Questões de Equações Diferenciais Ordinárias

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
AVALIAÇÃO PARCIAL
	1a QUESTÃO
	
	Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´ - y = 0 tem uma solução da forma ert.
	
	r = + 2; r = - 2
	
	r = + 12; r = - 1
	
	r = + 12; r = - 12
	
	r = 0
	 
	r = + 1; r = - 1
		
	2a QUESTÃO 
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  dydx + x2y3 = 0, obtemos respectivamente:
	
	1 e 2
	
	1 e 3
	 
	1 e 1
	
	2 e 2
	
	2 e 1
		
	3a QUESTÃO
	
	Seja a equação diferencial ordinária dydx = -2xy2. Determine a solução para essa equação.
	 
	y = 1/(x2 + c)
	
	y = x + 2c
	
	y = x
	
	y = x3 + c
	
	y=xy + c
		
	4a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. xy´ = 4y
	
	y=cx
	
	y=cx3
	
	y=cx2
	
	y=cx4+x
	 
	y=cx4
		
	5a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação diferencial homogênea (x - y)dx - (x + y)dy = 0
	 
	y2 + 2xy - x2 = C
	
	y3 + 2xy - x3 = C
	
	y + 2xy - x = C
	
	2y2 + 12xy - 2x2 = C
	
	y2 + 2x + 2y - x2 = C
		
	6a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação homogênea y´ = x2 + 2y2xy
	
	y2 = Cx4 - x
	
	y2 = Cx2 - x3
	
	y2 = Cx3 - x2
	
	y = Cx4 - x2
	 
	y2 = Cx4 - x2
		
	7a QUESTÃO 
	
	Verifique se a equação (5x + 4y)dx + (4x - 8y3)dy = 0 é uma equação exata.
		
	
	É exata e  M/x = N/y = 0
	
	É exata e  M/y = N/x = x2
	
	É exata e  M/y = N/x = 1
	 
	É exata e  M/y = N/x = 4
	
	Não é exata.
		
	8a QUESTÃO 
	
	Verifique se a equação diferencial (x + y)(x - y)dx + x2 - 2xy dy = 0 é exata
		
	
	É exata.
	
	É exata, mas não é homogênea
	 
	Não é exata.
	
	É exata e é um problema de valor inicial.
	
	É exata e homogênea.
		
	9a QUESTÃO 
	
	Seja a Equação Diferencial Ordinária xy - 2y = x3cos(4x).
Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear.
		
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 + (1/4) x2
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 sen (4x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x3, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 + (1/4) x2 sen (4x)
		
	10a QUESTÃO 
	
	Classifique a equação x (dy/dx) + y = (1/y2) como sendo de Bernoulli ou Ricatti e encontre sua solução.
		
	 
	A equação é de Bernoulli e sua solução é  y3 = (c1/ x3) + 1
	
	A equação é de Bernoulli e sua solução é  y = (c1/ 2x) + x
	
	A equação é de Bernoulli e sua solução é  y = (c1/ x) + 1
	
	A equação é de Ricatti e sua solução é  y = (c1/ x) + 1
	
	A equação é de Ricatti e sua solução é  y = (c1/ x) + 5x
	1a QUESTÃO
	
	Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´´+ y´ - 6y = 0 tem uma solução da forma ert.
		
	
	r = 2; r = - 2
	
	r = 3; r = - 3
	 
	r = 2; r = - 3
	
	r = - 2; r = 3
	
	r = - 2; r = - 3
		
	
	2a QUESTÃO 
	
	Considere a equação diferencial t2d2ydt2 + tdydt + 2y = sent. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos:
		
	
	Segunda ordem, não linear.
	
	Primeira ordem, linear.
	 
	Segunda ordem, linear.
	
	Primeira ordem, não linear.
	
	Terceira ordem, linear.
		
	3a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. dx + e3xdy = 0
		
	
	y = ex + C
	
	y = 12e3x + C
	
	y = e3x + C
	 
	y = 13e-3x + C
	
	y = 13e3x + C
		 Gabarito Comentado.
	4a QUESTÃO
	
	Seja a equação diferencial ordinária dydx = 6y. Determine a solução para essa equação.
		
	 
	y = ce6x
	
	y = x3 + c
	
	y = x + c
	
	y = ex + c
	
	y = x2 + c
		
	5a QUESTÃO 
	
	Observe as equações diferenciais ordinárias abaixo.
I - f(x, y) = 3xy - y2
II - f(x, y) = ex+y
III - (y - x) dx + (x + y) dy = 0
Verifique quais as equações satisfazem a condição para ser uma equação diferencial ordinária homogênea. Podemos afirmar:
		
	
	Apenas I NÃO é equação diferencial homogênea
	
	Apenas III NÃO é equação diferencial homogênea
	
	I e II NÃO são equações diferenciais homogêneas
	
	I, II e III NÃO são equações diferenciais homogêneas
	 
	Apenas II NÃO é equação diferencial homogênea
		
	6a QUESTÃO 
	
	Resolva a Equação Homogênea [xsen(yx) - ycos(yx)]dx + xcos(yx)dy = 0
		
	
	sen(yx) = c
	
	1xsen(yx) = c
	 
	xsen(yx) = c
	
	x3sen(yx) = c
	
	x2sen(yx) = c
		 Gabarito Comentado.
	7a QUESTÃO 
	
	Verifique se a equação (1 - 2x2 - 2y ) (dy/dx) = 4x3 + 4xy é exata
	
	Não é exata.
	 
