Lista de execícios 9 - Mecânica Analíctica 1 - (Nivaldo A. Lemos)

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Lista 9 - Mecânica Clássica 1
Raphael Gomes Sousa
25 de março de 2022
1 Em três dimensões existe uma correspondência biuńıvoca
entre vetores e matrizes anti-simétricas reais,
A =
 0 −v3 v2v3 0 −v1
−v2 v1 0
 =
v1v2
v3

(i) Prove e que os autovalores da matriz anti-simétrica asso-
ciada ao vetor v são zero e ±i|v|. (ii) Se A é uma matriz real
anti-simétrica, prove que as matrizes I ±A são não singula-
res (isto é, são inverśıveis) e que matriz B = (I +A)(I −A)−1
é ortogonal.
(i) Temos que encontrar o determinante de (A− λI) para encontrar os autovalores. Sendo assim, 0 −v3 v2v3 0 −v1
−v2 v1 0
−
λ 0 00 λ 0
0 0 λ
 =
−λ −v3 v2v3 −λ −v1
−v2 v1 −λ

det(A− λI) = −λ3 − v1v2v3 + v1v2v3− v22λ− v12λ− v32λ = 0
= −λ(λ2 + v22 + v12 + v32 = 0
λ = 0, λ = ±i|v|
(ii) Sendo A uma matrix real antissimétrica, ela pode ser escrita associada a algum vetor v tal que
det(I ±A) = 1 + |v|2 ≥ 1.
Como det(I ± A) ̸= 0, então as matrizes I ± A são não-singulares, sendo assim, possuem inversa.
Além disso (A−1)T = (MT )−1 vale contanto que a matriz A seja inverśıvel. Agora vamos verificar que
B = (I +A)(I−)−1 é ortogonal. Sendo assim,
BT = [(I −A)−1]T (I +A)T
= [(I −A)T ]−1(I +A)T
= (IT −AT )]−1(IT +AT )
= (I +A)−1(I −A)
Pela antissimetria, podemos dizer que AAT = −A e a simetria da matriz identidade dá IT = I, vale
notar que:
(I −A)−1(I +A)−1 = [(I +A)(I −A)]−1
= (I −A2)−1
1
= [(I −A)(I +A)]−1
= (I +A)−1(I −A)−1
Ou seja, (I −A)−1 e (I +A)−1 comutam. O mesmo vale para as inversas:
(I −A)(I +A) = I −A2 = (I +A)(I −A).
Utilizando destes resultados anteriores, vemos
BTB = (I +A)−1(I −A)(I +A)(I −A)−1
= (I +A)−1(I +A)(I −A)(I −A)−1
= I2 = I
BBT = (I +A)(I −A)−1(I +A)−1(I −A)
= (I +A)(I +A)−1(I −A)−1(I −A)
= I2 = I
portanto, BT = B−1 e B é ortogonal.
2 A equação
(
dg
dt
)inercial = (
dg
dt
)corpo + w × g
pode ser deduzida de forma puramente anaĺıtica, sem apelar
para a definição geométrica do vetor velocidade angular. A
derivada de uma matriz é constitúıda pelas derivadas de seus
elementos, isto é, se A é uma matriz com entradas aij então
dA/dt é a matriz com entradas daij/dt. (i)Se A é uma ma-
triz ortogonal dependente do tempo, prove, tomando como
ponto de partida a identidade AAT = ATA = I, que a matriz
AT
dA
dt
é anti-simétrica. (ii) Se r0 é um vetor fixo num corpo ŕıgido
em rotação e r(t) é o mesmo vetor visto de um referencial
inercial, a relação entre as componentes correspondentes,
em linguagem matricial, é r(t) = A(t)r0. Pelo item anterior,
e levando em conta o exerćıcio anterior, prove que existe um
vetor tal que, para o observador inercial,
dr
dt
= w × r.
(iii) Sejam rΣ e rΣ0 as componentes do mesmo vetor posição
r de uma part́ıcula relativamente aos referenciais inercia Σ
e girante Σ0 e A a matriz de rotação de Σ para Σ
′. Se v e v’
são as velocidades da part́ıcula em relação aos referenciais
inercial e girante, respectivamente, temos
vΣ = v
′
Σ + Ȧ
TArΣ.
2
Levando em conta o item (i), a correspondência (1) entre
vetores e matrizes antisimétricas e que uma igualdade entre
vetores é válida em qualquer sistema de coordenadas, prove
que existe um vetor w tal que
v = v′ + w × r.
(i) Sendo os elementos da matriz identidade constantes, temos que
dI
dt
= 0
Sendo A uma matriz ortogonal, temos AAT = I, agora derivando tudo ficamos com,
dAAT
dt
=
dI
dt
Pela regra da cadeia e tendo a derivada da identidade como 0, temos:
dA
dt
AT +
dAT
dt
A = 0
Sendo assim,
dA
dt
AT = −dA
T
dt
A = −AT (dA
T
dt
)T
Usando a propriedade BTAT = (AB)T encontramos
dAT
dt
A = −(dA
T
dt
A)T , ou seja, dA
T
dt A é uma
matriz antissimétrica.
(iii) Sendo rΣ e rΣ′ componentes do mesmo vetor em referenciais diferentes conectados pela matriz A,
temos que
rΣ′ = ArΣ e rΣ = A
T rΣ′ ,
Onde AT = A−1. Derivando a segunda equação, ficamos com:
drΣ
dt
= AT
drΣ′
dt
+
dAT
dt
drΣ′ (I)
Substituindo drΣdt = vΣ e
drΣ′
dt = v
′
Σ′ a eq. (I) se torna,
vΣ = A
T v′Σ′ +
dAT
dt
rΣ′
onde v e v’ são velocidades da part́ıcula em relação a Σ e Σ′ respectivamente. Tomando agora AT v′Σ′ =
v′Σ, conseguimos substituir as relações encontradas na primeira equação rΣ′ = ArΣ, temos:
vΣ = v
′
Σ +
dAT
dt
ArΣ
Lembrando pelo item (i) que dA
T
dt A é uma matriz antissimétrica, a relação 0 −v3 v2v3 0 −v1
−v2 v1 0
 =
v1v2
v3

