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Jogos Matemáticos 
Alessandro Ferreira Alves
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Sumário
CAPÍTULO 2 – Regime de capitalização composta .............................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
2.1 Noção Básica de Capitalização Composta ..................................................................06
2.2 Fórmula de Juros Compostos e Montante....................................................................08
2.3 Taxa Equivalente, Nominal e Efetiva ...........................................................................12
2.3.1 Taxas Equivalentes ...........................................................................................12
2.3.2 Taxa Nominal e Taxa Efetiva .............................................................................14
2.4 Desconto no Regime de Capitalização Composta ........................................................17
2.4.1 Desconto Composto por Fora (ou Desconto Comercial) .......................................18
2.4.2 Desconto Composto por Dentro (ou Desconto Racional) ......................................19
2.5 Implementando problemas financeiros na Calculadora HP 12C .....................................21
Síntese ..........................................................................................................................25
Referências Bibliográficas ................................................................................................26
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Capítulo 2 
Introdução
Com certeza você já ouviu a expressão “juros sobre juros”. Entretanto, você sabe como são feitos 
os cálculos envolvendo os juros de um financiamento? E quanto aos juros referentes ao seu che-
que especial? Poderíamos considerar tais valores expressivos ou não? A Caderneta de Poupança 
é um bom negócio? Ela apresenta uma rentabilidade relevante? 
Para respondermos a perguntas como essas, devemos estudar o segundo regime de capitaliza-
ção, que é o regime exponencial de juros, conhecido popularmente como juros compostos. 
Em verdade, é sabido que o regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, 
portanto, o mais útil para cálculos de problemas no âmbito da gestão financeira do nosso cotidiano. 
Tecnicamente falando acerca do regime composto, podemos dizer que os juros gerados a cada 
período são incorporados ao valor presente para o cálculo dos juros do período logo na sequên-
cia, daí o termo “juros sobre juros”. 
Note claramente que esse processo de formação de juros é distinto do processo dos juros sim-
ples, estudado anteriormente, no qual o capital rende juros de forma única, não ocorrendo re-
muneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
Salientamos ainda que as formas de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo 
com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro. 
Nesse sentido, faz-se importante a interpretação do funcionamento e das propriedades caracte-
rísticas do regime composto, como a evolução do valor futuro e as taxas associadas. 
Sendo assim, neste capítulo apresentaremos a você a definição de regime de capitalização com-
posto, analisando a resolução de problemas aplicados em operações financeiras e comerciais. 
Para tal, abordaremos os seguintes temas:
•	 Noção Básica de Capitalização Composta;
•	 Fórmula de Juros Compostos e Montante;
•	 Taxa Equivalente, Nominal e Efetiva;
•	 Desconto em Regime de Capitalização Composta;
•	 Apresentação de problemas envolvendo o regime composto na calculadora HP 12C;
•	 Apresentação das fórmulas características do desconto no âmbito do regime de 
capitalização composto.
Regime de 
capitalização composta
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Matemática para gestores
2.1 Noção Básica de Capitalização Composta
No regime de capitalização composta, também conhecido como regime de juros compostos, os 
juros ocorrem de modo acumulativo, ou seja, os juros são capitalizados de forma a produzir juros 
sobre juros periodicamente. Ou, ainda, a taxa de juros incidirá sobre o valor futuro (ou montante) 
acumulado no final do período imediatamente anterior.
Note então a diferença em relação ao regime linear de juros, no qual os juros são calculados 
apenas sobre a quantia inicial.
O mercado financeiro brasileiro utiliza o regime composto, já que tal regime, como exposto, 
oferece maior rentabilidade quando comparado ao regime linear de juros, no qual o valor dos 
rendimentos se torna fixo. 
Vamos ilustrar essa questão por meio de uma situação introdutória para compararmos os valores 
obtidos em cada um dos dois regimes. Consideremos uma aplicação no valor de R$ 1.000,00, 
com prazo de três meses e a uma taxa de juros de 20% ao mês, conforme nos mostra a tabela 
abaixo:
Juros	Simples Juros	Compostos
Mês Rendimento Valor	Futuro Rendimento Valor	Futuro
Primeiro Mês 1000 x 0,2 = 200 R$1.200,00 1000 x 0,2 = 200 R$1.200,00
Segundo Mês 1000 x 0,2 = 200 R$1.400,00 1200 x 0,2 = 240 R$1.440,00
Terceiro Mês 1000 x 0,2 = 200 R$1.600,00 1440 x 0,2 = 288 R$1.728,00
Tabela 1 – Comparativo entre o valor futuro no regime linear e no regime composto.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Olhando a tabela, percebemos que:
•	 No regime de juros simples, R$ 1.000,00 resultaram em R$ 1.600,00 ao final do terceiro 
mês.
•	 No regime de juros compostos, R$ 1.000,00 resultaram em R$ 1.728,00 ao final do 
terceiro mês.
