilização do 
Critério das Linhas. Ele estabelece que é condição suficiente para a convergência dos métodos 
de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes, 
A
, de um sistema de equações 
bAx 
, seja a diagonal principal estritamente dominante, ou seja, 
 



n
ijj
ijii niaa
;1
...,,2,1,||||
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 20 
 
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Isto significa que, em cada linha, o elemento diagonal, em módulo, deve ser maior que a soma 
dos módulos dos demais elementos da mesma linha. Seja um sistema de equações cuja matriz 
dos coeficientes e termos independentes são: 
 











61
120
13
C
C
C
A
 e 











1
1
1
b
 
 
Aplicando o critério das linhas determine em qual intervalo deve estar o valor de C de tal 
forma que se possa garantir que haverá convergência quando da aplicação de um método 
iterativo para a sua resolução. Tomando um valor para C, no intervalo determinado, resolva o 
sistema de equações utilizando o método de Jacobi com precisão de 0,01 e um máximo de 5 
iterações. Considere a solução 
 tx 000)0( 
. 
 
1.6) Dado o sistema de equações a seguir, determine, utilizando o critério de Sassenfeld, o 
menor valor inteiro positivo de k para o qual fica assegurada a convergência dos métodos 
iterativos. Usando o valor determinado, resolva o sistema de equações aplicando o método de 
Gauss-Seidel, com precisão 0,02 e um máximo de 10 iterações. Considere a solução 
 tx 000)0( 
. 
 
3
2
1
76
6
3
3
3
3
21
21
21














x
x
x
xx
xkx
xkx
 
 
1.7) A análise de 3 alimentos revelou que os mesmos possuem as seguintes quantidades de 
vitamina por grama. 
 
Alimento 
Vitaminas 
A (%) B (%) C (%) 
I 20,5 38,0 27,0 
II 30,4 18,2 19,0 
III 25,0 12,8 17,6 
 
 
Uma pessoa deseja ingerir 2684; 2793,22 e 2402,74 gramas de vitaminas A, B e C, 
respectivamente. Quais as quantidades necessárias dos alimentos I, II e III? Resolva por 
qualquer método este problema. 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 21 
 
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 Resolva os dois problemas a seguir com a utilização do software SCILAB ou MATLAB. 
 
Problema 1.1: Suponha que tenhamos o circuito dado na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A corrente que flui do nó p para o nó q de uma rede elétrica é dada por: 
 
,
pq
qp
pq
R
VV
I


 
 
onde I em Ampéres, R em Ohms e Vp e Vq são voltagens nos nós p e q, respectivamente, e Rpq 
é a resistência do arco pq (Lei de Ohm). 
 
A soma das correntes de chegam em cada nó é nula (Lei de Kirchoff); assim, as 
equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas. Por Exemplo: no nó 1, tem-se a 
equação: 
 
,041211  IIIA
 
ou seja, 
 
,0
212
100 14121 




 VVVVV 
ou ainda 
 
10024 421  VVV
 
Obtenha as demais equações do sistema linear e resolva-o usando método numérico 
à sua escolha. 
 
 
Figura 1 
100 V 
0 V 
A 
B 
2 Ω 1 Ω 
1 Ω 
2 Ω 
2 Ω 
5 Ω 
1 2 
4 3 
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Problema 1.2: Uma transportadora possui cinco tipos de caminhões, que representaremos 
por (1), (2), (3), (4) e (5), os quais são equipados para transportar cinco tipos diferentes de 
máquinas A, B, C, D, E, segundo a Tabela 1, onde supomos que A, B, C, D, E é a quantidade 
de máquinas que cada caminhão pode transportar levando a carga plena. 
 
Tabela 1 
Caminhões 
Máquinas 
A B C D E 
(1) 1 1 1 0 2 
(2) 0 1 2 1 1 
(3) 2 1 1 2 0 
(4) 3 2 1 2 1 
(5) 2 1 2 3 1 
 
Assim, o caminhão (1) pode transportar uma máquina A, uma máquina B, uma 
máquina C, nenhuma máquina D, duas máquinas E, etc. Quantos caminhões de cada tipo 
deveríamos enviar para transportar exatamente: 
 27 máquinas do tipo A, 
 23 máquinas do tipo B, 
 31 máquinas do tipo C, 
 31 máquinas do tipo D, 
 22 máquinas do tipo E? 
 
Supondo que cada caminhão saia com carga plena, resolva o sistema linear obtido pelo 
método de Eliminação de Gauss. 
 
Sugestão: Represente por x1, x2, x3, x4 e x5 o número de caminhões respectivamente dos tipos 
(1), (2), (3), (4) e (5). 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 23 
 
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Capítulo 2: 
 
Equações Algébricas e Transcendentes 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O Objetivo deste capítulo é o de apresentar métodos numéricos para resolver um 
equação 𝑓 𝑥 = 0. 
 
 Resolver uma equação 𝑓 𝑥 = 0 significa encontrar números 𝜉𝑖, denominados raízes, 
tais que 𝑓 𝜉𝑖 = 0. 
 
 Geometricamente, conforme mostra a figura abaixo, as raízes representam os 
pontos de interseção do gráfico de 𝑓 com o eixo 𝑂𝑥. 
 
 
 
 
2. FASES NA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES 
 
 Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: 
 
(𝑖) Isolar a raiz; 
 
(𝑖𝑖) Refinar o valor a raiz até o grau de exatidão requerido. 
𝑓 
𝑥 
𝑦 
𝜉1 𝜉2 𝜉3 
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2.1. Fase 1: Isolamento 
 
Objetivo: Determinar um intervalo [𝑎, 𝑏], o menor possível, que contenha uma única 
raiz. 
 
Teorema de Cauchy-Bozano: 
 
Seja 𝑓 uma função contínua em um intervalo [𝑎, 𝑏]. Se 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0 então existe pelo 
menos um ponto 𝜉 ∈ 𝑎, 𝑏 | 𝑓 𝜉 = 0. 
 
