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Ponrplct t UNwERstoeoE CnrÓulcn
DO RIO DE JANEIRO
CONTROLE DISCRETO
Prof. Marco Antonio Meggiolaro
Pl - 15 de úril de2014
Nome: Luiz terilrúY
. 1 folha* de notas 44, 1 tabela de tansformadas, e calculadora são
e Mostre como você chegou às respostas. Boa sorte!
Problema l.
considereaequaçãodediferençasabaixo,ondexéavariáveldecontroleeuaenaada
x(k + 1) 
- 
1.2' x(k)+ 0-36' x(k - 1) = u(k)
v (1-1)
Obteúa a fimção de transferência X(z)U(z)'
| 1r \ ,^\ t --tlV
I a'- 1rà + O,\a-V )n(*)\
_Xr=l = 1 :1 .^ _=U ( z) Z + o136 'a' -'t.t'
v (t-2)
(svü
(s%r)
Calcule os Pólos e zeros do sistema
Zeross Z=o -Õ 9)
Pátos+ i'-1 7+o,3(':o C
']Pllz;i \ ti4):
Calcúe o ganho DC do sistemq ou seja, arazão entre o valor final de x(k) e a entrada
u(k), se ofu ro, constante (isto é, se u(k) tiver frequência nula).
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Z^1
\ ã't L .,trp
->- ---\-:$i{ '1 - 1rJ*o,3§\ Z'- r,)z+03t
1 u{.-
Zr- 4Àz+ q\ L
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André Felipe
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'l)
(14) (LoYü
Esc:reva o sistema na forma de espaço-estado, usando o estado X(k) : tx(k) x(k-l)lr e a
entrada U = [u(k)|. Mostne os valores de O e I.
ffi,.=[_:lH'L:]'' !c,.F-/§?
Problema 2
Queremos controlar a velocidade (v', vJ de um ROV submaÍino de massa m = 10 § nas
direções x e y do plano horizontal x-y, com o uso de 4 propulsores cElazes de prover forças
(fr, fv) em ambos os senüdos. Asstrmindo que o ROV só pode se mover no plano x-y, ê que o
arrasto hidrodinâmico linear tem coeficiente c = 10 N/(m/s) em todas as direções, as
equações do movimento resultam em
fx =m'it*G'Y,
fY =m'ür+§'YY
Um sensor ine,rcial conregue medir as velocidades do ROV,gemndo o vetor y: [vy vy]r.
yx
/,
I)
R
1
z
c
5
qsl
b(i
i4
Z
).{ t'
+
lr
Q'D 6Y")
Seovetordeestado éX= [", ,r]te as entradas,são U= E, frlr, calcule asmatrizesF,
G, H e J das equações contÍnuas X 
-fX+CUe Y = ffi + JU.
F {F^ =^.vr + ( Ú* :rcÜr+'toV.
rr x=mlÍl.fi;lil '?.==ry:ffiL" Lou -1 ) 5T
tl Y1fi*.ff# tri L ' Loó) |/ tX e-2) L-'- 1' 0o%)O sistema de propulsão é controlado por um sistema digtal de período T = ls.
ol lo.oesz o lt=L 0 o.,ut-l er=l 0 o.ou,,J'ondex(k+l)=o'x(k)+r'u(k)
.u sejq [;;t:ll] =' [;;8].' [I;8]g*,''
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O 0,3e"" )
Q-3) GW
Calcule os pólos de malha aMado sistema contínuq s diga se é estríve! jlsüfiaag{g
Pr':i, + úo,a F.' ) ''p ca.,r'l'ot, ), - - 1 n, ), -- -í
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O siSàenÀ co''jt {xtuo e
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5
resultante,
qgârt/(L
gPAE/
l..lío esrsYet
Q4)
Calcule os pólos de malha aberta do sistema discreto
Q-s)
Calcule a lr,aíitz de controlabilidade do
justificando.
(s%)
e diga se é estiável,
(s%)
reto, e diga se é observável,
justificando
PobgS -ü \,, = A, 16' I )r= q\ ( 8
c{r §rl =
g",,1(r):À
O 5;gÀer'ra ôiçcReta e' eSrJUeu Êe'S 6s Paoi
k erraJLrry^ Je^,!€s dO c itcul-o '
F
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sistema discreto, e diga se é conto ff{:|,
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I ô o)oeD Ô Ô,,â3|-
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Calcule a matrz de
justificando.
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, S Rnu K{9) =:
a-7)
N,io e' ?os< (veu
Un AtttsJOl s o
(lú/o)
Considere agoÍa que o sistema é conúolado em malha fechada por U(k) = 
-K'X(k).
Porqne \ãa é possível unr a fó,rmula de Ackermann? Ache affitz? x2 de ganhos K
para posicionar ambos os pólos de malha fechada em 02. Para isso, use o fato que o
siste,ma é desacoplado (e portanto K é diagonal), ou seja, pode ser escrito da forma
[v,ft + r)]= o' .[",G)]* r"'[r,(r)]
[vrrr+r)] = d -["rfrl]+ r. -[rr«l]
onde O. =0368 e I* =0.0632
PaiS À penur-A n'u"rlde lPeNpS 
s'Stênps Lov\
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ZK(Z] - 0.368,.{l?}'
-) á5 8J3
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- 0 1611 Uie|
-õ,0611 d(c1)
'rgQ1
3+ ôrt(J'
ii
ij
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ii
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l
Ll
I
l
o
[a :\'
?(?)
K(Z) .
{ ? -0r,rt] -
)
u [a)
(2-8) ev/o)
Que,temos projetar um obsernadsr preditivo pra obter o estado completo. Porque não é
possível usar a fórmula de Actçsnann? Ache a rlúív2 x? dç ganhos h qrp deixaÍia o
observador 2 vezrs 
-ais nápido que o controlador. Para isso, Íls$rna- que o nrfuero
característico de amostras do observador éametada do oúners do ao.qtroladot e use o
fato que as medições também são desacopladas (e portanto Ln é diagonal), oo r"ju,
[v,(al]= 
". 
'[",G)]+.1- -[Í;(t)]
[rrrol] = s. .["v(k)]+;. .[rrel]
LF=X t1 = 1-no,Lrs.{ r-^):1*#,
-0 3J])
r= 1- L >4d
Ô, áà5
(z ro,6)
)-
Lp - 0-
o) 1{9
, Io)1(g ô-] 
"/l-f =l , c,1(sj
1_
1r
,,=\'(TrcLl 5
(ril'çfr
L.
U
(2-10) 6Yü
' A partir do valor de S obtido no item anterior, calcule a matiz de ganho ótimo K do
controlador LQR.
{5t'+ tpJ
UNÀt{ 
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I tq,) Inol
l SJ)?s _-!
5,9 ))? I
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(2'11) 
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Áa rmalhe fer-har{e d pÚoietado'.- -ôâ"rrt" os Élos de matha fechada do controlador LQR.
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Ll(.r= ( f
,,f U §) X,
(r u íll?,1
t'-"Joqu-se 
atingir um valor-deTiado n: fg',1d^l }:,y:f:H.do Íepouso' ou seja'
para X(0) = d#" ffiiüã-*; d e" controle oii-o rqn dada pela equação
U(k)=-K.(x(k)-)(d)-,ondeKroi.a"ouaonoitem(2-10),calculeoesforçode
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