Raciocínio Lógico

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S
U
M
Á
R
IO
3 Introdução 
5 UNIDADE 1 - Fundamentos do raciocínio lógico
39 UNIDADE 2 - Ferramentas matemáticas aplicadas ao raciocínio lógico
58 REFERÊNCIAS
2 33
INTRODUÇÃO 
“Loucura é querer resultados dife-
rentes, fazendo tudo sempre igual.”
(Abert Einstein)
Que as empresas continuamente pro-
curam profissionais mais gabaritados, ou 
seja, mais dinâmicos, já é sabido por todos 
nós. Mas como poderíamos diferenciar 
profissionais mais gabaritados e dinâmi-
cos? Em verdade, o mercado procura pro-
fissionais que consigam tomar decisões 
através de raciocínios e estratégias cor-
retas. Mas o que seria uma argumentação 
correta? Nesse sentido surgem a Lógica, a 
Filosofia e a Matemática que formam em 
conjunto, as áreas do conhecimento que 
descrevem o raciocínio lógico, que é am-
plamente utilizado para a resolução de 
problemas diversos e comumente cobra-
do em concursos públicos e/ou privados. 
Inicialmente deve-se observar que 
quando falamos ou escrevemos, na gran-
de maioria das vezes, surgem termos e 
expressões com sentido não muito claro, 
inserindo assim, várias dúvidas com rela-
ção ao sentido de nossa fala e escrita, ou 
seja, ambiguidade. Dessa forma, pode-se 
pensar numa série de indagações, 
tais como: 
Qual o significado desta expressão? 
Qual a sua lógica? Não são ideias contra-
ditórias? É lógico? Tem sentido? É sabido 
que a terminologia “Lógica” é provenien-
te da Grécia significando “logos”, sendo a 
discussão do uso de raciocínio em alguma 
atividade, ou seja, o estudo normativo, fi-
losófico do raciocínio. 
Historicamente, a Lógica foi estuda-
da em várias civilizações da Antiguidade, 
desde a Índia, na recursão silogística, pas-
sando pela China no Moísmo e na Escola 
dos Nomes, bem como, na Grécia Antiga 
que a Lógica foi estabelecida como disci-
plina por Aristóteles, com a sua obra Orga-
non. 
É interessante salientarmos ainda que 
a Lógica examina de modo geral as formas 
que a argumentação pode tomar, quais 
dessas formas são válidas e quais são 
sem sentido. De outra forma, ressalta-se 
que em Filosofia, a Lógica tem papel fun-
damental na metafísica, ontologia, epis-
temologia e ética, enquanto que na Ma-
temática, estudam-se as formas válidas 
de inferência de uma linguagem formal, 
caracterizando o seu valor lógico. Já para 
a Ciência da Computação, a lógica é uma 
ferramenta indispensável nas linguagens 
de programação e, por fim, a Lógica tam-
bém é estudada na teoria da argumenta-
ção. Atualmente, a Lógica é utilizada em 
concursos de organizações privadas e go-
vernamentais nos mais variados níveis de 
instrução em processos seletivos.
Portanto, o nosso módulo busca a apre-
sentação de ferramentas relacionadas à 
teoria da argumentação e do raciocínio ló-
gico propriamente dito, que visa a resolu-
ção de problemas de uma forma coerente 
e estruturada, seja em termos gerenciais 
ou não. 
As palavras acima são nossa justifi-
cativa para o módulo em estudo.
4 54
“Teoria é quando nada funciona e 
todo mundo sabe o porquê.
Prática é quando tudo funciona, 
mas ninguém sabe o porquê.”
 (Anônimo)
“As soluções que mais interessam 
a uma organização são aquelas que 
aumentam a sua competitividade.”
(Kaplan)
“Você nunca sabe que resultados 
virão da sua ação. Mas se você não 
fizer nada, não existirão resultados.”
(Gandhi)
4 55
UNIDADE 1 - Fundamentos do raciocínio 
lógico
1.1 Aspectos introdutórios 
Poderíamos iniciar a abordagem do 
nosso texto, indagando: “O que seria a 
Lógica?” ou “O que seria o Raciocínio Ló-
gico?” Ou ainda, “Você sabe utilizar o seu 
Raciocínio Lógico para a resolução de pro-
blemas?” De outra forma, “Saberia definir 
uma decisão?” “Saberia classificar os di-
versos problemas e as metodologias de 
resolução dos mesmos?” Sendo assim, es-
peramos responder questões como estas 
e outras que nos façam entender a impor-
tância do Raciocínio Lógico e, porque não 
da Lógica para a resolução de problemas 
simulados diversos. É sabido que as em-
presas, de forma geral, praticam de pro-
blemas deste foco em concursos diversos, 
desde instituições financeiras, bem como, 
multinacionais.
Inicialmente, devemos salientar que, 
de acordo com Martins (2012), o termo 
“lógica” (do grego clássico λογική logos, 
que significa palavra, pensamento, ideia, 
argumento, relato, razão lógica ou prin-
cípio lógico), é uma ciência de índole ma-
temática e fortemente ligada à Filosofia. 
Já que o pensamento é a manifestação 
do conhecimento, e que o conhecimento 
busca a verdade, é preciso estabelecer 
algumas regras para que essa meta possa 
ser atingida. 
Dessa maneira, a lógica é o ramo da filo-
sofia que cuida das regras do bem pensar, 
ou do pensar correto, sendo, portanto, um 
instrumento do pensar. A aprendizagem 
da lógica não constitui um fim em si. Ela 
só tem sentido enquanto meio de garantir 
que nosso pensamento proceda correta-
mente, a fim de chegar a conhecimentos 
verdadeiros. Podemos, então, dizer que 
a lógica trata dos argumentos, isto é, das 
conclusões a que chegamos através da 
apresentação de evidências que a sus-
tentam. O principal organizador da lógica 
clássica foi Aristóteles, com sua obra cha-
mada Organon. Ele divide a lógica em for-
mal e material.
Nesse caso, note que a Lógica é o ramo 
do conhecimento humano que estuda as 
formas pelas quais se pode construir um 
argumento correto. Porém, como poderí-
amos caracterizar um raciocínio correto? 
Geralmente, um raciocínio é considerado 
correto quando as conclusões a que se 
chega são as melhores possíveis, dada a 
informação disponível. 
Devemos ressaltar que, ao analisarmos 
uma determinada proposição, queremos 
em verdade decidir se ela é verdadeira 
ou não, por mais simples que seja. Exem-
plificando, quando você deve decidir pela 
direção da direita ou pela direção da es-
querda, ou ainda, definir qual ramo gosta-
ria de se formar, são proposições simples, 
mas que demanda de uma argumentação 
para a tomada de decisão. Com relação a 
esta decisão, pode-se mensurar o estudo 
da Lógica em dois tipos.
 Lógica Dedutiva: uma proposição 
pode ser apenas verdadeira ou falsa, não 
havendo alternativa intermediária.
 Lógica Indutiva: uma proposição 
pode ter diferentes graus de plausibilida-
de associados a ela, de acordo com esta 
parece ser mais ou menos verdadeira.
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Vejamos a ilustração introdutória a 
seguir.
Situação Introdutória (Adaptada de 
Martins, 2012): 
Suponhamos que você é um guarda 
de uma determinada rede de supermer-
cados, e durante a sua inspeção noturna 
escuta um alarme disparar. O alarme que 
disparou é o alarme de uma joalheria den-
tro do hipermercado, e a mesma está com 
o vidro da frente totalmente estilhaçado. 
Saindo da joalheria, você vê um homem, 
vestindo uma máscara e carregando algo 
na mão, em verdade um saco. Após detê-
-lo para averiguar o que está acontecen-
do, você vê que o saco está cheio das joias 
da joalheria. Segue logicamente, de uma 
forma dedutiva, que o indivíduo abordado 
é um ladrão, ou seja, que ele estava assal-
tando a joalheria dentro do hipermercado. 
Cabe ainda comentarmos que a Lógica 
Dedutiva, frequentemente chamada sim-
plesmente de Lógica, lida com a verdade 
de proposições. Grosso modo, uma propo-
sição corresponde ao significado de uma 
dada sentença e, em lógica dedutiva, elas 
são afirmações que são ou verdadeiras 
ou falsas. De outro modo, com relação à 
Lógica Aristotélica, proposições são en-
caradas como afirmações que afirmam 
ou negam um predicado (uma qualidade) 
de um sujeito. Vamos averiguar mais um 
exemplo simples.
A: Sócrates é um homem.
Portanto, temos que:
B: Sócrates é mortal.
Notemos que o raciocínio acima está 
correto, mas será que ele serve de um mol-
de que garanta que qualquerraciocínio 
que tenha a mesma forma será correto? 
Em verdade, o raciocínio do exemplo an-
terior, possui a seguinte estrutura: dada 
uma premissa A, segue uma conclusão B. 
O problema é saber se qualquer raciocínio 
desta forma é correto. 
Vejamos outro exemplo, utilizando 
a mesma forma:
A: Meu automóvel é verde.
Portanto,
B: meu carro é um vegetal.
Para raciocinarmos no sentido comple-
to, vejamos o exemplo:
A B: Todo homem é mortal.
A: Sócrates é um homem.
B: Sócrates é mortal.
Aqui, pode-se caracterizar que o esque-
ma acima é válido para quaisquer inferên-
cias, chegando a uma conclusão correta, 
desde que as premissas sejam corretas. A 
saber, se A implica em B e se A é verdadei-
ro, logo B também o é.
Em outro sentido, quando falamos com 
relação ao Raciocínio Lógico, de acordo 
com Braine e Rumain (1983), para a com-
preensão de um texto, o leitor ou ouvinte 
tanto utiliza o raciocínio lógico para a com-
preensão analítica (o que exige mais habi-
lidade mental) quanto o raciocínio prático 
para compreensão ordinária (o que se re-
vela mais superficial). 
6 7
Grosso modo, quando é necessária a 
resolução de problemas, ou nos envolve-
mos em discussões ou argumentações, o 
melhor é não se deixar levar pelo caminho 
mais fácil e sim procurar obter uma com-
preensão a respeito da situação analisan-
do uma a uma, cuidadosamente, as pre-
missas relacionadas, de modo a tirarmos 
conclusões de maneira mais exata e preci-
sa possível. Não utilizar o raciocínio lógico, 
muitas vezes pode nos levar a conclusões 
incorretas e a recorrer a falácias na argu-
mentação, já que, de modo prático, nos 
deixaremos influenciar pelo conteúdo das 
premissas e por nossas crenças. Lógica, 
portanto, parte de uma dedução formal 
tal que, postas duas proposições, chama-
das premissas, delas, por inferência, se 
tira uma terceira, chamada conclusão. Ar-
gumentar de forma lógica é diferente de 
usar manipulação, coação ou persuasão; 
cada estratégia melhor se aplica a contex-
tos distintos e visa a finalidades específi-
cas. 
Figura 01: Fundamentos da Lógica.
Disponível: http://educacion.udd.cl/ver-diplomado/diplomado-en-neurociencia-aplica-
da-a-la-educacion/ Acesso em: 14 nov. 2015.
8 9
 Além disso, é sabido que a Lógica tem 
como sustentação para a sua descrição 
teórica três princípios fundamentais. Po-
rém, antes de apresentarmos os mesmos, 
vamos exemplificar a fim de compreen-
dermos os mesmos. Se considerarmos, 
LEANDRO é LEONARDO, essa premissa 
contraria dois princípios, que podem ser 
observados, a seguir. 
Primeiro Princípio (Identidade) (KELLER 
e BASTOS, 2004): esse princípio nos diz 
que se um enunciado é verdadeiro, ele é 
verdadeiro, sempre e, de outra forma, se 
ele é falso, ele é falso, sempre. 
Dessa forma, observe que: 
LEANDRO é LEANDRO / LEONARDO 
é LEONARDO
Segundo Princípio (Não contradi-
ção) (KELLER e BASTOS, 2004): Esse 
princípio nos fala que um enunciado não 
pode ser verdadeiro e falso ao mesmo 
tempo.
1.2 Terminologias funda-
mentais da lógica 
De acordo com Martins (2013), temos 
algumas nomenclaturas ou terminologias 
importantes na descrição e construção 
dos aspectos relacionados ao raciocínio 
lógico a partir da Lógica Proposicional. 
1.2.1. Tipos de argumentos
a) Argumentos dedutivos (tipo silo-
gísticos). Nestes argumentos, a verda-
de das premissas assegura a verdade da 
conclusão. Se as premissas forem verda-
deiras, e o seu encadeamento adequado, 
a conclusão será necessariamente ver-
dadeira. Os argumentos dedutivos não 
acrescentam nada de novo ao que sabe-
mos.
Exemplo: Todos os homens são mor-
tais. Francisco é homem. Logo, Francisco 
é mortal.
b) Argumentos indutivos. Neste caso, 
a conclusão ultrapassa o conteúdo das 
premissas. Embora estas possam ser ver-
dadeiras, a conclusão é apenas provável.
Exemplo: Todos os banhistas obser-
vados até hoje em uma determinada praia 
brasileira estavam queimados pelo sol. 
Logo, o próximo banhista que for obser-
vado estará queimado pelo sol (aqui te-
mos o argumento indutivo: generalização, 
previsão).
c) Argumento por Analogia. Neste 
tipo de argumentos, parte-se da seme-
lhança entre duas coisas para se concluir 
que a propriedade de uma é a mesma que 
podemos encontrar na outra. As diferen-
ças específicas são ignoradas.
Exemplo: Marte é um astro como a 
Terra. A Terra é habitada. Logo, Marte é 
também habitado.
d) Argumentos falaciosos. Argumen-
tos com aparência de verdadeiros ou váli-
dos, mas falsos e inválidos.
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1.2.2. A nova retórica – classificação dos 
argumentos
a) Argumentos Quase Lógicos. A sua 
estrutura formal confere às suas conclu-
sões uma aparência lógica irrefutável.
Exemplo: A pena de morte é contra-
ditória com o objetivo de querer prevenir 
a violência, uma vez que matar é sempre 
considerado um ato de violência.
b) Argumentos baseados na Estru-
tura do Real. A sua estrutura está ba-
seada em fatos reais. As conclusões, por 
este motivo, têm implícita a ideia que são 
suscetíveis de serem confirmadas.
Exemplo: Existem crimes que destro-
em vidas humanas, logo os seus autores 
devem ser castigados de acordo com a na-
tureza dos seus atos.
c) Argumentos que fundam a Es-
trutura do Real. Sua estruturação está 
centrada em princípios universais, que 
se supõem estruturarem a realidade. As 
conclusões decorrem destes princípios, 
impondo-se aparentemente como neces-
sárias. Este tipo de raciocínio parte de ca-
sos conhecidos que são assumidos como 
modelos ou regras gerais. A argumenta-
ção tem por objetivo passar destes casos 
particulares para uma generalização dos 
exemplos. 
Exemplo: A Igualdade de todos os cida-
dãos perante a Lei é um princípio sagrado 
da Justiça e da coesão social; sem o respei-
to por este princípio, qualquer sociedade 
desagrega-se.
1.3 Dialética: tese, antítese 
e síntese
A tese é uma afirmação ou situação 
inicialmente dada. A antítese é uma opo-
sição à tese. Do conflito entre tese e antí-
tese surge a síntese, que é uma situação 
nova que carrega dentro de si elementos 
resultantes desse embate. A síntese, en-
tão, torna-se uma nova tese, que contras-
ta com uma nova antítese gerando uma 
nova síntese, em um processo em cadeia 
infinito.
1.3.1 Formas de argumentação
a) Argumentação por citação: sempre 
que queremos defender uma ideia, procu-
ramos pessoas ‘consagradas’, que pensam 
como nós acerca do tema em evidência. 
Apresentamos no corpo de nosso texto 
a menção de uma informação extraída de 
outra fonte. O trecho citado deve estar de 
acordo com as ideias do texto, assim, tal 
estratégia poderá funcionar bem. 
b) Argumentação por comprova-
ção: a sustentação da argumentação se 
dará a partir das informações apresenta-
das (dados, estatísticas, percentuais) que 
a acompanham. Esse recurso é explorado 
quando o objetivo é contestar um ponto 
de vista equivocado.
c) Argumentação por raciocínio ló-
gico: a criação de relações de causa e efei-
to é um recurso utilizado para demonstrar 
que uma conclusão (afirmada no texto) é 
necessária, e não fruto de uma interpre-
10 11
tação pessoal que pode ser contestada.
1.4 Meios de convencimen-
to
A busca por informações é fundamen-
tal no mundo atual para as organizações 
ou para as pessoas propriamente ditas, 
logo, em diversos casos, temos notícias 
sobre novos indicadores estatísticos, ta-
xas de juros e índices de preços, sendo 
que alguns são corretos ou legítimos en-
quanto que outros são incorretos e ilegí-
timos. Tal fato está ligado aos meios de 
convencimento, sendo os argumentos o 
que originam a falácia ou sofisma. Dessa 
forma, de acordo com Martins (2013), de-
fine-se premissa e termo como segue. 
 Premissa: é uma fórmula conside-
rada hipoteticamente verdadeira, dentro 
de uma dada inferência.Esta se constitui 
de duas partes: uma coleção de premis-
sas, e uma conclusão. Premissa, em ver-
dade, significa a proposição, o conteúdo, 
as informações importantes que servem 
de alicerce para o raciocínio, para um es-
tudo que levará a uma conclusão. 
 Termo: considerando um sistema 
lógico, temos que um termo é um nome 
associado a um objeto do universo de dis-
cussão. 
 Falácias Lógicas: são considera-
das erros de raciocínio ou de argumen-
tação, erros estes que podem ser visua-
lizados e corrigidos por pensadores que 
primam pela prudência. De acordo com 
Bispo (2011), as falácias são divididas em:
 falácia do homem espantalho 
– consiste em definir um termo para van-
tagem própria, utilizando posições defini-
das por um opositor. Este tipo de falácia é 
muito utilizado no ramo político;
 falácia de várias perguntas – 
muito utilizada no âmbito do direito pelos 
advogados em ocasiões oficiais, ao fazer 
uma pergunta que em verdade é múltipla, 
ou seja, uma pergunta que vale por duas 
ou mais perguntas, a qual não caberia 
como resposta um sim ou um não. Exem-
plificando, “Já parou de bater na sua fi-
lha?” Note que aqui, tal pergunta pode ser 
desdobrada em: “Alguma vez já bateu na 
sua filha?” e “Bate atualmente?”;
 falácia da inversão dos quanti-
ficadores – para este tipo de falácia, va-
mos observar o seguinte exemplo: “Todas 
as pessoas têm uma mãe, então, existe 
alguém que é mãe de todas as pessoas”.
 