 
Resultado Importante: 
 
Se 𝑓′ preservar o sinal em [𝑎, 𝑏] então a raiz 𝜉 é única. 
 
Procedimentos para isolar a raiz de uma equação 
 
Procedimento I: 
 
 Esboçar o gráfico de 𝑓, determinando os intervalos [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1] que contenham uma 
única raiz. 
 
Exemplo 2.1: Isolar as raízes de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − cos 𝑥 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 25 
 
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Procedimento II: 
 
 Decompor a função 𝑓, se possível, na forma 𝑓 = 𝑔 − 𝑕, onde os gráficos de 𝑔 e 𝑕 
sejam conhecidos e mais simples. 
 
 Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de 𝑔 e 𝑕 representam as raízes de 
𝑓 𝑥 = 0. 
 
Exemplo 2.2: Isolar as raízes de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − cos 𝑥 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y=f(x) 
x 
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Exemplo 2.3: Isolar as raízes de 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑥2 − 2 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.4: Isolar as raízes de 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y=f(x) 
x 
y=f(x) 
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2.2. Fase 2: Refinamento 
 
 Uma vez isolada a raiz em um intervalo [𝑎, 𝑏], procura-se, nesta fase, considerar 
uma aproximação inicial para a raiz e melhorá-la sucessivamente até se obter uma 
aproximação com a precisão desejada. 
 
3. CRITÉRIOS DE PARADA 
 
 𝑥𝐾 é uma “boa” aproximação para a raiz 𝜉 de uma equação 𝑓 𝑥 = 0, se os dois 
critérios abaixo forem satisfeitos: 
 
(𝑖) 𝑓(𝑥𝑘) < 𝜀 
 
(𝑖𝑖) 𝑥𝑘 − 𝜉 < 𝜀 
 
onde 𝜀 é a precisão requerida. 
 
Como não se conhece o valor de 𝜉, o segundo critério de parada é substituído por: 
 
𝑏 − 𝑎 < 𝜀 
 
Ou seja, a amplitude do intervalo tem que ser menor do que a precisão requerida. 
 
4. MÉTODO DA BISSEÇÃO (MB) 
 
 Idéia: reduzir o intervalo [𝑎, 𝑏] que contém a raiz 𝜉, dividindo-o pela ao meio em 
cada iteração. 
 
𝑥𝑘 =
𝑎 + 𝑏
2
 
 
 
 
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Exemplo 2.5: Determinar com precisão de 𝜀 < 0,01 e com o máximo de 10 iterações, 
a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − cos 𝑥 = 0. 
 
(a) Isolar a Raiz. 
 
 
 
(b) Refinamento 
 
𝑘 𝑎 𝑏 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑏 − 𝑎 Conclusão 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
 
 
Vantagens e Desvantagens do Método: 
 
Vantagem: Não há exigências em relação ao comportamento do gráfico de 𝑓 no 
intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 
Desvantagem: Convergência muito lenta. 
 
É comumente utilizado para reduzir o intervalo antes de usar outro método de 
convergência mais rápido. 
 
 
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5. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR) 
 
Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏] tal que: 
 
(𝑖) 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0; 
 
(𝑖𝑖) Existe uma única raiz 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]; 
 
(𝑖𝑖𝑖) 𝑓′ e 𝑓" preservam o sinal e não se anulam em [𝑎, 𝑏]. 
 
Se estas três condições forem satisfeitas o MNR pode ser utilizado. 
 
Idéia: Aproximar um arco da curva por uma reta tangente traçada a partir de um 
ponto da curva. 
 
 
 
Seja 𝑥0 uma aproximação inicial para a raiz. A tangente de 𝛼 na figura anterior é: 
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑓(𝑥0)
(𝑥0 − 𝑥1)
= 𝑓′(𝑥0) 
 
𝜉 
𝑥 
𝑦 
𝑓(𝑥0) 
𝑥0 𝑥1 
𝛼 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 30 
 
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De onde resulta que: 
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓 ′(𝑥0)
 
 
Genericamente: 
 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 −
𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑓 ′(𝑥𝑘−1)
 
 
 
Escolha de uma aproximação inicial 
 
Se 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 e 𝑓′ e 𝑓" preservarem o sinal e não se anularem em [𝑎, 𝑏], então 
partindo-se de uma aproximação inicial 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que: 
𝑓(𝑥0) × 𝑓"(𝑥0) > 0 
Desta forma, é possível gerar, pelo MNR, uma seqüência de aproximações 𝑥𝑘 que 
convirja para a raiz 𝜉 de 𝑓 𝑥 = 0. 
 
Exemplo 2.6: Determinar pelo MNR, com precisão 𝜀 < 0,01 em um máximo de 10 
iterações, a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − cos 𝑥 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de 𝑥0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 31 
 
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(c) Refinamento 
 
𝑘 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘) |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.7: Determinar pelo MNR, com precisão 𝜀 < 0,01 em um máximo de 10 
iterações, a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ln 𝑥 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
 
(b) Escolha de 𝑥0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 32 
 
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(c) Refinamento 
 
𝑘 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘) |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vantagens e Desvantagens do Método 
 
Vantagem: 
 
 Tem convergência muito rápida. 
 
Desvantagens: 
 
(𝑖) Exige o cálculo e a análise dosinal de 𝑓′ e 𝑓". 
 
(𝑖𝑖) Se o valor de 𝑓 ′ (𝑥𝑘) for muito elevado, a convergência será lenta. 
 
(𝑖𝑖𝑖) Se o valor de 𝑓 ′ (𝑥𝑘) for próximo de zero, ocorrerá overflow. 
 
