Avaliação Final (Objetiva) - Cálculo Numérico (MAT28)

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Disciplina: Cálculo Numérico (MAT28) 
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial ( Cod.:460824) ( peso.:3,00) 
Prova: 12475802 
Nota da Prova: 7,00 
 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Em análise numérica, os métodos de Runge-Kutta formam uma família importante de métodos iterativos 
implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais 
ordinárias. Portanto, uma equação diferencial ordinária pode ser resolvida através dos métodos de Runge-
Kutta. Qual é a vantagem do método de Runge-Kutta de segunda ordem em relação ao método de Euler? 
 a) Ele divide o intervalo em décimos, ao contrário do método de Euler. 
 b) Não há vantagem de um sobre o outro. 
 c) Ele melhora a precisão dos resultados sem diminuir muito o valor da altura do intervalo. 
 d) O número de cálculos diferenciais torna-se menor. 
 
2. Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um modelo matemático, raramente se 
tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do 
mundo físico para que se tenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Inevitavelmente, o 
erro inicial ou erro de modelagem é a soma das incertezas introduzidas no equacionamento do problema, 
na medição dos parâmetros, nas condições iniciais etc. Sobre os erros de modelagem, classifique V para 
as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Dado um problema físico, existem vários modelos que podem ser usados na sua resolução. 
( ) O resultado esperado sempre coincide com o que é, de fato, encontrado ao aplicarmos um modelo no 
problema. 
( ) O modelo que utilizamos para descrever um problema físico contemplará todas as variáveis 
envolvidas. 
( ) Se o modelo utilizado para descrever o fenômeno for bem escolhido, não haverá erro de modelagem. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - F - V - F. 
 c) F - V - V - F. 
 d) V - V - F - V. 
 
3. A Regra do Trapézio é um método de integração numérica que permite determinar o valor aproximado de 
uma integral. Com relação à integração numérica via Regra do Trapézio e considerando 4 casas decimais, 
calcule no intervalo [1, 3] a integral da função f(x) = x·ln(x): 
 a) 3,3012. 
 b) 2,9416. 
 c) 2,9470. 
 d) 3,2958. 
 
4. Para encontrar a solução de um sistema linear S via método de Gauss, precisamos fazer alguns 
pivotamentos na matriz estendida de S. Neste sentido, considere o sistema linear a seguir e determine o 
primeiro pivotamento: 
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 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 
5. Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em polinômios de grau maior que 
3, para polinômio de grau 1 basta isolar a variável independente, polinômios de grau dois usamos 
Bhaskara. São métodos interativos que na maioria das vezes usamos para determinar raízes de 
polinômios de grau maior e igual a 3, mas para entendê-los precisamos compreender as características 
dos polinômios. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Todo polinômio de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real. 
II- Se o polinômio tem grau impar, então ele tem pelo menos uma raiz real. 
III- Se um polinômio de grau n tem n - 1 raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2. 
IV- Se um polinômio de grau n tem todas n raízes distintas, então ele pode ser reescrito da seguinte 
forma: 
 
 a) II. 
 b) III. 
 c) I. 
 d) IV. 
 
6. Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de 
um sistema linear. Quando não se tem mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos 
fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o 
método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de 
ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. com base no 
exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas 
decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o 
método da iteração linear: 
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 a) x = 0,5 e y = 0,1. 
 b) x = 0,495 e y = 0,125. 
 c) x = 0,505 e y = 0,125. 
 d) x = 0,492 e y = 0,123. 
 
7. Em análise numérica, a fórmula de Simpson (em nome de Thomas Simpson, um matemático inglês), 
também conhecida como regra de Simpson, é uma forma de se obter uma aproximação da integral 
definida. Essa regra é um método de integração numérica que aproxima uma função f por um polinômio 
de grau dois em um intervalo [a, b]. Com relação a este método, podemos afirmar que: 
 a) É um refinamento da Regra do Trapézio, uma vez que utiliza três pontos consecutivos previamente 
conhecidos do intervalo. 
 b) A dedução da sua fórmula utiliza o método de Newton-Côtes. 
 c) Nada mais é do que a Regra do Trapézio Generalizada. 
 d) Consiste em fazer passar uma reta secante pelos dois extremos do intervalo [a, b]. 
 
8. Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números complexos, o 
discriminante deve ser negativo. Dada a equação x² - 6x + 3t = 0, determine o valor de t para que a 
equação tenha como raízes apenas números complexos: 
 a) t < 3. 
 b) t > 3. 
 c) t < -3. 
 d) t > -3. 
 
9. Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam 
várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma 
raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E 
ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa então o conjugado 
dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio 
 
p(x) = x³ + 2x² + x + 2 
 
Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio. 
 a) a = 0 
 b) a = 2 
 c) a = - 2 
 d) a = - 1 
 
10. Com relação à integração numérica, o método do Trapézio Generalizado consiste em aplicar o método do 
Trapézio tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos o valor da função f. Consideremos 
então o intervalo [2, 3], considerando n = 4. O valor encontrado para a integral de f(x) = 5x é igual a: 
Atenção: h = (b - a)/n 
 a) O valor encontrado para a integral será 12,5. 
 b) O valor encontrado para a integral será 13,5. 
 c) O valor encontrado para a integral será 15. 
 d) O valor encontrado para a integral será 14,5. 
 
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11. (ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único 
tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas 
borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 
9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, 
após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A 
partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do 
lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os 
preços das mercadorias. Esse sistema de equações é: 
 a) possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis. 
 b) possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da 
borracha. 
 c) possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é 
igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00. 
 d) impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução. 
 
12. (ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para o desenvolvimento 
de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter instrumental - pode ser aplicada às 
diversas áreas do conhecimento -, mas deve ser vista também como ciência, com suas características 
estruturais específicas. OCNEM (com adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o 
professor deve observar que: 
 a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções. 
 b) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto. 
 c) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional. 
 d) o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações 
algébricas. 
 
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