Sendo assim, podemos concluir que:
•	 Nos juros simples, a taxa é sempre calculada sobre o valor presente, por isso o valor 
futuro (valor presente + juros) cresce de forma linear.
•	 Nos juros compostos, o rendimento de cada mês é incorporado ao valor presente para 
os cálculos dos juros do período subsequente, possibilitando o crescimento exponencial 
do valor futuro.
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JUROS	SIMPLES
São aqueles aplicados sobre um saldo devedor constante, ou seja, os 
juros não crescem, são sempre iguais. Geralmente eles são aplicados 
em operações de curtíssimo prazo ou quando a dívida só será paga 
no final de um determinado período, não em parcelas. Seu gráfico 
característico é uma reta.
JUROS	COMPOSTO
São acrescidos de tal forma que os juros aumentam cada vez mais. 
São os famosos “juros sobre juros”. O crescimento, nesse caso, é 
exponencial, ou seja, seu gráfico é uma curva mais íngreme. O caso 
mais conhecido de juros compostos é o da Caderneta de Poupança.
Figura 1 – A diferença entre os regimes de capitalização.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A figura a seguir apresenta graficamente a diferença entre os dois regimes de capitalização, sen-
do que a curva em azul mostra a evolução do valor futuro no regime de juros compostos (curva 
mais íngreme), e a reta em vermelho representa a evolução do valor futuro baseado no regime 
de juros simples (crescimento linear).
Figura 2 – Interpretando geometricamente a diferença entre os regimes de capitalização.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
08 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
2.2 Fórmula de Juros Compostos e Montante
Primeiramente, para entendermos as expressões características do regime composto, vamos con-
siderar uma situação específica. 
Pergunta	Contextualizada: suponha que Paulo tenha disponível a quantia de R$ 1.000,00, 
para uma aplicação financeira. Ele, então, procura o Banco AFA, que lhe oferece uma aplicação 
a uma taxa composta de 10% ao mês. Quais são os valores a serem recebidos por Paulo?
Para respondermos a tal questão, vamos denominar o valor presente ou capital inicial de PV e o 
valor futuro ou montante de FV. Assim, observe que:
•	 Ao	 final	 do	 1°	 mês: o capital de R$ 1.000,00 gera juros de R$ 100,00 (10% de 
R$ 1.000,00) e um valor futuro de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00). Logo,podemos escrever FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1.100,00.
•	 Ao	final	do	2°	mês: o valor futuro do mês anterior R$ 1.100,00 é o capital desse segundo 
momento, sendo a base, então, para o cálculo dos juros. Dessa maneira, podemos 
escrever:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1.210,00
Note que o valor futuro do 2° mês pode ser descrito como:
R$ 1.000,00 capital aplicado
R$ 100,00 juros referentes ao 1° mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 100,00 juros referentes ao 2° mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1° mês (10% x R$ 100,00)
•	 Ao	final	do	3°	mês: continuando o mesmo raciocínio, podemos escrever:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10)3 = R$ 1.331,00
•	 Ao	final	do	enésimo	mês: observando mais uma vez a evolução dos juros compostos, o 
valor futuro acumulado ao final do período n atinge:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ... x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10)n
Observe, então, que ao final do primeiro mês Paulo teria um montante de R$ 1.100,00, 
R$ 1.210,00 ao final do segundo mês, R$ 1.331,00 ao final do terceiro mês e assim por diante.
Dessa forma, chamando PV (valor presente), FV (valor futuro), i (taxa de juros) e n (período de 
capitalização), podemos generalizar o raciocínio utilizado acima, descrevendo as fórmulas ca-
racterísticas para o regime exponencial de juros. Veja:
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FV	=	PV	x	(1	+	i)n e PV	=	
Salientamos que (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro), FCC (i, n) a juros com-
postos, e ni)1(
1
+
 o fator de atualização (ou de valor presente), FAC (i, n) a juros compostos.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos nos quais caracterizaremos cálculos algébricos a partir das 
expressões descritas anteriormente.
Exemplo: qual é o valor da taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00, 
que resultou em um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre?
Solução: podemos escrever que PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 43.894,63. Dessa forma, 
temos que:
FV = PV x (1 + i)n
43.894,63 = 40.000,00 x (1 + i)4
 = (1 + i)4
4 097366,1 = 4 4)1( i+
1,0235 = 1 + i ou i = 0,0235 ou 2,35% ao mês
Exemplo: Bruno realizou uma aplicação de R$ 22.000,00 no Banco AFA e tal aplicação produz 
à taxa composta de juros de 2,4% ao mês um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. 
Qual é o prazo dessa operação realizada por Bruno?
Solução: observe que, nesse caso, queremos encontrar o prazo (n) da operação. Do enunciado 
do problema temos que PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024 a.m. e FV = 26.596,40. 
Dessa forma, é possível concluir que:
FV = PV x (1 + i)n
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024)n
 = (1,024)n
1,208927 = (1,024)n
10 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Agora, salientamos que a única maneira a ser utilizada para que possamos isolar o parâmetro 
(n) é através do logaritmo decimal (base 10), como segue:
log (1,208927) = log (1,024)n
0,082400 = n x log (1,024)
n = 
)024,1log(
082400,0
 ou n = 8 meses
Portanto, o prazo da operação realizada foi de oito meses.