6. MÉTODO DAS SECANTES (MS) 
 
Idéia: Usar retas secantes (traçadas a partir de dois pontos do gráfico) como 
aproximações lineares locais da função 𝑓(𝑥), ao invés de retas tangentes. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 33 
 
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Geometricamente: Toma-se uma reta que passa pelos pontos (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)) e (𝑥1 , 𝑓(𝑥1)) 
como aproximação linear da curva 𝑓(𝑥), como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
Usando a semelhança dos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐸𝐷, tem-se que: 
 
𝑓(𝑥0)
𝑥0 − 𝑥2
=
𝑓(𝑥1)
𝑥1 − 𝑥2
 
 
Explicitando 𝑥2 na equação anterior, tem-se: 
 
𝑥2 = 𝑥1 −
(𝑥1 − 𝑥0)
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥1) 
 
Generalizando-se, tem: 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)
𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑓(𝑥𝑘) 
 
 
Vantagens e Desvantagens do Método: 
Vantagem: É uma alternativa para o MNR, pois evita o cálculo da primeira derivada, 
substituindo-a pela expressão: 
𝜉 𝑥 
𝑦 
𝑓(𝑥0) 
𝑥0 𝑥1 
𝑓(𝑥1) 
𝑥2 
𝐵 
𝐶 
𝐴 
𝐷 
𝐸 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 34 
 
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𝑓′(𝑥𝑘) =
𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1)
(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)
 
 
Desvantagens: 
 
(𝑖) Necessita de duas aproximações iniciais. 
 
(𝑖𝑖) A convergência não é tão rápida quanto o MNR. 
 
Exemplo 2.8: Determinar pelo MS, com precisão 𝜀 < 0,01 em um máximo de 10 
iterações, a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − cos 𝑥 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
(b) Escolha das aproximações iniciais 𝑥0 e 𝑥1: 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 
𝑘 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘) |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 35 
 
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Exemplo 2.9: Determinar pelo MS, com precisão 𝜀 < 0,01 em um máximo de 10 
iterações, a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ln 𝑥 = 0. 
 
(a) Isolar a raiz. 
 
 
(b) Escolha das aproximações iniciais 𝑥0 e 𝑥1: 
 
 
 
 
 
(c) Refinamento 
 
𝑘 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘) |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Estudo Especial das Equações Algébricas 
 
Equações algébricas são todas as equações que podem ser colocadas na forma: 
 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 36 
 
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Onde 𝑎𝑖 ∈ ℝ ∀𝑖 = 0,1, … , 𝑛 
 
Teorema Fundamental da Álgebra: 
𝑃𝑛 𝑥 = 0 tem 𝑛 raízes reais ou complexas. 
 
 
7.1. Limite das Raízes Reais 
 
7.1.1. Limite Superior das Raízes Positivas (LSRP) 
 
Teorema de Lagrange: Seja a equação algébrica 
 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 
 
com 𝑎𝑛 > 0, 𝑎0 ≠ 0 e 𝑘 = max0≤𝑖≤𝑛−1{𝑖: 𝑎𝑖 < 0}. Então para o limite superior das raízes 
positivas de 𝑃𝑛 𝑥 = 0, caso existam, pode-se tomar o número: 
 
𝐿 = 1 + 
𝐵
𝑎𝑛
𝑛−𝑘
 
 
Onde 𝐵 = max 𝑎𝑖<0
0≤𝑖≤𝑛−1
{ 𝑎𝑖 } 
 
Deste teorema concluímos que se 𝜉+ é a maior das raízes positivas de 𝑃𝑛 𝑥 = 0, então 
𝜉+ ≤ 𝐿 
 
Exemplo 2.10: Determinar o LSRP da equação: 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥
5 + 3𝑥4 − 9𝑥3 − 𝑥2 + 20𝑥 − 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 37 
 
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7.2.2. Limite Inferior das Raízes Positivas (LIRP) 
 
𝑃1 𝑥 = 𝑥
𝑛𝑃𝑛 
1
𝑥
 = 0 
 
Desta forma, 
 
𝜉+ ≥
1
𝐿
 
 
Exemplo 2.11: Determinar o LIRP da equação: 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥
5 + 3𝑥4 − 9𝑥3 − 𝑥2 + 20𝑥 − 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.3. Limite Inferior das Raízes Negativas (LIRN) 
 
𝑃2 𝑥 = 𝑃𝑛 −𝑥 = 0 
 
Desta forma, 
 
𝜉− ≥ −𝐿 
 
Exemplo 2.12: Determinar o LIRN da equação: 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥
5 + 3𝑥4 − 9𝑥3 − 𝑥2 + 20𝑥 − 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 38 
 
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7.2.4. Limite Superior das Raízes Negativas (LSRN) 
 
𝑃3 𝑥 = 𝑥
𝑛 𝑃𝑛 −
1
𝑥
 = 0 
 
Desta forma, 
 
𝜉− ≤ −
1
𝐿
 
 
 
Exemplo 2.13: Determinar o LSRN da equação: 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥
5 + 3𝑥4 − 9𝑥3 − 𝑥2 + 20𝑥 − 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3. Número de Raízes Reais 
 
7.3.1. Regra de Sinais de Sturm 
 
Seqüência de Sturm 
 
Chama-se seqüência de Sturm de uma equação algébrica 𝑃 𝑥 = 0 à sucessão: 
 
𝑝0 𝑥 , 𝑝1 𝑥 , 𝑝2 𝑥 , … , 𝑝𝑛 𝑥 , 
 
Onde 𝑝0 𝑥 = 𝑃(𝑥), 𝑝1 𝑥 = 𝑃
′ (𝑥) e 𝑝𝑘 𝑥 , 𝑘 ≥ 2 é o resto da divisão, com o sinal 
trocado, de 𝑝𝑘−2 𝑥 por 𝑝𝑘−1 𝑥 . 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 39 
 