Nos diz que dA
T
dt A corresponde a um vetor ω. Escrevendo em componentes, temos e usando a eq A.21
do livro que é o śımbolo do Levi-Cevita,
ci =
3∑
j,k=1
εijkajbk
3
Temos:
(
dAT
dt
ArΣ)k =
3∑
l=1
(
dAT
dt
A)kl(rΣ)l
=
3∑
l,m=1
εklmωm(rΣ)l
= (ω × r)k
Já que uma igualdade de vetores é válida para qualquer sistema de coordenadas, podemos eliminar Σ
e escrever finalmente:
v = v′ + ω × r
3 Qualquer matriz ortogonal própria A corresponde a uma
rotação de um certo ângulo ϕ em torno de uma certa direção.
O eixo de rotação é determinado pelo autovetor de A com
autovalor 1. Se escolhermos as coordenadas de tal modo que
o eixo z coincida com o referido autovetor, a matriz A terá
a forma
A =
 cosϕ senϕ 0−senϕ cosϕ 0
0 0 1

Considerando que o traço de uma matriz é independente do
sistema de coordenadas, prove que, para qualquer matriz de
rotação A, o ângulo de rotação é dado por
cosϕ =
trA− I
2
O traço da Matriz. Ou seja, o traço de uma matriz n x n é a soma dos n elementos de sua diagonal
principal, para a questão, temos que o Traço da matriz A é dada por,
trA = 2cosϕ+ 1
Assim, podemos encontrar cosϕ,
trA− 1 = 2cosϕ
cosϕ =
trA− 1
2
4 Seja P uma matriz de rotação de 180◦ em torno de um eixo
arbitrário. (i) Determine P 2 sem cálculos, refletindo sobre
o seu significado. (ii) Sendo A = (I + P )/2 e B = (I − P )/2,
prove que
A2 = A, B2 = B
4
(iii) Mostre que as matrizes A e B são singulares (isto é, não
inverśıveis) e calcule o seu produto.
(i) Duas rotações de 180º consecutivas se tornam uma rotação de 360º em torno daquele eixo. O que
traz o vetor para a posição original, portanto P 2 = I (ii) Se A = (I + P )/2 e B = (I − P )/2,
A2 =
(I + P )2
4
=
I2 + PI + IP + P 2
4
Onde utilizamos a relação do item (i), que nos dá P 2 = I, e igualmente, I2 = I. Outra relação utilizada
é a de AI = A, para P, PI = IP = P , substituindo os valores, temos
A2 =
I2 + PI + IP + P 2
4
=
I + P + P + I
4
=
2I + 2P
4
=
I + P
2
= A
Analogamente, para B, temos
B2 =
(I − P )2
4
=
I2 − PI − IP + P 2
4
=
I − P − P + I
4
=
2I − 2P
4
=
I − P
2
= B
Sendo assim, conclúımos que
A2 = A e B2 = B
São A e B matrizes idempotentes.
(iii) A única matriz idempotente que possui inversa é a identidade:
A = A−1A2 = A−1A = I
Logo A e B não possuem inversa e são singulares. O seu produto AB é dado por:
AB =
(I + P )(I − P )
4
=
I2 − IP + PI − P 2
4
= 0
E BA:
BA =
(I − P )(I + P )
4
=
I2 + IP − PI − P 2
4
= 0
Conclúımos que AB = BA = 0 , logo matriz nula.
5 Em três dimensões, a Eq. (1) estabelece uma correspondência
biuńıvoca entre vetores e matrizes anti-simétricas reais. (i)
Se A = (akl) é a matriz associada ao vetor v = (v1, v2, v3),
mostre que
akl =
3∑
m=1
εkmlvm
onde εkml é o śımbolo de Levi-Civita definido no Apêndice
A. (ii) Mostre que, inversamente,
vm =
1
2
3∑
k,l=1
εkmlakl
5
