edo- aplicações de primeira ordem

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Equações Diferencias Ordinárias
Aplicações de E.D. de primeira ordem
Discentes: Rodrigo Nascimento Benicio 
Célio Pimenta Neto
Otávio Augusto Alves.
Orientador: Ivan Mezzomo.
Mossoró,
2018 
1-Introdução.
Nessa pesquisa iremos ver como se dão as aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Veremos através do modelo de dinâmica populacional de Verhulst, que utiliza parâmetros e uma função em relação ao tempo para deduzir essa variação do crescimento ou decaimento das populações, mostraremos sua fórmula e o calculo de sua equação diferencial chegando numa função exponencial.
2-Demonstração da fórmula
O modelo de Verhulst foi criado para prever o crescimento populacional da Bélgica, disso ele percebeu que existem parâmetros (como escassez alimentícia e tamanho geográfico) que influenciam nessa dinâmica populacional, além do tempo, assim a fórmula de Verhulst, foi feita por uma equação diferencial de primeira ordem vista abaixo:
Nessa Equação diferencial temos que r é encontrado por uma regressão não linear e K é o nível de saturação da população, agora veremos a transformação da equação diferencial, demonstrando a fórmula final que Verhulst criou. Primeiro a deixaremos nessa forma para aplicar as integrais.
Aplicando integral dos dois lados:
Do lado direito da função utilizaremos frações parciais e do lado esquerdo o resultado é dt+c.
==> 
==> 
Colocamos P=0, e o valor de se torna 1, e quando P=K, então B=1/rK.
==> 
O resultado dessas somas de integrais será:
= = 
Agora voltaremos a equação após termos os resultados das integrais:
==> 
Aplicando exponencial:
==> ==> 
Para encontrarmos a constante C aplicaremos o tempo inicial P(0),que é diferente de K para todos os reais.
==> 
A população inicial chamada de P(0), podemos chama-lá também de P0, assim teremos dois formatos finais um quando P0 >K e outro quando P0 <K, assim:
1- 
2- 
No caso (1) o P0 <K, já no caso (2) P0 >K. Percebemos assim que as duas são iguais e temos está formula final que as expressa:
=
3-Exemplo:
Seja P a massa total (ou biomassa), em quilogramas, da população de linguado gigante no instante t. Estima-se que os parâmetros na equação logística tenham os valores r = 0, 71 por ano e K = 80, 5×106kg. Considere a biomassa inicial Po = 0, 25kg, então para encontrar a biomassa dois anos depois?
Po= 0,25 kg
r = 0,71
K= 80,5 x 106kg
t=2
P(t)=?
==> 
P(2)= 46700000kg
Graficamente esse modelo se comportar assim:
A problemática da equação de Verhulst são as inflexões de seu gráfico, pois num modelo populacional de predadores e presas vemos que essa exponencial não funciona, como o gráfico abaixo:
4-Conclusão
O modelo de Verhulst é muito aplicável, pois sua utilização de parâmetros foi um novo jeito de calcular as dinâmicas das populações, porém foi descoberto que sua equação diferencial não podia se aplicar sempre só em casos específicos, pois ele se limita em alguns pontos um deles segundo alguns matemáticos é o ponto de inflexão do seu gráfico que sempre é dado no ponto K/2, um exemplo seria o comportamento de predadores e presas, que tem gráficos de variação populacional bem distorcidos e não se equiparam a fórmula dele.