Relatorio de laboratorio de fisica 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL 
CAMPUS ARAPIRACA – UNIDADE DE ENSINO PENEDO 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
Aluno(s): Alex Andrade Freitas 
 Bruno Santana dos Santos 
 Bruno Vieira Silva Santos 
 Jaime Soares dos Santos 
Professor: Dr. José Pereira Neto Leão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PENEDO 
2017 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL 
CAMPUS ARAPIRACA – UNIDADE DE ENSINO PENEDO 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório do experimento acima citado 
realizado em sala, sob orientação do 
Professor Neto Leão, como requisito para 
avaliação da disciplina Laboratório de Física 
I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PENEDO 
2017 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 4 
2. OBJETIVOS ................................................................................................. 5 
3. MATERIAIS ................................................................................................. 5 
4. PROCEDIMENTOS UTILIZADOS ............................................................... 5 
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................. 6 
5.1. Questões Respondidas ............................................................................ 9 
6. CONCLUSÃO ............................................................................................ 10 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 11 
8. ANEXO ..................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
Diante da necessidade de calcular em experimento a circunferência de esferas de 
papel com superfícies irregulares e tamanhos diferenciados, tomamos como base à 
área da geometria. Segundo (Miranda et al., 2008, p. 2034-1). Essa área da geometria 
que estuda as formas elementares designadas, pirâmides, círculos, quadrados, etc, 
onde a superfície dessas formas já é sabida, dá-se o nome de Geometria Euclidiana. 
Entretanto, há figuras geométricas que são imprecisas e desconformes, onde não é 
possível a denominação das unidades de área, comprimento e volume pela forma 
padrão da matemática, devido a forma fracionária de sua dimensão, ou seja, a 
geometria Euclidiana, em situações particulares apresenta-se inadequada, para a 
determinação de dimensões, situação está onde objetos só podem ser mensurados 
em espaços de dimensões fractais, daí aplica-se a geometria Fractal. 
Ao aprofundarmos a nossa pesquisa, constatamos que segundo (Carvalho, 2005, 
p. 15 – 16). Diferentemente das figuras euclidianas, as figuras fractais contêm em sua 
estrutura, desconformidades. Os fractais incorporam tais desconformidades, ao invés 
de aperfeiçoá-las. 
Indo um pouco mais além, descobrimos que sua utilização é tão importante que, 
(Miranda et al, 2008, p. 2034-1) citou o seguinte: Bernoit Mandelbrot, o ciador da 
Geometria Fractal, fez uso do termo fractal do ano de 1975 para descrever a geometria 
que procurava demonstrar as reais formas da natureza. Essa área da geometria 
tornou capaz a definição de medidas de objetos como as nuvens, alvéolos 
pulmonares, galhos de árvores, flocos de neve, entre outros. 
Para CARVALHO (2005. p. 18), várias foram as maneiras de definir um fractal, um 
fractal é uma forma geométrica obtida por meio de um procedimento iterado, onde 
uma fração coincide com toda à forma e pode ter medidas não inteira. 
Já (Miranda et al, 2008, p. 2034-2) definiu que uma forma de encontrar as medidas 
de objetos fractais, é dada pela equação abaixo: 
 
 D = KM1/d [1] 
 
 
Em que, D é o diâmetro do objeto de estudo, K é uma constante, M é a massa 
desse objeto e d é a dimensionalidade do espaço no qual o objeto está inserido. Ao 
obter a medida de um objeto fractal, a qual não será um número inteiro, consegue-
se designar a superfície de irregularidade do mesmo. 
Por fim, a dimensão de um fractal, de forma oposta ao que ocorre na Geometria 
Euclidiana, não é precisamente um valor inteiro. Nela, um ponto possui dimensão 
zero, uma linha possui dimensão um, uma superfície possuí dimensão dois e um 
volume possui dimensão três. No caso da dimensão fractal, ela é uma quantidade 
fracionária, representando o grau de ocupação da estrutura no espaço que a contém. 
 
2. OBJETIVOS 
 
Verificar a dimensão dos corpos que apresentam irregularidades em sua forma geométrica. 
 
3. MATERIAIS 
Para realização deste experimento foram utilizados os seguintes materiais: 
 Régua Milimetrada de 30cm; 
 Paquímetro; 
 Duas Folhas de Papel (A4). 
 Calculadora científica 
 
4. PROCEDIMENTOS UTILIZADOS 
Com a utilização de duas folhas foram feitas marcações de tamanhos diferentes 
como mostra a figura 1, onde foram construídas 7 bolas de papel amassado, a 
primeira folha foi amassada completamente formando uma bola de massa igual a 
64 e com a outra folha foram feitas 6 bolas dividindo a folha em sete espaços com 
massas igual a 1,2,4,8,16 e 32 como mostra a figura 2. 
Com isso foi atribuído a menor fração da folha massa 1 e as seguintes massas 
na sequência 2, 4,8,16,32 e 64. Onde a enésima fração, em ordem crescente de 
tamanho, terá massa relativa 2n. 
Cada bola foi medida sete vezes em pontos diferentes com o auxílio do 
paquímetro. Em seguida foi anotado na tabela 1 e posteriormente calculado o 
 
 
diâmetro médio de cada uma das bolas. Depois calculou-se a incerteza estimada 
ΔD associada ao tamanho de cada bola e adicionou-se a tabela 1. 
Com a utilização da tabela 1 foi construído um gráfico log-log do diâmetro 
versus massa (M). 
Figura 1 – diagrama de divisão das folhas para os procedimentos de fractais 
64 
 