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Teorema de Sturm 
 
Se 𝑃(𝑎) ≠ 0 e 𝑃(𝑏) ≠ 0 então o número de raízes reais distintas de 𝑃 𝑥 = 0 no intervalo 
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é exatamente: 
 
𝑁 = 𝑁 𝑎 − 𝑁(𝑏) 
 
 𝑁(𝑎) ≡ Número de variações de sinal na seqüência de Sturm no ponto 𝑥 = 𝑎. 
 𝑁(𝑏) ≡ Número de variações de sinal na seqüência de Sturm no ponto 𝑥 = 𝑏. 
Exemplo2.14: Calcular o número de raízes reais distintas no intervalo [0, 3] da 
equação 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0, sabendo-se que a seqüência de Sturm de P x = 0 é: 
 1 p0 x = x
3 + x2 − x + 1 
 2 p1 x = 3x
2 + 2x − 1 
 3 p2 x =
8
9
x −
10
9
 
 4 p3 x = −
99
16
 
 
 N(0) N(3) 
𝑝0 𝑥 
𝑝1 𝑥 
𝑝2 𝑥 
𝑝3 𝑥 
𝑁(. ) 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
2.1) Sejam as seguintes equações: 
 
a) 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 − 𝑒𝑥 − 2𝑥2 + 10 = 0 
b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑥 = 0 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑥 + 2 = 0 
 
(𝑖) Calcule com no máximo 10 iterações e com precisão 𝜀 < 0,01 a raiz das equações (b) e 
(c) usando o MNR e o MS. 
 
(𝑖𝑖) Calcule com no máximo 10 iterações e com precisão 𝜀 < 0,01 a raiz positiva da 
equação (a) usando o MNR e o MS. 
 
(𝑖𝑖𝑖) Calcule com no máximo 10 iterações e com precisão 𝜀 < 0,01 a raiz negativa da 
equação (a) usando o MNR e o MS. 
 
2.2) Dada a equação 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3 − 13𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0, pede-se: 
 
a) Determine o intervalo onde podem existir raízes reais. 
b) Sabendo que a seqüência de Sturm relativa ao polinômio 𝑃(𝑥) é apresentada abaixo, 
determine o número de raízes nos intervalos determinados no item anterior. 
 1 𝑝0 𝑥 = 𝑥
4 + 2𝑥3 − 13𝑥2 − 14𝑥 + 24 
 2 𝑝1 𝑥 = 4𝑥
3 + 6𝑥2 − 26𝑥 − 14 
 3 𝑝2 𝑥 = 7.25𝑥
2 + 7.25𝑥 − 25.75 
 4 𝑝3 𝑥 = 13.79𝑥 + 6.90 
 5 𝑝4 𝑥 = 27.56 
c) Isole as raízes. 
d) Determine todas as raízes usando o MNR, com no máximo 10 iterações e com precisão 
𝜀 < 0,01. 
 
2.3) Dada a equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, pede-se: 
 
a) Determine o intervalo onde podem existir raízes reais. 
b) Sabendo que a seqüência de Sturm relativa ao polinômio 𝑃(𝑥) é apresentada abaixo, 
determine o número de raízes nos intervalos determinados no item anterior. 
 1 𝑝0 𝑥 = 𝑥
3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 
 2 𝑝1 𝑥 = 3𝑥
2 − 4𝑥 − 5 
 3 𝑝2 𝑥 = 4.222𝑥 − 4.889 
 4 𝑝3 𝑥 = 5.609 
c) Isole as raízes. 
d) Determine todas as raízes usando o MNR, com no máximo 10 iterações e com precisão 
𝜀 < 0,01. 
 
 Os problemas a seguir devem ser resolvidos com o auxílio do SCILAB ou MATLAB.Obs.: Para estes exercícios os seguintes passos deverão ser seguidos: 
 
(𝑖) Isolar a raiz gerando gráfico da função. O gráfico deverá constar no trabalho. Tente 
encontrar o menor intervalo possível e verifique as condições de existência de uma raiz 
(𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0). 
 
(𝑖𝑖) Se o método adotado para encontrar a raiz da equação foi o método de Newton Raphson, 
determinar o valor da aproximação inicial (𝑥0), lembre-se que 𝑓 𝑥0 × 𝑓
′′ 𝑥𝑜 > 0. 
 
(𝑖𝑖𝑖) Aplique o método numérico escolhido. 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 41 
 
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Problema 1: Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com 𝜀 ≤ 10−5, usando o 
(𝑖) método de Newton-Raphson e (𝑖𝑖) o método das secantes. 
 
(a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10 ln 𝑥 − 5 = 0 
 
(b) 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 − ln(𝑥) 
 
 
Problema 2: Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de financiamento para um 
produto cujo preço à vista é R$ 162,00: 
 
 Plano A: entrada de R$ 22,00 + 9 prestações iguais de R$ 26,50 
 Plano B: entrada de R$ 22,00 + 12 prestações de R$ 21,50. 
Qual dos dois planos apresenta a menor taxa de juros, sendo, portanto melhor para o 
consumidor? 
 
Obsevação: Sabe-se que a equação que relaciona os juros (J) e o prazo (P) com o valor 
financiado (VF = preço à vista – entrada) e a prestação mensal PM é dada por: 
 
1− 1+𝐽 −𝑃
𝐽
=
𝑉𝐹
𝑃𝑀
 (1) 
 
a) Fazendo 𝑥 = 1 + 𝐽 e 𝑘 =
𝑉𝐹
𝑃𝑀
 , verificarque a equação (1) se transforma em: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥𝑃+1 − 𝑘 + 1 𝑥𝑃 + 1 = 0 (2) 
 
b) Escrever a equação (2) para o problema proposto e encontrar um intervalo contendo a 
raiz positiva ≠ 1. 
 
 
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Capítulo 3: 
 
INTERPOLAÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Dado um conjunto de pontos (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)), o problema da interpolação consiste em 
definir uma função 𝑔(𝑥) que passa por todos estes pontos. Se essa função 𝑔(𝑥) for um 
polinômio, teremos uma interpolação polinomial. 
 