Figura 02: Termos utilizados na Lógica. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
1.5 Elaborando a solução de 
problemas lógicos e mate-
máticos 
Sabemos que a tomada de decisões é 
levada a cabo em todos os aspectos da 
vida e em qualquer altura. Você com cer-
10 11
teza já se deparou com uma situação pro-
blema, seja ela mais simples ou mais com-
plexa. Ou seja, em algum momento teve 
que tomar a decisão acerca da resolução 
de um problema. Você saberia descrever o 
que seria uma solução? Saberia descrever 
o primeiro passo para a resolução de um 
problema? Saberia caracterizar as várias 
faces de problemas que temos? Entende 
perfeitamente o grau de complexidade de 
um problema qualquer? 
Primeiramente, deve-se entender o 
conceito de decisão. Para tal, decisão é 
um termo do latim decisio, a decisão é uma 
determinação ou resolução que se toma 
acerca de uma determinada coisa. Geral-
mente, a decisão supõe iniciar ou pôr fim a 
uma situação; isto é, impõe uma mudança 
de estado. Os especialistas definem a de-
cisão como sendo o resultado de um pro-
cesso mental-cognitivo de uma pessoa ou 
de um grupo de indivíduos. Conhece-se 
como tomada de decisões ao processo 
que consiste em optar por uma entre vá-
rias alternativas. Na visão organizacional 
das empresas, a tomada de decisões cos-
tuma ter recurso a metodologias quanti-
tativas (com estudos de mercado, ferra-
mentas de raciocínio lógico, estatísticas, 
técnicas financeiras, entre outros) para 
reduzir a margem de erro. Salientamos 
que existem várias definições e conceitos 
de decisão, mas uma que exprime bem a 
forma como será tratada aqui diz que uma 
decisão é um curso de ação escolhido pela 
pessoa, como o meio mais efetivo à sua 
disposição para alcançar os objetivos pro-
curados, ou seja, para resolver o problema 
que a incomoda.
Atualmente, o nosso universo de vivên-
cia é cada vez mais globalizado, ou seja, 
temos que as organizações, de acordo 
com a concorrência contínua, acirrada e 
até mesmo desleal, sejam elas no âmbito 
público ou privado, querem a contratação 
de profissionais que consigam raciocinar 
de maneira crítica em vista dos diferen-
tes problemas que surgem no decorrer de 
suas vidas sociais e profissionais, tornan-
do-se, dessa forma, mais dinâmicos e ar-
gumentativos com base em critérios e em 
princípios logicamente validados. Dessa 
forma, é muito importante o entendimen-
to dos tipos de problemas, bem como, os 
passos lógicos para a resolução e/ou en-
caminhamento da solução dos mesmos.
1.6 Problemas
O que seria um problema? É evidente 
que temos algumas frases populares que 
fazem parte do nosso mundo atual. Quem 
nunca ouviu? 
Que falta de sorte! Justo agora fura 
o pneu do meu automóvel!
Algum problema, meu filho!
É, tenho que pensar e muito de 
como vou sair dessa situação agora. 
Grosso modo, um problema pode ser 
encarado como qualquer situação que 
exija o pensar do indivíduo para levar a 
sua solução. Uma exigência atual do mun-
do globalizado é por gestores e/ou ad-
ministradores cada vez mais dinâmicos e 
completos, neste sentido, “o pensar pro-
dutivamente” é importante e, para isso, 
nada melhor do que estar familiarizado 
com situações problemas que os envol-
vam, os desafiem e os motivem a querer 
resolvê-las. Consequentemente, a reso-
12 13
lução de problemas tem sido reconhecida 
como uma metodologia de raciocínio fun-
damental, logo, é necessário o desenvol-
vimento da habilidade de elaborar um ra-
ciocínio lógico e fazer o uso inteligente e 
eficaz dos recursos disponíveis, para que 
sejam propostas boas soluções aos pro-
blemas comuns do cotidiano. 
1.7 Classificando os proble-
mas
Com relação aos tipos de problemas, 
de acordo com Dante (2000), podemos 
classificá-los em: exercícios de reconhe-
cimento, exercícios de algoritmos, proble-
mas padrão, problemas processo ou heu-
rísticos e problemas de aplicação. Cabe 
ressaltar que todos eles demandam de ra-
ciocínio estruturado para resolução, bem 
como, de uma sequência de passos para a 
sua resolução.
 
