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Prova 3 FIS 201 2006-2

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Marque um X em sua turma Professor 
 T1 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 
Gino T3 - 4a = 14-16 / 6a = 16-18 
 T5 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 
Rober T7 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 
 T4 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 Ricardo 
 T2 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 
Antonio Carlos T6 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 
 
 
 
Nome: __________________________________________________ Matrícula: ____________ 
 
EQUAÇÕES 
s = θ r v = ω r 
at = α r ar = ω 2r 
 
2
00 2
1 tt αωθθ ++= 
θαωω
αωω
∆+=
+=
220
2
0 t
pr rrl
r ×= 
θsenmrv=l 
Fr
rrr ×=τ 
θτ senrF= 
ατ r
r
r I
dt
Ld ==∑
L = Iω 
2
2
1 ωIKr = 
2
2
1 mvKt = 
WTotal = ∆K 
2
2
2
mhII
dmrI
mrI
CM +=
=
=
∫
∑
 
 
1. Três partículas, cada uma de massa m, estão presas umas 
às outras e a um eixo de rotação O por três hastes rígidas, 
de massas desprezíveis, cada uma com um comprimento d 
como mostrado na figura ao lado. O conjunto é liberado do 
repouso na posição horizontal. A aceleração da gravidade 
local vale g. Determine (a) a aceleração angular do conjunto 
no instante em que for liberado e (b) a velocidade angular 
do conjunto ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
TERCEIRA PROVA DE FIS 201 – 03/02/2007 
NOTA (100) 
Observações 
9 A prova contém 4 (quatro) questões; 
9 Todas as questões têm o mesmo valor; 
9 Não serão aceitas respostas sem justificativas; 
9 Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de 
referência, diagramas de corpos isolados e textos 
explicativos, durante a resolução do problema; 
9 Caso necessário, use o verso da folha; 
9 Utilize gr para a aceleração da gravidade. 
Escreva no espaço abaixo o seu nome, número de 
matrícula e marque um X, no quadro ao lado, 
na turma em que você é matriculado.
a) α∑ =Γ 00 I 
d
g
mdmgd
mddmgdmgmgd
7
3
146
1432
2
2
=
=
=++
α
α
α
 
m m m 
O 
d d d 
NR 
d 
d 
d 
2
222
2
14
)3()2(
mdI
dmdmmdI
rmI
O
O
iiO
=
++=
=∑
 
P
r
 P
r
P
r
b) Pela conservação da energia mecânica: 
d
g
mdmgdmgd
mddmgmgddmgdmgdmg
EE finalinicial
7
6
739
14
2
12333
22
22
=
=−
++=++
=
ω
ω
ω
 
2. Os blocos A e B da figura abaixo possuem massas iguais a M. Os blocos são ligados por um fio 
que passa sobre uma polia de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em 
seu centro. Não há atrito entre o bloco A e a superfície da mesa. O fio não desliza sobre a 
superfície da polia. Determine: (a) o módulo da aceleração dos blocos quando o sistema é liberado 
a partir do repouso; (b) a tração na parte do fio que sustenta o bloco B. O módulo da aceleração 
da gravidade local é g. O momento de inércia da polia em relação ao seu próprio eixo é dado por: 
I = ½ MR2. (Dados fornecidos: M, R e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
M, R 
M B
A
aaaa
TT
TT
PoliaTBA
BB
AA
===
′=
′=
)(
 
AP
r
 
BP
r
 
BT
r
 
BT ′
r
 
AT ′
r
 
AT
r
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton para os 
movimentos dos blocos A e B e da polia 
temos: 
Bloco A: ∑ = xx maF 
 )1(MaTA = 
 
Bloco B: ∑ = yy maF 
 
)2(MaMgT
MaTMg
B
B
−=
=−
 
 
Polia: α.eixoeixo I∑ =Γ 
 
)3(
2
1
2
1 2
MaTT
R
aMRRTRT
AB
AB
=−
=′−′
 
 
(a) Substituindo (1) e (2) em (3): 
ga
MaMg
MaMaMg
MaMaMaMg
MaTT AB
5
2
2
5
2
12
2
1
2
1
=
=
+=
=−−
=−
 
(b) Pela equação (2): 
 
MgT
gMMgT
B
B
5
3
5
2
=
−=
 
3. Uma bolinha de raio R e massa m é abandonada de uma altura h1 em uma calha, cuja extremidade 
inferior, por sua vez, está a uma altura h2 de uma mesa, conforme a figura abaixo. O ponto P 
localiza-se na mesa, diretamente abaixo da extremidade inferior da calha. Suponha agora que a 
bolinha desça a calha rolando, sem deslizar. A aceleração da gravidade local vale g. Determine: 
(a) a velocidade do CM da bolinha ao chegar à extremidade inferior da calha e (b) a distância 
horizontal, medida a partir do ponto P, que a bolinha atinge a mesa. 
(Respostas em função das grandezas R, m, h1, h2 e g que se fizerem necessárias). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h2 
h1 
P 
Momento de inércia da bolinha: 
2
5
2 mRI = 
NR 
B
A 
∆x 
a) Uma vez que a bolinha rola sem deslizar de
A a B, a energia mecânica será conservada. 
1
2
1
22
1
222
1
222
1
22
1
7
10
10
7
5
1
2
1
5
1
2
1
5
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ghv
mvmgh
mvmvmgh
mRmvmgh
mRmvmgh
Imvmgh
EE BA
=
=
+=
+=
+=
+=
=
ω
ω
ω
 
b) Cálculo do tempo de queda: 
g
h
t
gth
gty
2
2
2
2
2
2
1
2
1
=
−=−
−=∆
 
O deslocamento horizontal será: 
21
2
1
0
7
20
2
7
10
hhx
g
h
ghx
tvx
=∆
=∆
=∆
 
 
4. A partícula de massa M = (1/4) kg = 0,25 kg, desloca-se com velocidade constante 
m/s)ˆ0,4ˆ0,3( jiv +−=r . Num determinado instante de tempo a posição da partícula é dada por 
m)ˆ0,4( ir =r . 
 
a) Represente na figura abaixo os vetores posição, velocidade e momento angular da partícula no 
instante considerado. 
 
 
vr 
 
 
 
 l
r
 θ 
 
O 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o módulo da velocidade da partícula e o seno do menor ângulo formado pelos 
vetores posição e velocidade. 
 
 
 
 
 
c) Determine, em relação à origem, o vetor momento angular da partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Também em relação à origem, qual o vetor momento angular da partícula num instante 
qualquer após passar pela posição m)ˆ0,4( ir =r ? Explique. 
 
O vetor momento angular será igual ao anterior. Uma vez que a velocidade é constante, a distância 
na perpendicular entre o eixo de rotação e a direção do vetor velocidade é constante. 
vmr⊥=l 
 
 
 
 
 
y 
x 
smv
v
/5
43 22
=
+= 
5
4==
x
y
v
v
senθ 
kji
jii
vrm
vmr
)))l
r
)))l
r
rrl
r
rrl
r
44
)43(4
4
1
=×=
+−×=
×=
×=
 
smkg
mrvsen
/.4
5
4.5.4
4
1 2==
=
l
l θ
 
Perpendicular ao plano da folha e, pela regra da mão direita, 
saindo do plano da folha. 
ou

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