Exemplo: determine os juros pagos por Davi referentes a um empréstimo no valor de R$ 
88.000,00, pelo prazo de cinco meses, com taxa composta de 4,5% ao mês. 
Solução: do enunciado, vemos que PV = 88.000,00, n = cinco meses e i = 4,5% a. m. = 0,045 
a.m. Além disso, sabemos que o valor futuro é a soma do valor presente e dos juros. Logo, es-
crevemos:
FV = PV + J ou J = FV – PV 
Ou, ainda, de acordo com a expressão para o valor futuro no regime composto, temos que:
J = PV x [(1 + i)n – 1] 
Substituindo os valores do problema, podemos descobrir que:
J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045)5 – 1]
J = 21.664,02
Portanto, Davi pagou de juros o valor de R$ 21.664,02.
Exemplo: certo aplicador colocou no mercado financeiro um capital de R$150.000,00 a juros 
compostos de 7% ao mês, durante 3 meses e 20 dias. Em seguida, reaplicou o montante ainda a 
juros compostos de 10% ao mês. No final da operação, recebeu R$ 620.000,00. Qual o período 
total em que o capital esteve aplicado?
Solução: Nesse caso, podemos escrever para o primeiro montante, considerando PV = 150000, 
i = 7% a.m. = 0,07 e n1 = (3 + 
2
3
) meses, daí: 
Primeiro	Montante: M1 = 150000 x 
23
3(1 0,07)
+
+ , ou seja, M1 = 192.234,70
A seguir, para o segundo montante, temos que M2 = 620000, i = 10% a.m. = 0,10 a.m. e 
devemos encontrar o valor de n2 para essa etapa, para depois somarmos os dois prazos. Logo, 
podemos escrever:
11
620000 = 192.234,70 x (1 + 0,10)n
log (3,225224) = n2
n2 = 12,28 ou n2 = 12 meses e 8 dias
Portanto, o prazo total é dado por n = n1 + n2 = 15 meses e 28 dias. 
Exemplo: Cauã deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada a uma insti-
tuição financeira. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. Cauã, 
prevendo problemas de fluxo de caixa nessas datas, por conta de problemas de saúde na família, 
propõe a substituição dessas suas obrigações por um único pagamento ao final do quinto mês. 
Supondo que seja a taxa corrente de juros compostos de 2% ao mês, qual seria o valor desse 
único pagamento? 
Solução: aqui estaremos utilizando o mesmo contexto trabalhado sobre equivalência de capitais 
no regime linear de juros, só que considerando agora o regime composto. Dessa forma, vejamos 
a interpretação geométrica de tais fluxos na Figura 3 a seguir.
25.000,00 56.000,00
0 2 3 5
M
Figura 3 – A disposição geométrica de fluxos do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor, 2015.
Vamos definir a data de comparação (data focal) como sendo o momento 5, ou seja, a equiva-
lência vai ser feita na data 5 ou no quinto mês. Além disso, o valor a ser encontrado para esse 
pagamento único seja representado pela letra M. Dessa maneira, podemos escrever, a partir do 
momento em que capitalizamos:
M = 25.000,00 x (1 + 0,02)³ + 56.000,00 x (1 + 0,02)²
M = 26.530,20 + 58.262,40
M	=	84.792,60
Ou seja, o valor desse pagamento único que Cauã se propõe a fazer é de R$ 84.792,60. Tal 
valor pode ser visto como sendo o valor equivalente no momento 5, aos valores do segundo mês 
e do terceiro mês, quando capitalizados para o momento 5.
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Exemplo: Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das alternativas de pagamento representa 
o menor custo para o devedor:
a) Pagamento integral de R$140.000,00 a vista (na data zero).
b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em 120 dias.
Solução: aqui, podemos atualizar a situação descrita em (b) e comparar com (a). Ou seja, vai 
representar menor custo para o devedor aquela situação que representar o menor valor na data 
zero. Logo, atualizando os valores da situação (b) para a data zero, temos que:
•	 30.000,00 atualizado na data zero = 30 000
•	 40.000,00 em 60 dias atualizado para a data zero resulta em: 40000
(1 0,07)²+
 = 34.937,54
•	 104.368,56 em 120 dias atualizado para a data zero resulta em: 4
104.368,54
(1 0,07)+
 = 79.622,25
Portanto, a soma dos valores atualizados é dada por:
PV = 30000 + 34.937,54 + 79.622,25 = 144.559,79
Dessa forma, concluímos que a situação descrita em (a) representa o menor custo para o deve-
dor, já que 140.000,00 < 144.559,79.
