Portfólio aula 6 Resolução e Estratégias

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
POLO FLÁVIO MARCÍLIO – CAUCAIA 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ESTRATÉGIAS 
TUTOR – MARCELO FERREIRA 
ALUNO – MARCOS ANTONIO GOMES DE SOUSA 
MATRÍCULA- 413627 
 
 
 
PORTFÓLIO AULA 6 
 
 
1 – 6 - Sejam 
,p qR
 tais que 
2 0x px q  
, 
x R
. Prove que se 
n
 é um inteiro 
positivo ímpar então 
2 0nA pA qI  
, para toda matriz 
A
 de ordem 
n n
. 
(Sugestão: Suponha que exista uma matriz 
A
 de ordem 
n n
 tal que 
2 0nA pA qI  
. 
Fatore esta equação matricial e use determinante do produto para chegar a uma contradição.) 
Supondo que por absurdo exista uma matriz A, tal que; 
𝐴2 + 𝑝𝐴 + 𝑞𝐼𝑛 = 0 
Como a matriz A é de ordem, Impar então o polinômio característico de A, 
possui, pelo menos uma raiz real, ou seja, possui autovalor 𝜆. 
Assim, seja 𝑣 um autovalor (não nulo) associado ao autovalor λ. (𝐴𝑣 = 𝜆𝑣) 
Vejamos que: 
(𝐴2 + 𝑝𝐴 + 𝑞𝐼𝑛)𝑣 = 𝐴
2𝑣 + 𝑝𝐴𝑣 + 𝑞𝐼𝑛𝑣 = 𝐴𝐴𝑣 + 𝑝𝐴𝑣 + 𝑞𝐼𝑛𝑣 = 
 = 𝐴(𝐴𝑣) + 𝑝(𝐴𝑣) + 𝑞(𝐼𝑛𝑣) = 𝐴𝜆𝑣 + 𝑝𝜆𝑣 + 𝑞𝑣 = 
 = 𝜆(𝐴𝑣) + 𝑝𝜆𝑣 + 𝑞𝑣 = 𝜆𝜆𝑣 + 𝑝𝜆𝑣 + 𝑞𝑣 = 
= 𝜆²𝑣 + 𝑝𝜆𝑣 + 𝑞𝑣 = (𝜆² + 𝑝𝜆 + 𝑞)𝑣 
Temos então: 
(𝐴2 + 𝑝𝐴 + 𝑞𝐼𝑛)𝑣 = 0 → 𝑣 = 0 
Sendo assim 
(𝜆² + 𝑝𝜆 + 𝑞)𝑣 = 0, 𝑠𝑒 𝜆² + 𝑝𝜆 + 𝑞 ≠ 0 → 𝑣 = 0 é 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜, 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣 é 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜. 
 
2 – 9 - Para 
nN
 e 
,x yR
, considere a matriz 
( , )n
n n
x y x x
x x y x
A x y
x x x y

 
 
 
 
 
 
. 
Demonstre, por indução, que 
1det( ( , )) ( )nnA x y y nx y
 
. 
 
 
 
 
3 – 11 - Resolva a equação diferencial 
0 1
'
3 2
x x
 
  
 
 com a condição inicial 
0
(0)
4
x
 
  
 
. 
Temos como solução: 
 
𝜆𝐼𝑛 − 𝐴 = 𝜆 [
1 0
0 1
] − [
0 1
3 2
] = [
𝜆 −1
−3 𝜆 − 2
] 
𝜆² − 2𝜆 − 3 = 0 → {
𝜆1 = 3 
𝜆2 = −1
 
 
Encontrando os autovetores. 
𝜆 = 3 
(
0 1
3 2
) (
𝑎
𝑏
) = 3 (
𝑎
𝑏
) → (
𝑏
3𝑎 + 2𝑏
) = (
3𝑎
3𝑏
) → {
𝑏 = 3𝑎 
3𝑎 + 2𝑏 = 3𝑏
→ {
𝑏 = 3𝑎 
𝑏 = 3𝑎
 
O auto vetor é da forma 
𝑣1 = [
𝑎
𝑏
] = [
𝑎
3𝑎
] 
 
Um auto vetor é; 𝑣1 = [
1
3
] 
 
Para 𝜆 = −1 
(
0 1
3 2
) (
𝑎
𝑏
) = − (
𝑎
𝑏
) → (
𝑏
3𝑎 + 2𝑏
) = (
−𝑎
−𝑏
) → {
𝑏 = −𝑎 
3𝑎 + 2𝑏 = −𝑏
→ {
𝑏 = −𝑎
𝑏 = −𝑎
 
 
O auto vetor é da forma 
𝑣2 = [
𝑎
𝑏
] = [
𝑎
−𝑎
] 
 
Um auto vetor é; 𝑣2 = [
1
−1
] 
 
Uma base é um conjunto 𝛽 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}; com o menor número de elementos 
tais que, para cada vetor 𝑣, temos: 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 
 
O conjunto {[
1
3
] , [
1
−1
]} é uma base para ℝ2, assim: 
 
(
0
4
) = 𝑚 [
1
3
] + 𝑛 [
1
−1
] → (
0
4
) = [
𝑚
3𝑚
] + [
𝑛
−𝑛
] 
 
 
(
0
4
) = [
𝑚 𝑛
3𝑚 −𝑛
] → {
𝑚 + 𝑛 = 0 
3𝑚 − 𝑛 = 4
→ {
𝑚 = 1
𝑛 = −1
 
 
Portanto a solução é. 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒3𝑡 (
1
3
) − 𝑒−𝑡 (
1
−1
) => 𝑥 ′(𝑡) = (
0 1
3 2
) 𝑥(𝑡) => 𝑥(0) = (04) 
 
4 – 13 - Considere a matriz 
0 3
1 2
A
 
  
 
. 
a) Determine os autovalores de 
A
. 
 
