semana 16ex

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 16
Temas abordados : Aplicac¸o˜es da integral
1) Nos itens a seguir, determine a a´rea da regia˜o R:
(a) R e´ a regia˜o limitada pela curva y = 2 + x− x2 e o eixo Ox.
(b) R e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = 8/x e y = x1/2 e pelas retas y = 0 e x = 8.
(c) R e´ a regia˜o limitada pela curva y = x4 e pela reta y = x.
(d) R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pela reta y = 7x e pelas curvas y = 8−x2
e y = x2.
2) Determine a func¸a˜o y(x) cuja reta tangente no ponto (x, y(x)) e´ x(x2 + 1)3 e cujo gra´fico
passa pelo ponto (1, 5).
3) Estima-se que daqui a x semanas o nu´mero de passageiros de uma nova linha de metroˆ
estara´ aumentando a` raza˜o de 18x2 + 500 passageiros por semana. No momento, 8000
passageiros esta˜o usando a linha. Quantos a estara˜o usando daqui a 5 semanas?
4) Dados colhidos pela Secretaria de Seguranc¸a Pu´blica mostram que daqui a x anos o
nu´mero de presidia´rios do munic´ıpio estara´ aumentando a` taxa de 280e0,2x presidia´rios
por ano. No momento, existem 2000 detentos nas priso˜es do munic´ıpio. Quantos detentos
tera´ o munic´ıpio daqui a 10 anos?
5) Uma a´rvore foi transplantada e apo´s x anos esta´ crescendo a` raza˜o de h′(x) = 0, 5 + (x+
1)−2 metros por ano. Quanto a a´rvore cresceu no segundo ano?
6) Quando tem t anos de uso, certa ma´quina industrial gera receita a uma taxa R′(t) =
5000 − 20t2 reais por ano; a taxa de aumento dos custos de operac¸a˜o e manutenc¸a˜o da
ma´quina e´ dada por C ′(t) = 2000 + 10t2 reais por ano.
(a) Apo´s quantos anos de uso a rentabilidade da ma´quina comec¸a a diminuir?
(b) Calcule a receita l´ıquida(*) gerada pela ma´quina durante o per´ıodo de tempo cal-
culado no item anterior.
(*) Em muitas aplicac¸o˜es pra´ticas, conhecemos a taxa de variac¸a˜o Q′(x) de uma
grandeza e estamos interessados em calcular a variac¸a˜o l´ıquida de Q(x), V L =
Q(b)−Q(a), quando x varia de x = a para x = b.
O valor me´dio VM de uma func¸a˜o cont´ınua f(x) no intervalo [a, b] e´ dado pela inte-
gral definida VM = 1
b−a
∫ b
a
f(x)dx.De posse desta informac¸a˜o, resolva os dois exerc´ıcios
seguintes.
7) Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um per´ıodo t´ıpico de 24
horas, a temperatura em certa cidade e´ dada por
C(t) = 3− 2
3
(t− 13)2, 0 ≤ t ≤ 24
graus celsius. Qual e´ a temperatura me´dia na cidade entre 6 da manha˜ e 4 da terde?
Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 1 de 3
8) Com t meses de experieˆncia, um funciona´rio do correio e´ capaz de separar Q(t) = 700−
400e−0,5t cartas por hora. Qual e´ a velocidade me´dia com que um funciona´rio do correio
consegue separar as correspondeˆncias durante os treˆs primeiros meses de trabalho?
9) A func¸a˜o p = D(q) usada para determinar o prec¸o por unidade que os consumidores esta˜o
dispostos a pagar para comprar a q-e´sima unidade de um produto e´ conhecida na econo-
mia por func¸a˜o de demanda do consumidor para este produto. Esta func¸a˜o tambe´m
pode ser encarada como a taxa de variac¸a˜o da quantia total A(q) que os consumidores
esta˜o dispostos a gastar para comprar q unidades, ou seja, dA/dq = D(q). Sabemdo que
a func¸a˜o de demanda do consumidor de um certo produto e´ D(q) = 4(25− q2) reais por
unidade, determine a quantia total qure os consumidores esta˜o dispostos a gastar para
adquirir treˆs unidades do produto.
10) Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫ 1
0
(5x4 − 8x3 + 1) dx (b)
∫ 4
1
(
√
x + x−3/2) dx
(c)
∫ 2
−1
30(5x− 2)2 dx (d)
∫
(x + 2)(x2 + 4x + 2)5 dx
(e)
∫ 1
0
2xex
2−1 dx (f)
∫
5e3x dx
(g)
∫
sec(2t) tan(2t) dt (h)
∫
ln 3x
x
dx
(i)
∫ 1
−1
3x + 6
(x2 + 4x + 5)2
dx (j)
∫ 1
−1
xex dx
(k)
∫ e2
e
1
x(lnx)2
dx (l)
∫ e
−1
x2 lnx dx
(m)
∫
2x ln(x2 + 1) dx (n)
∫ pi/3
pi/6
[1− cos(3t)]sen(3t) dt
Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) (a) 9/2
(b) 16/3 + 8 ln 2
(c) 3/10
(d) 13/2
2) y(x) = 1
8
(x2 + 1)4 + 3
3) 11250 passageiros
4) 10945 detentos
5) 0,67 m
6) (a) Tomando por P (t) = R(t) − C(t) o lucro associado a` ma´quina apo´s t anos de uso,
observe que a rentabilidade deixa de aumentar quando P ′(t) = 0, o que ocorre para
t = 10.
(b) A receita l´ıquida durante os primeiros 10 anos de uso da ma´quina e´ dada por RL =
P (10)− P (0) = 20000 reais.
7) −5, 22◦C
8) 493 cartas por hora
9) R$ 264,00
10) (a) 0
(b) 17/3
(c) 1710
(d) 1
12
(x2 + 4x + 2)6 + C
(e) 1− 1/e
(f)
5
3
e3x + C
(g)
1
2
sec(2t) + C
(h)
1
2
(ln 3x)2 + C
(i) 3/5
(j) 2/e
(k) 1/2
(l)
1
9
(2e3 + 1)
(m) (x2 + 1)[ln(x2 + 1)− 1] + C
(n) 1/2
Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 3 de 3