Vejamos a descrição e exemplos de 
cada um deles a seguir.
 Exercícios de reconhecimento: seu 
objetivo é fazer com que o indivíduo reco-
nheça, identifique ou lembre um conceito, 
um fato específico, uma definição, uma 
propriedade, entre outros.
Por exemplo:
1) Dados os números 12, 15, 100, 
Figura 03: Classificação dos Problemas. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
12 13
1003, 1560 e 2070, quais são primos?
2) Qual é o sucessor de 1000?
3) Duas centenas equivalem a quan-
tas dezenas?
 Exercícios de algoritmos: são 
aqueles que podem ser resolvidos passo 
a passo, tendo como objetivo o de treinar 
a habilidade em executar um dado algorit-
mo. Lembrando que um algoritmo que é 
um termo muito utilizado na área compu-
tacional, é entendido como uma sequên-
cia lógica de passos.
Por exemplo:
1) Determinar o valor de [13 x 14) + 
20] ÷ 5.
2) Efetuar a soma: (1008 + 1140) – 
2004 + 70 x (30– 4) + 10.
3) Se 20 x 30 é igual a 600, dado n na-
tural podemos afirmar que o produto n x 
(n + 1) sempre é um múltiplo de 2?
 Problemas padrão: na sua reso-
lução temos o envolvimento de uma apli-
cação direta de um ou mais algoritmos 
anteriormente aprendidos e não exige 
qualquer estratégia. É interessante no-
tarmos que aqui, a solução do problema 
já está contida no próprio enunciado, e a 
tarefa básica é transformar a linguagem 
usual em uma linguagem matemática, 
identificando as operações ou algoritmos 
necessários para a sua resolução. Comu-
mente cobrado em problemas diversos de 
concursos. Eles podem ser divididos em 
problemas padrão simples e compostos.
Exemplificando:
1) (Simples) Numa classe existem 45 
meninos e 21 meninas. Quantos alunos 
existem na classe?
2) (Simples) Uma telha pesa 1 quilo-
grama então 1 telha e meia pesa quantos 
quilogramas?
3) (Composto) Carlos, Rodrigo e Ca-
etano possuem juntos 90 ingressos. Sa-
bendo que Carlos tem 32 ingressos e os 
outros dois possuem quantidades iguais, 
determine o número de ingressos de cada 
um.
 Problemas Processo: são proble-
mas em que a solução relaciona operações 
não contempladas no enunciado, sendo 
que, em geral, não podem ser traduzidos 
de forma direta para a linguagem mate-
mática e nem solucionados pela aplicação 
automática de algoritmos. Também sãocomumente reconhecidos pela nomencla-
tura problemas heurísticos. 
Exemplificando:
1) Em uma reunião de uma organiza-
ção existem 8 gestores. Se cada um tro-
car um aperto de mão com todos os outros 
gestores, quantos apertos de mão tere-
mos ao final desta reunião?
2) Eu, Carlos, tenho o dobro da idade 
que você tinha, quando eu tinha a idade 
que você tem, quando tiver a idade que eu 
tenho, a soma de nossas idades será 45 
anos. Quais são nossas idades atuais?
14 15
 Problemas de Aplicação: são 
problemas que apresentam situações di-
versas do dia a dia e que exigem o uso das 
ferramentas da Matemática para serem 
resolvidos. Comumente recebem a no-
menclatura de situações problema. Aqui, 
podemos citar ferramentas matemáticas 
simples até as mais complexas. 
Exemplificando, para realizar um rela-
tório, um gerente de uma empresa precisa 
saber qual é o gasto mensal, por colabora-
dor, que ele tem com a alimentação. Como 
podemos ajudá-lo? Neste caso, podería-
mos indagar: Quantos colaboradores da 
empresa almoçam na empresa diariamen-
te? E mensalmente? Quantos quilos de ar-
roz, macarrão, tomate, cebola, sal, entre 
outros, a empresa consome por mês? Qual 
o preço atual por quilo de cada um desses 
alimentos? Quanto se gasta de gás?
1.8 Resolvendo um proble-
ma – passos fundamentais 
Para descrevermos a solução de um 
problema, podemos nos pautar em uma 
metodologia que leva em consideração 
quatro etapas principais, que são: com-
preender o problema, elaborar um plano, 
executar um plano e fazer o retrospecto 
ou verificação. Tal metodologia, segundo 
Dante (2000), ou mais precisamente, tais 
etapas não são rígidas, fixas e intocáveis, 
pois a resolução de um problema é um 
processo dinâmico, sequencial, subjetivo 
e rico, não se limitando a seguir instru-
Quadro 01: Descrição das etapas de resolução de um problema.
Etapa O que pode ser feito?
Fonte: Adaptado pelo autor de Dante (2000).
Compreensão do problema
Elaboração de um Plano 
O que o problema quer? O que ele deseja?
Quais são as hipóteses e as condições do 
problema?
É possível fazer uma figura, um esquema ou 
um diagrama, ou ainda um fluxograma?
É possível simular a resposta?
Qual é o seu plano para a resolução do pro-
blema?
Quais estratégias você tentará desenvol-
ver?
Você se lembra de um problema semelhan-
te que pode ajudá-lo a resolver este? Já re-
solveu algo parecido?
14 15
Quadro 01: Descrição das etapas de resolução de um problema.
Etapa O que pode ser feito?
ções passo a passo, tudo depende do grau 
de complexidade do mesmo. Vejamos no 
Quadro 1, as principais características de 
cada uma dessas etapas.
Vejamos alguns exemplos que ilus-
tram os vários tipos de problemas.
Exemplo 01: Sabemos que 100 re-
presenta uma centena, enquanto que 20 
representa duas dezenas, sendo assim, 
quantas vezes 100 é maior do que 20, ou 
seja, uma centena é maior do que duas de-
zenas?
Solução: Primeiramente, devemos cal-
cular a diferença entre 100 e 20, ou seja, 
100 – 20 = 80, na sequência dividimos 80 
por 4, obtendo 80 : 20 = 4, portanto 100 
é 4 vezes maior que 20, ou na forma per-
centual, 100 é 400% maior que 20.
Elaboração de um Plano
Execução do Plano Anterior
Realização do retrospecto ou Verificação
Tente organizar os dados na forma tabular 
e gráfica.
Tente resolver o problema por partes.
Execute o plano elaborado, verificando-o 
passo a passo do mesmo.
Faça todos os cálculos indicados no plano de 
ação.
Execute todas as estratégias pensadas, ob-
tendo várias maneiras de resolver o mesmo 
problema.
Observe se a solução obtida está correta.
Existe um outro caminho para a resolução 
deste problema?
É possível utilizar o método empregado 
para resolver problemas semelhantes?
Fonte: Adaptado pelo autor de Dante (2000).
16 17
Exemplo 02: Um tijolo pesa um quilo 
mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e 
meio?
Solução: Neste caso, notemos que de 
acordo com os dados do problema, pode-
mos escrever que:
1tijolo = 1 kg + ½ tijolo 1tijolo – ½ tijolo 
= 1 kg ½ tijolo = 1kg se ½ tijolo pesa 1 kg, 
logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo 
e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 kg.
Exemplo 03: Um senhor na terceira 
idade tinha como única herdeira sua filha, 
que estava grávida, quando ele sentiu 
que a vida em breve lhe faltaria, decidiu 
então procurar um advogado e montar o 
seu testamento. Sendo assim, ele deixou, 
então, o seguinte testamento: “Deixo 1/3 
da minha fortuna para minha única filha 
e o restante para a criança que ela está 
esperando, se for homem; deixo 1/2 de 
minha fortuna para minha única filha e o 
restante para a criança que ela está espe-
rando, se for mulher.”
De acordo com o testamento dei-
xado pelo senhor, analise e julgue os 
itens a seguir em Verdadeiro (V) ou 
Falso (F).
( V ) Se a criança for um menino a ele 
caberá o dobro do que sua mãe receberá 
como herança.
( F ) Suponha que a filha do senhor deu 
à luz um casal de gêmeos. Dessa forma a 
herança deverá ser dividida em três par-
tes iguais pelos herdeiros do senhor.
( F ) Em qualquer caso a parte da mãe 
é menor do que a parte de seu(ua) filho(a).
1.9 Relacionando a lógica 
com a filosofia 
É sabido que a Lógica é uma ciência 
de índole Matemática e intensamente li-
gada à Filosofia, pois o pensamento é a 
manifestação do conhecimento, e que o 
conhecimento busca a verdade, sendo as-
sim, é preciso estabelecer algumas regras 
para que essa meta possa ser atingida. 
Dessa forma, segundo Bispo (2011), a 
Lógica é o ramo da Filosofia que cuida das 
regras do bem pensar, ou do pensar cor-
reto, sendo, portanto, um instrumento do 
pensar. Salienta-se que a aprendizagem 
da Lógica não constitui um fim em si. Ela 
só tem sentido enquanto meio de garantir 
que nosso pensamento proceda correta-
mente, a fim de chegar a conhecimentos 
verdadeiros. 
Podemos, então, dizer que a Lógica tra-
ta dos argumentos, isto é, das conclusões 
a que chegamos através da apresentação 
de evidências que a sustentam. O princi-
pal organizador da lógica clássica foi Aris-
tóteles, com sua obra chamada Organon. 
Ele divide a lógica em formal e material. 
Definição (Sistema Lógico), de acor-
do com Bispo (2011), um sistema lógico é 
um conjunto de axiomas e regras de infe-
rência que visam representar formalmen-
te o raciocínio válido. 
Diferentes sistemas de lógica formal 
16 17
foram construídos ao longo do tempo 
quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, 
quer em aplicações práticas na compu-
tação e em Inteligência artificial. Histori-
camente, Lógica é também a designação 
para o estudo de sistemas prescritivos de 
raciocínio, ou seja, sistemas que definem 
como se “deveria” realmente pensar para 
não errar, usando a razão, dedutivamente 
e indutivamente. 
A forma como as pessoas realmente 
raciocinam é estudado nas outras áreas, 
como na psicologia cognitiva. Como ci-
ência, a Lógica define a estrutura de de-
claração e argumento e elabora fórmulas 
através das quais estes podem ser codifi-
cados. 
Implícita no estudo da lógica está a 
compreensão do que gera um bom argu-
mento e de quais os argumentos que são 
falaciosos. A Lógica filosófica lida com 
descrições formais da linguagem natural. 
A maior parte dos filósofos assume que 
a maior parte do raciocínio “normal” pode 
ser capturada pela lógica, desde que se 
seja capaz de encontrar o método certo 
para traduzir a linguagem corrente para 
essa lógica. Note então que a Lógica For-
mal delineia um método organizado e cui-
dadoso de pensar que caracteriza qual-
quer investigação científica ou qualquer 
outra atividade de raciocínio.
1.10 Lógica Proposicional – 
aspectos fundamentais 
De acordo com Martins (2013), a lin-
guagem natural, com a qual nos expres-samos diariamente, é muito suscetível a 
ambiguidades e imprecisões. Existem fra-
ses não gramaticais que possuem sentido 
(por exemplo, anúncios de classificados 
no jornal) e frases perfeitamente grama-
ticais sem sentido ou com sentido múlti-
plo. Isso faz com que a linguagem não seja 
apropriada para o estudo das relações ló-
gicas entre suas sentenças. Sendo assim, 
no estudo da Lógica Matemática e Com-
putacional, utilizamos de uma linguagem 
formal. 
Definição (Linguagens Formais), de 
acordo com Bispo (2011), Linguagens 
Formais são objetos matemáticos, cujas 
regras de formação são precisamente 
definidas e às quais podemos atribuir um 
único sentido, sem ambiguidade. 
É interessante se observar que lingua-
gens formais podem ter diversos níveis de 
expressividade. Em termos gerais, quanto 
maior a expressividade, maior também a 
complexidade de se manipular essas lin-
guagens. Iniciaremos nosso estudo da 
lógica a partir de uma linguagem proposi-
cional, que tem uma expressividade limi-
tada, mas já permite expressar uma série 
de relações lógicas interessantes. Nesse 
contexto, uma proposição é um enuncia-
do ao qual podemos atribuir um valor ver-
dade (verdadeiro ou falso). 
É necessário lembrar que nem toda 
sentença pode possuir um valor verdade. 
Por exemplo, não podemos atribuir valor 
verdade a sentenças que se referem ao 
seu próprio valor verdade, com a senten-
ça “esta sentença é falsa”. Esse tipo de 
sentença é chamado de autorreferente e 
deve ser excluído da linguagem em ques-
tão, pois, se a sentença é verdadeira, en-
tão ela é falsa; por outro lado, se ela for 
18 19
falsa, então é verdadeira. 
A linguagem proposicional exclui sen-
tenças autorreferentes. Dessa maneira, a 
Lógica Proposicional Clássica nos permite 
tratar de enunciados aos quais podemos 
atribuir valor verdade (as proposições) e 
as operações que permite compor pro-
posições complexas a partir de proposi-
ções mais simples, como a conjunção “e”, a 
disjunção “ou”, a implicação “se...então...” 
e a negação “não”. A linguagem proposi-
cional não nos permite expressar relações 
sobre elementos de um conjunto, como as 
noções de “todos”, “algum” ou “nenhum”. 
Tais relações são chamadas de quantifica-
doras. 
1.11 Proposições e princí-
pios fundamentais 
 Definição (Proposição), de acordo com 
Martins (2013), define-se proposição ou 
sentença como sendo todo o conjunto de 
palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento no sentido completo.
As proposições transmitem pensamen-
tos, isto é, afirmam fatos ou exprimem ju-
ízos que formamos a respeito de determi-
nados entes.
 Vejamos alguns exemplos de pro-
posições como segue:
a) A Lua é um satélite da Terra.
b) Toda função é uma relação.
c) Goiânia é a capital de Goiás.
d) > .
e) O conjunto dos números primos é 
finito.
f) O conjunto dos números racionais é 
enumerável.
g) sen(90°) = 1.
A Lógica Matemática adota como re-
gras fundamentais do pensamento os 
dois seguintes princípios ou axiomas. Res-
saltamos que um Axioma é uma afirmação 
aceita como verdadeira sem demonstra-
ção. 
Tais princípios são:
Princípio 01: (Princípio da Não Contra-
dição) – uma proposição não pode ser ver-
dadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Princípio 02: (Princípio do Terceiro Ex-
cluído) – toda a proposição ou é verdadei-
ra ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um 
destes casos e nunca um terceiro.
18 19
Segundo Bispo (2011), por conta deste 
segundo princípio, fala-se que a Lógica 
Matemática é uma Lógica Bivalente. 
Por exemplo, as proposições citadas ante-
riormente são todas verdadeiras, contra-
riamente das proposições seguintes, que 
são falsas. 
(a) Luís Américo descobriu o Brasil.
(b) Einstein escreveu os Lusíadas.
(c) O conjunto dos números reais é fi-
nito.
(d) é um número inteiro.
(e) O número é irracional.
(f) A constante de Euler e é um núme-
ro irracional.
(g) Carlos é mortal.
(h) Os números transmitem conclu-
sões do mercado.
(i) A sequência dos números primos é 
infinita.
(j) O conjunto dos números irracionais 
é finito.
(k) tg( ) = 1.
Sendo assim, percebemos que as pro-
posições são expressões a respeito das 
Figura 04: Características obrigatórias de uma proposição. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
20 21
quais podemos dizer que são verdadeiras 
ou falsas.
 