Para mais exemplos estruturados sobre a aplicabilidade e cálculos algébricos envol-
vendo o regime exponencial de juros, pesquise em Matemática financeira: aplicações 
à análise de investimentos, de Carlos Patricio Samanez, Editora Pearson Prentice Hall, 
2006. O autor nos traz mais uma série de exemplos que ilustram a resolução de novas 
situações envolvendo o cálculo dos parâmetros no regime exponencial de juros.NÃO DEIXE DE LER...
2.3 Taxa Equivalente, Nominal e Efetiva
Aqui, apresentaremos a você as taxas equivalentes, nominal e efetiva, que são importantes no 
âmbito do regime exponencial de juros. 
2.3.1 Taxas Equivalentes
Para entendermos as taxas equivalentes no regime composto, vamos considerar a seguinte des-
crição:
Pergunta	Contextualizada: suponhamos que Alessandro tenha uma quantia de R$ 100.000,00 
e deseja aplicá-la em algum sistema de investimento oferecido por uma instituição financeira. 
Alessandro possui duas alternativas de investimento, descritas a seguir:
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•	 a uma taxa de 1,66% ao mês, durante 24 meses;
•	 a uma taxa de 10,3826% ao semestre, durante 2 anos.
Qual das duas opções Alessandro deve escolher, considerando o regime exponencial de juros? 
Para responder tal questão, devemos calcular o montante associado a cada uma das opções. 
Logo, temos que:
Primeira	Opção: 
100000
24
1,66% . . 0,0166 . .
PV
n meses
i a m a m
=
 =
 = =
 logo: 
FV = 100.000,00 x (1,0166)24 = R$	148.457,63
Segunda	Opção: 
100000
4
10,3826% . . 0,103826 . .
PV
n semestres
i a m a s
=
 =
 = =
 logo: 
FV = 100.000,00 x (1,103826)4 = R$	148.457,63
Independente da opção escolhida por Alessandro, ele terá o mesmo retorno, pois as taxas de 
1,66% ao mês e 10,2638% ao semestre são equivalentes. 
Sendo assim, o conceito de taxa	equivalente que vimos no regime de capitalização simples 
continua sendo válido para a capitalização composta, ou seja, duas taxas são ditas equivalentes 
quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem 
resultados iguais. Entretanto, é diferente a fórmula de cálculo. De acordo com Samanez (2006), 
por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente composta é a média 
geométrica da taxa de juros do período inteiro, isso é:
i
q
q i+= 1 	–	1
Onde:
q = número de períodos de capitalização
i = taxa referente ao maior período
iq = taxa referente ao menor período 
Exemplo: considerando a taxa de 18% ao ano, determine a taxa equivalente composta mensal.
Solução: nesse caso, inicialmente temos de identificar os dados colocados no problema: 
q = 12 (pois 1 ano = 12 meses)
iq = é a taxa que queremos calcular (aqui escrevemos i12, pois q = 12)
i = 18% ao ano = 0,18 a.a.
14 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Sendo assim, da expressão para o cálculo de taxas equivalentes no regime composto, temos:
i12 = – 1 
i12 = – 1 (usamos aqui a regra 
q pa = a q
p
)
i12 = 0,013888 ou i12 = 1,3888% a.m.
Dessa forma, concluímos que a taxa equivalente mensal composta a 18% ao ano é igual a 
1,3888% ao mês. 
Exemplo: qual é a taxa equivalente composta anual a uma taxa de 2% ao mês? 
Solução: nesse caso, temos que q = 12 (1 ano == 12 meses) e iq = i12 = 0,02 a.m.
Portanto, devemos encontrar a taxa i, que representa a equivalente composta anual de 2% ao 
mês. Sendo assim, escrevemos que: 
i12 = 
121 i+ – 1 
0,02 = 
121 i+ – 1
12 1212(1,02) ( 1 )i= +
1 + i = 1,2682 ou i = 0,2682 ou 26,82% ao ano
Portanto, concluímos que a taxa equivalente composta anual a 2% ao mês é de 26,82% ao ano. 
2.3.2 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Quando você escuta em um telejornal que a caderneta de poupança com aniversário no dia de 
hoje rende 6% ao ano você sabe interpretar essa informação? Sabe dizer a efetiva rentabilidade 
dessa operação?
Para respondermos a questões como essas, devemos interpretar o significado da taxa efetiva de 
juros e da taxa nominal de juros, que são taxas presentes no regime exponencial de juros. 
Exemplo: se falamos em 18% ao ano com capitalização mensal, temos que esta taxa de 18% 
é dita uma taxa nominal de juros, já que as unidades da taxa e da capitalização são distintas. 
Acompanhe a seguir a definição formal da taxa nominal de juros. 
Taxa	Nominal	de	Juros (SAMANEZ, 2006): uma taxa é dita nominal quando a unidade de prazo 
definida para a capitalização dos juros é diferente da unidade de prazo definida para a taxa de 
juros.
Por exemplo, se tivermos uma taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente, os prazos não são 
coincidentes, logo essa é uma taxa nominal de juros. 