λIn − A = λ [
1 0
0 1
] − [
0 3
1 −2
] = [
λ 0
0 λ
] − [
0 3
1 −2
] = [
λ −3
−1 λ + 2
] = 0 
 
λ² + 2λ − 3 = 0 → {
λ1 = −3 
λ2 = 1 
 
 
 
b) Exiba uma base de 2
R
 formada por autovetores de 
A
. 
Para 𝜆 = 1 
(
0 3
1 −2
) (
𝑎
𝑏
) = (
𝑎
𝑏
) → (
3𝑏
𝑎 − 2𝑏
) = (
𝑎
𝑏
) → {
3𝑏 = 𝑎 
𝑎 − 2𝑏 = 𝑏
→ {
3𝑏 = 𝑎
3𝑏 = 𝑎
 
 
O auto vetor é da forma 
𝑣2 = [
𝑎
𝑏
] = [
3𝑏
𝑏
] 
 
Um auto vetor é; 𝑣1 = [
3
1
] 
Para 𝜆 = −3 
−3 (
0 3
1 −2
) (
𝑎
𝑏
) = (
𝑎
𝑏
) → (
3𝑏
𝑎 − 2𝑏
) = (
−3𝑎
−3𝑏
) → {
3𝑏 = −3𝑎 
𝑎 − 2𝑏 = −3𝑏
→ {
𝑏 = −𝑎
𝑏 = −𝑎
 
 
O auto vetor é da forma 
𝑣2 = [
𝑎
𝑏
] = [
𝑎
−𝑎
] 
 
Um auto vetor é; 𝑣2 = [
1
−1
] 
 
Logo a base é o conjunto {[
1
3
] , [
1
−1
]} 
 
 
c) Resolva o sistema de equações diferenciais 
' 3
' 2
(0) 3
(0) 0
x y
y x y
x
y

  


 
. 
𝑥′ = 𝐴𝑥 
(
𝑥′(𝑡)
𝑦′(𝑡)
) = (
0 3
1 −2
) 𝑥 
 
𝑥(0) = (
3
0
) 
 
Como o item (b) – temos: 
 
(
3
0
) = 𝑚 [
3
1
] + 𝑛 [
1
−1
] → (
3
0
) = [
3𝑚
𝑚
] + [
𝑛
−𝑛
] 
 
 (30) = [
3𝑚 𝑛
𝑚 −𝑛
] → {
3𝑚 + 𝑛 = 3 
𝑚 − 𝑛 = 0
→ {
𝑚 = 3/4
𝑛 = 3/4
 
 
Portanto a solução é. 
 𝑥(𝑡) =
3
4
𝑒𝑡 (
3
1
) +
3
4
𝑒−3𝑡 (
1
−1
) 
 
5 – 18 - Prove que cos sin
sin cos
a b
b a a
b b
e e
b b
 
 
 
 
  
 
 para quaisquer 
,a bR
. 
𝑒
(
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
)
= 𝑒𝑎 (
cos 𝑏 sin 𝑏
− sin 𝑏 cos 𝑏
) 
 
𝑆𝑒 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 
𝑒𝐴𝑒𝐵 = 𝑒𝐴+𝐵 = 𝑒𝐵𝑒𝐴 
𝐴 = (
𝑎 0
0 𝑎
) , 𝐵 = (
0 𝑏
−𝑏 0
). 
𝐴𝐵 = (
𝑎 0
0 𝑎
) (
0 𝑏
−𝑏 0
) = (
0 𝑎𝑏
−𝑎𝑏 0
). 
𝐵𝐴 = (
0 𝑏
−𝑏 0
) (
𝑎 0
0 𝑎
) (
0 𝑎𝑏
−𝑏 0
). 
 
Logo, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴; 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑒: 
 
𝑒𝐴+𝐵 = 𝑒𝐴𝑒𝐵 
𝑒
(
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
)
= 𝑒𝐴𝑒𝐵 = (𝑒
𝑎 0
0 𝑒𝑎
) (
cos 𝑏 sin 𝑏
− sin 𝑏 cos 𝑏
) = 𝑒𝑎 (
1 0
0 1
) (
cos 𝑏 sin 𝑏
− sin 𝑏 cos 𝑏
) 
 
𝑒
(
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
)
= 𝑒𝑎 (
cos 𝑏 sin 𝑏
− sin 𝑏 cos 𝑏
)