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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 1 LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproximar o máximo possível de um ponto ou va- lor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo limite são usados com bastante freqüência. A produtividade máxima teórica de uma máquina ou de uma fábrica é um limite, o desempenho ideal (ou limitante) que nunca é atingido na prática, mas que, teoricamente pode ser aproximado arbitrariamente. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por 2 )2)(2()( − −+ = x xx xf , definida para todos os valores reais, exceto, é claro, para x = 2. Veja, também que podemos simplificar a expressão 2 )2)(2()( − −+ = x xx xf e teremos 2)( += xxf . Queremos saber, para qual valor f(x) se aproxima, quando x se aproxima de 2. Para isso, vamos considerar as seguintes tabelas de valores: Podemos perceber que quanto mais x se aproxima de 2, mas f(x) se aproxima de 4. Assim, no estudo de limites, o que queremos saber, é qual será o valor de f(x) quando x se aproxima de 2. Dizemos, então, que 4 é o limite de 2 )2)(2()( − −+ = x xx xf , quando x se aproxima de 2, que podemos representar por 4)(lim 2 = → xf x ou 4 2 )2)(2(lim 2 = − −+ → x xx x onde a seta (→) indica que x tende (se aproxima) a 2. Note que x jamais assumirá o valor 2; estamos estudando as proximidades de 2 e concluindo que f(x) se aproxima de 4. x f(x) 1 3 1,5 3,5 1,7 3,7 1,8 3,8 1,9 3,9 1,99 3,99 1,999 3,999 . . . . . . x f(x) 3 5 2,5 4,5 2,3 4,3 2,2 4,2 2,1 4,1 2,01 4,01 2,001 4,001 . . . . . . Vamos aproximar x de 2, para va- lores à esquerda de 2, ou seja, tomaremos valores bem próximos de, contudo, menores do que 2. Vamos aproximar x de 2, para va- lores à direita de 2, ou seja, toma- remos valores bem próximos de, contudo, maiores do que 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 2 DEFINIÇÃO DE LIMITE Dada uma função f: IR → IR dizemos que esta função tem por limite o número b, quando x se aproxima de a e x ≠ a, se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de b quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente próximo de a. Simbolicamente temos: bxf ax = → )(lim ou bxf →)( quando ax → Quando existe o limite? Existe )(lim xf ax → , se e somente se: 1. bxf ax = −→ )(lim 2. bxf ax ′= +→ )(lim 3. bb ′= O que queremos dizer é que, existe o limite quando, os limites laterais, à esquerda e à direita, existirem e se eles forem iguais. PROPRIEDADES Para facilitar os problemas que envolvem limites, podemos nos valer das seguintes pro- priedades: 1. O limite de uma constante é a própria constante. kk ax = → lim 2. O limite da função identidade, isto é, da função xxf =)( , é o valor da tendência. ax ax = → lim 3. O limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites dessas funções. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax →→→ +=+ 4. O limite de uma diferença de funções, é igual à diferença dos limites dessas funções. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax →→→ −=− 5. O limite de um produto, é igual ao produto dos limites. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax →→→ ⋅=⋅ 6. O limite de um quociente, é igual ao quociente dos limites. )(lim )(lim )( )(lim xg xf xg xf ax ax ax → → → = 7. O limite de uma potência é igual à potência dos limites. [ ] n ax n ax xfxf = →→ )(lim)(lim 8. O limite do logaritmo é igual ao logaritmo do limite. [ ] = →→ )(limlog)(loglim xfxf ax kk ax CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 3 CÁLCULO DE LIMITES Para calcular o limite de uma função, a maneira mais fácil é substituir a variável x pelo número da tendência, lembrando que quando fazemos isso, é importante saber que x, na verdade, não estará assumindo aquele valor substituído, mas sim, um número tão próximo dele quanto se queira. EXEMPLOS Calcular os limites: a) 3lim 2→x Resolução Note que 3 é uma função constante )3)(( =xf e conforme vimos , pelas proprieda- des, kk ax = → lim , logo, 33lim 2 = →x b) x x 5 lim → Resolução Basta substituir x por 5, que nesse caso, diremos “passar o ponto”, assim: 5lim 5 = → x x c) )32(lim 2 1 + → x x Resolução “Passando o ponto”, temos 4313 2 12 =+=+⋅ NOTA: observe que quando “passamos o ponto” não devemos mais escrever lim, ou seja: ERRADO: 4)31(lim3 2 12lim)32(lim 2 1 2 1 2 1 =+= +⋅=+ →→→ xxx x a partir do momento em que você começa a passar o ponto, não é preciso mais es- crever lim. CERTO: 4313 2 12)32(lim 2 1 =+=+⋅=+ → x x d) )13(lim 1 − → x x Resolução 213113)13(lim 1 =−=−⋅=− → x x e) 2 3lim 2 2 + − → x x x Resolução 4 1 4 34 22 32 2 3lim 22 21 = − = + − = + − → x x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 4 EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule os limites: a) 5lim 2→x d) 1 32lim 3 1 + −+ → x xx x b) x x 3 lim −→ e) 53 423lim 2 23 1 −− −+− −→ xx xxx x c) )3(lim 2 2 − → x x f) 1 1lim 3 + + → x x x Questão 02 Determine: a) 7lim 2→x d) − −→ xx x 2 14lim 2 4 b) 3 2lim 1−→x e) )13(lim 2 3 −+ → xx x c) )5(lim 3 2 xx x + → f) )1(lim 234 0 ++− → xxx x Questão 03 Calcule: a) 2 1 6lim x x → e) )4)(1(lim 3 xx x −− → b) 2 2 2 3lim x x → f) 1 4lim 2 3 +→ x x x c) )4(lim 2 2 − → x x g) 1 lim 2 3 5 − → x x x d) 5 32lim 5 1 + → x x Questão 04 Seja xxx xxx xf 3 365)( 23 23 +− +− = , calcule: a) )(lim 1 xf x → b) )(lim 2 1 xf x → c) )(lim 1 xf x −→ Questão 05 Determine: a) 6 1 )12(lim − −→ x x b) 223 2 )1523(lim −+− → xxx x Questão 06 Ache o valor de: a) 4 4 1 81lim x x → b) 3 2 4 lim x x → CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 5 INDETERMINAÇÕES Se voltarmos ao nosso exemplo inicial 2 )2)(2()( − −+ = x xx xf , e se tentarmos re- solver o limite dessa função, simplesmente passando o ponto, teremos uma situação que iremos chamar de indeterminação, veja: 0 0 0 04 22 )22)(22( 2 )2)(2(lim 2 = ⋅ = − −+ = − −+ → x xx x (observe que não é possível efetuar a di- visão por zero, e nesse caso, queremos dividir zero por zero, o que nos leva a uma situa- ção indeterminada) PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES Temos sete indeterminações usuais: 1. 0 0 2. 00 3. ∞−∞+ 4. ∞⋅0 5. 