Derivadas - Função Inversa e Funções Trigonométricas

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Projeto Cálculo I – Prof. Hugo Mesquita 
Derivadas – Lista 03 
 
1- Encontre a inversa g(x) de f(x)=√𝑥2 + 9 com domínio 𝑥 ≥
0 e calcule g’(x) de duas maneiras, usando a regra de 
derivação e derivando a função inversa diretamente. 
2- Dada a função f(x)=ln x, determine, pela definição, 
sua derivada onde ela existir. Dada a função inversa 
f -1(x)=ex, determine sua derivada onde ela existir. 
 
3- Deduza, a partir da derivada de f(x)=sen x, a 
derivada da função inversa: arcsen x. 
 
4- Deduza, a partir da derivada de f(x)=cos x, a 
derivada da função inversa: 
f -1(x)=arccos x. 
 
5- Calcule a derivada de g(x)=arcsen(x+2). 
 
6- Calcule a derivada de h(x)=3.ex-4. 
 
7- Determine a derivada de arctg(
1−𝑥2
1+𝑥2
) 
 
8- Calcule a derivada de arcsec(x) 
 
9- Se 𝐹′(𝑥) = cos2(𝑒𝑥 + 1), 𝐹(0) = 3, 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥 + 1)𝑒 ℎ(𝑥) é a inversa 
de G, determine o valor de ℎ′(3), sabendo que ℎ(3) = −1 
é: 
 
10- Considere a função real f, de variável real, 
definida por f(x)=x+ln(x), x>0. Se g é a função 
inversa de f, então g”(1) vale: 
11- A equação da reta que passa pelo centro da curva 
4 ² ² 4 4 0x y x y+ − + = e é normal ao gráfico da função real 
( )f x arcsen x= no ponto da abcissa
1
2
x = é: 
a) 2 2 3 0y x− + = 
b) 3 0y x− + = 
c) 1 0y x+ + = 
d) 2 2 3 0y x+ + = 
e) 1 0y x− − = 
12- A derivada primeira da função 
1 cos
arctan
x
y
senx
−
= é: 
a) cos2x 
b) 
1
2
 
c) 
1
3
 
d) cossenx x− 
e) cos x senx+ 
13- A função real f, de variável real, é definida 
por 
5( ) ln( ³ )f x x x x= + + . Podemos afirmar que a equação da 
reta normal ao gráfico da função inversa 
1f − no ponto 
1(ln3, (ln3))f − é 
a) 3 3ln3 1y x− + = 
b) 3 ln3 3y x− + = 
c) 3 ln 27 1y x+ − = 
d) 3 ln3 3y x+ − = − 
e) 3 ln3 3y x+ − = 
14- Desafio: 
Verifique a igualdade 
³ ² 2
1 ² ²
3 9
d x x
arcsenx x x arcsenx
dx
+ 
+ − = 
 