15
Outro exemplo a ser entendido diz respeito à caderneta de poupança. Quando falamos que ela 
tem uma rentabilidade de 6% ao ano, sendo que a capitalização ocorre mensalmente, podemos 
concluir que essa também é uma taxa nominal de juros. 
Para determinarmos nessa situação a verdadeira rentabilidade da caderneta de poupança, temos 
de caracterizar a taxa efetiva, que será definida formalmente a seguir.
Taxa	Efetiva	de	Juros (SAMANEZ, 2006): a taxa efetiva é aquela apurada durante todo o prazo 
n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
Para caracterizarmos o seu valor, utilizamos a expressão matemática dada por:
Taxa Efetiva (if):(1 + i)
q – 1
Sendo que q representa o número de períodos de capitalização. Vejamos alguns exemplos ilus-
trativos dessas taxas.
Exemplo (Caderneta	de	Poupança): Felipe possui uma caderneta de poupança no Banco AFA 
que paga juros anuais de 6% com capitalização mensal. Qual é a rentabilidade efetiva da pou-
pança de Felipe?
Solução: nesse caso, note que a taxa efetiva dará a rentabilidade efetiva da caderneta de pou-
pança, já que a taxa de juros de 6% é uma taxa nominal de juros, pois a capitalização é realizada 
mensalmente, a uma taxa de 0,5%. Notando que q = 12 (1 ano = 12 meses), segue que:
if = (1 + q
i
)q – 1 ou if = (1 + )
12 – 1 ou if = (1 + 0,005)
12 – 1
if = 0,0617 ao ano ou if = 6,17% ao ano
Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança de Felipe é de 6,17% ao ano.
Exemplo: Sendo de 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por um banco, calcular o custo 
efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
a) Mensal b) Trimestral c) Semestral
Solução: Nesse caso, temos que:
a) Custo	Efetivo (if): 1 ano = 12 meses, logo q = 12
if = (1 + q
i
)q – 1 
if = (1 + )
12 – 1
if = 0,2682 ao ano ou if = 26,82% a.a.
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b) Custo	Efetivo (if): 1 ano = 4 trimestres, logo q = 4
if = (1 + q
i
)q – 1
if = (1 + )
4 – 1
if = 0,2625 ao ano ou if = 26,25% a.a.
c) Custo	Efetivo (if): 1 ano = 2 semestres, logo q = 2 
if = (1 + q
i
)q – 1 
if = (1 + )
2 – 1
if = 0,2544 ao ano ou if = 25,44% a.a. 
Exemplo: Uma aplicação financeira de um banco nacional promete pagar 42% ao ano de juros. 
Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva conside-
rando os juros de 42% ao ano como:
a) Taxa Efetiva b) Taxa Nominal
Solução: Nesse caso, temos o seguinte:
a) Taxa	 Efetiva: a rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta de 42% ao ano. 
Aqui, temos que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses) e i = 42% ao ano, onde i é a taxa 
referenciada ao maior período na fórmula abaixo para a taxa equivalente composta.
i
q
q i+= 1 – 1 
i – 1 
i12 = 0,297 ao mês ou i12 = 2,97% a.m. 
Notemos que capitalizando exponencialmente os juros de 2,97% ao mês, chegamos, evidente-
mente, a taxa efetiva anual de 42% ao ano, isso é (1 + 0,0297)12 – 1 = 42% ao ano.
b) Taxa	Nominal: a rentabilidade mensal de 42% ao ano é definida pela taxa proporcional 
simples, isto é i = = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. Ao capitalizarmos exponencialmente 
essa taxa para o prazo de um ano, chega-se a um resultado efetivo superior à taxa 
nominal de 42% ao ano if = (1 + 0,035)
12 – 1 = if = 51,1% a.a.
17
Exemplo: um capital de R$100.000,00foi depositado por um prazo de 4 trimestres, a taxa de 
juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimestral igual à inflação. Admitamos que 
as taxas de inflação trimestrais observadas são de 10%, 15%, 20% e 25%, respectivamente. A 
disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre será aproximadamente igual a?
Solução: observe que aqui basta irmos acrescentando a correção monetária e os juros a cada 
trimestre, sendo assim, podemos escrever:
1° Trimestre (10%): 100 000 + 

(0,1)
correção monetária
 x 100 000 = 110 000, logo M = 110 000 x 

(1,1)
juros
 
= 121 000
2° Trimestre (15%): 121 000 + 

(0,15)
correção monetária
 x 121 000 = 139 150, logo M = 121 000 x 

(1,1)
juros
 
= 153 065
3° Trimestre (20%): 153 065 + (0, 20)
correção monetária

 x 153 065 = 183 178, logo M = 183 178 x 

(1,1)
juros
 
= 202 045,80
Logo, o montante final é de aproximadamente R$202.045,80.
Para mais exemplos sobre a aplicabilidade e os cálculos algébricos envolvendo as taxas 
nominal e efetiva de juros, pesquise no livro Matemática financeira: aplicações à aná-
lise de investimentos, de Carlos Patricio Samanez, Editora Pearson Prentice Hall, 2006. 
