3ª Lista de Cálculo 3

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3a Lista de Ca´lculo 3
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Resumo
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a resoluc¸a˜o. As respostas
obtidas somente tera˜o validade se devidamente justificadas. Evite usar material
diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra,
justifique-o adequadamente para valida´-lo.
Questa˜o 1. Encontre e classifique os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es. Esboce 4
curvas de n´ıvel distintas para cada func¸a˜o perto do ponto cr´ıtico. No ponto P indicado,
calcule a equac¸a˜o da reta normal e do plano tangente a` curva naquele ponto.
a) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 12y + 20 (ponto P (3, 2))
b) f(x, y) = 4− x2 − y2 (ponto P (1,−2))
c) f(x, y) = x2 + y2 − 6x− 2y + 7 (ponto P (−3,−5))
d) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy (ponto P (0, 1))
e) f(x, y) = 3xy2 + x3 − 3x (ponto P (10, 0))
f) f(x, y) = x2 − y2 (ponto P (10, 1))
Questa˜o 2. Resolva os seguintes problemas de ma´ximo e mı´nimo
a) Uma caixa retangular sem tampa deve ter 64m3 de volume. Quais devem ser suas
dimenso˜es para que a superf´ıcie total da caixa seja a menor poss´ıvel?
b) Sejam A(1, 1), B(2, 3) e C(3,−1) os ve´rtices de um triaˆngulo. Qual e´ o ponto cuja a
soma dos quadrados de suas distaˆncias aos ve´rtices e´ a menor poss´ıvel?
c) Determinar treˆs nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor
poss´ıvel.
d) Qual o ponto extremo da func¸a˜o f(x, y, z) = xy2z3 sujeita ao v´ınculo x + y + z = 6
no primeiro octante?
e) Qual o volume do maior paralelep´ıpedo inscrit´ıvel no elipsoide
x2
9
+
y2
16
+
z2
36
= 1?
f) Qual a distaˆncia da origem a` hipe´rbole x2 + 8xy + 7y2 = 225
g) Qual o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito em uma esfera de raio
R > 0
h) Quais as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea que pode ser inscrito em uma circun-
fereˆncia de raio R > 0
i) Qual o valor ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = x2 +y2−10 sobre a reta y = 2x+3
j) Um fio de cobre de comprimento L, deve ser dividido em 3 partes tais que o produto
dos comprimentos das partes seja ma´ximo. Determine o produto.