 A Figura a seguir representa esta situação. 
 
 
 
 Idéia: Dado 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥𝑛 ], determinar 𝑓(𝑥 ). 
 
 Por 𝑛 + 1 pontos passa um polinômio de grau ≤ 𝑛 e este polinômio é úncico. 
 
2. MÉTODO DE LAGRANGE 
 
Sejam dados 𝑛 + 1 pontos (𝑥0 , 𝑦0), (𝑥1 , 𝑦1), ..., (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), sendo 𝑥𝑖 distintos, tais que 
𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) e 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥𝑛 ]. O método de Lagrange se baseia em: 
 
(𝑖) Construir (𝑛 + 1) polinômios 𝐿𝑖(𝑥), 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛; de grau ≤ 𝑛, tais que: 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 43 
 
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 𝐿𝑖 𝑥𝑖 = 1, 𝑖 = 0, 1,2, … , 𝑛 
 𝐿𝑖 𝑥𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑗 = 0, 1,2, … , 𝑛 
 
(𝑖𝑖) O polinômio interpolador de Lagrange é obtido por meio da combinação linear dos 
𝐿𝑖(𝑥), 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛. 
 
Desta forma, temos que: 
 
𝐿𝑛 𝑥 = 
(𝑥 − 𝑥𝑗 )
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑖
=
 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑖−1 𝑥 − 𝑥𝑖+1 … (𝑥 − 𝑥𝑛 )
 𝑥𝑖 − 𝑥0 𝑥𝑖 − 𝑥1 … 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 … (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛)
 
 
Então, podemos procurar o polinômio 𝑃𝑛 (𝑥) de grau ≤ 𝑛 que passa pelos 𝑛 + 1 pontos 
(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) na forma: 
 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑦𝑖𝐿𝑖(𝑥)
𝑛
𝑖=0
= 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥 + ⋯ + 𝑦𝑛𝐿𝑛 𝑥 
 
 
Exemplo 3.1: Dada a tabela de pontos abaixo: 
 
𝒊 0 1 2 3 
𝒙𝒊 0 1 2 4 
𝒚𝒊 4 11 20 44 
 
Deterrmine: 
 
a) O polinômio interpolador de Lagrange que passa por todos os pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 44 
 
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b) A imagem de 𝑥 = 3. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.2: Sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função conhecida nos pontos a seguir, estime um 
valor para 𝑦 quando 𝑥 = 1,07, utilizando o método de Lagrange. 
 
𝒊 0 1 2 
𝒙𝒊 0,9 1,0 1,1 
𝒚𝒊 0,6216 0,5403 0,4536 
 
Compare o resultado com a função 𝑓 𝑥 = cos⁡(𝑥) neste mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
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3. MÉTODO DAS DIFERENÇAS DIVIDIDAS (NEWTON) 
 
Este método é baseado em um operador, denominado operador de diferenças 
divididas, denotado por ∇, definido como sendo: 
 
a) Ordem 0: ∇0𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 
 
b) Ordem 1: ∇1𝑦𝑖 =
∇0𝑦 𝑖+1−∇
0𝑦 𝑖
𝑥𝑖+1−𝑥𝑖
=
𝑦 𝑖+1−𝑦 𝑖
𝑥𝑖+1−𝑥𝑖
 
 
c) Ordem 2: ∇2𝑦𝑖 =
∇1𝑦 𝑖+1−∇
1𝑦 𝑖
𝑥𝑖+2−𝑥𝑖
 
 
d) Ordem 𝑛: ∇𝑛𝑦𝑖 =
∇𝑛−1𝑦 𝑖+1−∇
𝑛−1𝑦 𝑖
𝑥𝑖+𝑛−𝑥𝑖
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 46 
 
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O polinômio interpolador será: 
 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑦0 + 𝑥 − 𝑥0 ∇
1𝑦0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 ∇
2𝑦0
+ 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 ∇
3𝑦0 + ⋯ + 𝑥 − 𝑥0 . . 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ∇
𝑛𝑦0 
 
 
Exemplo 3.3: Para a tabala de ponto a seguir, pede-se: 
 
𝒊 0 1 2 3 
𝒙𝒊 3 5 6 8 
𝒚𝒊 1,10 1,27 1,36 1,53 
 
a) Construir a tabela de diferenças divididas. 
 
Tabela de Diferenças Divididas 
𝒊 𝒙𝒊 𝛁
𝟎𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 𝛁
𝟏𝒚𝒊 𝛁
𝟐𝒚𝒊 𝛁
𝟑𝒚𝒊 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
 
b) Determinar o polinômio interpolador. 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular a imagem do ponto 𝑥 = 4. 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 47 
 
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Exemplo 3.4: Na tabela a seguir 𝐼 é a corrente elétrica e 𝑉 é a voltagem. Estime um 
valor para 𝑉 quando 𝐼 = 3, usando o método das diferenças divididas. 
 
𝒊 0 1 2 3 
𝑰 1 2 4 8 
𝑽 120 94 75 62 
 
Tabela de Diferenças Divididas 
𝒊 𝒙𝒊 𝛁
𝟎𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 𝛁
𝟏𝒚𝒊 𝛁
𝟐𝒚𝒊 𝛁
𝟑𝒚𝒊 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ASCENDENTES 
 
Também conhecido como método de Gregory-Newton. 
 
Quando os valores das abscissas 𝑥𝑖 forem igualmente espaçadas, a formúla de Newton 
pode ser simplificada, resultando na fórmula de Gregory-Newton. 
 