	É exata e  M/y = N/x = 4x
	
	É exata e  M/y = N/x = 1
	
	É exata e  M/y =N/x = 0
	
	É exata e M/y = N/x = 9
		
	8a Questão 
	
	Seja a equação diferencial: (3x²y³ + 4x)dx + (3x³y² + 8y)dy = 0. Pode-se afirmar que a função solução dessa equação é:
	
	g(x, y) = 2x³y + 4x + c
	 
	g(x, y) = x³y³ + 2x² + 4y² + c
	
	g(x, y) = x³y² + 5xy + c
	
	g(x, y) = 3x²y + 6y³ + c
	
	g(x, y) = x²y + 2x³ + 3x + y² + c
		
	9a QUESTÃO 
	
	Seja a Equação Diferencial Ordinária xy' - 2y = x3 cos(4x).
Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear.
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 sen (4x)
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 + (1/4) x2
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = cx2 +(1/4) x2 sen (4x)
		 Gabarito Comentado.
	10a QUESTÃO 
	
	Seja a equação diferencial ordinária dydx + 2x-1 y = x3, x > 0. Com base nesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma.
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2.
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c.
	 
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c.
	1a QUESTÃO
	
	Encontrando a solução do problema de valor inicial y´ - 2y = e2t y(0) = 2 obtemos:
	
	y = (t + 4)e4t
	 
	y = (t + 2)e2t
	
	y = (t - 2)e-2t
	
	y = (t + 2)e-2t
	
	y = e2t
		 Gabarito Comentado.
	
2a QUESTÃO 
	
	A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x, y, y´) = 0.
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx = F(x, y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma Mdx + Ndy = 0  onde M = M(x, y)  e N = N(x, y) são continuas no intervalo considerado.
 
		
	
	(I) e (II)
	
	(I)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(III)
	
	(II)
		
	3a QUESTÃO 
	
	Resolva a equaçãodiferencial    exdydx = 2x  por separação de variáveis.
		
	
	y = ex(x + 1) + C
	 
	y = - 2e-x(x + 1) + C
	
	y = - 12ex(x + 1) + C
	
	y = - 2ex(x - 1) + C
	
	y = 2e-x(x - 1) + C
		
	4a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação diferencial    dx - x2dy = 0   por separação de variáveis.
		
	
	y = x2 + c
	
	y = x + c
	 
	y = - 1x + c
	
	y = - x + c
	
	y = - 3x2 + c
		
	5a QUESTÃO 
	
	Resolva a equação homogênea y´ = y - xx
		
	
	y = x3ln(Cx)
	 
	y = xln(Cx)
	
	y = x2ln(Cx)
	
	y = 1xln(Cx)
	
	y = - x2ln(Cx)
		
	6a QUESTÃO 
	
	Dentre as funções abaixo a única homogênea, é:
		
	
	f (x, y) = x2 - 3y
	 
	f(x, y) = 2xy
	
	f (x, y) = x3 + 2y2
	
	f(x, y) = x2 + 3 y
	
	f (x, y) = 2x + 3 y2
		
	
	7a QUESTÃO 
	
	Verifique se a equação (2x - 1)dx + (3y + 7)dy = 0 é exata.
		
	
	É exata e  M/x =N/y = 4
	
	É exata e  M/y = N/x = 5x
	 
	É exata e M/y =N/x = 0
	
	É exata e  M/x =N/y = 7
	
	É exata e M/y = N/x = x2
		
	8a QUESTÃO 
	
	Seja as equações diferenciais ordinárias abaixo. Identifique quais destas podem ser classificadas como equações diferenciais exatas.
 I) (y2 + 6x2y)dx + (2xy + 2x3)dy = 0
II) y2 dx + 2xy dy = 0
III) y3 dx + 2x y2 dy = 0
Podemos afirmar que:
		
	 
	Podemos afirmar que I e II são equações diferenciais exatas, porém III não é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que I, II e III são equações diferenciais exatas.
	
	Podemos afirmar que I e II não são equações diferenciais exatas, porém III é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que I e III são equações diferenciais exatas, porém II não é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que II e III são equações diferenciais exatas, porém II não é equação diferencial exata.
		
	9a QUESTÃO
	
	Utilizando a Equação diferencial  y - 5y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou não linear a equação data.
		
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e2x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce2x
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é e-5x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce5x
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce5x
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e5x, portanto podemos encontra a solução geral y = cex
	
	A EDO é linear, o fator integrante é ex, portanto podemos encontra a solução geral y = cex
		
	10a QUESTÃO 
	
	Utilizando a Equação Diferencial y ' - 3y - 6 = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou não linear a equação data.
		
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é e -3x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce (3x) - 2
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce (5x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce (-x) - 2x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce (x)
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 7x, portanto podemos encontra a solução geral y = ce (7x)
		 Gabarito Comentado.