Esse livro traz uma série de exemplos que ilustram a resolução de novas situações en-
volvendo a caracterização de taxas no regime exponencial de juros.
NÃO DEIXE DE LER...
2.4 Desconto no Regime de Capitalização 
Composta
Com relação ao desconto associado ao regime exponencial de juros, temos que o desconto com-
posto é usualmente utilizado em operações de longo prazo e, analogamente ao desconto simples 
associado ao regime linear de juros, aqui também temos dois tipos de descontos: o desconto	
composto	por	dentro (ou desconto	composto	racional) e o desconto	composto	por	fora (ou 
desconto	composto	comercial).
18 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
2.4.1 Desconto Composto por Fora (ou Desconto Comercial)
Tal desconto é conhecido pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal 
do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. 
É interessante salientarmos que, no contexto do mercado financeiro brasileiro, o desconto por 
fora é muito pouco praticado. As expressões características para cálculos envolvendo esse tipo 
de desconto são mostradas a seguir. Acompanhe:
VF = N(1 – i)
n
Onde:
VF: valor líquido (ou valor do descontado por fora)
N: valor nominal do título
n: período
i: taxa de juros
Além disso, tomando DF como o valor do desconto por fora, temos que:
DF = N – VF
Ou seja:
DF = N[1 – (1 – i)
n]
Vejamos dois exemplos ilustrativos envolvendo o desconto composto por fora.
Exemplo: Hugo deve o valor de R$ 80.000,00 ao Banco AFA, com vencimento para daqui a 10 
meses. Todavia, Hugo decide quitar a dívida com quatro meses de antecedência e solicita ao 
Banco AFA um desconto. 
O gerente informa que o banco opera de acordo com o conceito de desconto composto por fora, 
sendo a taxa de desconto fixada em 3,5% ao mês nesse tipo de situação. 
Qual o valor líquido que Hugo deve pagar na quitação antecipada de seu empréstimo?
Solução: temos que N = 80000, n = 4 meses, i = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. Note que quere-
mos determinar o valor de VF. Logo, utilizando a expressão para VF, temos que:
VF = N(1 – i)
n
VF = 80.000 (1 – 0,035)
4
VF = 69.374,40
Portanto, o valor líquido que Hugo deve pagar é de R$ 69.374,40.
19
Exemplo: Ivan desconta um título a uma taxa de 3% ao mês no Banco AFA, cinco meses antes 
de seu vencimento. Sabe-se que essa operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Além 
disso, também sabemos que foi utilizada a noção de desconto composto por fora. Dessa forma, 
qual o valor nominal do título de Ivan?
Solução: é possível identificar o valor do desconto por fora DF = 39000, n = 5 meses, i = 3% 
ao mês = 0,03 a.m. e devemos encontrar o parâmetro N. Sendo assim, escrevemos:
DF = N[1 – (1 – i)
n]
39.000 = N[1 – (1 – 0,03)5]
39.000 = N x (0,141266)
N = 276.074,92
Ou seja, o valor nominal do título de Ivan é de R$ 276.074,92.
2.4.2 Desconto Composto por Dentro (ou Desconto Racional)
Ao contrário do desconto composto por fora, o desconto composto por dentro, baseado no valor 
atual e no valor nominal de um título, apresenta várias aplicações na área financeira. 
É caracterizado segundo as relações do regime exponencial de juros. Dessa maneira, o valor 
descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros compostos, conforme discutido an-
teriormente, visualizado pela seguinte expressão matemática: 
Vr = (1 )n
N
i+
É sabido que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal (resgate) e o valor des-
contado (presente). Sendo assim, temos a fórmula para o cálculo do desconto composto racional 
(Dr). Veja:
Dr = 
11
(1 )n
N
i
 
− + 
Agora, acompanhe dois exemplos ilustrativos envolvendo o desconto composto racional:
Exemplo: qual é o valor de desconto racional de um título de valor nominal de R$ 15.000,00, 
descontado cinco meses antes de seu vencimento a uma taxa de 2,4% ao mês?
Solução: com base no enunciado, podemos escrever que N = 15000, n = 5 meses, i = 2,4% ao 
mês = 0,024 a.m. e queremos encontrar o valor de Dr. Dessa forma, segue que:
20 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Dr = 
11
(1 )n
N
i
 
− + 
Dr = 5
115000 1
(1 0,024)
 
− + 
Dr = 1.677,32
Ou seja, o valor de desconto racional desse título é de R$ 1.677,32.
Exemplo: o banco AFA libera a Leandro o valor de R$ 6.800,00, proveniente do desconto de um 
título de crédito de valor nominal de R$ 9.000,00, descontado a uma taxa de 4% ao mês. Qual 
foi o prazo de antecipação desse título? 
