semana 08ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 08
Temas abordados : Extremos de func¸o˜es
1) Explique por que o ponto x = 0 e´ um ponto de mı´nimo da func¸a˜o f(x) = |x|. O que
acontece com a derivada neste ponto?
2) Um ponto x0 ∈ dom(f) e´ chamado ma´ximo local de f se existe δ > 0 tal que
f(x0) ≥ f(x), ∀ x ∈ dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Naturalmente, todo ponto de ma´ximo de f e´ um ponto de ma´ximo local de f .
Supondo que x = x0 e´ um ponto de ma´ximo local de f onde a derivada f
′(x0) existe,
resolva os itens abaixo.
(a) Usando a desigualdade acima, verifique que a derivada lateral a` direita satisfaz
f ′+(x0) = lim
x→x
+
0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≤ 0.
(b) Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral a` esquerda satisfaz
f ′
−
(x0) = lim
x→x
−
0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0.
(c) Lembrando que as derivadas laterais coincidem, conclua que f ′(x0) = 0.
3) Proceda de maneira ana´loga ao exerc´ıcio acima para definir o conceito de mı´nimo local
de f . O que se pode dizer sobre a derivada de f em um ponto de mı´nimo local?
4) O que significa dizer que x0 e´ um ponto cr´ıtico de f?
5) Toda func¸a˜o cont´ınua definida em [a, b] tem ponto de ma´ximo e de mı´nimo. Use os 3
exerc´ıcios anteiores para descrever uma estrate´gia para encontrar os pontos de ma´ximo
e mı´nimo desta func¸a˜o.
6) Em cada um dos itens abaixo, e´ dada uma func¸a˜o definida em um intervalo fechado [a, b].
Depois de encontrar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o no intervalo (a, b), determine os pontos
de ma´ximo e mı´nimo (global) de cada uma delas. (veja Vı´deo 4)
(a) f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 4] (b) g(x) = 3x5 − 5x3 + 12, x ∈ [0, 2]
(c) f(y) = 1− |y − 1|, y ∈ [0, 2] (d) h(x) = 3√x, x ∈ [−1, 8]
(e) g(y) =
√
4− y2, y ∈ [−2, 1] (f) s(t) = te−t, t ∈ [0, 2]
(g) f(x) = ln(1 + x), x ∈ [0, 3] (h) v(t) = e−t2 , t ∈ [−4, 3]
7) O nu´mero de membros de uma associac¸a˜o de consumidores t anos apo´s sua fundac¸a˜o, em
1993, e´ dado por
P (t) = 100(2t3 − 45t2 + 264t).
Determine o maior e o menor nu´mero de associados no per´ıodo de 1995 a 2008, indicando
ainda os anos em que esses nu´meros foram atingidos.
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8) Uma pesquisa de opinia˜o revela que, t meses apo´s anunciar sua candidatura, um certo
pol´ıtico tera´ o apoio de A(t) por cento dos eleitores, onde
A(t) =
1
29
(−t3 + 6t2 + 63t+ 1080), 0 < t < 12.
Se a eleic¸a˜o esta´ marcada para novembro, qual e´ o melhor meˆs para o pol´ıtico anunciar a
candidatura? Se para vencer o pol´ıtico necessita de pelo menos 50% dos votos, e´ prova´vel
que seja eleito?
9) Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui, afetando a velocidade do ar
traque´ia. Se r0 e´ o raio normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o
raio r da traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma v(r) = ar2(r0 − r), onde a e´ uma
constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima.
10) Um campo retangular a` margem de um rio deve ser cercado, com excec¸a˜o do lado ao
longo do rio. Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao
rio e R$ 8,00 por metro linear nos outros dois lados adjacentes, determine o campo de
maior a´rea poss´ıvel que pode ser cercado com R$ 3600,00 de material.
11) Prove que entre todos os retaˆngulos com um dado per´ımetro P , o quadrado e´ o que possui
maior a´rea.
12) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio a > 0. Qual e´ a maior
a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais sa˜o as suas dimenso˜es? (veja Vı´deo 5)
13) Seja ym(x) = mx+ b, com m 6= 0, a equac¸a˜o de uma reta que passa pelo ponto (2, 3).
(a) Verifique que ym(x) = mx+ (3− 2m).
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a reta ym intercepta os eixos Oy e Ox,
respectivamente.
(c) Se A(m) e´ a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo situado no 1o quadrante, com cada um
dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa conte´m o ponto
(2, 3), mostre que
A(m) = −(2m− 3)
2
2m
, m < 0.
(d) Explique porque somente a teoria desenvolvida ate´ agora na˜o nos permite concluir
que A tem ponto de mı´nimo.
(e) Verifique que a func¸a˜o A(m) tende para infinito quando m→ −∞ ou m→ 0−.
(f) O item acima mostra que existem a < −1 < b < 0 tais que
A(m) > A(−1), ∀m ∈ (−∞, a) ∪ (b, 0).
Conclua que, apesar do domı´nio da func¸a˜o A(m) se aberto e ilimitado, ela possui
um ponto de mı´nimo.
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RESPOSTAS
1) Como f(x) = |x| ≥ 0 = |0| = f(0) para todo x ∈ R, o ponto x = 0 e´ um ponto de mı´nimo de
f . Neste ponto, a derivada na˜o existe.
2) (a) Note que, como x→ x+0 , o denominador (x− x0) e´ sempre positivo.
(b)
(c) Lembre que em um ponto onde f e´ deriva´vel as derivadas laterais coincidem.
3) O ponto x0 ∈ dom(f) e´ chamado mı´nimo local de f se existe δ > 0 tal que
f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Se este e´ o caso e f ′(x0) existe, o mesmo argumento do exerc´ıcio anterior mostra que f
′(x0) = 0.
4) Um ponto x0 pertencente ao interior do domı´nio da func¸a˜o f e´ um ponto cr´ıtico se f
′(x0) = 0
ou f ′(x0) na˜o existe.
5) Os passos sa˜o: determinar os pontos cr´ıticos; calcular a func¸a˜o nos pontos cr´ıticos e nos extremos
do domı´nio; comparar os valores encontrados
6) PC=Pontos cr´ıticos; PMin=Pontos de mı´nimo; PMax=Pontos de Ma´ximo.
(a) PC: {0, 2} PMin: {−1, 2} PMax: {4}
(b) PC: {1} PMin: {1} PMax: {2}
(c) PC: {1} PMin: {0, 2} PMax: {1}
(d) PC: {0} PMin: {−1} PMax: {8}
(e) PC: {0} PMin: {−2} PMax: {0}
(f) PC: {1} PMin: {0} PMax: {1}
(g) PC: na˜o existem PMin: {0} PMax: {3}
(h) PC: {0} PMin: {−4} PMax: {0}
7) O maior foi 58500, atingindo em 2008 (t = 15). O menor foi 12100, atingido em 2004 (t = 11)
8) O melhor meˆs e´ abril e ele provavelmente seria eleito com 50,76% dos votos
9) r = 23r0
10) A maior a´rea e´ 16875 m2 e ocorre quando o lado paralelo ao rio tiver comprimento de 150 m e
os dois lados adjacentes de 112, 5 m.
11) Denote por x e y dois lados na˜o paralelos do retaˆngulo e observe que o seu per´ımetro e´ P =
2x+ 2y
12) A a´rea ma´xima vale a2 e e´ atingida por um retaˆngulo cuja base mede a
√
2 e altura mede a/
√
2
13) (a) basta notar que ym(2) = 3
(b) (0, 3 − 2m) e ((2m− 3)/m, 0)
(c)
(d) o domı´nio na˜o e´ um intervalo fechado
(e)
(f) compare o mı´nimo de A no intervalo [a, b] com os valores da func¸a˜o fora deste intervalo
fechado
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