Lista3 Integrais Triplas

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Instituto de Ciências Exatas - ICE
Departamento de Matemática - DEMAT
Professor: Renan Teixeira
Cálculo III - Lista 3 - Integrais Triplas
1. Calcule as integrais nos itens abaixo.
(a)
∫ e
1
∫ e2
1
∫ e3
1
1
x y z
dx dy dz =6
(b)
∫ pi
6
0
∫ 1
0
∫ 3
−2
y sen z dx dy dz = 5(2−
√
3)
4
(c)
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
∫ √9−x2
0
dz dy dx =18
(d)
∫ 1
0
∫ 1−x2
0
∫ 4−x2−y
3
x dz dy dx = 1
12
(e)
∫ 2
0
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 2x+y
0
dz dx dy=16
3
2. Calcule as seguintes integrais triplas:
(a)
∫∫∫
S
zdxdydz, onde S é a região no primeiro octante limitada pelos planos y = 0, z = 0,
x+ y = 2, 2y + x = 6 e o cilindro y2 + z2 = 4.
(b)
∫∫∫
S
y cos(x + z)dxdydz, onde S é a região limitada pelo cilindro x = y2 e so planos
z + x = pi
2
e z = 0.
3. Encontre o volume da região D delimitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8− x2 − y2.
V = 2pi
√
2
4. Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do
primeiro octante pelo plano 6x+ 3y + 2z = 6. Calcule uma das integrais.∫ 1
0
∫ 2−2x
0
∫ 3−3x− 3y
2
0
dzdydx ,∫ 2
0
∫ 3− 3y
2
0
∫ 1− y
2
− z
3
0
dxdzdy ,
∫ 3
0
∫ 2− 2z
3
0
∫ 1− y
2
− z
3
0
dxdydz = 1
5. Seja D a região delimitada pelos paraboloides z = 8 − x2 − y2 e z = x2 + y2. Escreva seis
diferentes integrais triplas iteradas para o volume de D. Calcule uma das integrais.∫ 2
−2
∫ 8−y2
4
∫√8−z−y2
−
√
8−z−y2
1 dxdzdy +
∫ 2
−2
∫ 4
y2
∫√z−y2
−
√
z−y2
1 dxdzdy = 16pi∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 8−x2−y2
x2+y2
1 dzdxdy = 16pi
1
6. Calcule as integrais nos itens abaixo alterando a ordem de integração de maneira apropriada.
(a)
∫ 4
0
∫ 1
0
∫ 2
2y
4 cos(x2)
2
√
z
dx dy dz
∫ 4
0
∫ 2
0
∫ x
2
0
4 cos(x2)
2
√
z
dy dx dz=2 sen(4)
(b)
∫ 1
0
∫ 1
3√z
∫ ln 3
0
pi e2x sen (pi y2)
y2
dx dy dz
7. Calcule o valor da seguinte integral dupla∫ 8
0
∫ 1
1
2
y1/3
√
1− x4 dx dy.
8. Calcule as integrais usando a mudança de variável mais conveniente.
(a)
∫∫∫
W
1
z2
dx dy dz onde W é limitado pelas superfícies z =
√
x2 + y2, z =
√
1− x2 − y2 e
z =
√
4− x2 − y2.
(b)
∫∫∫
W
z dx dy dz onde W é limitado pelas superfícies z =
√
x2 + y2, z =
√
3(x2 + y2) e
x2 + y2 + z2 = 4.
(c)
∫∫∫
W
1
x2 + y2 + z2
dx dy dz onde W é o sólido definido por
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 2y, z ≤√x2 + y2, y ≥ x e x ≥ 0}.
(d)
∫∫∫
W
x dx dy dz onde W = {(x, y, z) ∈ R3 |4 ≤ x2 + (y − 1)2 + z2 ≤ 9, x ≥ 0, z ≥ 0}.
2