1.12 Valores lógicos das pro-
posições 
 Definição (Valor Lógico), de acordo com 
Martins (2013), define-se valor lógico de 
uma proposição a verdade se a proposição 
é verdadeira e a falsidade se a proposição 
é falsa.
Ressalta-se que os valores lógicos ver-
dade e falsidade de uma proposição de-
signam-se abreviadamente pelas letras 
V e F, respectivamente. Dessa maneira, o 
que os princípios da não contradição e do 
terceiro excluído afirmam é que:
Importante! Toda a proposição tem 
um, e um só, dos valores V ou F.
Consideremos, por exemplo, as se-
guintes proposições:
a) A proposição “O mercúrio é mais 
pesado que a água” tem valor lógico ver-
dade (V).
b) A proposição “O Sol gira em torno 
da Terra” tem valor lógico falsidade (F).
c) A cidade de São Paulo é a capital do 
estado de São Paulo tem valor lógico ver-
dade (V).
d) O número 2 é o único número par 
primo tem valor lógico verdade (V).
Figura 05: Caracterização das proposições.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
20 21
1.13 Proposições – simples 
e compostas 
De acordo com Martins (2013), po-
de-se classificar as proposições da se-
guinte forma:
 Simples ou Atômicas 
e 
 Compostas ou Moleculares
Definição (Proposição Simples), de 
acordo com Martins (2013), chama-se de 
proposição simples ou proposição atômi-
ca aquela que não contém nenhuma outra 
proposição como parte integrante de si 
mesma.
Além disso, segundo Martins (2013), as 
proposições simples são geralmente de-
signadas pelas letras latinas minúsculas: 
p, q, r, s,..., chamadas letras proposicio-
nais. 
Vejamos alguns exemplos de pro-
posições simples:
p: Carlos é careca.
q: Pedro é estudante.
r: O número 25 é quadrado perfeito.
Figura 06: Classificação das proposições.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
22 23
s: Recife é a capital de Pernambuco. 
Definição (Proposição Composta), 
de acordo com Martins (2013), chama-se 
de proposição composta ou proposição 
molecular, aquela formada pela combina-
ção de duas ou mais proposições. 
Segundo Martins (2013), as proposi-
ções compostas são geralmente designa-
das pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, 
S,..., também chamadas letras proposicio-
nais. 
Vejamos alguns exemplos de pro-
posições compostas:
P: Carlos é careca e Pedro é estudante.
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudan-
te.
R: Se Carlos é careca então é infeliz.
Note que cada uma delas é formada por 
duas proposições simples. As pro-
posições compostas também costumam 
serem chamadas fórmulas proposicionais 
ou apenas fórmulas. Quando interessa 
destacar ou explicar que uma proposição 
composta P é formada pela combinação 
das proposições simples p, q, r, ..., escre-
vemos:
P(p, , r, ...)
As proposições simples e as proposi-
ções compostas também são chamadas 
respectivamente átomos e moléculas. 
Deve-se ressaltar ainda que as proposi-
ções componentes de uma proposição 
composta podem ser, elas mesmas, pro-
posições compostas.
1.14 Conectivos: o que são? 
Definição: de acordo com Martins 
(2013), conectivos são as palavras que 
usamos para formar novas proposições a 
partir de outras. 
Dessa forma, por exemplo, nas seguin-
tes proposições compostas:
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo 
perfeito.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é 
isósceles. 
R: Não está chovendo. Salientamos que 
naliteratura encontramos que o “não” é 
conhecido como modificador.
S: Se Jorge é engenheiro, então sabe 
Matemática. 
T: O triângulo ABC é equilátero se e so-
mente se é equiângulo. 
22 23
Todos estes exemplos, são de conec-
tivos usuais da Lógica Matemática (pala-
vras grifadas em negrito), isto é, “e” , “ou” 
, “não” , “se ... então” , “... se e somente 
se ...”.
 
Figura 07: Conectivos usuais da Lógica Matemática.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
1.15 Tabela Verdade: o que 
são? 
Vimos que segundo o Princípio do Ter-
ceiro Excluído, toda proposição simples 
p é verdadeira ou falsa, isto é, tem valor 
lógico V(verdade) ou o valor lógico F (falsi-
dade), ou seja, podemos escrever de for-
ma simples a seguinte disposição tabular.
P
V
F
Figura 08: Valores lógicos possíveis re-
lacionados a uma proposição p.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Em se tratando de uma proposição 
composta, a determinação do seu valor 
lógico, conhecidos os valores lógicos das 
proposições simples componentes, faz-se 
com base no seguinte princípio: “O valor 
lógico de qualquer proposição composta 
depende unicamente dos valores lógicos 
das proposições simples componentes, 
ficando por eles univocamente determi-
nado.”.
24 25
Admitindo tal princípio, para aplicá-lo 
na prática à determinação do valor lógico 
de uma proposição composta dada, re-
corremos quase sempre a um dispositivo 
denominado tabela verdade, na qual figu-
ram todos os possíveis valores lógicos da 
proposição composta correspondentes 
a todas as possíveis atribuições de valo-
res lógicos às proposições simples com-
ponentes. Em verdade, segundo Martins 
(2013), a tabela verdade é um instrumen-
to utilizado para determinar os valores ló-
gicos das proposições compostas, a partir 
de atribuições de todos os possíveis valo-
res lógicos das proposições simples com-
ponentes. Sendo assim, por exemplo, no 
caso de uma proposição composta cujas 
proposições simples componentes são p e 
q, as únicas possíveis atribuições de valo-
res lógicos a p e a q são: 
 p q
 1 V V
 2 V F
 3 F V
 4 F F
Deve-se notar que os valores lógicos V 
e F se alternam dois em dois para a primei-
ra proposição p e de um em um para a se-
gunda proposição q, e que, além disso, VV, 
VF, FV e FF são os arranjos binários com 
repetição dos dois elementos V e F. 
Para uma proposição composta cujas 
proposições simples componentes são p, 
q e r, as únicas possíveis atribuições de va-
lores lógicos a p, a q e a r são mostrados 
abaixo:
 p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
Analogamente, observa-se que os va-
lores lógicos V e F se alternam de quatro 
em quatro para a primeira proposição p, 
de dois em dois para a segunda proposição 
q e de um em um para a terceira proposi-
ção r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, 
VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são os arranjos 
ternários com repetição dos dois elemen-
tos V e F.
1.16 Notações dos valores 
lógicos na tabela verdade 
Segundo Martins (2013), o valor lógico 
de uma proposição simples p será indica-
do por V(P). Sendo assim, exprimimos que 
p é verdadeira (V), escrevendo V(p) = V. 
Analogamente, exprimimos que p é fal-
sa (F), escrevendo V(p) = F. Vejamos o se-
guinte exemplo ilustrativo, levando em 
conta as seguintes afirmações:
p: O Sol é verde.
q: Um hexágono tem 9 diagonais.
24 25
r: 2 é raiz da equação x + 3.x – 4 = 0.
Logo, temos que: 
V(p) = F, V(q) = V, V(r) = F
 
Analogamente, o valor lógico de uma 
proposição composta P é indicado por 
V(P).
Resumindo, podemos interpretar uma 
tabela verdade, ou tabela de verdade ou 
tabela veritativa como um tipo de tabela 
matemática usada em Lógica Matemática 
e Computacional para determinarmos se 
uma fórmula é válida ou se um sequente 
é correto. As tabelas-verdade derivam do 
trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce 
e outros da década de 1880, e tomaram a 
forma atual em 1922, através dos traba-
lhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. 
A seguir, são apresentadas algumas figu-
ras de processos diversos associados às 
tabelas verdade relacionadas. 
Figura 09: Representação de uma tabela-verdade.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
26 27
Figura 10: Representação de uma tabela-verdade.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
26 27
1.17 Linguagem simbólica e 
linguagem corrente 
Segundo Martins (2013), quando uma 
proposição é descrita em termos de pa-
lavras, dizemos que a mesma está em lin-
guagem corrente, enquanto que se uma 
proposição for caracterizada em termos 
dos símbolos lógicos, dizemos que ela 
está em linguagem simbólica. 
Exemplo: Traduzindo para a lin-
guagem corrente. Sendo as proposi-
ções p: Jorge é rico, q: Carlos é feliz, 
então podemos escrever:
a) q p
Se Carlos é feliz, então Jorge é rico. 
b) q ~p
Carlos é feliz se e somente se Jorge 
não é rico.
c) ~p q
Se Jorge não é rico, então Carlos é 
feliz.
Exemplo: Traduzindo para a linguagem 
simbólica. Sendo as proposições p: Marcos 
Figura 11: (a) Tabela-verdade e (b) Circuito para somador completo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
28 29
é alto, q: Marcos é elegante, então po-
demos escrever:
a) Marcos é alto e elegante.
p q 
b) Marcos é alto, mas não é ele-
gante.
p ~ q
c) Não é verdade que Marcos é 
baixo ou elegante.
~ (~ p q)
1.18 Operações lógicas so-
bre proposições
Da mesma forma com que trabalhamos 
com a soma e adição entre números, mul-
tiplicação e divisão de números, em várias 
situações com relação às proposições, 
efetuamos muitas vezes certas opera-
ções, as quais são chamadas de operações 
lógicas. Essas operações obedecem a re-
gras de um cálculo, denominado cálculo 
proposicional, muito semelhante ao que 
acontece no contexto da aritmética sobre 
números. Aqui, estudaremos interessa-
dos em estudar as operações lógicas fun-
damentais, que são: negação, conjunção, 
disjunção, disjunção exclusiva, condicio-
nal e bicondicional.
 
Figura 12: Principais operações lógicas fundamentais.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
28 29
Definição (Negação), segundo Martins 
(2013), chama-se negação de uma pro-
posição p à proposição representada por 
“não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) 
quando p é falsa e a falsidade (F) quando 
p é verdadeira.
Dessa maneira, “não p” tem o valor ló-
gico oposto daquele de p. Em símbolos, a 
negação de p é indicada com a notação “~ 
p”, onde lemos: “não p”. O valor lógico da 
negação de uma proposição é, portanto, 
definido pela seguinte tabela-verdade 
construída de forma muito simples:
 p ~ p
 V F
 F V
Ou seja, pelas igualdades:
~V = F, ~F = V
e
V(~ p) = ~ V(p)
Vejamos alguns exemplos ilustrati-
vos.
a) p: 3 + 3 = 6 (V) e ~ p: 
8 + 3 5 (F)
b) q: 1 < 3 (F) e ~ q: 9 
> 3 (V)
c) r: Roma é a capital da França (F) e 
~ q: Roma não é a capital da França (V) 
Na linguagem comum, a negação efe-
tua-se, nos casos mais simples, antepon-
do o advérbio “não” ao verbo da proposi-
ção dada. Assim, por exemplo, a negação 
da proposição:
p: O Sol é uma estrela é ~ 
p: O Sol não é uma estrela
Outra maneira de efetuar a negação 
consiste em antepor à proposição dada 
expressões, tais como “não é verda-
de que”, “é falso que”. Desta forma, por 
exemplo, a negação da proposição:
q: Carlos é engenheiro é ~ 
q: Não é verdade que Carlos é enge-
nheiro
Ou
~ q: É falso que Carlos é engenheiro
Devemos notar ainda, que a negaçãode “Todos os homens são elegantes” é 
“Nem todos os homens são elegantes” e a 
de “Nenhum homem é elegante” é “Algum 
homem é elegante”.
Definição (Conjunção), de acordo com 
Martins (2013), chama-se conjunção de 
duas proposições p e q à proposição re-
presentada por “p e q”, cujo valor lógico é 
a verdade (V) quando as proposições p e 
q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) 
nos demais casos.
Em símbolos, a conjunção de duas pro-
posições p e q é indicada pela notação: “p 
q”, onde lemos: “p e q”.
30 31
O valor lógico da conjunção de 
duas proposições é, portanto, defini-
do pela seguinte tabela-verdade:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ou seja, pelas igualdades:
V V = V, V F = F, F V = F, F F = F
e
V(p q) = V(p) V(q)
Vejamos alguns exemplos ilustrativos.
a) 