Este método é baseado em um operador, denominado operador de diferença finita 
ascendente, denotado por ∆ e definido como se segue: 
 
a) Ordem 0: Δ0𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 
 
b) Ordem 1: Δ1𝑦𝑖 = Δ
0𝑦𝑖+1 − ∆
0𝑦𝑖 = 𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 48 
 
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c) Ordem 2: Δ2𝑦𝑖 = Δ
1𝑦𝑖+1 − Δ
1𝑦𝑖 
 
d) Ordem 𝑛: Δ𝑛𝑦𝑖 = Δ
𝑛−1𝑦𝑖+1 − Δ
𝑛−1𝑦𝑖 
 
A relação entre os operadores de diferença finita e dividida é dada pela expressão: 
 
∇𝑛𝑦𝑖 =
∆𝑛𝑦𝑖
𝑛! 𝑕𝑛
 
 
Onde: 𝑕 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 
 
Assim o polinômio interpolador para o método de Gregory-Newton é determinado por: 
 
 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑦0 + 𝑧∆
1𝑦0 + 𝑧 𝑧 − 1 
∆2𝑦0
2!
+ 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 − 2 
∆3𝑦0
3!
+ ⋯ + 𝑧 𝑧 − 1 … (𝑧 − 𝑛 − 1 
∆𝑛𝑦0
𝑛!
 
 
Sendo: 𝑧 =
𝑥−𝑥0
𝑕
 
 
Exemplo 3.5: A Figura abaixo mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma 
linha reta, próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em metros) entre 
essa linha reta e as duas margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto 
fixado como origem. 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 49 
 
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Tais dados foram registrados na tabela a seguir. 
Determinar o valor aproximado da largura do rio no ponto que dista20 metros da 
origem. 
 
𝑥 0 15 30 45 60 
𝑦(𝑀1) 50,00 86,00 146,00 73,50 50,00 
𝑦(𝑀2) 112,50 154,50 195,00 171,00 95,50 
 
(i) Determinação do comprimento das margens 
 
𝑥 0 15 30 45 60 
𝑦 
 
(ii) Construção da tabela de diferenças finitas ascendentes 
 
Tabela das Diferenças Finitas Ascendentes 
𝒊 𝒙𝒊 𝚫
𝟎𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 𝚫
𝟏𝒚𝒊 𝚫
𝟐𝒚𝒊 𝚫
𝟑𝒚𝒊 𝚫
𝟒𝒚𝒊 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
4 ---- ---- ---- ---- 
 
(iii) Determinação do comprimento da margem no ponto desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 50 
 
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Exemplo 3.6: 
 
Dada a tabela abaixo: 
 
𝑖 0 1 2 3 4 
𝑥𝑖 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 
𝑦𝑖 9,82 10,91 12,05 13,14 16,19 
 
Pede-se: 
(a) Construir a Tabela de diferenças finitas ascendentes 
 
Tabela das Diferenças Finitas Ascendentes 
𝒊 𝒙𝒊 𝚫
𝟎𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 𝚫
𝟏𝒚𝒊 𝚫
𝟐𝒚𝒊 𝚫
𝟑𝒚𝒊 𝚫
𝟒𝒚𝒊 
0 
1 ---- 
2 ---- ---- 
3 ---- ---- ---- 
4 ---- ---- ---- ---- 
 
(b) Encontrar a imagem de x = 4,7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
(3.1) A tabela a seguir relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular 
o calor específico da água a uma temperatura de 25ºC, usando um polinômio de 3º grau: 
 
(a) Pelo Método de Lagrange; 
 
(b) Pelo Método das diferenças divididas; 
 
Temperatura (ºC) Calor Específico 
20 0,99907 
30 0,99826 
45 0,99849 
55 0,99919 
 
(3.2) A velocidade 𝑣 (em m/s) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, 𝑡 
segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando 
um polinômio de 4º grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do 
lançamento. 
 
Tempo (s) 0 8 20 30 45 
Velocidade (m/s) 0,000 52,032 160,450 275,961 370,276 
 
 
(3.3) Na tabela abaixo, 𝑑 é a distância, em metros, percorrida por uma bala ao longo do cano 
de um canhão em 𝑡 segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter 
sido disparada, usando todos os dados abaixo. 
 
𝒕 (s) 0 2 4 6 8 
𝒅 (m) 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103 
 
(3.4) Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura (em ºC) numa região de uma 
cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12h. Determinar, usando todos os dados da 
tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas. 
 
Dia 
Hora 
1 2 3 
6 18 17 18 
8 20 20 21 
10 24 25 22 
12 28 27 23 
 
(3.5) A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da tabela 
anterior, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100ºC. 
 
Temperatura (ºC) Velocidade (m/s) 
86,0 1552 
93,3 1548 
98,9 1544 
104,4 1538 
110,0 1532 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 52 
 
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(3.6) A que temperatura a água entra em ebulição no Pico da Bandeira (altitude = 2890m), 
sabendo que o ponto de ebulição da água varia com a altitude, conforme mostra a tabela 
abaixo. 
 
Altitude 
(m) 
Ponto de Ebulição 
da Água (ºC) 
850 
950 
1050 
1150 
1250 
. 
. 
. 
2600 
2700 
2800 
2900 
3000 
97,18 
96,84 
96,51 
96,18 
95,84 
. 
. 
. 
91,34 
91,01 
90,67 
90,34 
90,00 
 
Usando esta mesma tabela, determinar o ponto de ebulição da água em um local em Belo 
Horizonte que possui altitude igual a 1000m. 
 
 
(3.7) Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste 
trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em 
alguns pontos entre as duas cidades. 
 
Tempo 
(min) 
Distância 
(m) 
0 
10 
30 
60 
90 
120 
140 
0 
8 
27 
58 
100 
145 
160 
 
Determinar: 
 
(a) Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 
minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela? 
 