32 
16 
8 
4 
2 
1 
 
 
Figura 2 – Folha 2 
32 
16 
8 
4 
2 
1 
 
 
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Finalizados os procedimentos, todas as medidas encontradas nos diferentes 
pontos das bolinhas de papel foram anotadas na Tabela 1. Assim, encontrámos o 
diâmetro (D) de cada bola de papel. 
Para encontrámos o diâmetro médio (<D>) de cada bolinha, utilizamos: 
 < 𝐷 > =
𝐷1+𝐷2+𝐷3+𝐷4+𝐷5+𝐷6+𝐷7
7
 
 A incerteza estimada (∆D) de cada bolinha, foram calculadas usando a formula 
abaixo: 
∆D=
 (|𝐷1− <𝐷>|)+(|𝐷2− <𝐷>|)+(|𝐷3− <𝐷>|)+(|𝐷4− <𝐷>|)+(|𝐷5− <𝐷>|)+(|𝐷6− <𝐷>|)+(|𝐷7− <𝐷>|)
7
 
 
 
Tabela 1 – Dados referente a medição dos diâmetros das sete bolinhas de papel com paquímetro 
 
 M 
D 
1 2 4 8 16 32 64 
D1 0,62 1,01 1,55 1,68 2,05 2,52 3,31 
D2 0,76 1,00 1,18 1,27 1,91 1,91 3,05 
D3 0,71 1,04 1,57 1,39 2,25 2,39 3,50 
D4 0,61 1,01 1,19 1,48 2,04 2,29 2,99 
D5 0,72 0,99 1,45 1,23 2,02 2,17 3,29 
D6 0,60 1,07 1,24 1,28 1,90 2,01 2,82 
D7 0,66 1,04 1,36 1,64 2,20 2,88 3,29 
‹D› 0,67 1,02 1,33 1,42 2,05 2,31 3,18 
∆D 0,06 0,02 0,14 0,15 0,10 0,2 0,23 
 
Após os cálculos para encontramos o diâmetro médio (<D>) e a incerteza 
estimada (∆D), construímos com os dados presentes na Tabela 1 o gráfico log-log 
(Anexado ao relatório) com o diâmetro da bola de papel em função de sua massa. 
Multiplicamos os valores do diâmetro por 10 para melhorar a representação gráfica no 
papel log-log. 
Para encontramos o diâmetro de uma esfera aço maciça cujaa densidade é 
uniforme foi utilizamos a seguinte expressão: 
 
D = KM1/d [1] 
Em que D é diâmetro, K é uma constante, M a é massa da bolinha de papel e 
d é a dimensão do objeto. Utilizamos as propriedades de logaritmo. Assim aplicamos 
logaritmo em ambos os lados da equação. 
 
Y = ax + b [2] 
Rescrevemos a equação [1] na forma acima e aplicamos a propriedade de 
logaritmo: 
 
LogD = LogK + ( 
1
𝑑
)LogM 
 
Assim, 
Y= LogD 
b = LogK 
x = LogM 
 
 
a = 
1
𝑑
 
Após realizarmos as substituições, encontramos que o coeficiente angular é 
igual à 
1
𝑑
. Dessa forma, foi possível encontrar a dimensão do objeto utilizado a 
equação [3]. Repetimos os cálculos por três vezes, usamos massas diferentes e os 
respectivos diâmetros. Em seguida calculamos a média das dimensões encontradas. 
Como mostra abaixo: 
 
1
𝑑
 = 
∆𝑦
∆𝑥
 [3] 
Assim, 
d1 = 
𝑙𝑜𝑔𝑀7−𝐿𝑜𝑔𝑀1
log 𝐷7−log 𝐷1
 
log 64−log 1
log 31,8−log 6,7
 
1,81
1,50−0,83
 
1,81
0,67
 2,70 
 
d2 = 
𝑙𝑜𝑔𝑀6−𝐿𝑜𝑔𝑀1
log 𝐷6−log 𝐷1
 
log 32−log 1
log 23,1−log 6,7
 
1,50
1,36−0,83
 
1,5
0,53
 2,83 
 
d3 = 
𝑙𝑜𝑔𝑀5−𝐿𝑜𝑔𝑀1
log 𝐷5−log 𝐷1
 
log 16−log 1
log 20,5−log 6,7
 
1,2
1,31−0,83
 
1,2
0,48
 2,5 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑1+𝑑2+𝑑3
3
 
2,7+2,83+2,5
3
 2,68 
 
Erro Absoluto ∆𝑥𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 = |𝑥𝑙𝑖𝑑𝑜 − 𝑥𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎| 
Erro relativo = 
∆𝑥𝑎𝑏𝑠𝑢𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑥𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
 0,02/2,68 0,00746 
0,15/2,68 0,05597 
0,18/2,68 0,06714 
Erro relativo = 0,07 
 