< )(52:
)(:
Vq
VbrancaéneveAp
 
 p ^ q: A neve é branca e 2 < 5 (V)
 V(p q) = V(p) V(q) = V V = V
b) 
 
 p ^ q: O enxofre é verde e 7 é um nú-
mero primo (F)
 V(p q) = V(p) V(q) = F V = F
c) 
 
p ^ q: CANTOR nasceu na Rússia e FER-
MAT era médico (F)
 V(p q) = V(p) V(q) = V F = F
d) 
 
 p ^ q: e (F)
 V(p q) = V(p) V(q) = F F = F
Definição (Disjunção), de acordo com 
Martins (2013), chama-se disjunção de 
duas proposições p e q à proposição re-
presentada por “p ou q”, cujo valor lógico 
é a verdade (V) quando ao menos uma das 
proposições p e q é verdadeira e a falsi-
dade (F) quando as proposições p e q são 
ambas falsas.
Em símbolos, a disjunção de duas pro-
posições p e q é indicada pela notação: “p 
q”, que se lê: “p ou q”.
O valor lógico da disjunção de duas pro-
posições é, portanto, definido pela se-
guinte tabela-verdade: 
 p q p ^ q
 V V V
 V F V
 F V V
 F F F



)(7:
)(:
Vprimonúmerouméq
FverdeéenxofreOp



)(:
)(:
FmédicoeraFERMATq
VRússiananasceuCANTORp




=
>
)(0
2
:
)(4:
Fsenq
Fp
π
π
30 31
Ou seja, pelas igualdades:
V V = V, V F = V, F V = V, F F = F
e
V(p q) = V(p) V(q)
Vejamos alguns exemplos ilustrati-
vos.
a) 



=− )(549:
)(:
Vq
VFrançadacapitalaéParisp
 
 p v q: Paris é a capital da França ou 
9 – 4 = 5 (V)
 V(pvq) = V(p) v V(q) = V v V = V
b) 



= )(3:
)(:
Fq
VLusíadasosescreveuCAMÔESp
π
 
 p v q: CAMÔES escreveu os Lusíadas 
ou = 3 (V)
 V(pvq) = V(p) v V(q) = V v F = V
c) 



)(7/5:
)(:
Vprópriafraçãoumaéq
FRússiadacapitalaéRomap
 
 p v q: Roma é a capital da Rússia e 5/7 
é uma fração própria (V)
 V(pvq) = V(p) v V(q) = F v V = V
d) 
 



=− )(11:
)(:
Fq
FBahiananasceuGOMESCARLOSp
 
 p v q: CARLOS GOMES nasceu na Bahia 
ou 11 =− (F)
 V( p v q ) = V(p) v V(q) = F v F = F
Definição (Disjunção Exclusiva), con-
forme Martins (2013), chama-se disjun-
ção exclusiva de duas proposições p e q a 
proposição representada simbolicamente 
por “p q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, 
mas não ambos”, cujo valor lógico é a ver-
dade (V) somente quando p é verdadeira 
ou q é verdadeira, mas não quando p e q 
são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) 
quando p e q são ambas verdadeiras ou 
ambas falsas.
Na linguagem comum, a palavra “ou” 
tem dois sentidos. Assim, por exemplo, 
consideremos as duas seguintes proposi-
ções compostas:
P: Carlos é médico ou professor.
Q: Mário é alagoano ou gaúcho.
Na proposição P se está a indicar que 
uma pelo menos das proposições “Carlos 
é médico”, “Carlos é professor” é verda-
deira, podendo ser ambas verdadeiras: 
“Carlos é médico e professor”. Porém, na 
proposição Q, se está a precisar que uma 
e somente uma das proposições “Mário é 
alagoano”, “Mário é gaúcho” é verdadeira, 
pois, não é possível ocorrer “Mário é ala-
32 33
goano e gaúcho”. Dessa forma, a propo-
sição P é a disjunção inclusiva ou apenas 
disjunção das proposições simples “Carlos 
é médico”, “Carlos é professor”, isto é:
P: Carlos é médico Carlos é pro-
fessor
Ao passo que a proposição Q é a disjun-
ção exclusiva das proposições simples 
“Mário é alagoano”, “Mário é gaúcho’’, isto 
é:
Q: Mário é alagoano Mário é gaú-
cho 
Sendo assim, o valor lógico da disjunção 
exclusiva de duas proposições é definido 
pela seguinte tabela-verdade:
 p q p ∨ q
 V V F
 V F V
 F V V
 F F F
Ou seja, pelas igualdades:
V ∨ V = F, V ∨ F = V, F ∨ V = V, F ∨ F = V
e
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q)
Definição (Condicional), conforme 
Martins (2013), chama-se proposição con-
dicional ou apenas condicional uma pro-
posição representada por “se p então q”, 
cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso 
em que p é verdadeira e q é falsa e a ver-
dade (V) nos demais casos.
Em símbolos, a condicional de duas pro-
posições p e q é indicada pela notação: “p 
q”, que também de uma de duas maneiras:
(i) p é condição suficiente para q.
(ii) q é condição necessária para p.
Além disso, na condicional “p q”, dize-
mos que p é o antecedente e q é o conse-
quente. O símbolo “ ” é denominado sím-
bolo de implicação.
O valor lógico da condicional de 
duas proposições é, portanto, defini-
do pela seguinte tabela-verdade:
 p q p∨ q 
 V V V
 V F F
 F V V
 F F V
Ou seja, pelas igualdades:
V → V = V, V → F = F, F → V = V, F → 
F = V
e
V(p → q) = V(p) → V(q)
Importante! Portanto, vemos que 
uma condicional é verdadeira todas 
as vezes que o seu antecedente é uma 
proposição falsa.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos.
32 33
 a) 



)(:
)(:
Vrealnúmerouméq
VdueloemmorreuGALOISp
π
 
 p → q: Se GALOIS morreu em duelo, 
então é um número real (V)
 V(p q) = V(p) → V(q) = V → V = V
b) 



)(:
)(31:
FplanaéTerraAq
VdiastemmaiodemêsOp
 
 p → q: Se o mês de Maio tem 31 dias, 
então a Terra é plana (F)
 V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = V
c) 



)(:
)(:
VConjuntosdosTeoriaacriouCANTORq
FLusíadasosescreveuDANTEp
 
 p → q: Se DANTE escreveu os Lusí-
adas, então CANTOR criou a Teoria dos 
Conjuntos (V)
 V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V
d) 
 



)(9:
)(:
FmesestemanoOq
FCearánonasceuDUMONTSANTOSp
 p → q: Se SANTOS DUMONT nasceu 
no Ceará, então o ano tem 9 meses (V)
 V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V
Importante! Uma condicional p q não 
afirma que o consequente q se deduz ou 
é consequência do antecedente p. Assim, 
por exemplo, as condicionais: 7 é um nú-
mero ímpar Brasília é uma cidade; 3 + 5 = 
9 → SANTOS DUMONT nasceu no Ceará; 
não estão a afirmar, de modo nenhum, 
que o fato de “Brasília ser uma cidade” se 
deduz do fato de “7 ser um número ímpar” 
ou que a proposição “SANTOS DUMONT 
nasceu no Ceará” é consequência da pro-
posição “3 + 5 = 9”. O que uma condicional 
afirma é unicamente uma relação entre os 
valores lógicos do antecedente e do con-
sequente de acordo com a tabela-verdade 
anterior.
Definição (Bicondicional), conforme 
Martins (2013), chama-se proposição bi-
condicional ou apenas bicondicional uma 
proposição representada por “p se e so-
mente se q”, cujo valor lógico é a verdade 
(V) quando p e q são ambas verdadeiras 
ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos de-
mais casos.
Em símbolos, a bicondicional de duas 
proposições p e q é indicada pela notação: 
“p q”, que também de uma de duas manei-
ras:
(i) p é condição necessária e sufi-
ciente para q.
(ii) q é condição necessária e su-
ficiente parap.
34 35
O valor lógico da bicondicional de 
duas proposições é, portanto, defini-
do pela seguinte tabela-verdade:
 p q p ↔ q
 V V V
 V F F
 F V F
 F F V
Ou seja, pelas igualdades:
V ↔ V = V, V ↔ F = F, F ↔ V = F, F ↔ 
F = V
e
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q)
Importante! Portanto, vemos que uma 
bicondicional é verdadeira somente quan-
do também o são as duas condicionais: p 
↔ q e q ↔ p.
Vejamos alguns exemplos ilustrati-
vos.
 a) 



)(:
)(:
VbrancaéneveAq
VEuropanaficaRomap
 
 p ↔ q: Roma fica na Europa se e so-
mente se a neve é branca (V)
 V(p ↔ q) = V(p)↔ V(q) = V ↔ V = V
b) 




= )(3
4
:
)(:
Ftgq
VPortugaldecapitalaéLisboap
π
 
 p ↔ q: Lisboa é a capital de Portugal 
se e somente se 3
4
=
πtg (F)
 V(p↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V↔ F = F
c) 



)(:
)(:
VenforcadofoiTIRADENTESq
FBrasilodescobriuGAMADAVASCOp
 
 p ↔ q: VASCO DA GAMA descobriu 
o Brasil se e somente se TIRADENTES en-
forcado (F)
 V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F
d) 