(b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho? (Usar todos 
os pontos) 
 
(3.8) Dada a função f conhecida pelos seus pontos da tabela a seguir, pede-se: 
 
𝒊 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝒙𝒊 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8 9,6 
𝒚𝒊 2 5 3 8 4 9 5 7 3 6 4 8 5 
 
Determinar: 
 
(a) 𝑓(3) usando um polinômio interpolador de 5º grau. 
(b) 𝑓(6) usando um polinômio interpolador de 4º grau 
(c) 𝑓(9) usando um polinômio interpolador de 3º grau. 
 
 
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Capítulo 4: 
 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Objetivo: Apresentar métodos numéricos para resolver numericamente uma 
integral. 
 
 Sabe-se pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que: 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑎 − 𝐹(𝑏) 
 
onde 𝐹 𝑥 é uma primitiva de 𝑓(𝑥), isto é, 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). 
 
 Na determinação numérica de uma integral, várias situações podem ocorrer: 
 
 A determinação da primitiva 𝐹(𝑥) pode ser difícil; 
 
 A função 𝑓 a integrarpode não possuir uma primitiva 𝐹. Por exemplo, o cálculo 
da integral 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 não é possível de ser resolvida pela aplicação do TFC, uma 
vez que não existe função 𝐹(𝑥) cuja derivada seja 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
2
; 
 
 A função 𝑓 pode ser conhecida pelos seus pontos (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)) e não pela sua 
expressão analítica. 
 
 Em situações como as citadas anteriormente se justifica a aplicação de métodos 
numéricos. 
 
2. Fórmulas de Newton-Côtes 
 
 A idéia dessa família de procedimentos é dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos 
de mesmo espaçamento 𝑕 = (𝑏 − 𝑎) 𝑛 e substituir 𝑓 pelo polinômio interpolador de 
Gregory-Newton de grau 𝑛. Assim, 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 54 
 
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𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑃𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
sendo 
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑦0 + 𝑧∆
1𝑦0 + 𝑧 𝑧 − 1 
∆2𝑦0
2!
+ 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 − 2 
∆3𝑦0
3!
+ ⋯ + 𝑧 𝑧 − 1 … (𝑧
− 𝑛 − 1 
∆𝑛𝑦0
𝑛!
 
 
 e 
 
𝑧 =
𝑥 − 𝑥0
𝑕
 
. 
 
 Para calcular o erro cometido na integração (𝐸𝑖) basta integrar o erro da 
interpolação (𝐸𝑇) 
 
2.1. Regra dos Trapézios 
 
(𝒊) Fórmula Simples 
 
 
 A idéia desse procedimento é substituir a função 𝑓 a integrar pelo polinômio 
interpolador de Gregory-Newton de grau 𝑛 = 1, ou seja, por 𝑃1 𝑥 = 𝑦0 + 𝑧∆𝑦0. Tem-se, 
portanto 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 𝑃1 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (𝑦0 + 𝑧∆𝑦0)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Portanto, ao se substituir 𝑓 por 𝑃1(𝑥) obtemos a seguinte aproximação: 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
𝑕
2
[𝑦0 + 𝑦1] 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 55 
 
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 Geometricamente, a fórmula anterior indica a área da figura compreendida entre as 
retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, o eixo 𝑂𝑥 e o polinômio interpolador 𝑃1(𝑥), isto é, a área de um 
trapézio. Como sabemos, a área de um trapézio vale a metade do produto da altura 𝑕 
pela soma da base menor (no nosso caso, 𝑦0) com a base maior (no nosso caso, 𝑦1). 
 
 
 
(𝒊𝒊) Fórmula Composta 
 
 
 A idéia deste procedimento é dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos de mesmo 
espaçamento 𝑕 = (𝑏 − 𝑎) 𝑛 e aplicar a cada sub-intervalo 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ∀𝑖 = 0,1,… , 𝑛 − 1 a 
fórmula simples da regra dos Trapézios. 
 
 Desta forma, a fórmula composta da regra dos Trapézios é, portanto: 
 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
𝑕
2
[𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + ⋯ + 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 ] 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 56 
 
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Exemplo 4.1: Calcule o valor da seguinte integral (retenha 4 casas decimais durante 
os cálculos): 
 
𝐼 = 
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
 
 
Pela fórmula composta da Regra dos Trapézios com 𝑛=10. 
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
10
𝑖=0
= 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.2: 
 
Calcule o valor da seguinte integral: 
 
𝐼 = 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
3
1
 
 
Pela fórmula composta da Regra dos Trapézios com 𝑛=8. 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 57 
 
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𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
8
𝑖=0
= 
 
 
 
 
 
2.2. 1ª Regra de Simpson 
 
(𝒊) Fórmula Simples 
 
 A idéia desse procedimento é substituir a função 𝑓 a integrar pelo polinômio 
interpolador de Gregory-Newton de grau 𝑛 = 2, ou seja, por 𝑃2 𝑥 = 𝑦0 + 𝑧∆𝑦0 + 𝑧(𝑧 −
1)
∆2𝑦0
2!
. 
 
 Tem-se, portanto 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (𝑦0 + 𝑧∆𝑦0 + 𝑧(𝑧 − 1)
∆2𝑦
0
2!
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Portanto, ao se substituir 𝑓 por 𝑃2(𝑥) obtemos a seguinte aproximação: 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
𝑕
3
[𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2] 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 58 
 
Unileste-MG Prof. Aloísio de Castro 
(𝒊𝒊) Fórmula Composta 
 
 A idéia deste procedimento é dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos de mesmo 
espaçamento 𝑕 = (𝑏 − 𝑎) 𝑛 e aplicar a cada par de sub-intervalos [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖], 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ∀𝑖 =
1,2, … , 𝑛 − 1 a fórmula simples da 1ª Regra de Simpson. 
 
 Desta forma, obtém-se: 
 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
𝑕
3
[𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 + ⋯ + 2𝑦𝑛−2 + 4𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛] 
 
sendo 𝑛 um número par. 
 