	Em três dimensões existe uma correspondência biunívoca entre vetores e matrizes anti-simétricas reais, toA=( 0 -v3 v2 v3 0 -v1 -v2 v1 0 ) = ( v1 v2 v3 ) (i) Prove e que os autovalores da matriz anti-simétrica associada ao vetor v são zero e i|v|. (ii) Se A é uma matriz real anti-simétrica, prove que as matrizes I A são não singulares (isto é, são inversíveis) e que matriz B = (I + A)(I - A)-1 é ortogonal. 
	A equação to(dgdt)inercial=(dgdt)corpo+w g pode ser deduzida de forma puramente analítica, sem apelar para a definição geométrica do vetor velocidade angular. A derivada de uma matriz é constituída pelas derivadas de seus elementos, isto é, se A é uma matriz com entradas aij então dA/dt é amatriz com entradas daij/dt. (i)Se A é uma matriz ortogonal dependente do tempo, prove, tomando como ponto de partida a identidade AAT = ATA = I, que a matriz toATdAdt é anti-simétrica. (ii) Se r0 é um vetor fixo num corpo rígido em rotação e r(t) é o mesmo vetor visto de um referencial inercial, a relação entre as componentes correspondentes, em linguagem matricial, é r(t) = A(t)r0. Pelo item anterior, e levando em conta o exercício anterior, prove que existe um vetor ω tal que, para o observador inercial, todrdt=w r. (iii) Sejam r e r0 as componentes do mesmo vetor posição r de uma partícula relativamente aos referenciais inercia e girante 0 e A a matriz de rotação de para '. Se v e v' são as velocidades da partícula em relação aos referenciais inercial e girante, respectivamente, temos tov=v'+TAr. Levando em conta o item (i), a correspondência (1) entre vetores e matrizes antisimétricas e que uma igualdade entre vetores é válida em qualquer sistema de coordenadas, prove que existe um vetor w tal que tov=v'+w r.
	Qualquer matriz ortogonal própria A corresponde a uma rotação de um certo ângulo em torno de uma certa direção. O eixo de rotação é determinado pelo autovetor de A com autovalor 1. Se escolhermos as coordenadas de tal modo que o eixo z coincida com o referido autovetor, a matriz A terá a forma toA=( cos sen 0 -sen cos 0 0 0 1 ) Considerando que o traço de uma matriz é independente do sistema de coordenadas, prove que, para qualquer matriz de rotação A, o ângulo de rotação é dado por tocos= tr A - I2
	Seja P uma matriz de rotação de 180◦ em torno de um eixo arbitrário. (i) Determine P2 sem cálculos, refletindo sobre o seu significado. (ii) Sendo A = (I + P)/2 e B = (I - P)/2, prove que toA2=A, B2=B (iii) Mostre que as matrizes A e B são singulares (isto é, não inversíveis) e calcule o seu produto. 
	Em três dimensões, a Eq. (1) estabelece uma correspondência biunívoca entre vetores e matrizes anti-simétricas reais. (i) Se A = (akl) é a matriz associada ao vetor v = (v1, v2, v3), mostre que toakl=m=13kmlvm onde kml é o símbolo de Levi-Civita definido no Apêndice A. (ii) Mostre que, inversamente, tovm=12k,l=13kmlakl