)(2:
)(:
Fracionalnúmerouméq
FplanaéTerraAp
 
 p ↔ q: A Terra é plana se e somente 
se 2 é um número racional (V)
 V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V
1.19 Caracterizando a tabe-
la verdade de uma proposi-
ção composta 
Se considerarmos uma série de propo-
34 35
sições simples p, q, r, s,..., podemos com-
biná-las com a utilização dos conectivos 
lógicos: ~, ↔→∨∧ ,,, . Além disso, vimos 
que podemos construir proposições com-
postas, 
como por exemplo:
P(p, q) = ~ p (p q)
Q(p, q) = (p ↔ ~q) ∧ q
R(p, q, r) = (p → ~q ∨ r) ~(q ∨ (p ↔ ~ 
r))
Dessa maneira, se utilizarmos as tabe-
las-verdade das operações lógicas funda-
mentais:
~ p, p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q
É possível construirmos uma tabela-
-verdade correspondente a qualquer pro-
posição composta dada, tabela-verdade 
esta que mostrará exatamente os casos 
em que a proposição composta será ver-
dadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, 
como é sabido, que o seu valor lógico só 
depende dos valores lógicos das proposi-
ções simples componentes. Salientamos 
que primeiramente, para a construção de 
uma tabela-verdade para uma dada com-
posição composta, vamos discutir com re-
lação ao número de linhas desta nova ta-
bela. Sabemos que o número de linhas da 
tabela-verdade de uma proposição com-
posta depende do número de proposições 
simples que a integram, sendo dado pelo 
seguinte Teorema 01 abaixo.
Teorema 01 (Número de Linhas da 
Tabela-verdade de uma Proposição Com-
posta), segundo Martins (2013), a tabe-
la-verdade de uma proposição composta 
com n proposições simples componentes 
contém 2 linhas.
Para a construção prática da tabela-
-verdade de uma proposição com-
posta, iniciamos por contar o número de 
proposições simples que a integram. Se 
há n proposições simples componentes: p
1 , p 2 , p 3 ,..., p n , então a tabela-verdade 
contém 2 n linhas. Para isto, à 1 a propo-
sição simples p 1 atribuem-se 2
2n = 2 1−n 
valores V
 seguidos de 2 1−n valores F; à 2 a pro-
posição simples p 2 atribuem-se 4
2n = 2 
2−n valores V, 
seguidos de 2 2−n valores F, seguidos de 
2 2−n valores V, seguidos, finalmente, de 2 
2−n valores F; e assim por diante. Generi-
camente, a k-ésima proposição simples p 
k (k ≤ n) atribui-se alternadamente k
n
2
2 = 
2 kn− valores V
 seguidos de igual número de valores F. 
No caso, por exemplo, de uma proposição 
composta com cinco (5) proposições sim-
ples componentes, a tabela-verdade con-
tém 2 5 linhas, e os grupos de valores V e 
F se alternam de 16 em 16 para a 1 a pro-
posição simples p 1 , de 8 em 8 para a 2 a 
proposição simples p 2 , de 4 em 4 para a 3 
a proposição simples p 3 , de 2 em 2 para 
a 4 a proposição simples p 4 , e, enfim de 
1 em 1 para a 5 a proposição simples p 5 . 
Vejamos um exemplo ilustrativo.
Exemplo: Vamos construir a tabela-
36 37
-verdade da proposição composta:
P(p, q) = ~ (p ∧ ~ q)
Solução: Apresentaremos a constru-
ção da tabela-verdade solicitada no exem-
plo, de três modos diferentes.
1° Modo de Resolução: Formamos 
em primeiro lugar, o par de colunas cor-
respondentes às duas proposições sim-
ples componentes p e q. A seguir, forma-
mos a coluna para ~q. Depois, formamos a 
coluna para (p ~q). E, por fim, formamos a 
coluna relativa aos valores lógicos da pro-
posição composta dada.
p q ~q p ∧ ~q ~ (p ∧ ~ q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2° Modo de Resolução: formamos 
em primeiro lugar as colunas correspon-
dentes às duas proposições simples p e q. 
Em seguida, à direita, traçamos uma co-
luna para cada uma dessas proposições e 
para cada um dos conectivos que figuram 
na proposição composta dada.
p q ~ (p ∧ ~ q)
V V 
V F 
F V 
F F 
Depois, numa certa ordem, completa-
mos essas colunas, escrevendo em cada 
uma delas os valores lógicos convenien-
tes, no modo abaixo indicado:
p q ~ (p ∧ ~ q)
V V V V F F F
V F F V V V F
F V V F F F V
F F V F F V F
 4 1 3 2 1
Os valores lógicos da proposição com-
posta dada encontram-se na coluna com-
pletada em último lugar (Coluna 4). Por-
tanto, os valores lógicos da proposição 
composta dada correspondem a todas as 
possíveis atribuições dos valores lógicos V 
e F às proposições simples componentes 
p e q (VV, VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto 
é, simbolicamente:
P(VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V, 
P(FF) = V
Ou seja, de forma simplificada:
P(VV, VF, FV, FF) = VFVV
Note que a proposição P(p, q) associa 
a cada um dos elementos do conjunto U 
= {VV, VF, FV, FF} um único elemento do 
conjunto {V, F}, isto é, P(p, q) outra coisa 
não é que uma função de U em {V, F}:
P(p, q): U {V, F}
36 37
1.20 Tautologias, contradi-
ções e contingências 
Poderíamos iniciar a abordagem do 
nosso texto, indagando: “O que seria a Ló-
gica?” ou “O que seria o Raciocínio?
Definição (Tautologia), chamamos de 
tautologia ou proposição logicamente 
verdadeira, a toda proposição composta 
cujo valor lógico será sempre V (Verdade) 
independentemente dos valores lógicos 
das proposições simples que a compõem.
Definição (Contradição), chamamos de 
contradição ou proposição logicamente 
falsa, a toda proposição composta cujo 
valor lógico será sempre F (Falsidade), 
independentemente dos valores lógicos 
das proposições simples que a compõem.
Definição (Contingência), chamamos de 
contingência a uma proposição compos-
ta em que possui tanto valores lógicos V 
como F é dita uma contingencia, ou seja, 
uma contingência nada mais é do que uma 
proposição em que na última coluna com-
parece tanto V quanto F.
1.21 Implicação e equiva-
lência lógica 
Segundo Martins (2013), dizemos que 
uma proposição P implica logicamente 
ou apenas implica uma proposição Q, se 
Q é verdadeira (V) todas as vezes que P é 
verdadeira (V). Observe claramente, que 
dizermos que uma proposição P implica 
logicamente Q significa que todas as ve-
zes que nas respectivas tabelas verdade 
dessas duas proposições não aparece V 
na última coluna de P e F na última colu-
na de Q, com V e F em linha comum, isto 
é, não ocorre de modo simultâneo valores 
lógicos V e F para P e Q. 
Exemplo: Consideremos a tabela ver-
dade a seguir que nos mostra as proposi-
ções p, p q, e p q .
p q p ∨ q p ∨ q p ↔ q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F FV
De acordo com a mesma, percebemos 
que a proposição “p q” é verdadeira (V) so-
mente na linha 1 e, nesta linha, as propo-
sições “p q” e “p q” também são verdadei-
ras (V). Dessa forma, a partir da definição 
formal descrita anteriormente da implica-
ção, notamos que a proposição “p q” impli-
ca p q, bem como, “p q” implica p q, donde 
escrevemos em símbolos p q p q e p q p q.
De outra forma, segundo Martins 
(2013), fala-se que uma proposição P é 
logicamente equivalente ou apenas equi-
valente a uma proposição Q, se as tabe-
las verdade destas duas proposições são 
idênticas, ou seja, quando apresentam os 
mesmos valores lógicos respectivamente. 
Exemplo: Consideremos a tabela ver-
dade a seguir que nos mostra as proposi-
ções “p” e “~ ~ p”.
38 39
p ~ p ~ ~ p
V F V
F V F
Ou seja, este exemplo, nos mostra que 
a dupla negação equivale à afirmação. 
Dessa forma, a partir da definição formal 
descrita anteriormente da equivalência, 
notamos que as proposições p e (~ ~ p) 
são logicamente equivalentes ou equiva-
lentes, donde escrevemos em símbolos 
“p” ⇔ “~ ~ p”.
38
38 3939
UNIDADE 2 - Ferramentas matemáticas 
aplicadas ao raciocínio lógico
2.1 Aspectos Introdutórios 
Agora estaremos interessados em 
apresentar algumas ferramentas da Ma-
temática, da Matemática Aplicada para a 
resolução de problemas envolvendo o ra-
ciocínio lógico. Em verdade, temos diver-
sas ferramentas desde as mais simples 
até as mais complicadas no intuito da re-
solução de problemas diversos.
2.2 Grandezas Proporcio-
nais
Se uma propriedade X de uma substân-
cia está relacionada à outra propriedade Y 
e se uma depende da outra, dizemos que 
X é proporcional a Y. O símbolo α (alfa) indi-
ca a proporcionalidade. Ou seja, em geral 
dizemos que: duas grandezas são direta-
mente proporcionais quando, aumentan-
do (ou diminuindo) uma delas numa de-
terminada razão, a outra aumenta (ou 
diminui) nessa mesma razão.
Notação: X α Y (X é diretamente pro-
porcional a Y)
A densidade, por exemplo, é a constan-
te que relaciona a proporcionalidade dire-
ta entre a massa e o volume de qualquer 
substância. Por definição, sabemos que 
a densidade é igual à massa dividida pelo 
volume. Dessa forma:
d = 
m α V
(Massa é diretamente proporcional ao 
volume)
m = dV
(Massa é igual à densidade multiplicada 
pelo volume)
Contrariamente, temos também a pro-
porcionalidade inversa ou indireta, acon-
tecendo quando qualquer aumento de X, 
acarreta em uma diminuição proporcio-
nal em Y e vice-versa. Em geral, temos 
que: duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando, diminuindo (ou 
aumentando) uma delas numa determi-
nada razão, a outra diminui (ou aumenta) 
nessa mesma razão. Neste caso, a rela-
ção de pressão com o volume é uma rela-
ção inversamente proporcional, pois para 
uma mesma massa e mantida a mesma 
temperatura, um aumento de pressão irá 
acarretar em uma diminuição do volume e 
vice-versa.
P α 
V
1
(Pressão é inversamente proporcio-
nal ao volume)
Os problemas de proporcionalidade são 
resolvidos por Regra de Três, que se trata 
de uma maneira bastante prática e sim-
ples que discutiremos a seguir.
 
40 41
2.3 Regra de três simples 
Ao analisarmos grandezas proporcio-
nais, procuramos apenas reconhecer a 
natureza da dependência entre elas. Aqui, 
vamos ampliar nossa análise incluindo va-
lores numéricos envolvidos nessa depen-
dência e determinando os que são desco-
nhecidos. 
Para tal, vejamos a seguinte situação 
introdutória.
Situação Problema: Suponha que 
seja de seu interesse determinar a distân-
cia que um automóvel percorrerá em 8 ho-
ras, sabendo que, se a mesma velocidade 
for mantida durante 6 horas o carro per-
correrá 900 km. 
Primeiramente, para a resolução desta 
situação, duas questões são colocadas: a 
primeira é quanto à natureza da propor-
ção entre as grandezas envolvidas, e a 
segunda refere-se à montagem da pro-
porção. Ao conjunto de respostas dessas 
duas questões e à determinação do valor 
desconhecido denominamos de Regra de 
Três.
Solução: Neste caso, montamos a re-
gra de três da seguinte forma, dispondo 
as grandezas, bem como os valores envol-
vidos, de modo que possamos reconhecer 
a natureza da proporção e escrevê-la. 
Figura 13: Tipos de Regra de Três. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
 Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Tempo percorrido)
6
8
90
 X
 
40 41
Observemos que colocamos na mesma 
linha valores que se correspondem: 6 ho-
ras e 900 km, 8 horas e o valor desconhe-
cido. Além disso, utilizamos as setas para 
indicar a natureza da proporção entre as 
grandezas. Caso elas estejam no mesmo 
sentido, as grandezas são diretamente 
proporcionais. Caso estejam em sentidos 
contrários, são inversamente proporcio-
nais. Nesta situação introdutória, para 
estabelecer se as setas têm o mesmo 
sentido, é necessário respondermos à in-
dagação: Considerando a mesma velocida-
de, se aumentarmos o tempo, aumentará 
a distância percorrida? Como a resposta a 
essa questão é afirmativa, descobrimos 
que as grandezas são diretamente pro-
porcionais. 
Sendo assim, podemos escrever:
 
8
6
 x
900
 
Ou seja:
6.x = 8.900
x = 
6
7200
x = 1200
Portanto, concluímos que o automóvel 
percorrerá 1200 km em 8 horas. 
Notemos que claramente neste exem-
plo, temos uma Regra de Três do tipo 
Simples Direta.
Vejamos outra situação que ilustrare-
mos um exemplo envolvendo uma Regra 
de Três do tipo Simples Inversa.
Situação Problema: Suponha que um 
automóvel, com velocidade média de 90 
km/h, percorre um certo espaço durante 
8 horas. Qual seria o tempo necessário 
para percorrer o mesmo espaço com uma 
velocidade média de 60 km/h? 
Solução: Neste caso, podemos montar 
a seguinte disposição:
=
42 43
Agora devemos responder a seguinte 
indagação: Mantendo o mesmo espaço 
percorrido, se aumentarmos a velocida-
de, o tempo aumentará? A resposta é 
portanto Negativa. Vemos, então, que as 
grandezas envolvidas são inversamente 
proporcionais. Como a proporção é inver-
sa, será necessário invertermos a ordem 
dos termos de uma das colunas, tomando 
a proporção direta. Sendo assim, modi-
ficamos a disposição acima, reescre-
vendo agora da seguinte forma:
 Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade)
 Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade)
8
x
8
x
90
 X
60
90
 X
60
 
 
 
 
Logo, podemos escrever a proporção:
 
 x
8
 
 = 
Ou seja:
60.x = 8.90
x = 
x = 12
Vejamos mais alguns exemplos resol-
vidos envolvendo, Regra de Três Simples 
Direta e Regra de Três Simples Inversa.
Situação Problema: Numa determi-
nada indústria farmacêutica, 16 funcio-
nários com igual capacidade de trabalho 
realizam uma tarefa durante 45 dias. Com 
apenas 10 funcionários, em quantos dias 
será realizada a mesma tarefa?
Solução: Neste caso, podemos 
montar a seguinte disposição:
=
60
90
_
890
60
_
42 43
Notemos que colocamos as setas com 
sentidos contrários, já que se aumentar-
mos o número de funcionários, diminuirá 
o tempo necessário para efetuar a mesma 
tarefa. Então, temos uma proporção in-
versa, o que torna necessária uma inver-
são de termos em qualquer uma das colu-
nas. 
Sendo assim, escrevemos:
 
16 x
 10 5 
Daí, segue que:
 
 
 
