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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS APOSTILA DE CÁLCULO I DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL Parte I Profª. MSc. Adriana de Fátima Vilela Biscaro Veremos nesta apostila que a DERIVADA, representa a inclinação de uma curva num ponto. Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc. Exercícios: 1. Encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1). 2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2. Como vimos na seção anterior, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0). Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto x0, representa a inclinação da curva neste ponto. O termo “derivada” é usado porque a função f’ deriva da função f por meio de um limite. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Exercícios: 1. Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 +1 e use-a para encontrar a equação da reta tangente a y = x2 +1 em x=2. 2. Dada f(x) = 5x2 + 6x -1, encontre f’ (2). 3. Dada 3 2)( + − = x xxf , encontre f’(x). 4. Dada xxf =)( , encontre f’(4). 5. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. a) f(x) = x2 -1 ; x=0 b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1 6. Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 -1, determinar: a) f’ (1) + g’(1) b) 2f’(0) – g’(-2) c) f(2) – f’(2) d) [g’(0)]2 + 1/2g’(0) + g(0) 7. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 1 – 4x2 b) f(x) = 2x2 – x -1 c) f(x) = 1/x+2 d) f(x) = 1-x/x+3 8. Dada a função f(x)= 2x2 – 3x -2, determinar os intervalos em que: a)f’(x) >0 b) f’(x) <0 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS TEOREMA: Toda função derivável num ponto x1 é contínua nesse ponto Prova: (i) f(x1) existe; (ii) )(lim 1 xf xx→ existe; (iii) )(lim 1 xf xx→ = f(x1) Por hipótese, f(x) é derivável em x1. Logo f’ (x1) existe e, pela fórmula 1 1 1 )()( lim)(' 1 xx xfxfxf xx − − = → Concluímos que f(x1) deve existir para que o limite tenha significado. Exemplo: Seja a função definida por ≥− <− = 2,7 2,13 )( sexx sexx xf a) Mostre que f é contínua em 2. b) Encontre f’+ (2) e f’-(2). a) Esta função é contínua em 2. De fato, existe f(2) = 5; existe o limite: 5)13(lim)7(lim)(lim 22 2 =−=−= − → →→ + x x xxf xx E finalmente, 5)2()(lim 2 == → fxf x b) Obtemos f’+(2) usando a definição: 2 )2()( lim)2( 2 ' − − = → + x fxff x 2 57 lim)2( 2 ' − −− = → + x xf x 2 2 lim)2( 2 ' − +− = → + x xf x 2 )2( lim)2( 2 ' − −− = → + x xf x 1)2(' −=+f Usando a definição, obtemos f’-, temos; 2 )2()( lim)2( 2 ' − − = −→ − x fxff x 2 513 lim)2( 2 ' − −− = −→ − x xf x 2 63 lim)2( 2 ' − − = −→ − x xf x 2 )2(3 lim)2( 2 ' − − = −→ − x xf x 3)2(' = − f Como 2 )2()( lim)2( 2 ' − − = +→ + x fxff x ≠ 2 )2()( lim)2( 2 ' − − = −→ − x fxff x Concluímos que não existe o 0 0 )()(lim 0 xx xfxf xx − − → , Portanto, a função f(x) não é derivável em x0 = 2 Exercícios: 1. Mostre que a função ≥+− <+ = 14 112 )( sexx sexx xg não é derivável em x=1. 2. Seja ≥+ <+ = 112 12 )( 2 sexx sexx xg a) Mostre que g é derivável em p =1 e calcule g’(1). b) Esboce e gráfico de g. Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo: Proposição. Se nxxf −=)( onde n é um inteiro positivo e x ≠ 0, então 1.)(' −−−= nxnxf . Prova: Podemos escrever nx xf 1)( = . Aplicando a regra do quociente, temos: 2 1 )( .10.)(' n nn x nxxxf − − = 2 1 )( )(' n n x nxxf − − = nn xxnxf 21..)(' −−−= 1)(' −−−= nnxxf Exercícios: 1. Encontrar a derivada das funções dadas: a) f(x) = 3x2 + 5 b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4 d) f(x) = xx +3 e) f(x) = 32 x f) f(x) = x x 13 + g) 2 54)( xx xf += h) f(x) = 12 +x x i) 1 1)( 2 + − = x xxf j) 35 33)( 2 − + = x xxf k) )2)(13()( 45 xxxf −−= l) f(x) = (7x – 1)(x+4)
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