0∞ 6. ∞±1 7. ∞± ∞± Onde ∞ é o símbolo de infinito. Para sair dessas indeterminações devemos fazer uso de conhecimentos básicos de ma- temática, tais como fatoração de polinômios e racionalização. EXEMPLOS Calcular os limites: a) 2 4lim 2 2 − − →x x x Resolução Ao passar o ponto, temos 0 0 0 44 22 42 2 4lim 22 2 = − = − − = − − → x x x (que é uma indetermina- ção) Para sair dessa indeterminação, podemos considerar a função 2 42 − − x x e fatorá-la. Observe que 42 −x é uma diferença de dois quadrados, isto é, um produto notável da forma ))((22 BABABA −+=− , logo, )2)(2(42 −+=− xxx . Assim: 2 2 )2)(2( 2 42 += − −+ = − − x x xx x x Agora, temos que )2(lim 2 4lim 2 2 2 += − − →→ x x x xx Veja que transformamos 2 4lim 2 2 − − → x x x em )2(lim 2 + → x x e agora, com muita facilidade, podemos passar o ponto 422)2(lim 2 =+=+ → x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 6 b) 2 2lim 2 2 − − → x xx x Resolução Passando o ponto, temos 0 0 4 44 22 222 2 2lim 22 2 = − = − ⋅− = − − → x xx x (indeterminação) Colocando o x em evidência no numerador, temos x x xx x xx = − − = − − 2 )2( 2 22 Assim, temos que 2lim 2 2lim 2 2 2 == − − →→ x x xx xx c) 3 6lim 2 3 + −+ −→ x xx x Resolução Passando o ponto, temos 0 0 0 639 33 6)3()3( 3 6lim 22 3 = −− = +− −−+− = + −+ −→ x xx x (que é uma indeterminação) Pelos exemplos anteriores, notamos que o ponto de indeterminação é a tendência, ou seja, nesse caso, é 3−→x e que podemos passar o −3 para o primeiro membro, assim 03 →+x . Agora, é só dividir o numerador )6( 2 −+ xx pelo fator de inde- terminação )3( +x usando divisão de polinômios. onde 2 3 )2)(3( 3 62 −= + −+ = + −+ x x xx x xx agora, temos 523)2(lim 3 6lim 3 2 3 −=−−=−= + −+ −→−→ x x xx xx d) 3 3lim 3 − − → x x x Resolução Ao passar o ponto chegamos numa indeterminação, então nesse caso, iremos usar a racionalização do denominador 3 3 )3)(3( )3()( )3)(3( 3 3 3 3 22 += − +− = − +− = + + ⋅ − − x x xx x xx x x x x Agora, 3233)3(lim 3 3lim 33 =+=+= − − →→ x x x xx 62 −+ xx 3+x xx 32 −− 62 −− x 62 +x 0 2−x 62 −+ xx 3+x xx 32 −− 62 −− x 62 +x 0 2−x Assim )2)(3(62 −+=−+ xxxx CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 7 EXERCÍCIOS Questão 01 Calcular: a) 3 9lim 2 3 − − → x x x b) 5 25lim 2 5 + − −→ x x x c) x xx x 4 lim 2 0 + → d) 5 5lim 2 5 + + −→ x xx x e) 9 81lim 2 9 − − → x x x f) 2 2lim 2 2 + + −→ x xx x Questão 02 Calcule: a) 5 2510lim 2 5 − +− → x xx x d) 6 6lim 2 6 − − → x xx x b) 2 145lim 2 2 − −+ → x xx x e) 1 1lim 23 1 − −+− → x xxx x c) 4 12lim 2 4 − −− → x xx x f) xx xxx x 23 24lim 2 23 0 + +− → Questão 03 Calcule: a) 62 33lim 234 3 − −+− → x xxxx x c) aa aaa a 2 103lim 2 23 2 − −+ → b) 4 107lim 2 2 2 − +− → x xx x d) 65 4lim 2 2 2 +− − → xx x x Questão 04 Calcule: a) 23 12lim 2 2 1 +− +− → xx xx x d) 242 23lim 23 23 2 +−− +−− → xxx xxx x b) 45 23lim 2 2 1 ++ ++ −→ xx xx x e) 335 862lim 24 235 1 −−+ −+−+ → xxx xxxx x c) 24269 6116lim 23 23 2 −+− −+− → xxx xxx x Questão 05 Calcule: a) 35 2lim 22 −+ − → x x x b) 132 1lim 2 1 +− − → x x x c) x x x 11lim 0 −+ → d) 8 31lim 8 − −+ → x x x e) 2 2lim 2 − − → x x x f) 102 21lim 5 − −− → x x x g) 2 321lim 4 − −+ → x x x h) x xx x 11lim 2 0 −++ → i) 22 312lim 4 −− −+ → x x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 8 LIMITES INFINITOS Agora, vamos