Ou seja:
x = 72
Em outras palavras, a mesma tarefa 
será executada em 72 dias.
Situação Problema: Comprei 15 kg de 
feijão por R$ 360,00. Quantos quilos po-
deria comprar, se tivesse R$ 1.200,00? 
Solução: Neste caso, podemos 
montar a seguinte disposição:Grandeza 1 (Número de Funcionários) Grandeza 2 (Dias de Trabalho)
Grandeza 1 (Quantidade de feijão) Grandeza 2 (Preço)
16
10
15
x
45
 X
360
1200
 
 
 
 
=16 x10 45
_ _
 
44 45
A proporção entre as grandezas é dire-
ta, porque, se aumentarmos a quantidade 
de feijão que vamos comprar, aumentare-
mos o gasto. 
Dessa maneira, a proporção neces-
sária será :
 
 
Ou seja:
x = 50
Em outras palavras, poderia comprar 
50 kg de feijão.
Importante! Regra de Três Simples é um 
processo prático utilizado para resolver 
problemas que envolvam pares de gran-
dezas direta ou inversamente proporcio-
nais. Essas grandezas formam uma pro-
porção em que se conhecem três termos 
e o quarto termo é procurado.
2.4 Regra de três Composta 
Como resolver problemas semelhantes 
aos anteriores, mas apresentando mais 
de duas grandezas? Ou seja, vamos agora 
utilizar a Regra de Três para resolver al-
gumas situações em que nos deparamos 
com mais de duas grandezas, ou seja, es-
tão envolvidas mais de duas grandezas 
proporcionais. Como exemplo introdutó-
rio, analisemos a seguinte situação. 
Situação Problema: Numa empresa 
alimentícea, 10 máquinas trabalhando 20 
dias produzem 2000 unidades de deter-
minado produto. Quantas máquinas serão 
necessárias para produzir 1680 unidades 
deste produto em 6 dias?
Solução: Como nos exemplos ante-
riores, devemos verificar a natureza da 
proporção entre as grandezas e escrever 
essa proporção. Vamos utilizar o mesmo 
modo para dispor as grandezas e os valo-
res envolvidos.
=15 360 x 1200
_ _
Grandeza 1 (Torneiras) Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Uni 
 dades do produto)
10
x
20
6
2000
1680
 
 
44 45
Para estabelecermos o sentido das se-
tas, é necessário que fixemos uma das 
grandezas e relacioná-la com as outras. 
Suponhamos então que o número de dias 
seja fixo e, consideremos a seguinte in-
dagação: Aumentando o número de má-
quinas, aumentará o número de unidades 
produzidas do produto? A resposta a essa 
questão é Afirmativa. Dessa forma, as 
grandezas 1 e 3 são diretamente propor-
cionais.
Agora, suponhamos fixo o número de 
unidades produzidas do produto, respon-
demos a seguinte questão: Aumentando 
o número de máquinas, aumentará o nú-
mero de dias necessários para o trabalho? 
Neste caso, percebemos que a resposta é 
Negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são in-
versamente proporcionais.
Para escrevermos corretamente a pro-
porção, devemos fazer com que todas es-
tejam no mesmo sentido, invertendo os 
termos das colunas convenientes. Natu-
ralmente, neste exemplo, fica mais fácil 
inverter a coluna da grandeza 2, 
daí podemos dispor da seguinte 
forma:
Grandeza 1 (Número de máquinas) Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Uni 
 dades do produto)
10
x
6
20
2000
1680
 
Vamos utilizar agora (lembrarmos) que 
uma grandeza proporcional a duas outras 
é também proporcional ao produto delas. 
Assim, vamos escrever a proporção:
 
Ou seja,
x = 28
Portanto, concluímos que serão neces-
sárias 28 máquinas para produzir 1680 
unidades do produto.
Vejamos mais alguns exemplos resolvi-
dos envolvendo a interpretação de Regra 
de Três Composta.
Situação Problema: Uma torneira en-
che um tanque em 20 horas, com uma va-
zão de 1 L por minuto. Quanto tempo será 
necessário para que duas torneiras, com 
vazão de 2 L por minuto, encham o mes-
mo tanque?
Solução: Neste caso, temos a seguinte 
disposição: 
=10 6 x 20
_ _ 2000
1680
46 47
Comparando as grandezas número de 
torneiras e vazão com a grandeza número 
de horas, que mantém a incógnita x, 
percebemos que:
i) Mantendo fixo o número de torneiras 
e aumentando a vazão, o tempo de encher 
o tanque deverá ser menor. Desse modo, 
diminuirá o número de horas. Essas gran-
dezas são, portanto, inversamente pro-
porcionais. Logo, as setas devem ser colo-
cadas em sentidos contrários.
ii) Mantendo fixa a vazão e aumentan-
do o número de torneiras, o tempo para 
encher o tanque deverá ser menor. Desse 
modo, diminuirá o número de horas. Essas 
grandezas são, portanto, inversamente 
proporcionais. Logo, as setas devem ser 
colocadas em sentidos contrários.
Dessa forma, já considerando a in-
versão das colunas, a proporção deve 
ser:
 
Ou seja,
x = 5
Portanto, concluímos que serão neces-
sárias 5 horas para encher o tanque.
2.5 Teoria dos conjuntos e 
aplicações 
A partir da segunda metade do século 
passado, os pesquisadores passaram a se 
preocupar, cada vez mais, com modelos 
teóricos capazes de abranger também os 
aspectos qualitativos, além dos aspectos 
quantitativos, de cada um dos infinitos 
fenômenos que compõem o nosso mundo 
real. 
Procurou-se, portanto, uma linguagem 
universal que permitisse descrever, de 
maneira precisa e concisa, todos estes 
modelos, desde os existentes até aque-
les que porventura viessem a ser criados, 
sendo assim, nasce e é estruturada a te-
oria dos conjuntos, que também constitui 
uma poderosa ferramenta para a reso-
lução de problemas de raciocínio lógico. 
Especificamente falando, o diagrama de 
Venn é uma ferramenta prática para a re-
solução de problemas.
2.6 Conceitos fundamentais 
da teoria de conjuntos 
O pontapé inicial da teoria dos con-
juntos consiste nos conceitos primitivos 
de conjunto, elemento de um conjunto e 
Grandeza 1 (Número de máquinas) Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Uni 
 dades do produto)
1
2
20
6
 1
 2
 
 
=20 2 x 1
_ _ 2
1
46 47
igualdade de conjuntos. Dessa maneira, 
para indicarmos que x é um elemento do 
conjunto A, escrevemos x A (leia-se x per-
tence a A). Contrariamente, se escrever-
mos x A, significa que x não é elemento 
do conjunto A. Conjunto é uma estrutura 
que agrupa objetos e constitui uma base 
para a construção de estruturas mais 
complexas, logo, além de representarmos 
um conjunto por uma letra, na maioria das 
vezes maiúscula, podemos usar mais três 
representações distintas, que são: 
a) Enumerando os seus elementos:
{a, e, i, o, u} conjunto das vogais, 
{0, 1, 2, 3, 4,..., 2009,...} conjunto dos 
números naturais (IN)
b) Descrevendo os elementos do 
conjunto por uma propriedade exclu-
siva dos mesmos: IN = {x / x é um núme-
ro natural}; V = {x/ x é uma vogal}.
c) Representação Gráfica pelo Dia-
grama de Venn, que constitui uma exce-
lente ferramenta para visualizarmos as 
relações entre elementos e conjuntos, 
bem como entre os conjuntos, como mos-
trado na Figura 14 a seguir.
 
Figura 14: Exemplos de Diagramas de 
Venn.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Dessa maneira, de acordo com Dante 
(2000), dizemos que dois conjuntos A e 
B são iguais quando possuem os mesmos 
elementos, isto é, todo elemento de A é 
também elemento de B e, todo elemento 
de B é elemento de A. Tal fato é denota-
do por A = B. Por exemplo, os conjuntos A 
= {3, 4, 7} e B = {4, 7, 3} são iguais. Além 
disso, dados os conjuntos A e B, dizemos 
que B é subconjunto de A se, e somente 
se, todo elemento de B é elemento de A. 
Esta relação é dita relação de inclusão, 
sendo denotada por B A (lemos B está 
contido em A). Por outro lado, se existir 
pelo menos um elemento de B que não é 
elemento de A, escrevemos B A e, neste 
caso, B não é um subconjunto de A, isto 
é, não está contido em A. Vejamos alguns 
exemplos.
1) {a, e} {a, e, i, o, u}
2) {1, 2} {1, 3, 5}
3) {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}
4) {19, 7, -3} {-4, 18, 20}
Salienta-se ainda que um conjunto 
especialmente importante é o conjunto 
vazio, ou seja, o conjunto que não possui 
elementos, o qual é representado pelo 
símbolo ou por { }. Sendo assim, o conjun-
to de todos os brasileiroscom mais de 300 
anos e o conjunto de todos os números os 
quais são simultaneamente pares e ím-
pares são exemplos de conjuntos vazios. 
Além disso, de modo geral, nas aplicações 
48 49
da teoria dos conjuntos, todos os conjun-
tos considerados são subconjuntos de um 
mesmo conjunto U, chamado de conjunto 
universo. Assim, por exemplo, o conjunto 
A = {2, 3, 4} é um subconjunto de U = IN 
(conjunto dos números naturais). Veja-
mos mais algumas definições universais 
envolvendo a teoria de conjuntos que são 
utilizadas para a resolução de problemas 
diversos, tais definições são as operações 
envolvendo os conjuntos.
Definição: Chamamos de união de A e 
B ao conjunto A B formado pelos elemen-
tos que pertencem a A ou a B ou a ambos. 
Em símbolos, a união entre A e B é carac-
terizada por A B = {x | x A ou x B}.
Definição: Chamamos de intersecção 
de A e B ao conjunto A B formado pelos 
elementos que são comuns aos dois con-
juntos. Em símbolos, a intersecção entre 
A e B é caracterizada por A B = {x | x A e x 
B}.
Definição: Chamamos de diferença A – 
B ao conjunto dos elementos que perten-
cem a A (ao primeiro) e não pertencem a 
B (ao segundo). Em símbolos a diferença A 
– B é definida da seguinte forma A – B = {x 
| x A e x B}. Por exemplo, se consideremos 
os conjuntos A = {x IN | x > 2} e B = {x IN | 
x = x}, então A – B = {3, 4, 5, 6,...} e B – A 
= {0, 1}.
Situação Problema: Uma prova de 
Lógica era constituída de dois problemas. 
300 alunos acertaram somente um dos 
problemas, 260 acertaram o segundo, 
100 alunos acertaram os dois e 210 erra-
ram o primeiro. Quantos alunos fizeram a 
prova?
Solução: Vamos resolver o exercício 
utilizando o Diagrama de Venn, para tal 
consideremos os conjuntos A = {alunos 
que acertaram o primeiro problema} e B = 
{alunos que acertaram o segundo proble-
ma}. 
Sugestão! Neste tipo de situação sem-
pre devemos começar pela interseção en-
tre os conjuntos envolvidos na questão.
 Figura 15: O diagrama de Venn do pro-
blema.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Dessa forma:
Primeiro Passo: colocar o valor 100 (A 
B);
Segundo Passo: colocar o valor 160 
(260 – 100);
Terceiro Passo: colocar o valor 210 (210 
= número de alunos que erraram o primei-
ro problema);
Quarto Passo: colocar o valor 140 (140 
= 300 – 160);
48 49
Portanto, o total de alunos que fizeram 
a prova é dado por 140 + 100 + 160 + 50 
= 450 alunos.
Situação Problema: Determine a 
validade do seguinte argumento:
S : Todos meus amigos são músicos.
S : João é meu amigo.
S : Nenhum dos meus vizinhos é musi-
co.
S: João não é meu vizinho.
Solução: Note que as premissas S e S 
permitem construir o Diagrama de Venn 
mostrado na Figura 16 a seguir. Por S João 
pertence ao conjunto de amigos que é 
disjunto do conjunto de vizinhos. Logo, S 
é uma conclusão válida e, portanto, o ar-
gumento é válido.
 