Com isso chegamos ao resultado da dimensão do objeto, que é de 2,68. 
Encontramos o erro relativo de ± 0,07. Sendo assim, d = 2,68 ± 0,07. 
Os valores de K foram obtidos utilizando a equação [1]. Reescrevemos a 
equação [1] da forma abaixo: 
 
𝑘 = 
𝐷
√𝑀
𝑑 
 
Assim, 
1 K = 0,67 
2 K = 0,78 
4 K = 0,79 
8 K = 0,65 
16 K = 0,72 
32 K = 0,63 
64 K = 0,67 
 
 
 
Após o experimento observamos que a dimensão da bolinha de papel não 
resultou em um valor inteiro. Esse resultado já era esperado, visto que a dimensão 
original do papel utilizado foi dois nessa situação a dimensão das bolinhas de papel 
devem ser maiores que dois. A dimensão da bolinha de papel ficou entre 2 e 3, esse 
fato já erra esperado pois, a dimensão três é de uma esfera perfeita, e no nosso caso 
as bolinhas de papel apresentam várias deformações. 
Após essas etapas, no relatório foram propostas algumas questões, que estão 
respondidas no item abaixo. 
 
5.1. Questões Respondidas 
 
a) O grupo esperaria um valor para a esfera tridimensional 3, para uma esfera 
bidimensional 2, e para um objeto unidimensional 1. 
b) 1- versão tridimensional da equação da Esfera - 𝑘 = (
6
𝜋𝜌
)
1
𝑑 - ρ = é a densidade 
volumétrica de massa. 
2-Para Esfera bidimensional - 𝑘 = (
6
𝜋𝜎
)
1
𝑑 - 𝜎 = massa/área 
3-Já na forma unidimensional temos- 𝑘 = (
6
𝜋𝜆
)
1
𝑑-, λ = massa/comprimento 
c) Após encontramos os valores de d e ∆d, foi possível definir que objetos de dimensão 
definidas previamente possuem equações fáceis pois fazem parte da geometria 
euclidiana, já os objetos que são de formas irregulares como a bola de papel feita no 
experimento, apresentam um erro, esse erro é menor para as bolinhas menores, ou 
seja, quanto menor o objeto há uma diminuição do erro. Ao amassar as bolas de papel 
observamos que formaram objetos não regulares, e que partiram da dimensão d = 2, 
para a dimensão três, então encontramos um valor fracionário devido a irregularidade 
na forma na bola de papel. O valor encontrado ficou entre 2 e 3, isso já erra esperado 
pela deformação das bolinhas. Com o valor encontrado para d podemos definir que a 
bola de papel amassada é um fractal. 
 
 
 
 
 
6. CONCLUSÃO 
Conclui-se que os experimentos realizados e os resultados obtidos no 
procedimento comprovaram a eficácia dos modelos matemáticos e ainda demonstram 
a validade dos mesmos na explicação de diversos fenômenos, não os restringindo 
apenas a matemática em si, mas com a geometria fractal, por exemplo, é possível 
quantificar as medidas de uma nuvem, ou até mesmo dos relâmpagos no espaço 
tridimensional. Mesmo utilizando um paquímetro, que é um instrumento de alta 
precisão, é impossível, neste experimento encontrar a medida inteira para a bola de 
papel, devido a mesma não ser uma esfera perfeita e ser um objeto de superfície 
irregular. No procedimento de aplicar a geometria fractal para medir bolas de papel 
chegamos a conclusão que um objeto que simula uma esfera, mas com 
irregularidades não terá exatamente dimensão 3 nem mesmo 2, que a dimensão do 
papel, devido ao objeto sofrer modificações em sua estrutura original após ter sido 
amassado, logo o mesmo terá dimensão entre os valores 2 e 3, confirmando a 
existência dos fractais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
CARVALHO, Hamilton Cunha de. Geometria Fractal: perspectivas e 
possibilidades para o ensino de Matemática. Dissertação de Mestrado em 
Educação em Ciências e Matemática; Universidade Federal do Pará, Núcleo 
pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico - NPADC, 2005, 108f. 
 
MIRANDA, José Garcia Vivas; ASSIS, Thiago Albuquerque de; MOTA, Fernando de 
Brito; ANDRADE, Roberto Fernandes Silva; CASTILHO, Caio Mario Castro de. 
Geometria Fractal: propriedades e características de fractais ideais. Revista 
Brasileira de Ensino de Física, V.30, n.2, 2304,2008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. ANEXO 
 
Figura 3 - Gráfico do diâmetro em função da massa