Solução: do enunciado, temos que Dr = 6800, N = 9000, i = 4% ao mês = 0,04 a.m. e que-
remos encontrar o valor de n, que representa o prazo de antecipação. Sendo assim, utilizando a 
expressão de Vr, temos que:
Vr = (1 )n
N
i+
 ou 6800 = 
9000
(1 0,04)n+
9000(1,04)
6800
n = ou (1,04) 1,323529n =
Agora, devemos aplicar o logaritmo na base 10 para isolarmos o parâmetro n, como segue:
log (1,04)n = log 1,323529
n.(log 1,04) = log 1,323529
n = 7,15 meses ou n = 7 meses e 4 dias
NÃO DEIXE DE VER...
Indicamos o filme PI, de 1998, dirigido por Darren Aronofsky. Trata-se de uma trama de 
ficção científica que conta a história de Max, um homem brilhante e atormentado que 
está prestes a decodificar o padrão numérico por trás do mercado de ações.
21
2.5 Implementando problemas financeiros na 
Calculadora HP 12C
Vimos que, no regime composto de juros, o cálculo do prazo leva em consideração o logaritmo 
decimal, transformando tal cálculo em uma tarefa árdua. Sendo assim, vamos tentar simplificar 
esse processo com o auxílio de uma importante ferramenta. 
Pergunta	Contextualizada: você sabe dizer qual é a calculadora mais vendida do mundo? Sabe 
dizer qual é a calculadora mais apropriada para a resolução de problemas relacionados à gestão 
de negócios?
Nessa área, o instrumento mais utilizado é a calculadora financeira HP 12C, ferramenta que tra-
balha diretamente com a solução de problemas no contexto da gestão de negócios, sendo uma 
das calculadoras mais antigas e mais vendidas do mundo. 
Criada no ano de 1981, ela opera com a notação NPR (Notação Polonesa Reversa), na qual 
entramos primeiramente com os dados e os separamos através da tecla ENTER. 
É importante ressaltar que essa notação permite uma entrada mais rápida de dados e uma exe-
cução mais eficiente nos cálculos. A HP 12C apresenta mais de 120 funções específicas para o 
tratamento de dados financeiros, desde operações básicas até funções características dos siste-
mas de amortização. 
Além disso, a robusteze a simplicidade são as duas principais características da calculadora HP 
12C, que apresenta quatro memórias principais e vinte memórias secundárias.
Modelo	Platinum	(platina)Modelo	gold	(ouro)
Figura 4 – Modelos de HP 12C.
Fonte: HP BRASIL, 2015.
Essa ferramenta simplifica processos como o cálculo envolvendo os juros compostos, séries de 
anuidades e sistemas de amortização. 
O quadro a seguir nos mostra as funções introdutórias e básicas da HP 12C.
22 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Função		
(Tecla) Descrição
Função		
(Tecla) Descrição
CHS
Troca o sinal de um determinado 
valor.
<MDY> e 
<DMY>
Estabelece o formato das 
datas.
STO Armazena valores nas memórias. 1/x Calculo o inverso de x.
RCL
Recupera valores guardados nas 
memórias.
%
Permite o cálculo da por-
centagem de um determi-
nado número.
f <n>
Fixa em n casas decimais os núme-
ros a serem trabalhados.
%T
Possibilita encontrar quanto 
um número representa, 
percentualmente, em rela-
ção a outro número.
CLX Limpa o valor do visor. ∆% Diferença percentual entre 
números.
F REG Limpa todos os registros. x Calcula a raiz quadrada de um número.
f<FIN>
Coloca zeros para <n>, <i>, 
<PV>, <PMT> e <FV>.
LN
Calcula o logaritmo nepe-
riano de um número.
g <∆DYS> Fornece o número de dias entre 
duas datas (ano comercial).
g <∆DYS>
g <DATE>
Determinamos uma data futura ou 
uma data passada, tomando-se 
como base uma data especificada.
yx
Executa cálculos envolven-
do potências.
Quadro 1 – Algumas funções básicas da HP 12C.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Sem o auxílio da calculadora HP 12C, como realizar os cálculos ligados à gestão de 
negócios? Atualmente, temos vários simuladores da HP 12C oferecidos de forma gra-
tuita e que podem ser instalados no seu computador. Além disso, temos uma série de 
aplicativos para smartphones e tablets.
NÓS QUEREMOS SABER!
A seguir, vamos apresentar alguns exemplos resolvidos com o auxílio da HP 12C, envolvendo 
cálculos de porcentagens e regime de capitalização composto.
Exemplo (diferença	percentual): Márcio observa em uma loja que um equipamento de som 
está sendo vendido pelo valor de R$ 950,00, com pagamento a prazo ou cartão de crédito. Para 
o pagamento à vista, é oferecido um desconto de 18%. 
Sendo assim, qual o valor do desconto? Quanto Márcio pagaria pelo produto à vista? Qual o 
percentual de acréscimo que Márcio pagará se optar pelo cartão de crédito?
Solução: sobre a questão, veja quadro a seguir:
23
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
950 <ENTER> 950,00 Valor do equipamento.
18 <%> 171,00 Valor do desconto. 