Exemplo 4.3: Determine o valor da seguinte integral (retenha 4 casas decimais 
durante os cálculos): 
𝐼 = 
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
 
Pela fórmula composta da 1ª Regra de Simpson com 𝑛=10. 
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
10
𝑖=0
= 
 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 59 
 
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2.3. 2ª Regra de Simpson 
 
(𝒊) Fórmula Simples 
 
 A idéia desse procedimento é substituir a função 𝑓 a integrar pelo polinômio 
interpolador de Gregory-Newton de grau 𝑛 = 3, ou seja, por 𝑃3 𝑥 = 𝑦0 + 𝑧∆𝑦0 +
𝑧 𝑧 − 1 
∆2𝑦0
2!
+ 𝑧 𝑧 − 1 (𝑧 − 2)
∆3𝑦0
3!
. 
 
 Tem-se, portanto 
 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 𝑃3 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (𝑦0 + 𝑧∆𝑦0 + 𝑧 𝑧 − 1 
∆2𝑦
0
2!
+ 𝑧 𝑧 − 1 (𝑧 − 2)
∆3𝑦
0
3!
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 Portanto, ao se substituir 𝑓 por 𝑃3(𝑥) obtemos a seguinte aproximação: 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
3𝑕
8
[𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3] 
 
(𝒊𝒊) Fórmula Composta 
 
 A idéia deste procedimento é dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos de mesmo 
espaçamento 𝑕 = (𝑏 − 𝑎) 𝑛 e aplicar a cada 4 pontos, isto é, a cada três sub-intervalos 
[𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖], 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 2 a fórmula simples da 2ª Regra de Simpson. 
 
 Desta forma, obtém-se: 
 
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 
3𝑕
8
[𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 2𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + ⋯ + 2𝑦𝑛−3 + 3𝑦𝑛−2 + 3𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 ] 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 60 
 
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sendo 𝑛 um múltiplo de 3. 
 
Exemplo 4.4: Calcule o valor da seguinte integral: 
 
𝐼 = 
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
 
 
Pela fórmula composta da 2ª Regra de Simpson com 𝑛=9. 
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
9
𝑖=0
= 
 
 
 
 
 
2.4. Observações Finais: 
 
Analisando-se as expressões dos erros das fórmulas compostas das três regras, é 
possível estabelecer a seguinte prioridade de uso: 
 
(1) 1ª Regra de Simpson, a qual exige que 𝑛 seja par; 
 
(2) 2ª Regra de Simpson, a qual exige que 𝑛 seja múltiplo de 3; 
 
(3) Regra dos Trapézios, na qual 𝑛 pode ser qualquer número. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 61 
 
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Exemplo 4.5: Calcule o valor da seguinte integral, pela fórmula composta da 1ª 
Regra de Simpson, com 𝑛=8 (retenha 4 casas decimais durante os cálculos): 
𝐼 = 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
3
1
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
8
𝑖=0
= 
 
 
 
Exemplo 4.6: Calcule o valor da seguinte integral pela fórmula composta da 2ª Regra 
de Simpson, com 𝑛=9 (retenha 4 casas decimais durante os cálculos): 
𝐼 = 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
3
1
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊) 𝒄𝒊 𝒄𝒊 × 𝒚𝒊 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 𝑐𝑖𝑦𝑖
9
𝑖=0
= 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 62 
 
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Exercícios 
 
(4.1) Calcular o valor das integrais abaixo, usando 𝑛 = 6, pela Regra do Trapézio, pela 1ª 
Regra de Simpson e pela 2ª Regra de Simpson: 
 
(a) 
𝐼 = 
cos 𝑥
1 + 𝑥
𝑑𝑥
1
0
 
(b) 
𝐼 = 
1
𝑥2
𝑑𝑥
4,5
4
 
(c) 
𝐼 = 
(3𝑥2 − 2𝑥 + 6) 
2𝑥
𝑑𝑥
4,2
3
 
 
(4.2) Dada a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) através da tabela abaixo, calcular o valor de 
 
𝐼 = 𝑓(𝑥)
3
0
 𝑑𝑥 
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 
0 0,0 5,021 
1 0,5 6,146 
2 1,0 6,630 
3 1,5 6,945 
4 2,0 7,178 
5 2,5 7,364 
6 3,0 7,519 
 
(4.3) Calcular o valor da integral para 𝑛 = 4 
 
 sen2 𝑥 + 1 cos 𝑥2 𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
 
(4.4) Calcular o valor da integral para 𝑛 = 6 
 
𝐼 = 
𝑥2
(𝑥 − 2)2
𝑑𝑥
−1
−2
 
 
(4.5) Calcular o valor da integral para 𝑛 = 9 
 
𝐼 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
2
1
 
 
(4.6) Calcular o valor da integral para 𝑛 = 6 
 
𝐼 = ln 𝑥 + 2 − 1 𝑑𝑥
3,2
2
 
 
(a) Usando a Regra dos Trapézios 
 
(b) Usando a 1ª Regra de Simpson 
 
(c) Usando a 2ª Regra de Simpson 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 63 
 
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(4.7) Dada a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , definida através da tabela abaixo: 
 
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 
0 1,0 0,099 
1 1,1 0,131 
2 1,2 0,163 
3 1,3 0,194 
4 1,4 0,224 
5 1,5 0,253 
6 1,6 0,281 
Calcular 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
1,6
1
, aplicando: 
 
a) A 1ª regra de Simpson 
 
b) A 2ª regra de Simpson 
 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 64 
 
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Bibliografia: 
 
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos 
teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. 406p. 
 
FRANCO, Neide Maria Bertoldi. Cálculo númerico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
505p. 
 
SOUZA, M. J. F. Notas de Aula de Cálculo Numérico.Disponível em: 
http://www.decom.ufop.br/prof/marcone/Disciplinas/CalculoNumerico/cn.htm. Acesso em: 
20/07/2009.