estudar limites em que a variável x, ou a função f(x), ou ambos, tomam valores absolutos arbitrariamente grandes. EXEMPLOS Calcular os limites: a) 2lim x x ∞+→ Resolução Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = x f(x) 1 1 5 25 10 100 100 10.000 1.000 1.000.000 . . . . . . b) 2lim x x ∞−→ Resolução Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = x f(x) −1 1 −5 25 −10 100 −100 10.000 −1.000 1.000.000 . . . . . . c) 3lim x x ∞−→ Resolução Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = x f(x) −1 −1 −5 −25 −10 −100 −100 −10.000 −1.000 −1.000.000 . . . . . . A partir da tabela, percebemos que, quanto mais x se aproxima de ∞ , mais f(x) se aproxi- ma de ∞ , logo ∞= ∞+→ 2lim x x A partir da tabela, percebemos que, quanto mais x se aproxima de ∞− , mais f(x) se apro- xima de ∞ , logo ∞= ∞−→ 2lim x x A partir da tabela, percebemos que, quanto mais x se aproxima de ∞− , mais f(x) se apro- xima de ∞− , logo −∞= ∞−→ 2lim x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 9 A partir dos exemplos dados, podemos concluir que dada uma função nxxf =)( , INn ∈ , temos que: 1. ∞= ∞→ )(lim xf x 2. ∞= ∞−→ )(lim xf x , se n for par 3. −∞= ∞−→ )(lim xf x , se n for ímpar LIMITE INFINITO FUNDAMENTAL 01lim = ∞±→ xx EXEMPLOS Calcular os limites: a) 5 32lim + − ∞+→ x x x Resolução ∞ ∞ = + − ∞+→ 5 32lim x x x (que é uma indeterminação) Vamos dividir o numerador e o denominador por x x x xx x xx x x x x x x x 51 32 5 32 5 32 5 32 + − = + − = + − = + − então x x x x xx 51 32 lim 5 32lim + − = + − ∞+→∞+→ e agora, aplicamos propriedades de limites x x x x x x x x xxx xxx xx xx xx 1lim5lim1lim 1lim3lim2lim 5lim1lim 3lim2lim 51 32 lim 5 32lim ∞+→∞+→∞+→ ∞+→∞+→∞+→ ∞+→∞+→ ∞+→∞+→ ∞+→∞+→ ⋅+ ⋅− = + − = + − = + − 2 1 2 01 02 051 032 5 32lim == + − = ⋅+ ⋅− = + − ∞+→ x x x Obs.: podemos usar de um raciocínio mais rápido para resolver essa questão, veja: basta tomar o termo de maior grau no numerador e no denominador 22 5 32 == + − x x x x , logo, 22lim 5 32lim == + − ∞+→∞+→ xx x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 10 b) 124 342lim 23 23 +− +− ∞+→ xx xx x Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 2 1 2 1lim 4 2lim 124 342lim 3 3 23 23 === +− +− ∞+→∞+→∞+→ xxx x x xx xx c) 13 1253lim 2 25 + −+− ∞+→ x xxx x Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador,temos +∞=+∞=== + −+− ∞+→∞+→∞+→ 33 2 5 2 25 )(lim 3 3lim 13 1253lim x x x x xxx xxx d) 24 154lim 23 2 +− +− ∞+→ xx xx x Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 0041lim4lim4lim4lim 24 154lim 3 2 23 2 =⋅=⋅=== +− +− ∞+→∞+→∞+→∞+→∞+→ xxx x xx xx xxxxx e) )1524(lim 23 −−+ ∞+→ xxx x Resolução Dessa vez, basta tomar o termo de maior grau do numerador ∞=∞⋅=∞⋅==−−+ ∞+→∞+→ 44)4(lim)1524(lim 3323 xxxx xx f) 22lim 2 +− ∞−→ xx x Resolução 22 2lim22lim xxx xx ∞−→∞−→ =+− mas veja que xxx ⋅=⋅= 222 22 , pois xx =2 assim, +∞=∞⋅=∞−⋅=⋅==+− ∞−→∞−→∞−→ 222lim2lim22lim 22 xxxx xxx CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 11 EXERCÍCIOS Questão 01 Calcular: a) )(lim 4 xx x − ∞+→ b) 12 15lim 2 23 ++ −+ ∞+→ xx xx x c) ( )xx x 212lim −+ ∞+→ Questão 02 Calcular: a) 25lim x x ∞+→ e) 34lim x x ∞+→ b) 25lim x x ∞−→ f) 34lim x x ∞−→ c) )6(lim 2x x − ∞+→ g) )8(lim 3x x − ∞+→ d) )6(lim 2x x − ∞−→ h) )8(lim 3x x − ∞−→ Questão 03 Calcular: a) )(lim 2 xx x + ∞+→ c) )(lim 24 xx x −− ∞+→ b) )(lim 35 xx x + ∞−→ d) )(lim 79 xx x −− ∞−→ Questão 04 Calcular: a) xx 1lim ∞+→ b) xx 2lim ∞−→ c) 2 3lim xx − ∞+→ d) 3 6lim xx ∞−→ Questão 05 Calcular: a) )1(lim 23 −+− ∞+→ xxx x c) )2(lim 24 xxx x −+− ∞+→ b) )165(lim 2 −− ∞−→ xx x d) )4(lim 23 xxx x +−− ∞−→ Questão 06 Calcular: a) 73 16lim 2 − ++ ∞−→ x xx x d) 12 1710lim 4 23 −+− +− ∞−→ xx xx x b) 135 24lim 3 23 ++ +− ∞+→ xx xx x e) 13 4lim 25 35 ++ +− ∞−→ xx xxx x c) 153 36lim 2 24 −+− +− ∞+→ xx xx x Questão 07 Calcular: a) ( )xx x 313lim −+ ∞+→ c) ( )xxx x −++ ∞+→ 32lim 2 b) ( )13lim +−+ ∞+→ xx x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 12 O NÚMERO “e” Vamos considerar a função IRINf →*: definida pela expressão n n nf += 11)( e uma tabela de valores: n f (n) 1 2 2 2,25 3 2,37 4 2,44 5 2,48 6 2, 52 7 2, 54 . . . . . . 20 2, 65 . . . . . . 50 2,69159 . . . . . . 100 2,70481 . . . . . . 500 2,71557 . . . . . . 1.000 2,7169 . . . . . . EXEMPLOS Calcular os limites: a) x x x 211lim + ∞→ Resolução Veja que x x 211 + pode ser escrito como 2 11 + x x logo 2 2 2 22 11lim11lim11lim e xxx x x x x x x = += += + →∞→∞→ Podemos notar que, a medida que n tende para infinito ( ∞ ), f(n) tende para o número irracional 2,7182818284. . . Esse número irracional, será representado por 71,2=e (número de Euler) e diremos que e n n n = + ∞→ 11lim CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 13 b) x x x − ∞−→ 11lim Resolução vamos fazer yx yx −=⇒=− 11 assim, se −∞→x , então ∞→⇒−∞→− yy logo 1 11lim11lim11lim − ∞→ − ∞→∞−→ += += − y y y y x x yyx e e yx y y x x 111lim11lim 1 1 == += − − − ∞→∞−→ c) x x x + ∞→ 21lim Resolução vamos fazer yx yx 212 =⇒= assim, se ∞→x , então ∞→y logo 22 11lim11lim21lim += += + ∞→∞→∞→ y y y y x x yyx 2 2 11lim21lim e yx y y x x = += + ∞→∞→ d) x x x 3 0 )31(lim − → Resolução vamos fazer y x y x 3 113 −=⇒=− assim, se 0→x , então ∞→y logo y y y y y y x x yyy x 9)3(3 3 1 3 3 0 11lim11lim11lim)31(lim − ∞→ −⋅ ∞→ − ∞→→ += += +=− 9 9 99 3 0 111lim11lim)31(lim e e yy x y y y y x x == += +=− − − ∞→ − ∞→→ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 14 EXERCÍCIOS Calcular: a) x x x 411lim + ∞+→ d) x x x x + ∞+→ 6lim g) ( ) x x x 1 0 1lim + → b) x x x 611lim + ∞+→ e) x x x − ∞−→ 11lim h) ( ) x x x 4 3 0 1lim + → c) x x x 431lim + ∞+→ f) x x x − ∞−→ 21lim i) ( ) x x x 1 0 61lim + → LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL a x a x x ln1lim 0 = − → EXEMPLO Calcular 20 5 1lim 2 x e x x − → Resolução passando o ponto, temos 0 0 0 11 05 1 05 1 5 1lim 0 2 0 20 22 = − = ⋅ − = ⋅ − = − → ee x e x x (indeterminado) mas note que 20020 1lim 5 1lim 5 1lim 22 x e x e x xx x x − ⋅= − →→→ fazendo Ax =2 e 0→x , então 0→A logo 5 11 5 1ln 5 11lim 5 1lim 5 1lim 0020 2 =⋅=⋅= − ⋅= − →→→ e A e x e A xx x x EXERCÍCIOS Calcule os limites: a) x x x 12lim 0 − → d) x xx x 36lim 0 − → b) x e x x 1lim 5 0 − → e) 33 1010lim 1 − − → x x x c) x x x 3 12lim 5 0 − → CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 15 LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL 1lim 0 = → x xsen x EXEMPLO Calcular x xsen x 2lim 0→ Resolução 0 0 0 0 0 022lim 0 == ⋅ = → sensen x xsen x (indeterminação) vamos usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por 2 2212lim 2 2lim2 2 2lim 2 22lim 0000 =⋅=⋅= ⋅=⋅ →→→→ xxxx x xsen x xsen x xsen EXERCÍCIOS Calcular: a) x xsen x 3 8lim 0→ d) xsen xsen x 4 5lim 0→ g) 5 5lim 5 pi− pi − pi → x xsen x b) x xsen x 2 3lim 0→ e) xsen xsen x 10 7lim 0→ h) x xtg x 0 lim → c) x xsen x 3 5lim 0→ f) 20 cos1lim x x x − → i) xtg xsen x 0 lim → CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 16 FUNÇÃO CONTÍNUA Consideremos o gráfico das funções f1, f2 e f3 a seguir: Observe que a cada x do domínio de f1 associamos um único valor de y e também que o gráfico de f1 não é interrompido para x = a, isto é, o gráfico pode ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. Mas, o mesmo não acontece com os gráficos de f2 e f3 que não podem ser dese- nhados sem se levantar a ponta do lápis do papel, isto é, os gráficos são interrompidos para x = a. A função f1 é denominada contínua e as funções f2 e f3 são chamadas descontí- nuas em x = a. O ponto a é chamado ponto de descontinuidade da função. Para que uma função f(x) seja contínua em x = a do seu domínio, as seguintes condições devem ser satisfeitas: 1. existe f(a) 2. existe )(lim xf ax → 3. )()(lim afxf ax = → EXEMPLOS Estude a continuidade ou descontinuidade de cada função: a) 2 4)( 2 − − = x x xf Resolução como a função f(x) não é definida para 2=x , então f(x) não é contínua neste ponto. y f1 (a) a x f1 y f2 f2 (a) a x y f3 f3 (a) a x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 17 b) ≥ <− = 1, 1,23)( 2 xsex xsex xf Resolução devemos verificar as três condições: 1. 1)1(11)1( 1 =⇒== ff 2. os limites laterais são: 1)23(lim)(lim 11 =−= −− →→ xxf xx 1lim)(lim 2 11 == ++ →→ xxf xx os limites laterais são iguais, logo 1)(lim 1 = → xf x 3. 1)1()(lim 1 == → fxf x Assim, a função é contínua em 1=x EXERCÍCIOS Questão 01 Verificar se a função 2 4)( 2 − − = x x xf é contínua em x = 3. Questão 02 Verificar se a função 1 7)( − + = x x xf é contínua em x = 1. Questão 03 Determinar m ∈ IR de modo que a função = ≠+− = 4,3 4,65)( 2 xsem xsexx xf seja contínua em x = 4. Questão 04 Dada a função 1 1)( + − = x x xf , diga se f(x) é contínua nos pontos: a) x = 0 b) x = −1 c) x = 2 Questão 05 Dada a função 103 5)( 2 −+ + = xx x xf , diga se f(x) é contínua nos pontos: a) x = 5 b) x = 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 18 Questão 06 Determine, quando existirem, os pontos de descontinuidade das funções: a) 5 4)( − + = x x xf b) x xf 1)( = c) 9 5)( 2 − = x x xf Questão 07 Mostre se a função = ≠+ = 3,7 3,2)( xse xsex xf é contínua ou descontínua em x = 3. Questão 08 Verifique se a função real, de variável real definida por ≥ <<− ≤− = 3,4 31,2 1,2 )( 2 xse xsex xsex xf , é contínua ou descontínua nos pontos: a) x = 1 b) x = 3 Questão 09 Sabendo que a função h(x) = f(x) + g(x) é contínua e que g(m) = 5 e 9)(lim = → xf mx , de- termine h(m).
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