< – > 779,00 Preço à vista.
950 <Δ%> 21,95 % do acréscimo pago pelo cartão de crédito.
Quadro 2 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Exemplo (juros	compostos): calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00 com 
prazo de oito meses, a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês.
Solução: acompanhe o quadro abaixo:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
1200 <CHS><PV> -1.200,00 Insere a aplicação. 
8 <n> 8,00 Insere o prazo.
3.5 <i> 3,50 Insere a taxa.
<FV> 1.580,17 Valor de resgate. 
Quadro 3 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Exemplo (juros	compostos): Nelson faz uma aplicação de R$ 20.000,00 que produz, em certa 
data futura, o montante de R$ 22.582,44 a uma taxa de juros compostos de 1,75% ao mês. 
Qual é o prazo dessa operação?
Solução: acompanhe o quadro abaixo: 
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
20000 <CHS><PV> -20.000,00 Insere a aplicação feita por Nelson.
22582.44 <FV> 22.582,44 Insere o montante.
1.75 <i> 1,75 Insere a taxa mensal.
<n> 7,00 Prazo da operação (em meses). 
Quadro 4 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
24 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo (juros	 compostos): se Olívia quiser comprar um carro no valor de R$ 22.000,00, 
quanto ela deve aplicar hoje para que, dentro de dois anos, possua o valor do carro sendo a 
taxa de aplicação de 18% ao ano?
Solução: veja o quadro abaixo:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
22000 <CHS><FV> -22.000,00 Insere o montante. 
18 <i> 18,00 Insere a taxa anual.
2 <n> 2,00 Insere o prazo (em anos).
<PV> 15.800,06 Valor que Olívia deveria depositar hoje.
Quadro 5 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Exemplo (taxa	efetiva): uma taxa nominal de 28% ao ano é capitalizada semestralmente. Qual 
a taxa efetiva anual equivalente?
Solução: acompanhe o quadro a seguir:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
28 <ENTER>
2 <÷> 100 <÷> 1 <+> 1,14 1 + a taxa efetiva semestral (unitária). 
2 <yx> 1,30 1 + a taxa efetiva anual (unitária).
1 < – > 100 <x> 29,96 Taxa Efetiva Anual Equivalente (em %).
Quadro 6 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Gustavo Cerbasi é autor de diversos livros, entre eles Casais Inteligentes Enriquecem 
Juntos, que foi adaptado para o cinema sob o título de “Até que a Sorte nos Separe”, 
líder de bilheteria em 2012. Cerbasi foi eleito pela revista Época um dos 100 brasilei-
ros mais influentes.
VOCÊ O CONHECE?
25
Síntese
Vimos neste capítulo que o regime de capitalização composto é o mais utilizado no mercado 
financeiro por ser considerado mais correto do que o regime linear de juros. 
Por isso, é de fundamental importância o entendimento dos juros compostos para a resolução de 
problemas no âmbito financeiro, tais como juros relacionados a cheque especial e cartão de crédito.
A partir do estudo realizado neste capítulo, concluímos que:
•	 Os juros compostos apresentam crescimento exponencial.
•	 O montante ou valor futuro é calculado matematicamente como a soma envolvendo o 
valor presente e o valor dos juros.
•	 A definição de taxas equivalentes permanece inalterada no regime composto, porém o seu 
modo de cálculo é distinto, pois temos que utilizar de uma média geométrica.
•	 A taxa nominal de juros aparece quando o prazo da capitalização difere do prazo colocado 
para a taxa de juros em questão.
•	 A taxa efetiva de juros é a taxa apurada sobre todo o período n, sendo caracterizada 
exponencialmente através dos períodos de capitalização.
•	 A taxa efetiva de juros é utilizada no mercado financeiro para descrever o custo efetivo 
ou para caracterizar a verdadeira rentabilidade de uma aplicação, como acontece com a 
caderneta de poupança.
•	 Existem dois tipos de descontos associados ao regime exponencial de juros: o desconto 
por fora (ou comercial) e o desconto por dentro (ou racional).
•	 O desconto por fora, no regime exponencial de juros, possui pouca aplicação prática no 
mercado financeiro, enquanto o desconto composto racional, sendo baseado no valor 
atual e no valor nominal de um título, apresenta várias aplicações. 
•	 As expressões características do desconto composto por fora são: VF = N(1 – i)n e 
DF = N[1 – (1 – i)
n].
•	 As expressões características do desconto composto por dentro são: Vr = (1 )n
N
i+
 e 
Dr = 
11
(1 )n
N
i
 
− + 
.
•	 A calculadora HP 12C é de grande auxílio para a resolução de problemas que envolvem 
juros compostos, porcentagens e taxas nominal e efetiva de juros.
Síntese
26 Laureate- International Universities
Referências
HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática	Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 
2007. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemáticafinanceira:	objetiva	e	aplicada. 8ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática	financeira:	aplicações	à	análise	de	investimen-
tos. 3ª Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2002.
Bibliográficas