Figura 16: O diagrama de Venn do pro-
blema.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
2.7 Porcentagem ou percen-
tagem e aplicações
O estudo da porcentagem (ou percen-
tagem) é ainda um modo de comparar nú-
meros, usando a proporção direta. Entre-
tanto, uma das razões dessa proporção 
deverá ser sempre uma fração de deno-
minador 100. Vamos deixar isso mais cla-
ro: numa situação em que você tenha que 
calcular 40% de R$ 300,00, será neces-
sário determinar um valor que represen-
te, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso 
pode ser resumido na proporção:
 Definindo de acordo com o Dicionário 
Aurélio, porcentagem (ou percenta-
gem) é uma parte proporcional calculada 
sobre uma quantidade de 100 unidades. 
Além de ser muito utilizada, ela é extre-
mamente importante em diversas aplica-
ções do nosso dia a dia. A solução de pro-
blemas envolvendo cálculos percentuais é 
encontrada considerando sempre o total 
como sendo 100 unidades, ou 100%.
Situação Problema: (Dimensiona-
mento das Áreas de Um Restaurante) O 
planejamento de um restaurante está 
sujeito a múltiplas influências por parte 
dos clientes, de novas tecnologias e mo-
dismo. O conceito atual prevê que 40% da 
área seja da produção, 20% para armaze-
nagem e os 40% restantes para atendi-
mento ao cliente. Já o novo conceito prevê 
as porcentagens de 20%, 20% e 60%, 
respectivamente. Uma nutricionista foi 
contratada para planejar um restauran-
te numa área de 230 m . Quais serão os 
tamanhos da produção, armazenagem e 
atendimento, nos dois conceitos?
Solução: Notemos inicialmente, que a 
área total vale 100%, dessa forma segue 
=40 x100 300
_ _
50 51
que:
Conceito Atual:
- Para a Produção, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
 
 40% (Produção) x m 
Donde concluímos que o valor de x 
é dado por:
- Para a Armazenagem, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
20% (Armazenagem) y m 
Donde concluímos que o valor de y 
é dado por:
- Para o Atendimento, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
40% (Atendimento) z m 
Donde concluímos que o valor de z 
é dado por:
Novo Conceito: Analogamente, te-
mos que:
- Para a Produção, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
20% (Produção) x m 
Donde concluímos que o valor de x 
é dado por:
 
 
 
 
=
=
=
=
40.230
40.230
20.230
20.230
100
100
100
100
x
z
y
x
=
=
=
=
92m²
92m²
46m²
46m²
50 51
- Para a Armazenagem, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
20% (Armazenagem) y m 
Donde concluímos que o valor de y 
é dado por:
- Para o Atendimento, temos que:
100 % (Área Total) 230 m 
60% (Atendimento) z m 
Donde concluímos que o valor de z 
é dado por:
 No Conceito Atual – Produção: 92 
m , Armazenagem: 46 m , Atendimento: 
92 m .
 No Novo Conceito – Produção: 46 m 
, Armazenagem: 46 m , Atendimento: 138 
m .
2.8 Curiosidade? Diet é igual 
a light?
A noção para tal indagação é NÃO, ou 
seja, os produtos diet são diferentes dos 
produtos light. 
 
Figura 17: Diet é diferente de Light.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A diminuição percentual tem sido bas-
tante abordada nos novos lançamentos, 
pois os produtos light, por legislação es-
pecífica, devem conter algumas quanti-
dades (dentre estas as calorias) percen-
tualmente menores que seus familiares 
convencionais. Já os produtos diet são 
aqueles fabricados com redução máxima 
de algum componente (não necessaria-
mente energético) e que são usados em 
programas alimentares especiais, onde 
existe a necessidade de alguma restrição, 
por exemplo, ausência de sal (para hiper-
tensos), ausência de açúcar (para diabéti-
 
 
=
=
20.230
60.230
100
100
y
z
=
=
46m²
138m²
52 53
cos) e outros casos.
Situação Problema: (Aumento e Di-
minuição Percentual), para entendermos 
os cálculos de aumento e diminuição per-
centual, consideremos uma pessoa com 
massa corpórea ideal de 70 kg em duas 
situações:
Primeira Situação: Com 65 kg;
Segunda Situação: Com 75 kg.
Dessa maneira, perguntamos:
1) Qual o aumento percentual neces-
sário para a pessoa atingir sua massa cor-
pórea ideal?
2) Qual a diminuição percentual ne-
cessária para a pessoa atingir sua massa 
corpórea ideal?
Solução: 
1) Neste caso, temos que:
 Antes Depois
 
 65 (kg) 70 (kg)
 100% x
Figura 18: Os produtos diet e light.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
 
52 53
Donde concluímos que:
x.65 = 100.70Ou seja:
x = 
x = 107,6923077 ou aproximadamente 
108%
O aumento percentual é este valor sub-
traído de 100, ou seja,
107,69% – 100% = 7,69%
Generalizando qualquer situação, 
temos a seguinte expressão simples 
para a determinação do aumento 
percentual:
Aumento (%) = 
 (valor Depois - Valor Antes). 100
 Valor antes
Quando sabemos o valor do au-
mento percentual necessário e de-
sejamos saber qual será o valor da 
massa corpórea final podemos usar 
o cálculo abaixo:
Nova Massa Corpórea: 65 kg + 
7,69% de 65 kg
E como 7,69% de 65 é igual a 9,99999, 
segue que:
Nova Massa Corpórea: 65 + 4,9985 
= 69,9985 kg 
Ou aproximadamente, 
70 kg.
(As diferenças se devem aos arre-
dondamentos, sendo que tais arre-
dondamentos serão explicados um 
pouco a frente)
Vejamos a montagem abaixo, que ex-
plica nas entrelinhas de como calculamos 
7,69% de 65 kg.
 Total Parte do Total
 
 65 (kg) x
 100% 7,69%
Donde concluímos que:
x.100 = 65.7,69
Ou seja:
x = 
 
100.70
65
65.7,69
100
54 55
Ou ainda:
x = 4,9985 
2) Neste caso, temos que:
 Antes Depois
 
 75 (kg) 70 (kg)
 100% x
Donde concluímos que:
x.75 = 100.70
Ou seja:
x = 
x = 93,33 ou aproximadamente 93%.
A diminuição percentual é 100 subtraí-
do do cálculo acima, ou seja,
100% – 93,33% = 6,67%
Diminuição (%) = 
 (valor Depois - Valor Antes). 100
 Valor antes
Quando sabemos o valor da diminuição 
percentual necessária e desejamos saber 
qual será o valor da massa corpórea final 
podemos usar o cálculo abaixo:
Nova Massa Corpórea: 75 kg – 6,67% 
de 75 kg.
E como 7,69% de 65 é igual a 5,0025, 
segue que:
Nova Massa Corpórea: 75 – 5,0025 = 
69,9975 kg ou aproximadamente 70. kg
A montagem abaixo explica como foi 
calculado 6,67% de 75 kg.
 Total Parte do Total
 
 75 (kg) x
 100% 6,67%
Donde concluímos que:
x.100 = 75.6,67
Ou seja:
x = 
Ou ainda:
x = 5,0025 
2.9 Regra de Sociedade – 
 
 
100.70
75.6,67
100
100
54 55
uma aplicação envolvendo 
a porcentagem
De acordo com Castanheira (2011), 
chamamos de sociedade um grupo de 
duas ou mais pessoas que se juntam, cada 
uma com um determinado capital, que 
deverá ser aplicado por um certo tempo 
numa atividade qualquer e com o objetivo 
de conseguir lucros. Para entendermos tal 
metodologia, vamos considerar a situação 
introdutória em que três amigos ganhem 
R$ 9.000,00 na loteria, como resultado da 
premiação de um jogo, cujo valor da apos-
ta era de R$ 4,50. Dessa forma, 
consideremos que os sócios te-
nham contribuído com as seguintes 
quantias:
 Sócios Capital (R$)
 A 1,00
 B 1,50
 C 2,00
A pergunta a ser respondida, é quanto 
cada um irá ganhar?
Observemos que este é um caso do que 
chamamos de divisão em partes propor-
cionais às quantias investidas, sendo as-
sim, podemos escrever:
1 1,50 2
9000
A B C
A B C
 = =

 + + = 
Resolvendo o sistema, temos que:
 
1 1,5 2 1 1,50 2
A B C A B C+ +
= = =
+ +
Ou seja, A = 2000, B = 3000 e C = 
4000. Portanto, A receberá R$ 2.000,00, 
B receberá R$ 3.000,00 e C receberá R$ 
4.000,00.
Importante! Nos casos de socieda-
des mais complexas, é relevante tam-
bém o período de tempo durante o 
qual cada sócio deixa o seu dinheiro 
investido.
Com relação à classificação de uma re-
gra de sociedade, salientamos, que o que 
define uma sociedade como simples ou 
composta é o fato de os capitais aplicados 
e de os períodos de tempo da aplicação 
serem iguais ou diferentes para cada só-
cio. 
2.10 Regra de sociedade 
simples
Temos dois casos a considerar que são 
descritos a seguir.
Primeiro Caso: Os capitais são dife-
rentes, mas aplicados durante períodos 
de tempo iguais. Neste caso afirmamos 
que: “Os lucros ou prejuízos serão dividi-
dos em partes diretamente proporcionais 
aos capitais investidos.”. 
Situação Problema: Carlos e Roberto 
montaram uma pequena concessionária 
investindo conforme a disposição de valo-
res a seguir.
56 57
 Sócios Capital (R$)
 Carlos 2.500,00
 Roberto 2.000,00
Ao final de um ano, o balanço apurou 
um lucro de R$ 13.500,00. Quanto cada 
um deverá receber?
Solução: Neste caso, vamos chamar 
de x e de y o que Carlos e Roberto devem, 
respectivamente, receber, temos que:
2500 2000
x y
= e x + y = 13500
Aplicando as propriedades das pro-
porções, vem que:
 13500 3
2500 2000 2500 2000 4500
x y x y+
= = = =
+
Logo, x = 7500 e y = 6000.
Segundo Caso: Os capitais são iguais, 
mas aplicados durante períodos de tempo 
diferentes. Neste caso, afirmamos que: 
“Os lucros ou prejuízos serão divididos em 
partes diretamente proporcionais aos pe-
ríodos de tempo em que os capitais fica-
ram investidos.”. 
Situação Problema: Três amigos A, 
B e C, juntaram-se numa sociedade para 
a montagem de uma concessionária com 
idêntica participação no capital inicial. A 
deixou seu capital no negócio durante 4 
meses, B por 6 meses e C durante 3 meses 
e meio. Sabendo que, ao final de um ano, 
houve um lucro de R$ 162.000,00, como 
dividir essa quantia entre os três amigos?
Solução: Neste caso, notemos que 
existe a necessidade inicial de transfor-
marmos os períodos de tempo em uma 
mesma unidade, meses ou dias. Utilizan-
do a unidade dias, vamos considerar o mês 
comercial com 30 dias, 
daí podemos escrever:
 120 180 105
162000
A B C
A B C
 = =

 + + =
Aplicando as propriedades, temos 
que:
 
Portanto, A = 48000, B = 72000 e C 
= 42000, ou seja, os lucros auferidos 
por A, B e C serão, respectivamente, R$ 
48.000,00, R$ 72.000,00 e R$ 42.000,00.
2.11 Regra de sociedade 
composta
Nas sociedades compostas, tanto os 
capitais quanto os períodos de investi-
mento são diferentes para cada sócio. 
Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou 
prejuízos em partes diretamente propor-
cionais, tanto ao capital quanto ao perío-
do de investimento. Dessa forma, temos 
que: “Quando os capitais e os períodos 
de tempo forem diferentes, os lucros ou 
prejuízos serão divididos em partes dire-
tamente proporcionais ao produto dos 
capitais pelos períodos de tempo respec-
tivos.”.
162000 400
120 180 105 120 180 105 405
A B C A B C+ +
= = = = =
+ +
56 57
Situação Problema: Uma sociedade 
teve um lucro de R$ 117.000,00. O primei-
ro sócio entrou com R$ 1.500,00 durante 
5 meses, e o outro, com R$ 2.000,00 du-
rante 6 meses. Qual foi o lucro de cada 
um?
Solução: Observe que se trata de uma 
regra de sociedade composta. Chamando 
de x o que o primeiro sócio deve receber 
e de y o que o segundo receberá, temos 
que:
 
 e x + y = 117000
Aplicando as propriedades, vem 
que:
 117000 6
7500 12000 19500 19500
x y x y+
= = = =
Logo, x = 45000 e y = 72000, ou seja, o 
primeiro sócio receberá R$ 45.000,00 e o 
segundo sócio receberá R$ 72.000,00.
(1500).(5) (2000).(6)
x y
=
58 59
REFERÊNCIAS
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Paulo: Landy, 2006.
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ZEGARELLI, Mark. Lógica para leigos. 
Rio de Janeiro: Alta Books, 2013.
58 59
	Introdução 
	UNIDADE 1 - Fundamentos do raciocínio lógico
	UNIDADE 2 - Ferramentas matemáticas aplicadas ao raciocínio lógico
	REFERÊNCIAS